弹塑性力学讲义应力
弹塑性力学1
n = n1 e1 + n2 e 2 + n3 e3 = ni ei
ni = n ⋅ ei = cos(n, ei ) dSi = cos(n, ei )dS = ni dS
dS dS3
第一章 应力与平衡
一、固体中的应力状态
• 任意斜面上应力矢量的Cauchy应力公式
dSi = cos(n, e i )dS = ni dS
与
σ ij
的关系
′
(σ ij = σ ⋅ e j )
(i )
σ i′j′ = σ (i ) ⋅ e j′
= e i′ ⋅ σ ⋅ e j′ = e i′ ⋅ (σ mn e m e n ) ⋅ e j ′ = (α i′i e i ) ⋅ (σ mn e m e n ) ⋅ (α j′j e j ) = α i′iα j ′jσ mnδ imδ nj = α i′iα j′jσ ij
一点应力状态
σ = n ⋅ σ (n) σ j = niσ ij
(n)
t = n ⋅ σ t j = niσ ij
第一章 应力与平衡
二、应力张量
u
u = ui e i
ui
u1 u2 u 3
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ σ 32 σ 33 31
σ 11 − σ 0 σ 12 σ 13 0 σ 22 − σ σ 23 → σ 21 σ σ 32 σ 33 − σ 0 31 S11 S12 S13 = S 21 S 22 S 23 应力偏(斜)张量 S S32 S33 31
• 一点应力状态与应力标号
弹塑性力学第二章教学内容
z y
z
技
大
学
力
学
教 研
应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量，
室 各应力分量即为应力张量的元素。
ij yxx
xy y
xz yz
,
i, j x,y,z
zx zy z
西 南 科 技
大 二维应力状态与平面问题的平衡方程
学
力 学 教 研 室
二维应力状态与平面问题的平衡方程
一、平面问题
物体所受的面力和体力以及应力都与某一个坐标
Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量，
指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
力和应力的概念
2. 内力
西物
南 科
体 在外力作用下
技
大
学
变形
（改变 了质点 间距）
在物体内形成
力
学
当内力场足以和外
教
力平衡时，变形不
研
再继续
室
平衡
附加 的内 力场
二、应力的定义
西 南
科 技 大
化简后可得：xx
yx
y
Fbx
dxdy0
学 力
x
x
yx
y
Fbx
0
学 教 研
同理可求出：
y
y
xy
x
Fby
0
室
二维应力状态的平衡方程
x
x
yx y
Fbx
0
y
y
xy x
Fby
0
x
x
yx y
Fbx
0
西 南
y
y
xy x
弹塑性力学 第02章应力状态理论
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
应力状态理论
体力和面力 应力和一点的应力状态 与坐标轴倾斜的微分面上的应力 平衡微分方程·应力边界条件 主应力·应力张量不变量 最大切应力 偏应力张量及其不变量
§2-1 体力和面力
作用于物体上的外力分为两类 ①体力：指分布在物体内所有质点上的力，如重 力、惯性力和电磁力等；用 Fbx , Fby , Fbz 表示单位 体积的体力；其量纲为 MT −2 L−2 ；其单位为 N m 3。 ②面力：指作用在物体表面上的力，如风力、液 体压力等；用 f sx , f sy , f sz 表示单位面积的面力；其 量纲为 MT L ；其单位为 N m 。
⎧σ x = −γy ⎨ ⎩τ xy = 0
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
AB边
l = 0， m = −1
f sx = 0， f sy = γh
⎧ ⎪σ y = −γh ⎨ = 0 τ ⎪ xy ⎩
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
弹塑性力学——应力
x xy xz yx y yz z zx zy
• 张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
• 应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
y
应力分量的坐标变换
• 新旧坐标的夹角 ex
e ' x
ey
m1 m2
ez
n1 n2
l1 l2
ey '
ez'
l3
m3
n3
• e ' 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 x
Tx＝xl1+yxm1+zxn1 Ty＝xyl1+ym1+zyn1 Tz＝xzl1+yzm1+zn1
• 力矩平衡：绕z轴
(xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xy＝yx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx
静力学边界条件
n X A
xl+yxm+zxn＝ X
xyl+ym+zyn＝ Y ＝
xzl+yzm+zn
Z
z y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。
zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
xy x y y zy z Y 0
xz yz z Z 0 x y z
弹塑性力学应力分析
解之 将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
二. 最大和最小应力
3 z
3
设一点的主应力及其主方向已知，现以 三主方向取Oxyz坐标，如图所示 设任一斜截面N，其方向余弦为l1、l2、l3 2
则由斜截面正应力公式 及
1x
N
12
N
O
y2
1
主应力单元体
3
求极值
解之 同理，将
xxyy ( x 12))22 x2x2yy
xxyy ( y 12))22 x2x2yy
ll33((21) 0
设 为第一主方向与x轴的夹角
则由三角函数关系可得
例2-2 已知弹性体内部某点的 应力状态为
a 0 a
ij
0
a
0
a 0
a 0 a
求主应力和主方向。
解：不变量的计算
代入特征方程
C zx pz
yx
xy
xz
x
zy yz
N
pN y
设斜截面上全应力为：
O y
yz
x
zy
xz xy zx
yzp y
B
y
沿坐标的分量为：
px
A
z
x
简写为：
设四面体斜面的面积为：
则三个直面的面积为：
简写为：
考虑四面体微元的平衡
X 0 Y 0
pxdSN xdSx yxdSy zxdSz 0 pydSN xydSx ydSy zydSz 0
将 向外法线和斜面分解为 和 。
则
即
将Cauchy定理代入：
展开整理得：
弹塑性力学讲义应力
第1章 应 力1. 1 应力矢量物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。
对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。
如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。
考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。
设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为∆S ，作用在微面上的内力合力为∆F ，则该微面上的平均内力集度为∆F /∆S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为T (n ) =SFs ∆∆∆0lim→B∆SACPn ∆Fxyz图1.1 应力矢量定义在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z（1.1）式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。
上篇弹性力学第1章应力8除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x、T y 和T z。
实际应用中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。
显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。
所有这些应力矢量构成该点的应力状态。
由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n微面上的应力矢量为：T(-n)= -T(n) （1.2）1.2 应力张量人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。
在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。
弹塑性力学课件
.
第三讲：应力应变分析
. 弹塑性力学研究生核心课程 任晓丹
同济大学建筑工程系
October 10, 2016
任晓丹
第三讲：应力应变分析
应力分析 应变分析 应力应变关系
EulerCauchy 应力原理
Ti
( n)
= lim
∆Fi dFi = ∆s→0 ∆S dS
任晓丹
任晓丹 第三讲：应力应变分析
σij − σδij = 0
应力分析 应变分析 应力应变关系
应力偏量
定义静水应力： 1 1 1 σm = Tr(σ ) = σii = (σ1 + σ2 + σ3 ) 3 3 3 应力偏量定义为： sij = σij − σm δij 应力偏量表示纯剪应力状态，对于很多材料，是其重要的破 坏控制机制，所以应力偏量应用十分广泛。 J1 、J2 和 J3 分别称为应力偏张量的第一、第二、第三不变 量。由于 J1 = 0，因此，一点的应力状态也可以用 I1 、J2 和 J3 表示。
任晓丹
第三讲：应力应变分析
应力分析 应变分析 应力应变关系
（第二）平衡方程
合力矩为零 ∫ MO = ∫∂ Ω =
∂Ω
∫ r × TdS + ϵijk xj Tn k dS +
Ω
∫
r × FdΩ ϵijk xj Fk dΩ = 0
Ω
第一项 ∫ R1 =
∂Ω
∫ ϵijk xj σmk nm dS =
Ω
′ ′ βki tk = σij nl βlj ⇒ βmi βki tk = δmk tk = tm = βmi σij nl βlj
应力转轴公式 (张量表达)
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
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第1章 应 力1. 1 应力矢量物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。
对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。
如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。
考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。
设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为∆S ，作用在微面上的内力合力为∆F ，则该微面上的平均内力集度为∆F /∆S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为T (n ) =SFs ∆∆∆0lim→B∆SACPn ∆Fxyz图1.1 应力矢量定义在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z（1.1）式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。
上篇弹性力学第1章应力8除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x、T y 和T z。
实际应用中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。
显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。
所有这些应力矢量构成该点的应力状态。
由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n微面上的应力矢量为：T(-n)= -T(n) （1.2）1.2 应力张量人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。
在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。
因此有三个正面和三个负面。
图1.2 一点的应力状态上篇 弹性力学 第1章 应力9考察作用在法线为e x ，e y 和e z 三个正面上的应力矢量T (e x )、T (e y )和T (e z )，每个应力矢量沿空间坐标轴e x ，e y 和e z 有三个分量，其中一个分量垂直于作用面，是正应力，两个分量平行于作用面，是剪应力，于是 T (e x )＝σx e x +τxy e y +τxz e z T (e y )＝τyx e x +σy e y +τyz e z （1.3）T (e z )＝τzx e x +τzy e y +σz e z三个应力矢量共9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的9个分量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡στττστττσz zyzx yz y yx xz xy x 对角上的元素是正应力，非对角上的元素是剪应力，剪应力有两个下标，前一个下标代表作用面的法线方向，后一下标代表力的作用方向。
在使用张量表述的教科书里，下标x 、y 、z 往往用1、2、3取代，九个应力分量常记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡σσσσσσσσσ=σ333231232221131211 ij应力正、负号规定是：正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
这个规定正好反映了作用力与反作用力定律。
图1.2中的应力均为正值。
式（1.3）使用张量可以表示为T (e i )＝σik e k（1.3a ）应当指出：物体内各点的应力状态，一般说来是不同的，为非均匀分布，即各点的应力分量应为空间坐标x 、y 、z 的函数。
所以，应力张量σij 与给定的空间位置有关，提及应力张量总是针对物体中的某一确定点而言的。
从下节中我们将知道，应力张量σij 完全确定了一点的应力状态。
1.3 Chauchy 公式（斜面应力公式）一点的应力状态中，若已知三个互相垂直面上的应力矢量，其它任意一斜面上上篇 弹性力学 第1章 应力10 的应力矢量可从该点的平衡条件中导出。
图1.3所示的微四面体由三个负面和一个斜面组成，设斜面的外法线单位矢量为n ＝l e x +m e y + n e z（1.3b ）斜面∆ABC 的面积为dS ，则三个负面的面积分别是∆BOC = ldS ∆AOC = mdS ∆AOB = ndS四面体的体积为dV =31dh dS 式中dh 是四面体的高。
nT (-e )T (-e )T (-e )T (n )e xy e OABCzx z e yxyz图1.3 四面体上的应力矢量由微四面体的平衡条件得：T (n )dS +T (-e x )ldS + T (- e y )mdS + T (- e z )ndS +X31dh dS =0式中X 是单位体积力矢量，T (-e x )、T (-e y )和T (-e z )分别是法向为-e x ，-e y 和-e z 微面上的应力矢量。
上式中的最后一项是比前面项高一阶的小量，可忽略不计，考虑式（1.2），上式可表示为T ( n )＝T (e x )l +T (e y )m +T (e z )n（1.4）这就是著名的Chauchy 公式，又称为斜截面应力公式，其实质是微四面体的平衡条上篇 弹性力学 第1章 应力11件。
将斜面应力矢量T ( n )沿坐标轴方向分解T ( n )＝T x e x +T y e y +T z e z（1.5）注意：T x 、T y 、T z 是T (n )沿坐标轴方向的分量，一般不是斜截面上的正应力和剪应力。
将式（1.3）和式（1.5）代入式（1.4），则式（1.4）可用分量的形式表示为 T x ＝σx l +τyx m +τzx n T y ＝τxy l +σy m +τzy n （1.6）T z ＝τxz l +τyz m +σz n若下标x 、y 、z 用1、2、3取代，而l 、m 、n 用n 1、n 2、n 3代替，式（1.4）和式（1.6）的张量形式分别就是 T ( n )＝n i T (e i ) （1.7a ）T j = n i σij 或 T ( n )=n •σ（1.7b ） 式中“•”是张量点积符号，见附录1。
Chauchy 公式有两个重要的应用。
（1）求斜截面的各种应力。
斜截面上的正应力σn 是应力矢量T (n )沿其法线方向的投影，考虑到式（1.3a ）和式（1.5），因此有σn =T (n )•n = T x l + T y m + T z n（1.8a ）将式（1.6）（或式（1.7））代入式（1.8a ）得：σn ＝σx l 2+σy m 2+σz n 2+2τxy lm +2τyz mn +2τzx nl＝σij n i n j（1.8b ）上式中使用了后面的剪应力互等定理式（1.11）利用式（1.5）可以算出斜截面应力矢量的大小，为222)(z y x T T T ++=n T斜截面上的剪应力分量是22)(n n n T σ-=τ（2）确定力边界条件（见1.5节）。
例1-1 在物体内的一点，应力张量是上篇 弹性力学 第1章 应力12 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=504030401ijσ求在321212121e e e n +-=面上的法向正应力和切向剪应力。
解： 利用式（1.7）求该斜面上应力矢量的三个坐标分量是3132121111σ+σ+σ=n n n T )4(21021121-⨯+⨯-⨯==2221-= 230213210213232221212-=⨯+⨯-⨯=σ+σ+σ=n n n T2252521021)4(213332321313+-=⨯+⨯--⨯=σ+σ+σ=n n n T 该斜面上的正应力为22272252212321)2221(21332211-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--⨯=++=σn T n T n T N 该斜面上的剪应力为24827212332221+=σ=N －＋＋T T T S1.4 平衡方程物体处在平衡状态，其内部的每一点都应处在平衡状态。
使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此我们可推导平衡微分方程。
如图1.4所示的微六面体，取直角坐标系的坐标轴与边重合，各边的长度分别为dx 、dy 、dz 。
在微六面体x =0的面上，应力是σx 、τxy 、τxz ；在x=dx 面上的应力，根据应力函数的连续性并按Taylor 级数相对x =0的面展开，略去高阶项，它应是dx xdx x dx x ∂τ∂+τ∂τ∂+τ∂σ∂+σxz xz xy xy xx 、、上篇 弹性力学 第1章 应力13同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy ，z=dz 面上的应力。
最后，所有各面上的应力如图1.4所示。
图1.4 微单元体的平衡考虑微单元体沿x 方向的平衡，可得：dxdz dxdz dy y dydz dydz dx x yx yx yx x x x τ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂τ∂+τ+σ-⎪⎭⎫⎝⎛∂σ∂+σ 0=+τ-⎪⎭⎫⎝⎛∂τ∂+τ+Xdxdydz dxdy dxdy dz z zx zx zx整理上式并除以微单元体的体积dxdydz ，得：0=+∂τ∂+∂τ∂+∂σ∂X zy x zxyx x （1.9a ）同理，建立y 、z 方向的平衡条件，可得：0=+∂τ∂+∂σ∂+∂τ∂Y zyxzy y xy （1.9b ）上篇 弹性力学 第1章 应力140=+∂σ∂+∂τ∂+∂τ∂Z zy x zyz xz （1.9c ）式（1.9）就是弹性力学的平衡微分方程。
注意式（1.9）中X 、Y 、Z 是单位体积里的体积力矢量X 沿x 、y 、z 方向上的分量，即X ＝X e x +Y e y +Z e z（1.10）考虑图1.4中微单元体的力矩平衡。
对通过形心C 点平行于z 方向的轴取矩。
凡作用线通过C 点或方向与z 轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零，于是力矩平衡方程在略去高阶项后只剩两项(τxy dydz )dx -(τyx dxdz )dy =0由此可得：τxy ＝τyx（1.11a ）同理，对沿x 和y 方向的形心轴取矩得： τyz =τzy τxz = τzx（1.11b ）这就是剪应力双生互等定理。
这个定理以后将经常被使用，使用时不再单独说明。
下面从物体整体平衡的角度推导平衡微分方程。
从物体中任意截取一个脱离体Q ，它的边界为Γ，在Q 内部作用有体积力矢量X ，在边界Γ上作用有应力矢量T (n )。
脱离体静力平衡要求作用在它上面的合力应为零，即()0=+⎰⎰QX n T dQ d ΓΓ （1.12a ）将式（1.4）代入上式，得：[]0)()()(=+++⎰⎰Qz y xX e T e T eT dQ d n m l ΓΓ（1.12b ）使用散度定理式（A2.19），式（1.12b ）可写成⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+∂∂+∂∂Q X e T e T e T dQ z y x z y x )()()(=0 由于脱离体Q 是任意的，因此上篇 弹性力学 第1章 应力15X e T e T e T +∂∂+∂∂+∂∂zy x z y x )()()(= 0 （1.12c ）将式（1.3）和式（1.10）代入上式，我们有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂τ∂+∂τ∂+∂σ∂X z y x zx yx x e x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂τ∂+∂σ∂+∂τ∂Y z y x zy y xy e y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂σ∂+∂τ∂+∂τ∂Z z y x z yz xz e z =0 上式就是平衡微分方程式（1.9）的矢量表示形式。