多项式的因式分解1课件
解 因为(a-2)(a-3) = a2-5a+6，所以因 式分解a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)正确.
（3） 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .
解 因为(2m-n)(2m+n)= 4m2-n2≠2m2n2，所以因式分解2m2-n2=(2mn)(2m+n)不正确.
练习
1. 求4，6，14 的最大公因数.
x 2有多项
，把 x 2 叫做 x 2 4 的一个因式， 同理， 也是 x 2 x 2的一个因式 4
x 2 4 ( x 2) ( x 2)
因式的概念：
一般地，对于两个整式 f 与 g ， 如果有多项式 h 使得 f=gh ，那么 我们把 g 叫做 f 的一个因式 （factor）。此时，h 也是 f 的一个因式。
（2） m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .
解 不是. 因为(m+3)( m-2)+2不是 几个多项式乘积的形式.
试一试
1、把下列各式写成乘积的形式（因式分解） (1). 1-x2 = 左边是“和”的形式 (2). 1-4x2 = 右边是“积”的形式 (3). 4a2+4a+1= 左右恒等 (4). x2-14x+49=
答：因为4=2×2 6=2×3 14=2×7 所以最大公因数是2.
2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解， 哪些不是，为什么？
（1） (x+1)(x+2)= x2+3x+2 ；
不是. 因为x2 +3x+2不是几个多项式乘积的形式. （2） 2x2y + 4xy2= 2xy(x+2y) ； 答：是因式分解. （3） x2-2 =(x+1)( x-1)-1 ； 解 不是. 因为(x+1)(x-1)-1不是几个多项式乘积的形式. （4） 4a2-4a+1=(2a-1)2 . 答：是因式分解. 解
（3） 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .
分析 检验因式分解是否正确，只要看等 式右边的几个多项式的乘积与左边的多项 式是否相等.
（1） x2 + xy = x(x+y)
解
因为x( x + y ) = x2 + xy ， 所以因式分解 x2 + xy = x(x + y)正确.
（2） a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)
补充练习：
判断下列因式分解是否正确：
1、x3+x2+x=x(x2+x) 2、a2+ab=a(a+b) 3、a2+a-6=(a-2)(a+3) 4、ma+mb=m(a+b) ( ( ( ( ) ) ) )
5、4x2-4x+1=4x(x-1)+1
(
)
思考与拓展
• 1、解方程 x 9 0
2
• 2、看谁算得快： • （1）、72.5x65-65x30.5+18x65 • （2）、57x99+44x99-99
对于整数6与2，有整数3使得 6=2x3，把2叫做6的一个因数。 同理，3也是6的一个因数。
1、6等于2乘以哪个整数？
3 6=2x___
2、 x
2
4 等于 x 2 乘以哪个多项式
2
？
x 4 ( x 2) (_____) x2
对于多项式 x 2 4 与 式 x2 使得：
2
不是
不是
（6）
18a bc 3a b6ac
3 2
（7） x 4 (
x 2)( x 2)
不是
因式分解的形式：
1、因式分解是整式概念范畴的； 2、左边是一个多项式， （和差形式） 右边是几个整式乘积的形式。 （乘积形式）
判 断： 下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
(2) 3a2+6a=3a(a+2)
2、下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） （2）
a a a(a 1)
2
2
是
(a 3)(a 3) a 9 2 2 （3） 4 x 4 x 1 (2 x 1)
（4）
不是
是 不是
1 （5） x 1 x ( x ) x
2
x 3x 1 x( x 3) 1
九年制义务教育课程标准实验教科书（湘教版）
整式的乘法
计算下列各式: (x+1)(x－1)=
( x 2) ( x 2)
1. 2.
21等于3乘哪个整数？
21=3×7
x 1 有多项
2-1等于x+1乘哪个多项式？ x
对于多项式 x 2 1 与 式 x 1 使得：
，把 x 1 叫做 x 2 1 的一个因式， 同理， 也是 的一个因式 x 1 x2 1
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中， 像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身， 称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”： 每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式．
例如
12 2 2 3
30 2 3 5
整式乘法
因式分解
因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法是互逆 过程
注意：
1.因式分解必须在整式范围内进 行，否则不属于因式分解； 2.利用整式的乘法可以验证因式 分解是否正确.
例2
检验下列因式分解是否正确.
（1） x2 + xy = x(x+y) ； （2） a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) ；
因式分解 变形
互 图示表示：a2-b2
逆 (a+b)(a-b)
因式分解 整式乘法
想一想
计算下列各式:
根据左面算式填空:
(1) 3x(x-1)= 3x2 - 3x __, (1) 3x2-3x=_________ 3x(x-1) (2) m(a+b+c) = __, (2)ma+mb+mc=___ ma+mb+mc m(a+b+c) (a+b)(a-b) (3) a2-b2=__________
4 F （2）、 a
2
ma F （3）、
mb c m(a b) c 是因式分
ax ay a( x y)
3ab a a(4a 3b)
解； T （4）、因式分解
2、比较下面的两个等式，然后回答后面的问题： ( x 3)( x 5) x 2 2 x 15 A、 2 B、x 2 x 15 ( x 3)( x 5) 整式乘法 因式分解 （1）、从左到右看，A式是________,B式是_______ 整式乘法 （2）、_______是把几个整式的积展开成一个多项式 因式分解 （3）、_______是把一个多项式化成几个整式的乘积 的形式 恒等 （4）、整式乘法和因式分解都是_____变形，但变形 互逆 的过程正好_______。
把 x 12写成 ( x 1)( x 1) 的形式， 叫做把 x 1 因式分解。
2
因式分解的概念：
一般地，把一个含字母的多项式 表示成若干个整式的乘积的形式， 称为把这个多项式因式分解。
为什么要把 一个多项式 因式分解呢？
万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因 此， 砖是基本建筑块之一.
例1 下列各式由左边到右边的变 形，哪些是因式分解，哪些不是，为 什么？
（1） a2 + 2ab + b2 = (a+b)2； （2） m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .
（1） a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
解 是. 因为从左边到右边是把多项式 a2+2ab+b2表示成了多项式a+b与a+b 的积的形式.
①
②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为
23 6
12 进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得 30 12 2 30 5
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
课堂小结 • 1、因式及因式分解的概念；
• 2、因式分解和整式乘法的联系与区别。
（3） m2+ 3m+ 2 = (m+1)(m+2) . 解 因为(m+1)(m+2)=m2+3m+2， 所以因式分解m2+3m+2=(m+1)(m+2)正确.
动脑筋
பைடு நூலகம்
若
x 3x 4 因式分解的结果为
2
( x 4)( x a) ，则a的值为？
学以致用
1、判断下列各题的对错： F （1）、(a 2)( a 2) a 2 4 是因式分解；
x 2 1 ( x 1) ( x 1)
对于整数21与3，有整数7使得 21=3×7，我们把3叫做21的一个因数 同理，7也是21的一个因数． 类似地，对于多项式x2-1与x+1， 有整式的乘法有多项式x-1使得x21=(x+1)(x-1)成立，我们把多项式 x+1叫做x2-1的一个因式. 同理，x-1也是x2-1的一个因式.
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七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
多项式的因式分解(1)——提公因式法
(1) 5x3-10x2 (5x2 ) (2) 12ab2c-6ab (6ab ) (3) -2m3+8m2-12m (-2m )
（1）解：原式=5x2·x-5x2·2 =5x2(x-2)
记得写出因数“1”
（2）解：原式=6ab·2bc-6ab·1 =6ab(2bc-1)
（3）解：原式=-(2m3 -8m2 +12m) =-(2m·m2-2m·4m+2m·6) =-2m(m2-4m+6)
二．填空题 5. 多项式 2x2 y3z 4x3 y3z 6x4 yz2 各项的公因式是___________；
6. 12 x2 32 x 4x (________); 5x2 10 xy (________) (x 2y).
7. 若 x=49,y=1007,则 xy-7x=
.
8. 若 a2+a-1=0,则 a -a -a 2019 2020 2021 =___________.
解：原式=32×3198-4×3×3198+10×3198
“数”与“式”
=3198(9-12+10）
的相互变换
提公因式法
=3198×7
∵ 3198为整数， ∴ 3198×7是7的倍数， 即： 3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
学以致用
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC
=3(x-y)2·[a- 2b(x-y)]
=3(x-y)2(a-2bx+2by)
学以致用
1、已知a+b=5 ， ab=3， 求a2b+ab2的值。
解：a2b+ab2=ab·a +ab·b =ab(a+b)
（1）解：原式=5x2·x-5x2·2 =5x2(x-2)
记得写出因数“1”
（2）解：原式=6ab·2bc-6ab·1 =6ab(2bc-1)
（3）解：原式=-(2m3 -8m2 +12m) =-(2m·m2-2m·4m+2m·6) =-2m(m2-4m+6)
二．填空题 5. 多项式 2x2 y3z 4x3 y3z 6x4 yz2 各项的公因式是___________；
6. 12 x2 32 x 4x (________); 5x2 10 xy (________) (x 2y).
7. 若 x=49,y=1007,则 xy-7x=
.
8. 若 a2+a-1=0,则 a -a -a 2019 2020 2021 =___________.
解：原式=32×3198-4×3×3198+10×3198
“数”与“式”
=3198(9-12+10）
的相互变换
提公因式法
=3198×7
∵ 3198为整数， ∴ 3198×7是7的倍数， 即： 3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
学以致用
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC
=3(x-y)2·[a- 2b(x-y)]
=3(x-y)2(a-2bx+2by)
学以致用
1、已知a+b=5 ， ab=3， 求a2b+ab2的值。
解：a2b+ab2=ab·a +ab·b =ab(a+b)
1.1多项式的因式分解课件1
义务教育课程标准实验教科书 SHU XUE 八年级下
湖南教育出版社
你会解方程 x2 −1 = 0 吗?
利用平方差公式， 写成(x+1)(x－1)， 就得到方程 利用平方差公式，把方程的左边 x2 −1写成 － ， (x+1)(x－1)＝0 － ＝ 这样就可以求出解了． 这样就可以求出解了．
x2 −1 写成 (x+1)(x－1)，叫作把 x2 −1因式分解． 因式分解． 把 － ，
多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁． 多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁．
乘哪个整数？ （1）6 等于 2 乘哪个整数？ ）
6＝2×3 ＝ ×
等于x+1乘哪个多项式？ 乘哪个多项式？ （2）x2－1等于 ） 等于 乘哪个多项式
x2 −1 = ( x +1)( x −1)
叫作6的一个因数． 对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把 叫作 的一个因数．同 ， ＝ × ，我们把2叫作 的一个因数 也是6的一个因数 理，3也是 的一个因数． 也是 的一个因数． 对于多项式
12 = 2×2×3
30 = 2×3×5
① ②
有了①式和② 有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为 就容易求出 和 的最大公因数为
2×3 = 6
进而很容易把分数
12 约分：分子与分母同除以6，得 约分：分子与分母同除以 ， 30 12 2 = 30 5
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用： 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁． 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
湖南教育出版社
你会解方程 x2 −1 = 0 吗?
利用平方差公式， 写成(x+1)(x－1)， 就得到方程 利用平方差公式，把方程的左边 x2 −1写成 － ， (x+1)(x－1)＝0 － ＝ 这样就可以求出解了． 这样就可以求出解了．
x2 −1 写成 (x+1)(x－1)，叫作把 x2 −1因式分解． 因式分解． 把 － ，
多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁． 多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁．
乘哪个整数？ （1）6 等于 2 乘哪个整数？ ）
6＝2×3 ＝ ×
等于x+1乘哪个多项式？ 乘哪个多项式？ （2）x2－1等于 ） 等于 乘哪个多项式
x2 −1 = ( x +1)( x −1)
叫作6的一个因数． 对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把 叫作 的一个因数．同 ， ＝ × ，我们把2叫作 的一个因数 也是6的一个因数 理，3也是 的一个因数． 也是 的一个因数． 对于多项式
12 = 2×2×3
30 = 2×3×5
① ②
有了①式和② 有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为 就容易求出 和 的最大公因数为
2×3 = 6
进而很容易把分数
12 约分：分子与分母同除以6，得 约分：分子与分母同除以 ， 30 12 2 = 30 5
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中， 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用： 也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁． 若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
9.5 多项式的因式分解(1)苏科版七年级数学下册课件
结合填表过程,你能归纳出找一个多项式的公因式的方法吗？
一看系数:
取各项系数的最大公约数;
二看字母:
取多项式中各项都含有的相同字母.
三看指数：
相同字母的指数取次数最低的.
写出下列多项式各项的公因式：
(1) ab + 2a2b - 3ab2
.
(2) 6mn2 - 18m2n2 + 24m3n3
.
(3) 7x2y - 14xy2z - 35xyz2
即：多项式
整式的积.
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.
例1 把 5x3－10x2 分解因式： 解:原式= 5x2·x － 5x2 ·2
= 5x2 ( x－2 )
把多项式分解成公因式与另一个因式的积的形式,这种 分解因式的方法,叫做提公因式法.
例2 分解因式: － 2m3＋8m2－12m 解: 原式= － ( 2m3－8m2＋12m )
.
填空, 并说说你的方法：
(1) a2b＋ab2 ＝ ab( a＋b ) (2) 3x2－6x3 ＝ 3x2( 1－2 x ) (3) 9abc－6a2b2＋12abc2 ＝ 3ab( 3c－2ab＋4c2 )
像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做 多项式的因式分解．
下列各式由左到右的变形哪些是因式分解?哪些不是?并思考 因式分解与整式的乘法有何关系?
=－ ( 2m ·m2－2m·4m＋2m ·6 ) = － 2m ( m2 - 4m + 6 )
当多项式的第一项的系数为负数时,通常把“－”作为公因式 的符号,再因式分解,从而使分解后括号内第一项的系数为 “＋”.
练一练： 把下列各式分解因式：
(1) 12ab2c－6ab； (2) 4x2－12x3. (3) - 3ab3 + 15a2b2 ； (4) - x2y + 4xy - 5y.
一看系数:
取各项系数的最大公约数;
二看字母:
取多项式中各项都含有的相同字母.
三看指数：
相同字母的指数取次数最低的.
写出下列多项式各项的公因式：
(1) ab + 2a2b - 3ab2
.
(2) 6mn2 - 18m2n2 + 24m3n3
.
(3) 7x2y - 14xy2z - 35xyz2
即：多项式
整式的积.
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.
例1 把 5x3－10x2 分解因式： 解:原式= 5x2·x － 5x2 ·2
= 5x2 ( x－2 )
把多项式分解成公因式与另一个因式的积的形式,这种 分解因式的方法,叫做提公因式法.
例2 分解因式: － 2m3＋8m2－12m 解: 原式= － ( 2m3－8m2＋12m )
.
填空, 并说说你的方法：
(1) a2b＋ab2 ＝ ab( a＋b ) (2) 3x2－6x3 ＝ 3x2( 1－2 x ) (3) 9abc－6a2b2＋12abc2 ＝ 3ab( 3c－2ab＋4c2 )
像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做 多项式的因式分解．
下列各式由左到右的变形哪些是因式分解?哪些不是?并思考 因式分解与整式的乘法有何关系?
=－ ( 2m ·m2－2m·4m＋2m ·6 ) = － 2m ( m2 - 4m + 6 )
当多项式的第一项的系数为负数时,通常把“－”作为公因式 的符号,再因式分解,从而使分解后括号内第一项的系数为 “＋”.
练一练： 把下列各式分解因式：
(1) 12ab2c－6ab； (2) 4x2－12x3. (3) - 3ab3 + 15a2b2 ； (4) - x2y + 4xy - 5y.
多项式的因式分解-第1课时(课件)七年级数学下册(苏科版)
公因式、因式分解
01 知问识题精引讲入
Q1：巧算：29×7+29×2.1+29×0.9 【解答】 原式=29×(7+2.1+0.9) =29×10 =290
01 知问识题精引讲入
Q2：运用所学的知识填空 (1) m(a+b+c)=_m__a_+_m__b_+_m__c_； (4) ma+mb+mc=( m )(a+b+c) (2) x2(x+1)=____x_3_+_x_2____； (5) x3+x2=( x2)(x+1) (3) ab(x-y)=___a_b_x_-_a_b_y___. (6) abx-aby=(ab)(x-y)
课后总结
【因式分解】 像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解
【注意点】 ①因式分解与整式乘法是互逆运算； ②因式分解是两个或几个因式积的形式，且每个因式都是整式；整式乘法是多项式的形式； ③因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验； ④因式分解必须分解彻底．
【提公因式法】 把多项式的公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，
【分析】 b2(x-2)+b(2-x) =b2(x-2)-b(x-2) =b(x-2)·b-b(x-2)·1 =b(x-2)(b-1)．
【利用提公因式法求值】
例5、已知x2y+xy2=42，xy=7，则x+y=____6____．
【分析】 ∵x2y+xy2=42，xy=7， ∴xy(x+y)=42， ∴x+y=6．
提公因式法
02 知识精讲
提公因式法
《因式分解(一)》PPT课件 (公开课获奖)2022年苏科版 (15)
9.5 多项式的因式分解(1 - -提公因式法
单项式乘多项式法那么：
m(a +b +c) m=a +mb +mc
创设情境
解答以下问题：
(1)m =2 , a ,b ,c ,求代数式m(a +b +c)的 值.
(2)m =12 , a ,b =5 ,c ,求代数式ma +mb +mc的值.
ma +mb +mc =m(a +b +c)
有几项.
(4) 把 -8a2b2 +4a2b -2ab分解因式.
注意： (1)当多项式的第|一项系数为负数时 ,
通常把 "－〞号作为公因式的符号进行 因式分解.
(2)在提出负号时 ,多项式的各项都要 变号 !
练一练
把以下各式分解因式： (1) 4x2 -12x3 (2) 12ab2c -6ab (3) 24a3b +32a2b2c -8a2b (4) -x2y +4xy -5y (5) -2m3 +8m2 -12m
证明(1)
【例2 】小明和小林在研究代数式2－2m＋m2的
值的情况时 ,得出了两种不同的结论.
小明填写表格:
m
－2 0 4 6 ……
2－2m＋m2 10 2 10 26 ……
小林填写m表格: －6 －4 2
2－2m＋m2 50 26 2
0 …… 2 ……
请你再取一些m的值代入代数式算一算 ,说明 小明和小林的结论是否正确．你是否有新的发现 ? 新的结论 ?
4
-4a 4a2b
例1 把以下各式分解因式 (1) 5x3 -10x2 (2) 6a3b–9a2b2c
单项式乘多项式法那么：
m(a +b +c) m=a +mb +mc
创设情境
解答以下问题：
(1)m =2 , a ,b ,c ,求代数式m(a +b +c)的 值.
(2)m =12 , a ,b =5 ,c ,求代数式ma +mb +mc的值.
ma +mb +mc =m(a +b +c)
有几项.
(4) 把 -8a2b2 +4a2b -2ab分解因式.
注意： (1)当多项式的第|一项系数为负数时 ,
通常把 "－〞号作为公因式的符号进行 因式分解.
(2)在提出负号时 ,多项式的各项都要 变号 !
练一练
把以下各式分解因式： (1) 4x2 -12x3 (2) 12ab2c -6ab (3) 24a3b +32a2b2c -8a2b (4) -x2y +4xy -5y (5) -2m3 +8m2 -12m
证明(1)
【例2 】小明和小林在研究代数式2－2m＋m2的
值的情况时 ,得出了两种不同的结论.
小明填写表格:
m
－2 0 4 6 ……
2－2m＋m2 10 2 10 26 ……
小林填写m表格: －6 －4 2
2－2m＋m2 50 26 2
0 …… 2 ……
请你再取一些m的值代入代数式算一算 ,说明 小明和小林的结论是否正确．你是否有新的发现 ? 新的结论 ?
4
-4a 4a2b
例1 把以下各式分解因式 (1) 5x3 -10x2 (2) 6a3b–9a2b2c
课件《因式分解》课件PPT_人教版1
x=
（b2-4ac≥0）
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
5 ， x2=5.
导入新知
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
x= b b2 4ac（b2-4ac≥0）
2a
2. 什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式.
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
a b c (∵2ax＝∵＋31，)(b2＝＝x－－314，，)=c0＝. －＝1，－4， ＝－1，
②(x－1)2＝3；
把方程左边因式分解，
y y x①b=2x－∴2－4ax3c＝x=＋(－1－＝100)；－（2－b240-=41±a0c0≥0）－24×2－3 4×3×－1＝2±3
能力提升题
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直 接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从 以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当 的方法解这个方程．
降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
100 x2 49 2.04
这种解法是不是很简单？
探究新知
【思考】以上解方程 10x-4.9x2=0 的方法是如何使二次方 程降为一次的？
x(10-4.9x)=0 ①
x=0或10-4.9x=0 ②
（2）x(x+4)=8x+12. 解：x2-4x-12=0，
(x+1)2=-1.
(x-2)2=16.
此方程无解.
x1=6, x2=-2.
《多项式的因式分解——用完全平方公式因式分解》的课件
牛刀小试：
1.填空：
(1)a2+6a+9=a2+2·_a_·_3_+_3_2=_(_a_+_3_)_2 (2)a2+_4_a_b_+4b2=a2+2·a__2·b _(_2+b_)__(_a2+=_2_b_)___2 (3)9a2+_6_a_b_+_b_2=(3__a+b)2 (4)a2-8a+1_6_=(a-_4_)2
=(2+b+c)2
泰微课播放：
课堂小结：
这节课你学到了什么？
课堂作业：
课本P87 习题9.5的第5、6两题
拓展题： 1.若多项式x2-(k-1)x+16是完全平方式,求k值. 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3.求a2+b2、ab的值. 3.已知x2+y2+2x-6y+10=0,求x+y.
可(1以)多用项完式全的平项方数公是式多因少式？分解的多项式的特点： ((12))三两项个；平方项的符号相同吗？第三项的符号呢？ ((23))两第个三平项方与项两的个符平号方相项同的，底第数三是项什符么号关可系正？可负； (3)第三项等于两个平方项底数的积的两倍。
分解的结果：
两个平方项底数的和(或差)的平方
2.下列各式中，哪些能用完全平方公式因式分解？ 哪些不能？
(1)m2+mn+n2; × (2)x2-2xy-y2; × (3)x4-4x2+4y2; × (4)4a2-20a+25; √ (5)x2+8x+4; × (6)36a2+12ab+b2.√
例题解析：
因式分解ppt课件
识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
因式分解(完全平方公式)课件
3 因式分解(完全平方公式)
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤