北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)[精品]
北京市朝阳区2017届高中三年级上学期期中考试数学理试题含答案
.word 格式 .北京市旭日区 2016-2017 学年度高三年级第一学期一致考试数学试卷 （理工类 ）2016 ． 11（考试时间 120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题 （共 40 分）和非选择题 （共 110 分）两部分第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题 ：本大题共 8 小题 ，每题 5 分，共 40 分． 在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 ．1． 已知全集 UR ，会合Ax | x 22x 0 ， B x | x 1 0 ，则AI(e U B)A ． x | 0 x 1B ． x | x 0C ． x | x 2D ． x |1 x 22． 以下函数中 ，在其定义域上既是偶函数又在(0 ， ) 上单一递减的是A ． y x 2B ． y x 1C ． ylg | x | D ． y2x3． 若 a log 2.1 0.6 ， b 2.10.6， c log 0.5 0.6 ，则 a ， b ， c 的大小关系是A ． a b cB ． b c aC ． c b aD ． b a c4 ． 已 知 函 数 f ( x)ax 2x ， 若 对 任 意 x 1 , x 2 [2,) ， 且 x 1x 2，不等式f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 恒建立 ，则实数 a 的取值范围是x 1 x 21 ) 1 )1 )1 )A ．( ,B ．[ ,C ．( ,D ．[ ,22445． 设 m R 且 m4 4 ”建立的一个充足不用要条件是0 ，“不等式 m+mA ． m 0B ． m 1C ． m 2D ． m 26．已知三角 形 ABC 外接圆 O 的半径为uuur uuur uuur0 ，1（ O 为圆心），且 2OA AB ACuuur uuur uuur uuur |OA| 2| AB |，则 CA BC 等于A．15B．15 15 15 4 2C．4D．27．已知函数f ( x) x 1, x 0,f ( f ( x))1的零点个数是log2 x , x则函数 g( x)0, 2A． 4 B．3 C． 2 D． 18. 5 个黑球和 4 个白球从左到右随意排成一排，以下说法正确的选项是A．总存在一个黑球，它右边的白球和黑球同样多B．总存在一个白球，它右边的白球和黑球同样多C．总存在一个黑球，它右边的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右边的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．9．已知平面向量a (1,2), b ( 2, y) .若a//b，则y .10 ．函数f ( x) cos2 x sin 2 x 的单一递减区间为.11 ．各项均为正数的等比数列a n的前n项和为S n . 若a3 2，S4 5S2，则a1 ， S4 ．12．已知角3，则 tan A ，A 为三角形的一个内角，且 cos A5tan(A ) .413 ．已知函数f ( x)mx2 1,x 0,, ) 上是拥有单一性，则实数 m 的取值范在 (( m2 1)2x , x 0围.14 ．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有以下问题 :“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相遇．”其粗心为：“此刻有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是 3000 里，良马第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里，驽马第一天行 97 里，以后每日比前一天少行 0.5 里．良马到齐后，马上返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确立走开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15 ．（本小题满分 13 分）已知数列 { a n}( n N ) 是公差不为0 的等差数列，a11，且1 1 1a , , 成等比2a4a8数列 .（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）设数列{ 1}的前 n 项和为 T n，求证: T n 1.a nan 116 ．（本小题满分13 分）已知函数f ( x) a sin x 3 cos x （a R ）的图象经过点( ,0).3 （Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）若 x [3] ，求 f (x) 的取值范围. ,2 2北京市旭日区2017届高中三年级上学期期中考试数学理试题含答案.word 格式 .17 ．（ 本小题满分 13 分）如图，已知A,B,C,D 四点共面，CD=1,BC 2,AB 4,2 7DABC 120o , cos BDC.7C（Ⅰ） 求 sin DBC 的值 ；（Ⅱ）求 AD 的长.AB18 ． （本小题满分 13 分）已知函数 x 2 π π f (x)ax cos x (a R ) ， x [ ,] ．42 2（Ⅰ） 若函数 f (x) 是偶函数 ，试求 a 的值 ；（Ⅱ） 当 a 0 时，求证 ：函数 f ( x) 在 (0, π) 上单一递减 .2 19 ．（ 本小题满分 14 分）已知函数f (x) e x (x 2a) ， a R ．（Ⅰ） 当 a1 时，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程 ；（Ⅱ） 若函数 f (x) 在 ( 3,0) 上单一递减 ，试求 a 的取值范围 ；（Ⅲ） 若函数 f (x) 的最小值为2e ， 试求 a 的值 ．20 ．（ 本小题满分 14 分）设 a, b 是正奇数 ，数列 { c n } （ n N ）定义以下 ： c 1 a, c 2 b ，对随意 n 3 ，.word 格式 .c n是 c n 1 c n 2的最大奇约数．数列 { c n} 中的全部项组成会合A．（Ⅰ）若 a 9, b 15，写出会合A；（Ⅱ）对 k 1 ，令d k= max{c2k, c2k 1} (max{ p, q} 表示p, q中的较大值），求证：d k 1 d k；（Ⅲ）证明会合 A 是有限集，并写出会合 A 中的最小数．.word 格式 .北京市旭日区2016-2017 学年度第一学期高三年级一致考试数学答案（理工类）2016 ． 11一、选择题：（满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D C A B A 二、填空题：（满分 30 分）题号9 10 11 12 13 144 [kπ,kππZ )1 15 4(1, 2] 16答案]( k2 2 72 3 （注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分）15 ．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）设{ an}的公差为d．1 1 1 12 1 1由于a2,a4,a8 成等比数列，因此(a4 ) a2 a8 ．即(1 )2 1d a11 ．a1 3d a1 7d化简得 (a1 3d )2 (a1 d) ( a1 7d ) ，即 d 2 a1d ．又a11，且 d 0 ，解得 d 1 ．因此有an a1 ( n 1)d n ．7 分1 1 1 1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a n a n 1 n (n 1) n n 1．.word 格式 .T n1 111L 11 11n 1 12 23 nn1T n1131613f (x)asin x3 cos x(,0)3f ( )3 a 3 0.322a13f ( x)sin x3 cos x 2sin( x3 )f (x)6x 3 6 x7 .2 236xx 5f ( x) 23 2 6x73 f ( x)1.x2 3 6f ( x)[1,2]131713BDC cosBDC2 7sin BDC2177DC= BCsinDBCBDCsinsin DBC =DCsin BDC 21 5BC 14BDC BC 2 DC 2 DB 2 2DCDB cos BDC4 1 DB 2 2 DB 2 77DB 24 7 DB 3 0DB7DB3 777cosABD =cos （120oDBC ）=cos120 o cos DBC sin120 o sin DBC= 1 5 73 21 =7 ．2 14 2 14在△ ABD 中，由于 AD 2=AB 2BD 22AB BD cos ABD=16 72 47 (7) 27，14因此 AD 3 3 ．13 分18 ．（ 本小题满分 13 分）解 ：（Ⅰ） 由于函数 f (x) 是偶函数 ，因此 f ( x) ( x)2a( x) cos( x)x 2 ax cos x4 4f ( x)x 2 ax cos x 恒建立 ．4因此 a 0 ．4 分（Ⅱ） 由题意可知 f(x)x sin x a ．x21设 g( x) sin x a ，则 g ( x) cosx ． 注意到 x (0, π) ， a 0 ．2 1 2 π2 由 g ( x) 0 ，即 cosx 0，解得 0x ．2 3 由 g ( x) 0 ，即 1 cosx 0，解得 π π2 3 x ．2 π π π因此 g( x) 在 (0,)单一递减，( , )单一递加 ．33 2因此当 x(0, πg(0) 0 a 0 ，因此 f ( x) 在 xπ) ， g (x) (0, ) 单一递减 ，33 π π π π 0 ，因此 f (x) 在 x π π当 x ( , ) ， g( x) g( ) 4 1 a( , )单一递减 ， 3 2 2 π3 2 因此当 a 0 时，函数 f ( x) 在 (0,13 分 ) 上单一递减 .219 ．（ 本小题满分 14 分）解： 由题意可知 f ( x) e x (x 22x a) ．（Ⅰ） 由于 a 1 ，则 f (0)1 ， f (0) 1 ，因此函数 f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ( 1) ( x 0) ．即 x y1 0 ．3 分（Ⅱ） 由于函数 f ( x) 在 ( 3,0) 上单一递减 ，因此当 x ( 3,0) 时， f (x) e x ( x 2 2x a) 0恒建立 ．即当 x( 3,0) 时， x 22xa 0 恒建立 ．明显 ，当 x ( 3, 1) 时，函数 g(x)x 22x a 单一递减 ，当 x( 1,0) 时，函数 g( x)x 2 2x a 单一递加 ．因此要使得 “当 x ( 3,0) 时， x22xa 0 恒建立 ”，g( 3) 0, a 3, 3 ．8 分等价于g(0) 0. 即因此 aa 0.（Ⅲ） 设 g (x) x 2 2x a ，则4 4a ．①当4 4a 0 ，即 a1 时， g(x)0，因此 f ( x) 0 ．因此函数 f ( x) 在 ( ,) 单增 ，因此函数 f ( x) 没有最小值 ．②当4 4a 0 ，即 a1 时，令 f ( x) e x ( x 22 x a) 0 得 x 22 x a 0 ，解得 x 11a 1, x 21 a 1跟着 x 变化时 ， f (x) 和 f ( x) 的变化状况以下 ：x(, 1 1 a )1 1 a( 11 a , 1+ 1 a ) 1+ 1 a( 1+ 1 a, )f ' ( x) ＋ 0－ 0 ＋ f (x)↗极大值↘极小值↗当 x (, 1 1 a ] 时， x 2( 1 1 a )22 a 2 1 a .因此 x 2a 2 2 1 a 0 .因此 f ( x) e x ( x 2a) 0 .又由于函数 f ( x) 的最小值为2e<0，因此函数 f (x) 的最小值只好在 x 21 a 1处获得 . 因此 f ( 1a 1) e 1a 1[( 1a1)2a] 2e 1 a 1 (1 a 1) 2e .因此e 1 a 1( a 1 1) .e易得 a 1 1 1 .解得 a3 ．14 分以下证明解的独一性 ，仅供参照 ：设 g (a) e 1a1(1 a 1)由于 a0 ，因此 1+ 1 a0 ， 1 1a 0 ．设 x1+ 1 a 0 ，则x 1 1 a .设 h(x) xe x ，则 h (x)e x ( x 1) .当 x0 时， h ( x) 0 ，进而易知 g(a) 为减函数 .当 a (0,3) ， g(a) 0 ；当 a (3,) ， g( a)0 ．因此方程 e 1a1( a 1 1) e 只有独一解 a 3 ．20 ．（ 本小题满分 14 分）解：（Ⅰ） 数列 { c n } 为：9 ， 15， 3， 9 ， 3， 3， 3， ．故会合 A {9,15,3} ．3 分（Ⅱ） 证明：由题设 ，对 n3 ， c n 2 ， c n 1 都是奇数 ，因此 c n 1 c n 2 是偶数 ．进而 c n 1c n 2 的最大奇约数 c nc n1cn 2 ，2因此 c n max{ c n 1 ,c n 2} ，当且仅当 c n 1 c n 2 时等号建立 ．因此 ，对 k1有c2k 1max{ c 2k ,c 2k1}d k ，且 c 2k2max{ c 2k 1,c 2k}max{ d k , d k } d k ．北京市旭日区2017届高中三年级上学期期中考试数学理试题含答案 11 / 1111 / 11 .word 格式 .d k 1 max{ c 2 k 2 , c 2k 1} d k c 2kc 2k 19 n 3c nmax{ c n 1 , c n 2 } n3c n max{ c 1 , c 2 } max{ a, b} c n max{a,b}{ c n }AAa, b14 . 专业资料 . 学习参照 .。
精选题库北京市朝阳区高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
=（ ）
A． B． C．1 D．﹣ 1
7．（5 分）袋子里有编号为 2，3，4， 5，6 的五个球，某位教师从袋中任取两个
不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分
别推断这两个球的编号．
甲说： “我无法确定． ”
乙说： “我也无法确定． ”
甲听完乙的回答以后，甲说： “我现在可以确定两个球的编号了． ”
个元素的集合） 的并集， 并且这些三元子集的元素之和都相等， 则每个三元集的
元素之和为
；请写出满足上述条件的集合 M 的 5 个三元子集
．（只
写出一组）
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明
过程 . 15．（ 13 分）已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn（n∈N*），满足 Sn=2an﹣1．
根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（
）
A．一定有 3 号球 B．一定没有 3 号球
C．可能有 5 号球 D．可能有 6 号球
8．（5 分）已知函数 f（ x）=sin（cosx）﹣ x 与函数 g（ x） =cos（sinx）﹣ x 在区间
内都为减函数，设
，且 cosx1=x1，sin（ cosx2）
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式； （Ⅱ）若数列 { bn} 满足
，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn．
16．（ 13 分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数 f （x）的最小正周期；
（Ⅱ）当
时，求函数 f（x）的取值范围．
17．（ 13 分）在△ ABC中，
，
．
（Ⅰ）试求 tanC 的值；
北京市朝阳区2017届高三上学期期末考试数学理试题(WORD精校版)
北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类） 2017．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}12<=xx A ，{}20B x x =-<，则()U A B = ðA ． {|2}x x >B ．{}02x x ≤<C ． {|02}x x <≤D ． {|2}x x ≤ 2．在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是A ．cos y x =B ．2y x =-C ． 1()2xy = D ． |sin |y x =4．若0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =- 在R 上是增函数 ”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A ．6B ．8C ．10D ．12 6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为A．3B ．43 CD ．4正视图侧视图7．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 是边BC 上的动点，且3AB =，4AC = ,AD AB AC λμ=+(0,0λμ>>)，则当λμ取得最大值时,AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1258．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A ．23 B ． 20 C ．21 D ．19 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ． 10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =，2S =则2a = ，10S = ．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．12．在△ABC 中，已知45,B AC ∠=︒=，则C ∠=13．设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y +的最大值是_______的取值范围是 ．14．若集合M 满足：,x y M ∀∈，都有,x y M xy M +∈∈，则称集合M 是封闭的．显然，整数集Z ，有理数集Q 都是封闭的．对于封闭的集合M （M ⊆R ），f ：M M →是从集合M 到集合M 的一个函数，①如果,x y M ∀∈都有()()()f x y f x f y +=+，就称f 是保加法的；②如果,x y M ∀∈都有()()()f xy f x f y =⋅，就称f 是保乘法的； ③如果f 既是保加法的，又是保乘法的，就称f 在M 上是保运算的． 在上述定义下，集合},n m n +∈Q 封闭的（填“是”或“否”）；若函数()f x在Q 上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数()=f x ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且//,,AF BE AB BE ⊥平面ABCD 平面,ABEF AB =22AB BE AF ===.（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ； （Ⅱ）若二面角D AB E --为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小； （ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ?FAD CBE若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由． 18． （本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(A ,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．19．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （Ⅲ）证明()()f x g x ≤．20．（本小题满分13分）设(3)m,n m n ≤≤是正整数，数列:m A 12m a ,a ,,a L ，其中(1)i a i m ≤≤是集合{123},,,,n L 中互不相同的元素．若数列m A 满足：只要存在1i,j i j m ≤<≤（）使i j a a n +≤，总存在1kk m ≤≤（）有i j k a a a +=，则称数列m A 是“好数列”． （Ⅰ）当6100m ,n ==时，（ⅰ）若数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列”，试写出x,y 的值，并判断数列：11789097,,,x,,y 是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”，且a b c d <<<，求a,b,c,d 共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列m A 是“好数列”，且m 是偶数，证明：1212m a a a n m ++++≥L ．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2017．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2()cos 2cos 1f x x x x =+-x x 2cos 2sin 3+=2sin(2)6x π=+．所以)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………………7分（Ⅱ）因为2,2.64663x x πππππ-≤≤≤+≤所以- 当2,626x x πππ+==即时，)(x f 取得最大值2；当2,,()666x x f x πππ+=-=-即时取得最小值1-．…………………………13分16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：…………………………………4分（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：()170280490289124835858=⨯+⨯+⨯++++++++=甲， ()1x 70180490350035025858=⨯+⨯+⨯++++++++=乙， 甲乙9884215350035025789()()()()()2222221s 788579858185828584858⎡=-+-+-+-+-+⎣甲()()()22288859385958535.5⎤-+-+-=⎦，()()()()()2222221s 758580858085838585858⎡=-+-+-+-+-+⎣乙 ()()()22290859285958541.⎤-+-+-=⎦因为 x =甲x 乙，22s s <乙甲，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． …………………………8分注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如 派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为138f =，乙获得85分以上（含85分）的频率为24182f ==． 因为21f f >，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， ()63A 84P ==． ……………………………………………………… 9分随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且3(3,)4ξB ∼．∴()3331C 44kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 0,1,2,3=．所以变量ξ的分布列为：11分19272790123646464644Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （或393.44nP Eξ==⨯=） ………………………………………………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD ，设AC BD O = ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则//OG BE ，且12OG BE =． 由已知//AF BE ，且12AF BE =，所以//,AF OG OG AF =． 所以四边形AOGF 为平行四边形． 所以//AO FG ，即//AC FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ．……………………………………………………5分（Ⅱ）由已知，//,AF BE AB BE ⊥，所以AF AB ⊥．因为二面角D AB E --为直二面角， 所以平面ABCD ⊥平面ABEF ． 所以AF ⊥平面ABCD ， 所以,AF AD AF AB ⊥⊥．四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥． 所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点，,,AD AB AF 分别为,,x y z 轴建立空间直 角坐标系（如图）． 因为22AB BE AF ===，所以(000),(0,2,0),(2,2,0),(200),(0,2,2),(0,0,1)A B C D E F ，，，，，所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2)AC CD CE ==-=-．（i ）设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，FADCB EOG由 0,0CD CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得20, 220. y x z -=⎧⎨-+=⎩即0, 0. y x z =⎧⎨-=⎩ 取1x =，得(1,0,1)=n ．设直线AC 与平面CDE 所成角为θ，则1sin cos ,2AC θ=〈〉==n ，因为090θ≤≤︒，所以30θ=︒．即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒．………………………………9分（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ= ． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．又(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=-- ，所以2(22)20,2(22)20.BP DF BP EF λλλλ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=---=⎪⎩解得 23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =． （另解）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ= ． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．设平面DEF 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则 0,m DF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩由(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=-- ， 得000020,20.x z y z -+=⎧⎨--=⎩取01x =，得(1,1,2)=-m ．由m BP μ=，即(22,22,2)(1,1,2)λλλμ--=-，可得22,22, 22.λμλμλμ-=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．………………………………………………………………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±OM 的方程是y x =，由22236,,3x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =，1y =±．取(2M，则(1)2N -．所以OMN ∆的面积为2②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=． 因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-． 所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)+∞，(221)()1x ax a f x x -+'=-．当1a =时， (2)426f a '=+=，(2)437f a =+=．所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)y x -=-．即65y x =-． …………………………………4分（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()(e 2)xg x x a '=+．①当0a =时，函数()(1)e xg x x =-只有一个零点；②当0a >，因为e 20xa +>，当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>． 所以函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 又(0)1g =-，(1)g a =，因为0x <，所以10,1x x e -<<，所以(1)1x e x x ->-，所以2()1g x ax x >+-取012x a-=，显然00x <且0()0g x >所以(0)(1)0g g <，0()(0)0g x g <．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ③当0a <时，由()(e 2)0xg x x a '=+=，得0x =，或ln(2)x a =-．ⅰ) 当12a <-，则ln(2)0a ->． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． ⅱ) 当12a =-，则l n (2)0a -=，()g x 在(,)-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． 若12a >-，则ln(2)0a -≤． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到当0,0x a <<时，2()(1)e 0x g x x ax =-+<，(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).+∞ …………………………………………9分 （Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1xg x f x x x x -=-----．设()(1)e ln(1)1xh x x x x =-----，其定义域为(1,)+∞，则证明()0h x ≥即可．因为1()e (e )11xxx h x x x x x '=-=---，取311e x -=+，则1311()(e e )0x h x x '=-<，且(2)0h '>．又因为21()(1)e 0(1)xh x x x ''=++>-，所以函数()h x '在(1,)+∞上单增． 所以()0h x '=有唯一的实根0(1,2)x ∈，且001e1x x =-． 当01x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>． 所以函数()h x 的最小值为0()h x ．所以00000()()(1)e ln(1)1xh x h x x x x ≥=-----00110x x =+--=．所以()().f x g x ≤ ……………………………………………………14分20．（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ） 89100x ,y ==，或10089x ,y ==；数列：11789097,,,x,,y 也是一个“好数列”． …………………………………3分 （ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89100,两项，若剩下两项从909199,,,L 中任取，则都符合条件，有21045C =种；若剩下两项从798088,,,L 中任取一个，则另一项必对应909199,,,L 中的一个， 有10种；若取6877a ≤≤，则791188a ≤+≤，902299a ≤+≤，“好数列”必超过6项，不符合；若取67a =，则61178a A +=∈，另一项可从909199,,,L 中任取一个，有10种；若取5667a <<，则671178a <+<，782289a <+<，“好数列”必超过6项，不符合；若取56a =，则67b =，符合条件，若取56a <，则易知“好数列”必超过6项，不符合；综上，a,b,c,d 共有66种不同的取值． ………………………………………7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”． 又“好数列”12m a ,a ,,a L 各项互不相同，所以，不妨设12m a a a <<<L ． 把数列配对：121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++L ，只要证明每一对和数都不小于1n +即可． 用反证法，假设存在12mj ≤≤，使1j m j a a n +-+≤， 因为数列单调递增，所以111211m j m j m j j m j a a a a a a a n -+-+-+-+<+<+<<+≤L ， 又因为“好数列”，故存在1k m ≤≤，使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤，显然1>k m j a a +-，故1k m j >+-，所以k a 只有1j -个不同取值，而1i m j a a +-+有j个不同取值，矛盾．所以，121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++L 每一对和数都不小于1n +，故12(1)2m ma a a n +++≥+L ，即1212m a a a n m ++++≥L ．…………………13分。
2018年北京市朝阳区第一学期期中高三年级数学理精彩试题及问题详解
实用文档北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（理工类）2017.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A?{x|x?1}B?{x|logx?1}AB?，，则1. 已知集合2{x|x?1}{x|1?x?2}{x|x?2}{x|x?0} D. C.B. A.x?2,??y?2,yx,x?2y的最大值为则2. 已知实数满足条件??x?y?6,?A.12B. 10C. 8D. 6π)?sin(2xy?y?sinx的图象上所有的点要得到函数3.的图象，只需将函数3π2倍，纵坐标不变先向右平移A. 个单位长度，再将横坐标伸长为原来的3π1B. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变62π1C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度62π2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D. 横坐标变伸长原来的3??b?a?a?b ba,a=b”的”是“存在非零实数，则“，使4. 已知非零平面向量A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件???a S?S?SSn?n?, )的前5.已知是等差数列项和，且以下有四个命题：( 465nn????aa S d?0中的最大项为①数列②数列的公差10nn S?0S?0④③1011其中正确的序号是（）实用文档A. ②③B. ②③④C. ②④D. ①③④ABCD//CDAD?DCCDDC?1AB?AB2E,中，的中点,，,是6. 如图，在直角梯形EA?AB?则5?51?1 C. B. A. D.ECD（AB2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 7. 袋子里有编号为教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号.甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.”根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球?)(0，x)?gx(x)?cos(sinx)f(x?sin(cosx)?都为减函数，与函数在区间已知函数8.2?xx?cosxx,x,??sin(cosx)xcos(sinx)x),x,xx，?(0的，则，设，，且1131232233122）大小关系是（xx?x??xx?xxx?xx??x?x C. A. B. D. 131322213312实用文档第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.i的值为执行如下图所示的程序框图，则输出 . 9.开始=2=，S=S2+1=>14输出结束题图）（第91?x1x?y?1x? . ，则10. 已知，且的最小值是y11?x,x?(),?22?kx?y(x)f?)f(x有两个不同的交点，已知函数的图象与直线11. 若?1?.?x,xlog12??2k . 则实数的取值范围为)xf(同时满足以下条件：12. 已知函数R；①定义域为[0,1]；值域为②0??x)(fx)?f(.③?)(xf .试写出一个函数解析式S若罐头盒的. 13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值V?rrr罐时，；底面半径为，则罐头盒的体积与的函数关系式为当.头盒的体积最大实用文档????????,2,3,1=M表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的14. 将集合并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为；请写M的5个三元子集 . （只写出一组）出满足上述条件的集合三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)???a S?2a?1Sn??n.项和为( )的前，满足已知数列nnnn??a的通项公式；（Ⅰ）求数列n????bb ab=logTn.项和，求数列满足的前（Ⅱ）若数列n1nnnn216. (本小题满分13分)πf(x)?2sinx?cos(x?).已知函数3f(x)的最小正周期；（Ⅰ）求函数π)(xf]?[0,x. 时，求函数的取值范围（Ⅱ）当2)本小题满分13分17. (πc32?ABC△.在，中，?A7b4tanC的值；（Ⅰ）试求a?5△ABC的面积，试求. （Ⅱ）若实用文档18. (本小题满分14分)2?x ea)?)?(x?ax?f(x R a?. 已知函数，)f(x（Ⅰ）求函数的单调区间；??)(xf(x)x)?fg(x)f)(xg(在定义域内是否为单，其中的导函数为函数（Ⅱ）设.判断. 调函数，并说明理由)分19. (本小题满分1412?lnx??f(x). 已知函数x exe??(1),f1)xy?f(处的切线方程；（Ⅰ）求曲线在点1?x?ln；（Ⅱ）求证：ex x)(xy?f轴下方，并说明理由.是否位于（Ⅲ）判断曲线20. (本小题满分13分)1,2,,n a,,aa,的任一排列，且同时满足以下两个条件：数列是正整数n21a?1|a?a|?2i?n,?11,2,2?n(；②当①).时，11?iif(n). 记这样的数列个数为f(2),f(3),f(4)的值；（I）写出f(2018)不能被4II（）证明整除.实用文档学年度第一学期高三年级期中统一考试北京市朝阳区2017-2018数学答案（理工类）2017.11二、填空题：??11??2)?2ln(??,?,0?2)[2,2ln9. 5 10. 3 11.1???2?ln2?2ln2?,?1?x?1,x cosx?1f(x)?|sinxf(x)?|（答案不唯一）12. 或或?20,x?1或x??1.?12?S??S3(0π)?rrV?Sr??；13. 22?????????????，91121012，，3，714，4，5，613，1815，，（答案不唯一）14. 24;,,, ,三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)a?11?n. （Ⅰ）当时，解：1a?S?S2n?,??a是首项为1，公比为所以数列2的等比数列. nn?1?=2a N?n 时，当1nnn?a?2a?2aa=2a，即1nnn?1?nn故8分. ┈┈, n1n?b=loga=log2=1?n.（Ⅱ）由已知得11nn22b?b?(1?n)?(2?n)??1，因为1nn???b?1的等差数列，公差为所以是首项为0.n实用文档n(1?n)??b?T n. ┈┈故13项和分的前nn2)16. (本小题满分13分πf(x)?2sinx?cos(x?)，解：因为3ππf(x)?2sinx?(cosxcos?sinxsin)所以332x3sinx?sin?x?cos13?sin2x?(1?cos2x)22π3?sin(2x?)?. 322ππ)xf(??T. （Ⅰ）函数┈┈8分的最小正周期为2πππ2πx?[0,]2x??[?,].，所以（Ⅱ）因为23333πsin(2x?)?[?,1].所以323f(x)?[0,1?]. ┈┈所以13分217. (本小题满分13分)2sinC3sinC2c3π???（Ⅰ）因为，. 解：，所以?Aπ37sinBb74)sin(?C 4π3)?C7sinC?32sin(.所以4π33π)2(sin?3cosC?cossinC7sinC.所以447sinC?3cosC?3sinC. 所以4sinC?3cosC.所以3tanC?所以分 . ┈┈74π23c222Abc?b?ccos?a2?5?a得（Ⅱ）因为，，，由余弦定理?A b742323222?b?b(?b)2b??25. 277c?327b?.所以，实用文档21121S?bcsinA??7?32??ABC分13所以△的面积. ┈┈222218. (本小题满分14分)??x??)ex?a?(x?2)(fx()?)xf(Rx?x..解：（Ⅰ）函数的定义域为?x?af(xx)?0f)(2xa?2?为减函数；①当，解得：，时，令或?(x)?0f(x)f2a?x?为增函数，解得：，. 令2?x??0x?2)fe(x)??(f(x)2a?为减函数；时，恒成立，函数②当?x?af0(xf)(x)?2xa?2?为减函数；或，解得：时，令③当，函数?(x)?0f(fx)ax?2?为增函数，解得：令，函数.综上，f(x)(??,a),(2,??)(a,2)2a?；当；单调递增区间为的单调递减区间为时，f(x)(??,??)2a?时，的单调递减区间为；当f(x)(??,2),(a,??)(2,a)2?a.的单调递减区间为时，当；单调递增区间为┈┈8分g(x)在定义域内不为单调函数，以下说明：（Ⅱ）2?x???e?a?2](a?4)xg?(x)?f3(x)?[x?.22??3a(a?4)x?h(x)?x)xh(. 为开口向上的二次函数记，则函数220?4??a8?(a?2)a???40(hx)?. 的判别式恒成立方程?)x)g(x(h.. 有正有负从而所以，有正有负)g(x 14. ┈┈故在定义域内不为单调函数分) 19. (本小题满分14分)??(0,解：函数的定义域为，实用文档112?(x)??f??2x xeex11???f?(1)?1f(1)，又（Ⅰ），ee)(xy?f1x?在曲线处的切线方程为1111???(?1)xy?.eee210?+1)x?y?(??分. 即┈┈4ee11?0)xlnxlnx???,(x?.”等价于“（Ⅱ）“要证明”exe xlnx)?xg(. 设函数1??x0xg?(x)=1+ln. 令，解得eee?)(gx??01?e)g(x111??)??xlng(x)(xg. .因此，函数故的最小值为eee1??lnx分9.即┈┈xex)(xy?f . （Ⅲ）曲线理由如下：位于轴下方11x111)?f(x)?lnx????(. ，所以由（Ⅱ）可知xx exxeeexexx11???x(kx)??k)(.设，则xx eee??0)?kk(x)?0(x1x0?x?1?. 得令；令得?????，0,1+1)(kx.在所以上为增函数，上为减函数0(1)k?)k(x?k(1)=01x?0x?. 恒成立所以当,时，时，当且仅当10?f(1)??0f()?x. 又因为，恒成立所以e实用文档x)x?f(y轴下方. ┈┈14故曲线分位于20. (本小题满分13分)f(2)?1,f(3)?2,f(4)?4. ┈┈3（Ⅰ）解：分n项的首项最小数列. （Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为a?1a?2n或3. ，故对于个数的首项最小数列，由于21a?2a?1,a?1,,a?1f(n?1)1n?；其个数为，若（1）则项的首项最小数列，构成n223,a?3a?3,a?2a?4a?3,a?3,3n?，故）若，则必有项的首项最小构成（2523n44f(n?3)；数列，其个数为a5?a=4aa?3,k项应该是或）若（3. 设是这数列中第一个出现的偶数，则前则1k?323aaa1k?1,3,,22k?2k2是相邻整数. ，是与，即或1?k1k?k aa之后，在后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为由条件②，这数列在21?1kk?a后的各项都小于它故.1?k这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.f(n)?f(n?1)?f(n?3)?1n?5. 综上，有递推关系：，f(2),f(3),,f(2018)各数被4）可得，除的余数依次为：由此递推关系和（I1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…2018?14?144?2，14为周期的数列，又它们构成f(2018)f(2)被4除的余数相同，都是1所以，被4除的余数与f(2018)不能被4整除. ┈┈13故分。
北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=m a x {,}k k k d c c -(m a x {,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =-的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
2017北京市朝阳区高三(上)期中数学(理)
2017北京市朝阳区高三（上）期中数 学（理） 2017.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则AB =A. {|1}x x >B. {|12}x x <<C. {|2}x x >D. {|0}x x >2. 已知实数,x y 满足条件2,2,6,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2x y +的最大值为A. 12B. 10C. 8D. 63.要得到函数πsin(2)3y x =−的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点 A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度4. 已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>,以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S > ④110S < 其中正确的序号是（ ）A. ②③B. ②③④C. ②④D. ①③④6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD DC ⊥,E 是CD 的中点1DC =,2AB =,则EA AB ⋅=7. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球8. 已知函数()sin(cos )f x x x =−与函数()cos(sin )g x x x =−在区间(0)2π，都为减函数，设123,,(0)2x x x π∈，，且11cos x x =，22sin(cos )x x =，33cos(sin )x x =，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A. 123x x x << B. 312x x x << C. 213x x x << D. 231x x x << 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 执行如下图所示的程序框图，则输出i 的值为 .（第9题图）开始 i =1，S =2 结束i =i +1S >14?输出i 是否S=S+2i ECDBA10. 已知1x >，且1x y −=，则1x y+的最小值是 . 11. 已知函数1211(),,22()1log ,.2xx f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若()f x 的图象与直线y kx =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为 .12. 已知函数()f x 同时满足以下条件： ① 定义域为R ； ② 值域为[0,1]； ③ ()()0f x f x −−=.试写出一个函数解析式()f x = .13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S . 若罐头盒的底面半径为r ，则罐头盒的体积V 与r 的函数关系式为 ；当r = 时，罐头盒的体积最大.14. 将集合=M {}1,2,3,...,15表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为 ；请写出满足上述条件的集合M 的5个三元子集 . （只写出一组）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S (n *∈N )，满足21n n S a =−.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12=log n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .16. (本小题满分13分)已知函数π()2sin cos()3f x x x =⋅−.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.17. (本小题满分13分)在ABC △中，π4A =，327c b =. （Ⅰ）试求tan C 的值；（Ⅱ）若5a =，试求ABC △的面积.18. (本小题满分14分)已知函数2()()e xf x x ax a −=−+⋅，a ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()g x f x '=，其中()f x '为函数()f x 的导函数.判断()g x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由.19. (本小题满分14分)已知函数12()ln e e xf x x x=−−. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln e x x≥−； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.20. (本小题满分13分)数列12,,,n a a a 是正整数1,2,,n 的任一排列，且同时满足以下两个条件：①11a =；②当2n ≥时，1||2i i a a +−≤(1,2,,1i n =−).记这样的数列个数为()f n . （I ）写出(2),(3),(4)f f f 的值； （II ）证明(2018)f 不能被4整除.数学试题答案一、 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBCABDDC二、 填空题：9. 5 10. 3 11. [2,2)1ln 2(,2ln 2)−∞−⋅ 1ln 21,02ln 2⎛⎫ ⎪− ⎪⎝⋅⎭12. ()|sin |f x x =或cos 12x +或2,11,()0,1 1.x x f x x x ⎧−≤≤=⎨><−⎩或（答案不唯一）13. 312π(0)22S V Sr r r π=−<<π； S6π6π14. 24;{}1815，，, {}3714，，,{}5613，，,{}21012，，,{}4911，，（答案不唯一） 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1n =时，11a =. 当2n ≥时，1n n n a S S −=−,122n n n a a a −=−，即1=2n n a a −所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列. 故1=2n n a −, n *∈N . ┈┈ 8分 （Ⅱ）由已知得11122=log =log 2=1n n n b a n −−.因为1(1)(2)1n n b b n n −−=−−−=−，所以{}n b 是首项为0，公差为1−的等差数列. 故{}n b 的前n 项和(1)2n n n T −=. ┈┈ 13分16. (本小题满分13分)π所以ππ()2sin (cos cossin sin )33f x x x x =⋅+ 2sin cos 3sin x x x =⋅+13sin 2(1cos2)22x x =+− π3sin(2)32x =−+. （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ┈┈ 8分 （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x −∈−.所以π3sin(2)[,1]32x −∈−.所以3()[0,1]2f x ∈+. ┈┈ 13分17. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为π4A =，327c b =，所以sin sin 323πsin 7sin()4C C B C ==−. 所以3π7sin 32sin()4C C =−.所以3π3π7sin 32(sin cos cos sin )44C C C =−.所以7sin 3cos 3sin C C C =+. 所以4sin 3cos C C =.所以3tan 4C =. ┈┈ 7分 （Ⅱ）因为5a =，π4A =，327c b =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−得 223232225()2772b b b b =+−⋅⋅. 所以7b =，32c =. 所以△ABC 的面积11221sin 7322222S bc A ==⋅⋅⋅=. ┈┈ 13分18. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}x x ∈R .()(2)()e xf x x x a −'=−−−.① 当2a <时，令()0f x '<，解得：x a <或2x >，()f x 为减函数；② 当2a =时，2()(2)e0xf x x −'=−−≤恒成立，函数()f x 为减函数；③ 当2a >时，令()0f x '<，解得：2x <或x a >，函数()f x 为减函数；令()0f x '>，解得：2x a <<，函数()f x 为增函数. 综上，当2a <时，()f x 的单调递减区间为(,),(2,)a −∞+∞；单调递增区间为(,2)a ； 当2a =时，()f x 的单调递减区间为(,)−∞+∞ ；当2a >时，()f x 的单调递减区间为(,2),(,)a −∞+∞；单调递增区间为(2,)a .┈┈ 8分（Ⅱ）()g x 在定义域内不为单调函数，以下说明：2()()[(4)32]e x g x f x x a x a −'''==−+++⋅.记2()(4)32h x x a x a =−+++，则函数()h x 为开口向上的二次函数. 方程()0h x =的判别式2248(2)40a a a ∆=−+=−+> 恒成立. 所以，()h x 有正有负. 从而()g x '有正有负.故()g x 在定义域内不为单调函数. ┈┈ 14分19. (本小题满分14分) 解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x'=−−+ （Ⅰ）1(1)1e f '=−，又1(1)e f =−，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=−−+.即12()+10e ex y −1−−=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln ,(0)e x x x≥−>”等价于“1ln e x x ≥−”.设函数()ln g x x x =. 1x 1(0,)e1e 1(,)e+∞ ()g x '−0 +()g x1e−因此，函数()g x 的最小值为11()e e g =−.故1ln ex x ≥−. 即1ln e x x≥−. ┈┈ 9分 （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥−，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤−=−. 设1()e e x x k x =−，则1()ex xk x −'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =−<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ┈┈ 14分20. (本小题满分13分)（Ⅰ）解：(2)1,(3)2,(4)4f f f ===. ┈┈ 3分 （Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为n 项的首项最小数列. 对于n 个数的首项最小数列，由于11a =，故22a =或3. （1）若22a =，则231,1,,1n a a a −−−构成1n −项的首项最小数列，其个数为(1)f n −；（2）若233,2a a ==，则必有44a =，故453,3,,3n a a a −−−构成3n −项的首项最小数列，其个数为(3)f n −；（3）若23,a =则3=4a 或35a =. 设1k a +是这数列中第一个出现的偶数，则前k 项应该是1,3,,21k −，1k a +是2k或22k −，即k a 与1k a +是相邻整数.由条件②，这数列在1k a +后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在1k a +之后，故1k a +后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.由此递推关系和（I ）可得，(2),(3),,(2018)f f f 各数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，… 它们构成14为周期的数列，又2018141442=⨯+，所以(2018)f 被4除的余数与(2)f 被4除的余数相同，都是1，故(2018)f 不能被4整除. ┈┈ 13分word 下载地址。
朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（文史类） 2017.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则A B =A. {|2}x x >B. {|12}x x <<C. {|1}x x >D. {|0}x x > 2. 执行如右图所示程序框图，则输出i 的值为 .A ．3B ．4C ．5D ．63. 已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥ 4. 要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点 A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度5. 已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．87. 函数()f x 在其定义域内满足()xf x '()e xf x +=，（其中()f x '为函数()f x 的导函数），(1)e f =，则函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值8. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，48a =，则{}n a 的前5项和5S =___________. 10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A ，将线段OA 绕原点O 按逆时针方向旋转60︒，得到线段OB ，则向量OB的坐标为___________.11. 已知函数12log , 0< 1,()21, 1.x x x f x x -<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩若方程()f x m =有2个不相等的实数根，则实数m 的正视图侧视图俯视图取值范围是 ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的 体积为 ；表面积为 ．13. 某品牌连锁便利店有n 个分店，A,B,C 三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价表1某日总店向各分店分配的商品A,B,C 的数量如表2所示：表2表3表示该日分配到各分店去的商品A,B,C 的总价和总重量：表3则a = ；b = . 14. 已知函数()f x 同时满足以下条件： ①定义域为R ； ②值域为[0,2]； ③()()0f x f x --=.试写出一个函数解析式()f x = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数π()2sin cos()3f x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.16. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ，满足21n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，求n T .17. （本小题满分13分） 已知ABC ∆中，3B π=，（Ⅰ）若A ； （Ⅱ）若ABC ∆的面积为，求的值.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 上的一个动点．（Ⅰ）若E 为PA 的中点，求证：//PC 平面BDE ；a =b =2b（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（Ⅲ）若三棱锥P BDE -的体积是四棱锥P ABCD -体积的13，求EA PA的值．19. （本小题满分13分） 已知函数1()(1)ln f x kx k x x=--+，k ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0k >时，若函数()f x 在区间(1,2)内单调递减，求k 的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数12()ln e e x f x x x=-- . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln e x x≥-； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试题答案（文史类） 2017.11PADBE一、选择题三、解答题15. （本小题满分13分）解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-，所以ππ()2sin (cos cos sin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos x x x =⋅1sin 2cos 2)2x x =+- πsin(2)3x =-+（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………………………… 8分 （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以πsin(2)[3x -∈. 所以()[0,1f x ∈. ……………………………… 13分 16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由21n n S a =-可得， 当1n =时，11a =.当2n ≥时1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a - 则数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列,即1=2n n a -，n *∈N . ………………………………8分 （Ⅱ）(1)0123(1)212322n n n n n T a a a a -++++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ………………………………13分17. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由正弦定理sin 3=所以. 在三角形中，由已知，所以4A π=. ………………………………6分 （Ⅱ）由面积公式1sin 2S ac B =，解得由余弦定理知，所以………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：如图，设AC 交BD 于O ,连接EO ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点． 又因为E 为PA 的中点， 所以//EO PC ．因为PC ⊄平面BDE , EO ⊂平面BDE ， 所以//PC 平面BDE ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥． 因为PA AC A = ， 所以BD ⊥平面PAC ． 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ． ………………………………10分（Ⅲ）设四棱锥P ABCD -的体积为V ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以13ABCD V S PA ∆=⋅⋅． 又因为底面ABCD 是菱形，sin sin a b A B =sin 2A =b a >12=c =2222cos 218614b a c ac B =+-=+-=b =PADBOE PADBE所以12ABD BCD ABCD S S S ∆∆∆==， 所以1132P ABD ABD V S PA V -∆=⋅⋅=．根据题意，13P BDE V V -=，所以111236E ABD P ABD P BDE V V V V V V ---=-=-=．又因为13E ABD ABD V S EA -∆=⋅⋅，所以13E ABD P ABD V EA PA V --==． ………………………………14分 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.211()k f x k x x+'=-+ 22(1)1kx k x x -++= 2(1)(1)kx x x--=（1）当0k ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得1x >，此时函数()f x 为单调递减函数.（2）当0k >时，①当11k<，即1k > 时， 令()0f x '>，解得10x k<<或1x >，此时函数()f x 为单调递增函数； 令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ②当1k = 时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0+∞，上为单调递增函数； ③当11k>，即01k << 时， 令()0f x '>，解得01x <<或1x k>，此时函数()f x 为单调递增函数； 令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ……………9分 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 0k ≤()f x ()0,1()1+∞，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，,单调递减区间为. （Ⅱ）2(1)(1)()kx x f x x --'=，因为函数()f x 在(1,2)内单调递减，所以不等式在2(1)(1)0kx x x--≤在(1,2)上成立. 设()(1)(1)g x kx x =--，则(1)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即00210,k ≤⎧⎨-≤⎩，解得102k <≤. …………13分20. （本小题满分14分） 解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x'=--+. （Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=--+， 即12()+10e ex y -1--=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln (0)e x x x ≥->”等价于“1ln e x x ≥-”设函数()ln g x x x =.令()=1+ln 0g x x '=，解得1ex =.因此，函数()g x 的最小值为()e e g =-.故ln ex x ≥-. 01k <<()f x ()0,1(+)k ∞1，(1)k1，1k =()f x ()0+∞，1k >()f x (0)k 1，()1+∞，(+)k∞1，即1ln e x x≥-. ┈┈ 9分 （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-. 设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =-<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ………………………14分。
北京市朝阳区2018届高三上-期中统一考试数学(理)试卷(含答案)
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（理工类） 2017.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则A B =IA. {|1}x x >B. {|12}x x <<C. {|2}x x >D. {|0}x x >2. 已知实数,x y 满足条件2,2,6,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2x y +的最大值为A. 12B. 10C. 8D. 63.要得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点 A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度4. 已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>,以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S > ④110S <其中正确的序号是（ ）A. ②③B. ②③④C. ②④D. ①③④6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD DC ⊥,E 是CD 的中点1DC =,2AB =,则EA AB ⋅=u u u r u u u rB. C.1 D.1-7. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球 8. 已知函数()sin(cos )f x x x =-与函数()cos(sin )g x x x =-在区间(0)2π，都为减函数，设123,,(0)2x x x π∈，，且11cos x x =，22sin(cos )x x =，33cos(sin )x x =，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A. 123x x x <<B. 312x x x <<C. 213x x x <<D. 231x x x <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 执行如下图所示的程序框图，则输出i 的值为 .（第9题图） 10. 已知1x >，且1x y -=，则1x y+的最小值是 . 11. 已知函数1211(),,22()1log ,.2xx f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若()f x 的图象与直线y kx =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为 .12. 已知函数()f x 同时满足以下条件： ① 定义域为R ； ② 值域为[0,1]； ③ ()()0f x f x --=.试写出一个函数解析式()f x = .13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S . 若罐头盒的底面半径为r ，则罐头盒的体积V 与r 的函数关系式为 ；当r = 时，罐头盒的体积最大. 14. 将集合=M {}1,2,3,...,15表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为 ；请写出满足上述条件的集合M 的5个三元子集 . （只写出一组）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S (n *∈N )，满足21n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12=log n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .16. (本小题满分13分)已知函数π()2sin cos()3f x x x =⋅-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.17. (本小题满分13分)在ABC △中，π4A =，c b =. （Ⅰ）试求tan C 的值；（Ⅱ）若5a =，试求ABC △的面积.18. (本小题满分14分)已知函数2()()e xf x x ax a -=-+⋅，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()g x f x '=，其中()f x '为函数()f x 的导函数.判断()g x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由.19. (本小题满分14分)已知函数12()ln e e x f x x x=--. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln e x x≥-； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.20. (本小题满分13分)数列12,,,n a a a L 是正整数1,2,,n L 的任一排列，且同时满足以下两个条件： ①11a =；②当2n ≥时，1||2i i a a +-≤(1,2,,1i n =-L ). 记这样的数列个数为()f n . （I ）写出(2),(3),(4)f f f 的值；（II ）证明(2018)f 不能被4整除.北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学答案（理工类）2017.11一、 选择题：二、 填空题：9. 5 10. 3 11.2)1ln 2(,2ln 2)-∞-⋅U 1ln 21,02ln 2⎛⎫⎪- ⎪⎝⋅⎭U12. ()|sin |f x x =或cos 12x +或2,11,()0,1 1.x x f x x x ⎧-≤≤=⎨><-⎩或（答案不唯一）13. 31π(02V Sr r r =-<<； 14. 24;{}1815，，, {}3714，，,{}5613，，,{}21012，，,{}4911，，（答案不唯一）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1n =时，11a =. 当2n ≥时，1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a -所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列. 故1=2n n a -, n *∈N . ┈┈ 8分（Ⅱ）由已知得11122=log =log 2=1n n n b a n --.因为1(1)(2)1n n b b n n --=---=-，所以{}n b 是首项为0，公差为1-的等差数列. 故{}n b 的前n 项和(1)2n n n T -=. ┈┈ 13分16. (本小题满分13分)解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-， 所以ππ()2sin (cos cossin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos x x x =⋅1sin 2cos2)2x x =-πsin(2)3x =-. （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ┈┈ 8分（Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以πsin(2)[3x -∈.所以()[0,1f x ∈. ┈┈ 13分17. (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）因为π4A =，c b=，所以sin sin 3πsin sin()4C C B C ==-所以3π7sin sin()4C C =-.所以3π3π7sin cos cos sin )44C C C =-.所以7sin 3cos 3sin C C C =+. 所以4sin 3cos C C =.所以3tan 4C =. ┈┈ 7分（Ⅱ）因为5a =，π4A =，c b，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2225)2b b =+-.所以7b =，c =所以△ABC 的面积1121sin 72222S bc A ==⋅⋅=. ┈┈ 13分18. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}x x ∈R .()(2)()e xf x x x a -'=---. ① 当2a <时，令()0f x '<，解得：x a <或2x >，()f x 为减函数；令()0f x '>，解得：2a x <<，()f x 为增函数. ② 当2a =时，2()(2)e0xf x x -'=--≤恒成立，函数()f x 为减函数；③ 当2a >时，令()0f x '<，解得：2x <或x a >，函数()f x 为减函数；令()0f x '>，解得：2x a <<，函数()f x 为增函数. 综上，当2a <时，()f x 的单调递减区间为(,),(2,)a -∞+∞；单调递增区间为(,2)a ； 当2a =时，()f x 的单调递减区间为(,)-∞+∞ ；当2a >时，()f x 的单调递减区间为(,2),(,)a -∞+∞；单调递增区间为(2,)a .┈┈ 8分（Ⅱ）()g x 在定义域内不为单调函数，以下说明：2()()[(4)32]e x g x f x x a x a -'''==-+++⋅.记2()(4)32h x x a x a =-+++，则函数()h x 为开口向上的二次函数. 方程()0h x =的判别式2248(2)40a a a ∆=-+=-+> 恒成立. 所以，()h x 有正有负. 从而()g x '有正有负.故()g x 在定义域内不为单调函数. ┈┈ 14分19. (本小题满分14分) 解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x '=--+（Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=--+.即12()+10e ex y -1--=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln ,(0)e x x x≥->”等价于“1ln e x x ≥-”.设函数()ln g x x x =.令()=1+ln 0g x x '=，解得1x =.因此，函数()g x 的最小值为()e e g =-.故ln ex x ≥-.即1ln e x x≥-. ┈┈ 9分 （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-. 设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =-<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ┈┈ 14分20. (本小题满分13分)（Ⅰ）解：(2)1,(3)2,(4)4f f f ===. ┈┈ 3分 （Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为n 项的首项最小数列. 对于n 个数的首项最小数列，由于11a =，故22a =或3.（1）若22a =，则231,1,,1n a a a ---L 构成1n -项的首项最小数列，其个数为(1)f n -； （2）若233,2a a ==，则必有44a =，故453,3,,3n a a a ---L 构成3n -项的首项最小数列，其个数为(3)f n -；（3）若23,a =则3=4a 或35a =. 设1k a +是这数列中第一个出现的偶数，则前k 项应该是1,3,,21k -L ，1k a +是2k 或22k -，即k a 与1k a +是相邻整数.由条件②，这数列在1k a +后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在1k a +之后，故1k a +后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数. 综上，有递推关系：()(1)(3)1f n f n f n =-+-+，5n ≥.由此递推关系和（I ）可得，(2),(3),,(2018)f f f L 各数被4除的余数依次为： 1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…它们构成14为周期的数列，又2018141442=⨯+，所以(2018)f 被4除的余数与(2)f 被4除的余数相同，都是1，故(2018)f 不能被4整除. ┈┈ 13分。
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北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠= …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB --=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=-设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。