圆中的计算与证明(一)

圆中的证明与计算

圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形 知识点圆中的重要知识点 【知识梳理】 1、圆中的重要概念 2、圆中的重要定理 3、易与圆结合的其他知识 【例题精讲一】垂径定理 例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。

（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2 4，ON＝1，求⊙O的半径。 3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。 （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。

【课堂练习】 1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。 （1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。 （1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。

【例题精讲二】圆周角定理 例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。 （1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。 2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。 （1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。

中考《圆》有关的证明和计算

半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与O O相切. 例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2=Z 1+ / DAC. ???/ 2=Z B+ / DAB , ???/ 仁/ B. 又???/ B= / E, ???/ 仁/ E ?/ AE是O O的直径， ?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA丄PA. ? PA与O O相切. 证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE. ?/ AD是/ BAC的平分线， ?BE=C1E, c ? OE 丄BC. ?/ E+/ BDE=900. ?/ OA=OE , ? / E=/ 1.

例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD ? OP. 求证：PC 是O O 的切线. 说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 与O O 相切. 例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证：DC 是O O 的切线

圆的计算与证明题及答案

圆的计算与证明题及答案 一．切线证明与求半径、线段长 1．（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． （1）证明：连接OD， ∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠EAD． ∵OE=OA，∴∠ODA=∠OAD．∴∠ODA=∠EAD．∴OD∥AE． ∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，∴EF与⊙O相切． （2）连接BD，作DG⊥AB于G， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， ∵AB=6，AD=4，∴BD==2， ∵OD=OB=3，设OG=x，则BG=3﹣x， ∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2，即32﹣x2=22﹣（3﹣x）2， 解得x=，∴OG=，∴DG==， ∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，∴DE=DG=，∴AE==， ∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF，∴=，即=， ∴=，∴EF=． 2．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． （1）证明：如图，连接OD． ∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB， ∵DF⊥AB，∴OD⊥DF， ∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切； （2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ACD=180°，∵∠AED+∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD， ∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴=， ∵OD∥AB，AO=CO，∴BD=CD=BC=3， 又∵AE=7，∴=，∴BE=2，∴AC=AB=AE+BE=7+2=9． 1

中考数学总复习专题六圆的有关证明与计算试题新人教版

专题六圆的有关证明与计算 圆的切线的判定与性质 【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点． （1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明； （３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似 【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝ ＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵

中考专题复习与圆有关的计算与证明

中考专题复习——与圆有关的计算与证明 【中考要求及命题趋势】 1、理解圆的基本概念与性质。 2、求线段与角和弧的度数。 3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。 4、直线和圆的位置关系。 5、圆的切线的性质和判定。 6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。 7、圆和圆的五种位置关系。 8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。 9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。 11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。 2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。 【应试对策】 圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解题方法。 第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径。第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。 【复习要点】 1、圆的有关概念： （1）圆上任意两点间的部分叫弧，______的弧叫优弧，________的弧称为劣弧。 （2）______________________的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 （3）_________________的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角。 2、圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是_____ ____；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_________。3、垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分____________________。 推论：平分弦（不是直径）的直径_____这条弦，并且平分__________________ 4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。如图所示： AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的弦心距，根据圆心角，弧，弦和弦心距 C

九年级数学圆中的证明与计算(二)

1、如图，AB是⊙O的直径，D为弧AC的中点，DE⊥AB于E，交AC于F，AC、BD交于点G。 （1）求证：①AC＝2DE；②OF∥BD；（2）若AB＝10，AC＝8，求AF的长。 【例题精讲一】切线的性质 例1.1、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为弧AD上一点，BF交CD于G，FH切⊙O于点F，交CD的延长线于H。 （1）求证：FH＝GH；（2）若AB＝2FH，GF＝3 2，求AG的长。

2、如图，已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB 。 （1）如图1，求证：AC ＝AD ； （2）如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF 。若⊙O 的半径为 2 5 ，CD ＝4，求EF 的长。 3、如图，正方形ABCD ，以BC 为直径在正方形内作半圆O ，过D 作DE 与半圆O 相切于点E ，连OE 交AB 于F 。 （1）如图1，连OD 、DF ，求证：∠ODF ＝45°； （2）如图2，过B 作BM ∥DF 交OF 于G ，交⊙O 于点M 。若AD ＝6，求BM 的长。

【课堂练习】 1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC、AB分别相交于点E、F。 （1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，∠B＝2∠AFH，⊙O的半径为5，求FH的长。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于G，且点E在⊙O上，连接DE，BF切⊙O于点F。 （1）求证：BE＝BF；（2）若⊙O的半径为R，AG＝R＋1，CE＝R－1，求弦AG的长。

中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)

圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△

△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△

△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．

中考数学压轴题专项练习：圆的证明与计算题及答案

题库:圆的证明与计算题 1.如图，AB是⊙O的直径，点D是?AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长． 第1题图 (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°， ∴CB⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； (2)解：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， 如解图，连接DO，

第1题解图∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， ∴PD PE ＝PO PB ， ∵P A＝AO， ∴P A＝AO＝OB， ∴PO PB ＝2 3 ， ∴PD PE ＝2 3 ， ∴ PD PD＋DE ＝2 3 ， ∵DE＝2， ∴PD＝4. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.

(1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，cos A ＝2 5 ，求DF的长． 第2题图 （1）证明：如解图，连接OD， 第2题解图∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径， G

∴DF 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ， ∴AG ＝1 2AE ＝2. ∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝2 5， ∴OA ＝5， ∴OG ＝OA 2－AG 2＝21， ∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°， ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21. 3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN ； (2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径． 第3题图 (1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，

2018届中考数学复习专题题型(七)--圆的有关计算与证明

（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD ∽△CBE ； （2）求半圆O 的半径r 的长 ： 试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ， ∴CD ⊥OD ， ∴∠CDO=90°， ∵BE ⊥CD ， ∴∠E=90°=∠CDO ， 又∵∠C=∠C ， ∴△COD ∽△CBE ． （2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9， ∴22CE BE +=15， ∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC =，即15915r r -=， 解得：r= 458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质. 2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. （1）求证：DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.

(1)如图所示，连接OE，CE ∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED＝1 2 BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.

考点：圆切线判定定理及相似三角形 3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线． （1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：223AB AN -=， ∴B （32）． （2）连接MC ，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，

圆的证明与计算专题

2012中考数学复习《圆的证明与计算》专题 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,圆与相似圆与面积圆与切线动态圆 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数. （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。 （3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

(完整版)圆的证明与计算(精编版)

《圆的证明与计算》专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周

角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： 方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需

与圆有关的证明与计算

与圆有关的证明与计算 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF . (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若∠B ＝30°，求CE CD 的值． 第1题图 (1)证明：如解图，连接OD ，OE ，DF ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ， ∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线； 第1题解图 (2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ， ∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°， 又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°， 在Rt △CDE 中， ∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CE CD ＝3，

∴ CE CD ＝ 3. 2．如图，在Rt △BGF 中，∠F ＝90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BF 于点E ，交GF 于点D ，AE ⊥OD 于点C ，连接BD . (1)求证：GF 是⊙O 的切线； (2)若OC ＝2，AE ＝43，求∠DBF 的度数． 第2题图 (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又∵∠F ＝90°， ∴∠AEB ＝∠F ，∴AE ∥GF ， ∵AE ⊥OD ，∴OD ⊥GF ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴GF 是⊙O 的切线； (2)解：∵OD ⊥AE ， ∴AC ＝CE ＝1 2AE ＝23， ∵OA ＝OB ， ∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝4， ∴在Rt △AOC 中，OA ＝OC 2＋AC 2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF ＝∠DCE ＝∠F ＝90°， ∴四边形CDFE 是矩形， ∴DF ＝CE ＝23，EF ＝CD ＝OD －OC ＝4－2＝2， ∴BF ＝BE ＋EF ＝4＋2＝6， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝236＝3 3， ∴∠DBF ＝30°. 3．如图，点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠DAC ＝30°，∠BDC ＝1 2∠ABD . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ，BD ＝2，求OE 、CF 的长．

中考数学专题训练圆的证明与计算

圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA ＝PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D. （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若PA＝4 5 PO，⊙O的半径为10，求线段PD的长. 第1题图(1)证明：如解图，连接OA、OB， 第1题解图∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP， ∴△OAP≌△OBP(SSS)， ∴∠OAP＝∠OBP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB为⊙O的半径，

(2)解：∵PA ＝4 5PO ，⊙O 的半径为10， ∴在Rt △AOP 中，OA ＝PO 2－（45 PO ）2＝10， 解得PO ＝ 503 ， ∴cos ∠AOP ＝AO OP ＝OD AO ， ∴OD ＝6， ∴PD ＝PO －OD ＝32 3 . 2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，且AD ＝DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连接DE . （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若cos C ＝3 5 ，AC ＝24，求直径AE 的长. 第2题图 (1)证明：∵AB ＝AC ，AD ＝DC ， ∴∠C ＝∠B ，∠DAC ＝∠C ， ∴∠DAC ＝∠B ， 又∵∠E ＝∠B ， ∴∠DAC ＝∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∴∠E ＋∠EAD ＝90°， ∴∠DAC ＋∠EAD ＝90°，

∴AE ⊥AC ， ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ， 第2题解图 ∵DA ＝DC ， ∴CF ＝1 2 AC ＝12， 在Rt △CDF 中，∵cos C ＝CF CD ＝3 5 ， ∴DC ＝20， ∴AD ＝20， 在Rt △CDF 中，由勾股定理得1622==CF CD DF －， ∵∠ADE ＝∠DFC ＝90°，∠E ＝∠C ， ∴△ADE ∽△DFC ， ∴AE DC ＝AD DF ， 即 AE 20＝16 20 ，解得AE ＝25， 即⊙O 的直径AE 为25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF ⊥BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求⊙O 的半径．

第22题圆中的计算与证明

第22题圆中的计算与证明 【2013元调】 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC >AC，⊙O为△ABC的外接圆，以点C为圆心，BC 长为半径作弧交CA的延长线于点D，交⊙O于点E，连接BE、DE。 （1）求∠DEB的度数； （2）若直线DE交⊙0于点F，判断点F在半圆AB上的位置，并证明你的结论。 【2013四调（提问变化了一下，可以做）】在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA＝PC （1）如图1，求证：OP∥BC （2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，若⊙O的半径为r，求△APB的面积； A

【2013五调（提问变化了一下，可以做）】 在⊙O 中，AB 为直径，弦CD AB ⊥于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线，切点为G ，连接AG 交CD 于点K 。 （1）求证：KE=GE （2）若AC ∥EG ，3 4 AH CH =， AK=O 的半径。 1、（2009元调）在边长为4的正方形ABCD 中，以AD 为直径作⊙O ⊙C ，两圆交于正方形内一点E ，连接CE 并延长交AB 于F 。 （1）求证：CF 与⊙O 相切； （2 ）求△BCF 和直角梯形ADCF 的周长之比； 2、（2010元调）如图D 为Rt △ABC 斜边AB 上一点，以CD 为直径的圆分别交△ABC 三边于E ，F ，G 三点，连接FE ，FG 。 （1）求证：∠EFG ＝∠B ； O B D A

（2）若AC ＝2BC ＝D 为AE 的中点，求CD 的长； 3、（2012元调）小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，⊙O 中，OM ⊥弦AB 于点M ，ON ⊥弦CD 于点N ，若OM=ON ，则AB=CD 。 (1)请帮小雅证明这个结论； (2)运用以上结论解决问题：在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，O 为△ ABC 的内心，以O 为圆心，OB 为半径的O D 与△ABC 三边分别相交于点D 、E 、F 、G 。若AD=9，CF=2，求△ ABC 的周长。 F C A

初三数学圆中的证明与计算专题

B 圆中的证明与计算复习题 一.近五年广州中考题回顾 1.(2005改编题)如图8，CD 是⊙0的切线，切点为A,AB 是⊙0的直径.E,F ⊙0上的点, (1)求证：∠DAE=∠FDE//A B. (2)若EF //CD,求证:△AEF 是等腰三角形 2．(本小题满分12分2006) 如图7⊙0的半径为1，过点A(2，0)的直线切 ⊙0于点B ，交y 轴于点C. (1)求线段AB 的长； (2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式． 3、（12分2007）在△ABC 中，AB=AC ，内切圆O 与边BC 、AC 、AB 分别切于D 、E 、F. （1 ）求证：BF=CE ； （2）若∠C=30°，C E =，求AC. 4、（2008广州）（12分）如图9，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于点D 、E ， 且??BC D E = （1）求证：AC=AE （2）利用尺规作图，分别作线段CE 的垂直平分线 与∠MCE 的平分线，两线交于点F （保留作图痕迹 ，不写作法）求证：EF 平分∠CEN

5.（本小题满分10分2009） 如图10，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32， （1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长 二.各地中考题精选 1. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连结DE 、BE ， 且∠C =∠BED ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若OA =10，AD =16，求AC 的长． 2. 如图，M P 切O ⊙于点M ，直线P O 交O ⊙于点A 、B ，弦A C M P ∥， (1)求证：M O B C ∥． (2补充)连结CM,当四边形BCMO 为菱形时,求∠P 的度数 或反过来问:当30P ∠=°时,判断四边形BCMO 的形状,并说明理由. 3. 如图，O ⊙的半径为2，直径C D 经过弦A B 的中点G ，若弧AB 的长等于圆周长的16 ． （1）填空：cos A C B ∠＝____________； （2）求G D G B 的值． C E D A F O B P

九年级数学圆中的证明与计算(一)

圆中的证明与计算之垂径定理、圆周角定理 1、如图，如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是_________。 2、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线⊙A于M、N两点。若点M的坐标是（－4，－2），则弦MN的长为_________。 【例题精讲一】垂径定理 例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。 2、如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD。

（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2 4，ON＝1，求⊙O的半径。 3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。 （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。【课堂练习】

1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。 （1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。 （1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。 【例题精讲二】圆周角定理

例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。 （1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。 2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。 （1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。 3、如图，⊙O为△ABD的外接圆，E为△ABD的内心，DE的延长线交⊙O于C。 （1）如图1，求证：CE＝AC；

初中数学复习圆中计算与证明

初中数学复习圆中计算与证明 第一组： 1．如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动．以OP为半径的⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的（） A.外离． B.相交． C.外切． D.内含． 2．⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是 （） ＡＯＢ A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定 3.如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积等于 A． B． C． D．

4.如图，△ABC内接于⊙O，∠C =45°，AB=2，则⊙O的半径为 A． 1 B． C． 2 D． 5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是 cm． 6．已知：如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E． （1）求证：AD是圆O的切线； A B C D P E ． O （2）若PC是圆O的切线，BC = 8，求DE的长． 7．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB. （1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O的半径等于4，，求CD的长.

8．如图，⊙O的直径=6cm，点是延长线上的动点，过点作⊙O 的切线，切点为，连结．若的平分线交于点，你认为∠的大小是 否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数． A O B P C 9.已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC 于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交 AB的延长线于点D.（1）求证：FD是⊙O的切线； （2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O 半径的长； （3）在（2）的条下，当OE＝3时，求图中阴影部分的面积. 10．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点， ∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长. 【参考答案】 D A C B 6.（1）证明：∵AB = AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BD． 又∵BD是圆O直径，∴AD是圆O的切线．……2分 （2）解：连结OP，由BC = 8，得CD = 4，OC = 6，OP = 2．

九年级数学圆中的证明与计算(二)

1、如图，AB 是⊙O 的直径，D 为弧AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ，AC 、BD 交于点G 。 （1）求证：①AC ＝2DE ； ②OF ∥BD ； （2）若AB ＝10，AC ＝8，求AF 的长。 1、证明切线的方法有哪些 2、切线的有关常见题型 【例题精讲一】切线的性质 例1. 1、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，且AB ⊥CD 于E ，F 为弧AD 上一点，BF 交CD 于G ，FH 切⊙O 于点F ，交CD 的延长线于H ， （1）求证：FH ＝GH ； （2）若AB ＝2FH ，GF ＝32，求AG 的长。 证明：(1) 连接OF ∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF ⊥FH 即∠OFB ＋∠HFG ＝90° ∵OB ＝OF ∴∠OFB ＝∠OBF ∵AB ⊥CD ∴∠OBF ＋∠BGE ＝90° ∴∠BGE ＋∠DFG ＝DGF ∴FH ＝GH (2) 连接OA 、OF ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AFB ＝90° ∴∠OFA ＋∠OFB ＝90° 又∠OFB ＋∠HFG ＝90° ∴∠OFA ＝∠HFG ∵AB ＝2FH ∴OA ＝FH ∴△OAF ≌△HGF （AAS ） ∴AF ＝GF ＝32 ∴AG ＝62

2、如图，已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB 。 （1）如图1，求证：AC ＝AD ； （2）如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF 。若⊙O 的半径为 2 5 ，CD ＝4，求EF 的长。 3、如图，正方形ABCD ，以BC 为直径在正方形内作半圆O ，过D 作DE 与半圆O 相切于点E ，连OE 交AB 于F 。 （1）如图1，连OD 、DF ，求证：∠ODF ＝45°； （2）如图2，过B 作BM ∥DF 交OF 于G ，交⊙O 于点M 。若AD ＝6，求BM 的长。

最新中考《圆》有关的证明和计算

（一对一）辅导专题讲解 备课时间：授课时间： 年级：初三 学生姓名：授课老师：课题：圆的证明与计算 教学目标对所学过的与几何有关的性质、定理要熟记，并通过多做题达到熟能生巧重点会进行圆的有关计算与证明 难点对一些解题方法的理解与运用 教学内容 《圆的证明与计算》专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： 方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连

人教版九年级数学上册圆的有关证明和计算 专项练习题(无答案)

与圆有关的计算专题 1、如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF. (1)求证：AD⊥ED； (2)若CD=4，AF=2，求⊙O的半径。 2、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上， ∠BCD=∠BAC. (1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积。 3、如图，AH是O的直径，AE平分∠FAH，交O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E. F分别在矩形ABCD的边BC和CD上。 (1)求证：直线FG是O的切线； (2)若CD=10，EB=5，求☉O的直径。 4、如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE ⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AE=6,∠D=30°，求图中阴影部分的面积。

5、如图,AB是O的直径,∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F. (1)求证：CF是O的切线； (2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)

6、正如我们小学学过的圆锥体积公式V=13πr2h(π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h 表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确。在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少。现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内。即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习． 7、如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6，16π的长方形，那么这个圆柱的体积等