高中数学 第1部分 第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
[例2] 如图，在平行四边形ABCD中， E、F分别是BC、DC边上的中点．若 AB ＝ a， AD ＝b，试以a、b为基底表示 DE 、 BF .
[思路点拨] 利用三角形法则和向量相等，把所求向量用 基底表示出来．
[精解详析] ∵四边形ABCD是平行四边形， E、F分别是BC、DC边上的中点， ∴ AD ＝ BC ＝2 BE ， CD ＝ BA ＝2CF ， ∴ BE ＝12 AD ＝12b， CF ＝12 CD ＝12 BA ＝－12 AB ＝－12a. ∴ DE ＝ DA ＋ AB ＋ BE ＝－ AD ＋ AB ＋ BE ＝－b＋a＋12b＝a－12b， BF ＝ BC ＋ CF ＝ AD ＋ CF ＝b－12a.
1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，则 AC 与 CB 的 夹角θ＝________.
解析：如图所示，延长AC到D，使AC＝CD， 则 AC ＝ CD ，∠BCD是 AC 与 CB 的夹角．由于 ∠BCD＋∠ACB＝180°， ∠ACB＝60°，则∠BCD＝180°－60°＝120°， 即θ＝120°.
第 二 2.3 2.3.1 章
理解教 材新知
把握热 点考向
知识点一
知识点二 考点一 考点二 考点三
应用创 新演练
问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可 以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可 以分解为其他两个向量的和？
提示：可以． 问题2：如图，以a为平行四边形的一条对角线作平行四 边形，四边形确定吗？ 提示：不确定．
两向量的夹角与垂直
(1) 夹角：已知两个 非零向量 a和b，作 OA ＝a， OB ＝b， 则 ∠AOB ＝θ叫做向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是
0°≤θ≤180° . ②当θ＝0°时，a与b 同向 ． ③当θ＝180°时，a与b 反向 ． (2)垂直：如果a与b的夹角是 90°，则称a与b垂直，记作a⊥b .
3．基底必须具备两个特征：①基底是两个不共线的向量； ②基底的选择不是唯一的．
[例1] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b夹角为60°，则a＋b与a的夹 角是________，a－b与b的夹角是________．
[思路点拨] 可以根据已知条件作出图形，利用平面几 何知识来解．
[精解详析] 如图所示，作 OA ＝a， OB ＝b， 且∠AOB＝60°. 以OA，OB为邻边作▱OACB， 则 OC ＝ OA ＋ OB ＝a＋b， BA ＝ OA － OB ＝a－b. ∵|a|＝|b|＝2，
[例3] (12分)证明：三角形的三条中线交于一点． [思路点拨] 取某两向量作基底，以及某条中线的三等分点， 然后利用向量知识证明该点在另两条中线上．
[精解详析] 如图所示，设AD、BE、CF分别为△
ABC的三条中线，令 AB ＝a， AC ＝b.则有 BC ＝b－a
(3分)
设G在AD上，且AAGD＝23，则有 AD ＝ AB
1．平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一 向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且 分解是唯一的．
2．平面向量基本定理中，实数 λ1，λ2 的唯一性是相对于基 底 e1，e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底， 一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
∴△OAB是等边三角形． ∴四边形OACB是菱形．
∴ OC 与 OA 的夹角为30°， BA 与 OB 的夹角为120°，
即a＋b与a的夹角为30°，a－b与b的夹角为120°.
[答案] 30° 120°
[一点通] 求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两 个向量起点重合，作出两个向量的夹角，再利用图形的特点来 求解．
平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 不共线 向量，
那么对于这一平面内的 任向意量a， 有且只有一实对数λ1、
λ2，使a＝
λ1e1＋. λ2e2
(2)基底： 不共线 的向量e1，e2叫做表示这一平面内
所有 向量的一组基底.
问题1：两条直线存在夹角，那么两个向量也有夹角吗？ 提示：有． 问题2：两条直线在什么情况下互相垂直？ 提示：所成的角为90°时．
问题3：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与 e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是 什么？
提示：可以，根据是数乘向量和平行四边形法则．
问题4：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1， e2表示？为什么？
提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表 示．
[一点通] 利用基底表示向量是向量线性运算的 基本功，特别对向量加法、减法的三角形法则和平行四 边形法则应熟练掌握，在平面内，基底一旦确定，那么 平面内的任一向量都可用该组向量唯一确定．
3．如图，平行四边形ABCD中， AB ＝a， AD ＝b，M是DC的中点，以a，b为基 底表示向量 AM ＝________. 解析： AM ＝ AD ＋ DM ＝ AD ＋12 DC ＝ AD ＋12 AB ＝b＋12a. 答案：b＋12a
4．已知△ABC中，D为BC的中点，E，F 为BC的三等分点，若 AB ＝a， AC ＝ b，用a，b表示 ＝ AB ＋12 BC ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； AE ＝ AB ＋ BE ＝ AB ＋13 BC ＝a＋13(b－a)＝23a＋13b； AF ＝ AB ＋ BF ＝ AB ＋23 BC ＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.
答案：120°
2．已知向量a与b的夹角等于60°，求下列夹角． (1)2a与－b；(2)－a与－32b. 解析：(1)∵2a与a的方向一致，－b与b的方向相反， ∴2a与－b的夹角和a与b的夹角互补， 即2a与－b的夹角等于120°.
(2)∵－a与a的方向相反，－32b与b的方向相反， ∴－a，－32b的夹角与a，b的夹角相等， 即－a与－32b的夹角为60°.
高中数学--2.3.1-平面向量基本定理--新人教A版必修4PPT课件
思考3：一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 与 该 平
面 内 的 任 一 向 量 a 之 间 的 关 系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 b a .
当 0 时，b 与a 同向， 且| b | 是| a | 的 倍; 当 0 时，b 与a 反向， 且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下 滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的 方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
13
例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆 王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点： 平面向量基本定理的理解.
-
2
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2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 平面向量基本定理
2.(2018·黄石市高一检测)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是 该平面内所有向量基底的是( D ) (A) AB , DC (B) AD , BC (C) BC , CB (D) AB , DA
解析:由于 AB , DA 不共线,所以是一组基底.
3.如图,M,N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点,若 AB =a, AC =b,则
正解:由已知得 BA = OA - OB =2a-2b, BC = OC - OB =(-a+3b)-2b=-a+b, 显然 BA =-2 BC ,可见 BA 与 BC 共线,且是反向共线,故 BA 与 BC 的夹角 为 180°.
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(1)对基底的理解 ①基底的特征 基底具备两个主要特征:a.基底是两个不共线向量; b.基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作 为这个平面内所有向量的一组基底的条件. ②零向量与任意向量共线,故不能作为基底. (2)准确理解平面向量基本定理 ①平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. ②平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何 问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归, 使问题得以解决.
题型三 任意一向量基底表示的唯一性应用 [例 3] 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且 AN = 1 NC ,BN 与 CM 相
2 交于 E,设 AB =a, AC =b,试用基底 a,b 表示向量 AE .
解:易得 AN = 1 AC = 1 b, AM = 1 AB = 1 a,
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第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
2．3.1平面向量基本定理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b 与a的夹角又是多少？[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．平面向量基本定理的应用[典例]NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .层级一 学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.8．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．10．证明：三角形的三条中线共点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝34AB＋14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比．(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝x BM＋y BN，求x，y的值．。
高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件
2021/12/12
第二十一页，共四十六页。
【跟踪训练 2】 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD，M，N 分别是 DC 和 AB 的中点，若A→B＝a，A→D＝ b，试用 a，b 表示D→C，B→C，M→N.
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解 如图所示，连接 CN，则四边形 ANCD 是平行四边 形．则D→C＝A→N＝12A→B＝12a；
第十二页，共四十六页。
解析 ①A→D与A→B不共线；②D→A＝－B→C，则D→A与B→C共 线；③C→A与D→C不共线；④O→D＝－O→B，则O→D与O→B共线．
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能 构成一组基底，故①③满足题意．
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拓展提升 能作为基底向量的条件
解 由已知得A→N＝15A→C＝15b，A→M＝12A→B＝12a， ∵N，E，B 三点共线， ∴设A→E＝mA→N＋(1－m)A→B＝m5 b＋(1－m)a， 又∵C，E，M 三点共线，
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∴设A→E＝nA→M＋(1－n)A→C＝n2a＋(1－n)b， ∴m5 b＋(1－m)a＝n2a＋(1－n)b，∵a，b 不共线，
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解析 如图，作O→A＝a，O→B＝b，∴∠BOA＝60°，连接
BA，则B→A＝a－b．
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取 OA 的中点 D，连接 BD， ∵|b|＝12|a|，∴OD＝OB＝BD＝DA， ∴∠BDO＝60°＝2∠BAO，∴∠BAO＝30°. ∴a－b 与 a 的夹角为 30°.
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高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4
[自主学习]
1．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内
所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所有
向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )
A．①②
B.②③
C．①③
D.①②③
解析： 平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平面内所有向量的 基底，基底本身也可以用这组基底表示，故①错；②对；由于零向量与平面内的 任一向量共线，故③正确．
知识点二 向量的夹角 1．两向量夹角的概念：已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则 __∠_A_O__B___＝θ，叫作向量 a 与 b 的夹角． (1)范围：向量 a 与 b 的夹角 θ 的范围是 0°≤θ≤180°. (2)当 θ＝0°时，a 与 b__同__向__． (3)当 θ＝180°时，a 与 b_反__向___． 2．垂直：如果 a 与 b 的夹角是__9_0_°_，我们说 a 与 b 垂直，记作_a_⊥__b__.
解析： (1)由平面几何知识知 BG＝23BF， 故A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23BF＝a＋23b－12a ＝a＋23b－13a＝23a＋23b. (2)D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a. B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F ＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b.
[规律方法] 用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为 止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.
◎ 变式训练 1．(1)本例条件不变，试用基底 a，b 表示A→G； (2)若本例中的基向量“A→B，A→D”换为“C→E，C→F”，即若C→E＝a，C→F＝b， 试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修42
(4)由向量共线定理可知,任意一个向量都可以用一个与它共线的非零向量 线性表示,而且这种表示是唯一的.因此平面向量基本定理是向量共线定理 从一维到二维的推广.
(5)已知平面内直线 AB 外任意一点 O,则满足向量关系式 OP =x OA +y OB (其 中 x+y=1)的点 P 与点 A,B 共线,此结论是平面向量基本定理的一种特例.
.
解析:(2)由题意知 AG = 3 AC = 3 (a+b), BG = AG - AB =- 1 a+ 3 b.
4
4
44
答案:(2)- 1 a+ 3 b 44
题型二 向量的夹角问题
【例2】 已知︱a︱=︱b︱=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是
,a-b与a的夹角是
,a+b与a-b的夹角是
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
课标要求:1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平 面向量基本定理.2.理解两个向量夹角的定义,两向量垂直的定义.3.掌 握平面向量基本定理并能熟练应用.
自主学习
知识探究
(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个___不__共__线______向量,那么对于这一 平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=__λ__1_e_1+_λ__2_e_2_____. (2)我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__基__底__. 探究1:如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么? 提示:不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.
22
3
3
2 c-b.因为 AP ∥ AM , BP ∥ BN ,所以存在λ,μ∈R,使得 AP =λ AM , 3
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必
3.设a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否作为基底.
【解题策略】 对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理告诉我们,在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向 分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下 的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即0=λ1e1+λ2e2,且λ1=λ2=0.
复习课件
2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
必备知识·自主学习
导思
(1)如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任意向量a能否用e1,e2表 示?根据是什么?
(2)对于固定的e1,e2(向量e1与e2不共线)而言,平面内任一确定的向量的分解是 唯一的,但平面内的基底却不唯一,只要平面内的两个向量不共线,就可以作为 基底,它有无数组.
【补偿训练】 已知平面向量e1,e2是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2, 则x-y=________.
4.在等腰Rt△ABC中,AB⊥AC,则 AB与 BC的夹角是________.
结束语
2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.3.1平 面向量基本定理课件新人教A版必修
【思考】 定理中的“不共线”能否去掉? 提示:不能,两个共线向量不能表示平面内的任意向量,不能做基底.
2.向量的夹角 定义:已知两个非零向量a和b,作 O A =a, O B =b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹 角(如图所示). (1)范围:向量a与b的夹角的范围是__0_°__≤__θ__≤__1_8_0_°_. (2)当_θ__=_0_°__时,a与b同向;当_θ__=_1_8_0_°__时,a与b反向. (3)如果a与b的夹角是__9_0_°_,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2
，则称 a 与 b 垂直，
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名师点睛 1．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的． (2)平面向量基本定理中， 实数 λ1， λ2 的唯一性是相对于基底 e1， e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦 选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
)．
1 C.4
1 D.8
1→ 1→ 1→ 1 → → 1 → → 1 AN＝2AD＋AE＝24AB＋4AC＝8AB＋8AC，∴x＝y＝
1 1 1 1 ，即 x＋y＝ ＋ ＝ . 8 8 8 4 答案 C
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题型四 共线向量与平面向量基本定理的 综合应用 → ＝a，OB → ＝b，M、N 分 【例 4】 如图所示，在△OAB 中，OA 1 1 → → → 与BM →交 别是边 OA、OB 上的点，且OM＝ a，ON＝ b，设AN 3 2 → 于点 P，试以 a、b 为基底表示OP.
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3→ → → → → → 又∵ OB ＝ 3， ＝1，故OD＝ 3OA，OE＝ OA 3 OB，
3→ → → ∴OC＝ 3OA＋ 3 OB， 3 m 3 此时 m＝ 3，n＝ ，∴ ＝ ＝3. 3 n 3 3
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【变式 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a＋b 和 a 的夹角和 a－b 和 a 的夹角相等，求 a 与 b 的夹角． → ＝a，OB → ＝b， 解 如图，作OA 以 OA，OB 为邻边作▱OACB， → ＝a＋b，BA → ＝OA → －OB → ＝a－b， 则OC → → BC＝OA＝a， ∴a＋b 与 a 夹角为∠AOC， a－b 与 a 夹角为∠ABC，a 与 b 夹角为∠AOB.
2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 1
如图,设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点,有下列向量组:
①������������与������������;②������������与������������;③������������与������������;④������������与������������.其中可作为该平面内直 【问题思考】 1.不共线向量有不同的方向,怎样来表示它们的位置关系呢? 提示:运用向量的夹角来表示它们之间的位置关系. 2.填空: 两向量的夹角与垂直
定义 图示 特殊 情况 θ=0° θ=180° θ=90° a 与 b 同向 a 与 b 反向 a 与 b 垂直,记作 a⊥b 已知两个非零向量 a 和 b,作������������=a,������������=b,则∠AOB 叫做 向量 a 与 b 的夹角
【例 2】在△ABC 中. (1)若 D 是 BC 边的中点,试用������������, ������������表示������������; (2)若 E 是 BC 边上一点,且������������ = ������������ ,试用������������, ������������表示������������.
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
课
标
阐
释
思
维
脉
络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否 是基底. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底 表示平面向量. 3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定 义.
平面向量基本定理 定理 基底 向量夹角 向量垂直
一
二
一、平面向量基本定理 【问题思考】 1.对于平面内的任意向量a,是否可以用平面内的一个非零向量e1 线性表示?是否可以用平面内的两个非零向量e1,e2线性表示?当向 量a可以用两个非零向量e1,e2线性表示时,表示方法是唯一的吗? 提示:当e1与a共线时,a可用e1线性表示,否则不可以;当非零向量 e1,e2共线时,向量a不一定能用e1,e2线性表示,若非零向量e1,e2不共线, 则任意向量a一定可以用e1,e2线性表示,且表示方法是唯一的.