偏好与效用函数
北京大学微观经济学 3、偏好与效用
PowerPoint Slides prepared by: Andreea CHIRITESCUAndreea CHIRITESCUEastern Illinois University偏好和效用PowerPoint Slides prepared by:Andreea CHIRITESCUAndreea CHIRITESCUEastern Illinois University•完备性–如果A 和B 是任意两种情况，理性人总能准确表达下列三种可能性之一准确表达下列三种可能性之:•A 优于B•B 优于A•B A 和B 具有同样的吸引力•传递性–如果个人表示“A 优于B ”以及“B 优于”，那么他一定会认为“”C ，那么他定会认为A 优于C–说明个人的选择具有内在一致性•连续性–如果个人表示“A 优于B ”，那么充分接的情况也一定优于近A 的情况也定优于B–用来分析个人对收入或价格发生相对较小变化的反应•假设: 完备性、传递性和连续性–人们可以规范的将所有可能的情况按照偏好程度由小到大进行排序•经济学家称这种排序为效用–如果一个人在A 和B 两种情况中偏好A–那么就可以说A 的效用比B 的效用大:U(A) > U(B)•效用–个人的偏好顺序可以用下列效用函数来表,x ,...,x 示U(x 1, x 2, . . . , x n )•其中x 1, x 2,…, x n 是个人在某一时点上可能消费的n n 商种品的数量•这个函数只有在保序变换时是唯一的•效用排序在本质上是序数的–记录人们对商品束的相对喜爱程度后谁的效用变–无法得知当情况A 变为B 后，谁的效用变化更大–不同人之间效用不可比较•效用的度量会受到多种因素的影响–所消费实物商品的影响–内心的态度–心理压力–个人经历–所处的文化环境•其他条件不变假定–“其他因素均相同”–集中精力分析那些可计量的选项•令影响行为的其他因素保持不变•消费商品的效用–假设个人必须在n 中消费品x 1, x 2,…, x n 中选择–个人对这些商品的偏好序可以用下列效用函数来表示: 效用= U (x1, x 2,…, x n ; 其他事物)–“”其他事物 在我们的分析中它们是保持不变的, 因此：效用= U (x 1, x 2,…, x n )–仅考虑两种商品, x 和y : 效用= U (x,y )•效用函数的参数–U(W) = 从真实财富(W)中获得的效用U(c h)=–U(c,h) = 从消费和休闲中获得的效用–U(c 1,c 2) = 从两个时期的消费中获得的效用•两种商品的效用函数U(x,y)•多消费比少消费好图中阴影区域表示的是那些排序优于消费组合(x*, y*)的组合(**)。
尼科尔森微观经济理论_基本原理与扩展(第9版)课后习题详解(第3章 偏好与效用)
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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。
（1）(),3U x y x y =+ （2）(),U x y x y =⋅ （3）(),U x y x y =+ （4）()22,U x y x y =- （5）(),xyU x y x y=+ 答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。
边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-7 完全替代型的无差异曲线（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。
边际替代率为：()()0.50.50.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -===，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-8 凸状的无差异曲线（3）无差异曲线如图3-9所示。
边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
图3-9 拟线性型的无差异曲线（4）无差异曲线如图3-10所示。
边际替代率为：()0.522220.5/0.52/0.5()2/x y MRS f f x y x x y y x y --==-⋅-⋅=，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。
图3-10 凹状的无差异曲线（5）无差异曲线如图3-11所示。
4、消费者行为理论_效用
CH4 效用1、效用：在消费者行为理论中，效用是描述“偏好”的。
2、※ 效用函数：是为偏好排序的一种简便方法。
为每个可能的消费束指定一个数字，使具有较多偏好的消费束>具有较少偏好的消费束。
基数效用：表示效用水平的数字有意义，两个消费束之间的效用差额有意义。
在现实中意义不大。
序数效用：表示效用水平的数字没有意义，两个消费束之间的效用差额没有意义。
U(X,Y)。
一般，采用序数函数。
效用函数的值，只在对不同消费束进行排列时才有意义。
3、效用函数的单调变换：（1）单调变换——若u 1>u 2,则“×正数、﹢任意数、奇次幂”，>方向不变（定义域、值域都不变）。
（2）效用函数，正单调变换后，还是效用函数，偏好不变。
（3）单调函数的变动率：是正的。
(因为：⊿f 与⊿u 方向相同)，图形总是正斜率。
4、从几何上说，效用函数，是为无差异曲线，标序数。
单调变换，是为无差异曲线，重新标序数。
二、不同偏好的效用函数1、完全替代效用函数：u(x 1, x 2)=a x 1 +b x 2 （a 、b 是衡量商品1、2对于消费者的“价值”的正数）替代率= 无差异曲线的斜率= -a/b如：u(x 1, x 2 （——可以单调变换）。
2、完全互扑 x 1, x 2)=min{ a x 1 ，b x 2} （a 、b 是描述商品消费比例的正数）3效用函数：u(x 1, x 2)=v(x 1)+ x 2=k （k 是常数=无差异曲线纵轴的高度）拟线性效用：=“局部线性”效用，即，对商品2，效用函数是线性的；对商品l ，是非线性的。
如：u(x 1, x 2 x 2、u(x 1, x 2)=ln x 1+ x 2，是拟线性偏好。
v(x 1, x 2)= x 1 + 22x + 2 x 也是拟线性偏好。
4、柯布—道格拉斯偏好效用函数：u(x 1, x 2)=1a x ×2b x （a b 是描述消费者偏好的正数，a+b=1）柯布—道格拉斯偏好，是性状良好的无差异曲线。
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第3章--偏好与效用)
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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。
（1）(),3U x y x y =+ （2）(),U x y x y =⋅ （3）(),U x y x y =+ （4）()22,U x y x y =- （5）(),xyU x y x y=+ 答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。
边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-7 完全替代型的无差异曲线（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。
边际替代率为：()()0.50.50.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -===，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-8 凸状的无差异曲线（3）无差异曲线如图3-9所示。
边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
图3-9 拟线性型的无差异曲线（4）无差异曲线如图3-10所示。
边际替代率为：()0.522220.5/0.52/0.5()2/x y MRS f f x y x x y y x y --==-⋅-⋅=，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。
图3-10 凹状的无差异曲线（5）无差异曲线如图3-11所示。
第一讲偏好与效用
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定理 当X是有限集合时，一个理性的偏好关系一定能够 用效用函数表示
令X1 是X中最差选项的集合 如果X- X1 非空；令X2是X- X1中最差选项的集合， …. 如果X-(X1∪X2…∪Xn-1)非空;令Xn是X-(X1∪X2…∪Xn-1)中最差选 项的集合 • 直到 X =X1∪ X2 …,∪Xk • 因为X是有限的，所以k最大是|X|,而且根据引理Xn不是空集 ,n=1,2,…,k • 定义： u(x)=k, if x∈ Xk – 如果a b,那么 a∉X1∪X2…∪Xu(b)-1,所以u(a) u(b) • • • •
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偏好关系
• 一个有效的回答一般排除以下情形 – 反应缺乏判断比较能力
• x和y不可比较 • 我不知道x是什么 • 我没有想法
偏好关系
• 理性的偏好关系
– 是定义在选择集 X 上满足以下条件的二元关系 • 完备性 (Completeness) 任意两个消费束 x, , y，都有 都有x y 或 y x。 • 传递性 (Transitivity) 任意消费束x, y, z,如果x y和y z, 那么就有x z
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（2 ） li n→∞ x n = x 和 lim lim li n→∞ y n = y 那么，就有 x (x) x y y {yn} y x
– 所以有 yn ≻ xn – 与条件矛盾，所以假设不成立。
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证明：D1与D2等价
• D2ÆD1
– 给定偏好满足D2，令x≻y，B(x,r) 和B(y,r) – 假设对任意领域B(x,r) 和B(y,r) ，都存在 z∈ B(y), w∈ B(x) 使得 z w. – 由假设得到存在 xn ∈ B(x,1/n), yn ∈ B(y,1/n), 使得yn xn – 而且有 lim nÆ∞ xn=x, lim nÆ∞ yn=y。 – 所以，由D2得到 y x。 – 与条件矛盾，所以假设不成立
中级微观经济学讲义-2
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（一）显示偏好弱公理
与古典的从偏好关系到效用函数再到需 求函数的逻辑思路不同， 求函数的逻辑思路不同，萨缪尔森从行为结 果本身推导人的行为准则，抛却了效用理论 果本身推导人的行为准则， 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 弱的要求，比如一致性。 弱的要求，比如一致性。
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（2） 效用最大化－
罗伊恒等式】 【罗伊恒等式】 构造拉格朗日函数 L( x , λ ) = u( x ) + λ ( y − px )， ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) 根据包络定理， 根据包络定理， = = λ*以及 ∂y ∂y ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) = = − λ* x i*，可以得到 ∂ pi ∂p i ∂v ( p , y ) − ∂ pi x i* = x i ( p, y ) = ∂v ( p , y ) ∂y
x 2 f x1 , ∀t ∈ [0,1] ⇒ x t = tx 2 + (1 − t )x1 ~ x1 f ~ 公理 7 : 严格凸性 x 2 ≠ x1 , x 2 f x1 ⇒ x t f x1 ~ (排除了无差异集凹向原 点 < 多元化消费 > )
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（一）偏好关系－续（1） 偏好关系－
偏好公理： 偏好公理： 公理 4 : 局部非饱和性 公理 5 : 严格单调性 公理 6 : 凸性 ∀x 0 ∈ R n , ∃ε > 0 , ∃x ∈ B ε ( x 0 ) I R n ⇒ x f x 0 + + (排除了无差异区域的存 在 ) ∀x 0， x1 ∈ R n ， x1 ≥ x 0 ⇒ x1 f x 0 + ~ (排除了无差异集向上弯 曲)
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》(第11版)笔记和课后习题详解-偏好与效用【圣才出品】
图 3-1 无差异曲线 ②无差异曲线的特点 第一，由于假定效用函数的连续性，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之 间，存在着无数条无差异曲线。离原点越近的无差异曲线所代表的效用水平越低，离原点越
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远的无差异曲线所代表的效用水平越高。 第二，在同一坐标平面上的任意两条无差异曲线不会相交。
源于个人将其用于购买效用最大的消费品。
当讨论个人的劳动—闲暇选择时有：效用＝U（c，h），其中 c 表示消费，h 表示在一段
给定时间内的非工作时间（即闲暇）。
当讨论在不同时段内个人的消费决策问题时有：效用＝U（c1，c2），其中 c1 表示在现时
段的消费，c2 表示在下一时段的消费。
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并不唯一，因此不能在不同人之间比较效用。
（3）其他条件不变的假定
影响效用度量的因素有很多：①所消费的实物商品的影响；②内心的态度；③来自同阶
层的心理压力；④个人经历；⑤所处的一般文化环境等等。
所以，对效用最大化选择的经济分析中，为了使选择分析形式简单、易于处理，一般都
假定其他条件不变。
（4）效用函数
2．效用及其表示方法 （1）效用的含义 效用是指消费者消费或拥有一定数量的某种商品时所获得的满足程度。一种商品给消费 者所带来的效用不同于该商品的使用价值，它是消费者对所消费商品给予的主观评价，不同 的消费者在相同的时间、地点消费相同数量的商品组合可以分别获得不同的效用，即使同一 消费者在不同的时期、不同的地点消费同样数量的商品组合也可获得不同的满足程度。效用
图 3-2 相交的无差异曲线意味着偏好不一致
第三，在正常情况下，无差异曲线总是凸向原点的。这一特点是由商品的边际替代率递
第一章 偏好与效用
性组合至少应当与原来的消费束中的差者一样 好。
3.4偏好的实例—一些特殊的无差异曲线
• 1、完全替代品
–消费者愿意按照固定的比率用一种商品来替代另一种 商品。
–例如，面额为10元的人民币和面额为1元的人民币总可 以1比10的比例互相替代（假定不考虑携带不便）这对 持币人（消费者）来讲是完全替代品。
数
• x2 f (x1) 代表这条无差异曲线，当 0 1
时，一定存在：f x10 (1 )x11 f (x10) (1 ) f (x11)
• 可以做出如下图形
x2
f x20 (x10 )
无差异曲线凸性图
f x2 (x1)
~
x0
f x2 (x1)
f (x10 ) (1 ) f (x11)
x2
餍足点或 最佳点
x1
Better
3.4偏好的实例——离散商品
• 5、离散商品：只能以整数（离散）数量获得的商
品。
• 假设商品2是一连续变量商品——汽油，商品1是 一离散变量商品——飞机，无差异曲线如何呢？
汽油
无差异“曲线” 是一 些离散点的集合。
0 1 2 3 4 飞机
4、无差异曲线—偏好的图形描述
4 3 2 1
x1
用无差异曲线推出效用函数
数学方法：已知无差异曲线，运用数学 方法找出一个函数，沿每条无差异曲 线它都是一个常数，并且对较高的无 差异曲线指派较大的数字。
定性分析后确定：假定已知偏好的图形， 我们尽量考虑消费者试图使之实现最 大化的是什么——哪一种商品组合能 描述消费者的选择行为，能有效描述 消费者的选择行为的函数就是效用函 数。
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公理1：完备性（Completeness）。对于任意属 1 2 2 1 x x x 于X的两个消费束x 和 ，要么 ～ ，要 么 x2 x 1 ，要么二者同时成立。 ~ 公理2：传递性（Transitivity）。对于任意属于 2 3 1 x x x x2 ， X的三个消费束 、 和 ，如果有 x 1 ～ 2 3 1 3 x x 。 且x ，则有 x ～ ～
对于 X= R2 ，图 2.2 展示了满足公理 1、公理 2 和公理 3 的偏好。如图 2.2 所示，位于曲线上的点的集合以及位于曲 线内的点的集合所代表的消费束与点 x 0 所代表的消费束无差 异，位于曲线上方的点的集合所代表的消费束严格地偏好于
x 0 ，而 x 0 又严格地偏好于位于曲线下方点的集合所代表的消
公 理 3 连 续 性 （ Continuity ） 。 对 于 所 有 0 0 0 n n { x : x x } { x : x x } x R R 的 和集合 在 均 ，集合 ～ ～ 0 0 { x : x x } { x : x x } 是闭的。由此，还可推断出 和 都是开集。 连续性公理保证突然的偏好逆转不会出现。根 0 0 x }集 x }和 { X : x 据公理3，由于集合{ X : x ～ ～ n 合在 R 均是闭的，所以集合{x : x ～ x 0 }也是闭的。 这样就排除了图2.1中无差异集的开区域。
公理1和公理2意味着消费者能够完整地对消费 集X中任何有限数目的消费束排序，从最好到 最坏，当然也有可能消费者对有些消费束之间 的偏好无差异。总之，偏好关系使消费者能够 对消费集中的消费束建立一种排序。
对于X= R2 ，图2.1展示了满足公理1和公理2假 设的偏好。如图2.1所示，位于曲线上（不包 括虚线）点的集合以及虚线内的点的集合所代 表的消费束与点 x 0 所代表的消费束无差异；位 于曲线上方的点的集合包括两条虚线中位于右 上方那一条虚线上的点的集合所代表的消费束 严格地偏好于x 0，而 x 0 又严格地偏好于位于曲 线下方的点的集合包括两条虚线中位于左下方 那一条虚线上的点的集合所代表的消费束集。
n 公理 5 严格单调性（Monotonicity） 。对于所有的 x 0 , x1 R ，
x 1 ；另一方面，如果 x 0 x1 ，那么 x 0 x1 。 如果 x 0 x1 ，那么 x 0 ～
பைடு நூலகம்
可以看出，公理 4 与公理 5 所要表达的含义相同，但后者要比前 者严格。 公理 5 排除了在 R2 上的无差异集向上弯曲或包含一个斜 率为正的部分的可能性。它同时要求集合 {x : x x 0 } 应处在无差异 集的下方， 集合 {x : x x 0 } 应处在无差异集的上方。 为更好的理解， 考虑图 2.4。
图 2.4 中的偏好与图 2.3 中的相同，满足公理 1 到公理 4。 在图 2.4 中，根据公理 4 明显可以看出，位于 x 0 左下方的点 x1 和 位于 x 0 右上方的点 x 2 不可能位于 x 0 的无差异集上。所以，在 R2 上 满足公理 1 到公理 4 的假说性偏好的无差异集应排除所有位于 x 0 左下方和位于 x 0 右上方的点，见图 2.5。 对于 X= R2 ，图 2.5 所展示的偏好满足公理 1 到公理 5。
x 1 ，那么对于所有的 公理 6 凸性（ Convexity ） 。如果 x 2 ～
t [0,1] ，有 x t tx 2 (1 t ) x 1 x 1 。
第 3讲 偏好与效用函数
偏好关系反映了消费者在选择消费束时的顺序， 是对消费者的一些主观特性（诸如消费者在选 择消费束时的洞察能力、消费者对不同消费束 的喜好程度等）所施加的限制。在消费者选择 理论中，偏好关系有着举足轻重的地位，我们 将在本讲中专门讨论偏好关系。
在现代经济学理论中，偏好关系被当作偏好的最 原始、最基本的特性。效用函数只代表或概括由 偏好关系所传递的信息。效用是一个比较古老的 概念。在古典理论里，效用是一种主观的满足程 度。它是可以准确度量的，同时也可以在不同的 消费者之间做比较。由于古典效用理论的假设过 于严格甚至有些牵强，这一理论一直广受争议。 帕累托、斯拉茨基、希克斯都曾先后对古典效用 理论提出质疑。德布鲁（Debreu,1959）运用仅依 赖于偏好关系的效用函数推导出了标准的消费者 选择理论。
非饱和性意味着对于代表消费集中任意消费束的点 x 0 ，无论 多
0 x 么小，总能在以 为圆心，以 为半径的邻域内找到一个代表消
费集中消费束的点，使该消费束严格偏好于 x 0 。公理 4 显著地影 响了无差异集的结构，排除了图 2.2 中的无差异区域存在的可能 性。
对于 X= R2 ，图 2.3 所展示的偏好满足公理 1 到公理 4。如图 2.3 所示，位于曲线上的点的集合所代表的消费束与点 x 0 所代表的消 费束无差异， 位于曲线上方的点的集合所代表的消费束严格地偏 好于 x 0 ，而 x 0 又严格地偏好于位于曲线下方的点的集合所代表的 消费束。
x1
定义偏好关系的公理
定义：我们以序号 来表示“弱偏好序”，即 2 1 x x 对于任意属于消费集X的两个消费束 和 ， 1 2 2 1 x x x x 如果 ～ ，说明“ 至少与 一样好”； x x 以序号 2 x1 x 表示“严格偏好序”，即如果 ，说 2 2 1 1 x x x x 明“ 严格地偏好于 ”；以序号～表示“无 差异”，即如果 ～ ，说明“ 与 一样 好”。
费束。
n 公理 4 局部非饱和性 （Local Nonsatiation） 。 对于所有 x 0 R ，
取任意的
n 0 ，总会存在一些 x B ( x 0 ) R ，使得 x x 0 。
B ( x 0 ) 表示一个以 x 0 为中心，以 为半径的一个开球。局部