16.2.2二次根式的除法
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16.2.2二次根式的除法(教案)
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了二次根式的除法，这是一个对学生来说相对新颖且具有一定难度的概念。我注意到，在引入新课时，通过联系日常生活的问题，学生的兴趣被成功激发，他们对接下来的学习内容充满了好奇心。
在理论介绍环节，我发现学生们对于被开方数相除的概念接受得比较快，但当我引入带分数的二次根式除法时，一些学生开始表现出困惑。我及时放慢了讲解速度，通过详细的步骤分解和例题演示，帮助学生逐步理解了这个难点。我认为，在未来的课程中，我需要准备更多的类似例题，让学生有更多的练习机会，以便更好地掌握这个知识点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式除法的基本概念。二次根式除法是指将两个含有二次根式的数相除，其基本法则是两个二次根式相除等于它们的被开方数相除。这个概念在数学运算和实际问题中都有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算√36 / √4，通过二次根式除法的法则，我们可以简化这个计算过程，得到3。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的除法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算一个数是另一个数的平方根的几倍的情况？”（例如，计算一个正方形的边长是另一个正方形边长的平方根的两倍）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式除法的奥秘。
在今天的课堂中，我们探讨了二次根式的除法，这是一个对学生来说相对新颖且具有一定难度的概念。我注意到，在引入新课时，通过联系日常生活的问题，学生的兴趣被成功激发，他们对接下来的学习内容充满了好奇心。
在理论介绍环节，我发现学生们对于被开方数相除的概念接受得比较快，但当我引入带分数的二次根式除法时，一些学生开始表现出困惑。我及时放慢了讲解速度，通过详细的步骤分解和例题演示，帮助学生逐步理解了这个难点。我认为，在未来的课程中，我需要准备更多的类似例题，让学生有更多的练习机会，以便更好地掌握这个知识点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式除法的基本概念。二次根式除法是指将两个含有二次根式的数相除，其基本法则是两个二次根式相除等于它们的被开方数相除。这个概念在数学运算和实际问题中都有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算√36 / √4，通过二次根式除法的法则，我们可以简化这个计算过程，得到3。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的除法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算一个数是另一个数的平方根的几倍的情况？”（例如，计算一个正方形的边长是另一个正方形边长的平方根的两倍）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式除法的奥秘。
人教版八年级数学下册 16.2.2 二次根式的除法(教学课件)
1.了解二次根式的除法法则.（重点） 2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算. （难点） 3.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）
一、二次根式的乘法你都知道哪些核心知识？ 1.二次根式的乘法法则：
即：二次根式相乘，__根__指__数__不变，被__开__方__数__相乘.
语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
(3) 2 1＝ 9＝ 3 . 4 42
(4)
27 16x2
32 3 42 • x2
=
32 3 = 42 • x2
32 3 =- 3 3 . 42 x2 2x
前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉 2 这样的式子分 还有别的方法吗？3
母的根号吗？
2 3
2= 3
23 =
33
6 32
=
6= 6 32 3
(3) 36 = 36 .
49 49
思考：你能用字母表示你所发现的规律吗？
一般地，Байду номын сангаас次根式的除法法则是：
即：二次根式相除，__根__指__数__不变，被__开__方__数__相除. 语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易 得
2a 2a a a a a
【点睛】分母形如 n a 的式子，分子、分母同乘以 a 可使分母不含根号.
观察上面三道例题中各小题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式 有如下两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不 含二次根式.
一、二次根式的乘法你都知道哪些核心知识？ 1.二次根式的乘法法则：
即：二次根式相乘，__根__指__数__不变，被__开__方__数__相乘.
语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
(3) 2 1＝ 9＝ 3 . 4 42
(4)
27 16x2
32 3 42 • x2
=
32 3 = 42 • x2
32 3 =- 3 3 . 42 x2 2x
前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉 2 这样的式子分 还有别的方法吗？3
母的根号吗？
2 3
2= 3
23 =
33
6 32
=
6= 6 32 3
(3) 36 = 36 .
49 49
思考：你能用字母表示你所发现的规律吗？
一般地，Байду номын сангаас次根式的除法法则是：
即：二次根式相除，__根__指__数__不变，被__开__方__数__相除. 语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易 得
2a 2a a a a a
【点睛】分母形如 n a 的式子，分子、分母同乘以 a 可使分母不含根号.
观察上面三道例题中各小题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式 有如下两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不 含二次根式.
八年级数学人教版下册课件 16.2.2 二次根式的除法
1 C. 8 D. 2 9．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1) 3a2b；(2) 52；(3) x2＋y2；(4) 6；(5) x2y2；(6) 0.21.
解：(3)(4)是最简二次根的取值范围是( C )
A．a≤0 B．a＜0
C．0＜a≤1 D. a＞0
11．若 a＞0，把 －b4a化成最简二次根式为( C )
2 A.b
－ab
B．－2b ab
C．－2b －ab D. 2b －ab
12．(2015·南京)计算
5× 3
15的结果是__5__．
13．若 xx－ －23＝ xx－ －23成立，则 x 的取值范围是__x_＞__3____.
14．已知长方形的面积是 48 cm2，其中一边的长是 32 cm，则另
一边的长是__6___2__cm.
15．计算： (1) 45÷3 51×32 5；
解：原式＝125 5
(2)－43 18÷2 8×13 54； 解：原式＝－ 6
(3)2 xy÷(－32 x2y·3 x)． 解：原式＝－94x
16．在△ABC 中，BC 边上的高 h＝6 3 cm，它的面积恰好等于 边长为 3 2 cm 的正方形的面积，求 BC 的长．
2．下列运算正确的是( C )
A. 10÷ 2＝2 2 B. 10÷2 5＝2 2
C. 27÷ 3＝3 D. 42＋32＝4＋3＝7
3. 23..56＝__56__；3 30÷ 10＝__3___3__． 4．计算：
(1)
12； 3
解：2
28 (2) 3÷ 27.
解：32
知识点 2：二次根式除法的逆用： ba＝ ab(a≥0，b＞0) 5．下列计算错误的是( C )
解：(3)(4)是最简二次根的取值范围是( C )
A．a≤0 B．a＜0
C．0＜a≤1 D. a＞0
11．若 a＞0，把 －b4a化成最简二次根式为( C )
2 A.b
－ab
B．－2b ab
C．－2b －ab D. 2b －ab
12．(2015·南京)计算
5× 3
15的结果是__5__．
13．若 xx－ －23＝ xx－ －23成立，则 x 的取值范围是__x_＞__3____.
14．已知长方形的面积是 48 cm2，其中一边的长是 32 cm，则另
一边的长是__6___2__cm.
15．计算： (1) 45÷3 51×32 5；
解：原式＝125 5
(2)－43 18÷2 8×13 54； 解：原式＝－ 6
(3)2 xy÷(－32 x2y·3 x)． 解：原式＝－94x
16．在△ABC 中，BC 边上的高 h＝6 3 cm，它的面积恰好等于 边长为 3 2 cm 的正方形的面积，求 BC 的长．
2．下列运算正确的是( C )
A. 10÷ 2＝2 2 B. 10÷2 5＝2 2
C. 27÷ 3＝3 D. 42＋32＝4＋3＝7
3. 23..56＝__56__；3 30÷ 10＝__3___3__． 4．计算：
(1)
12； 3
解：2
28 (2) 3÷ 27.
解：32
知识点 2：二次根式除法的逆用： ba＝ ab(a≥0，b＞0) 5．下列计算错误的是( C )
16.2.2 二次根式的除法 课件 人教版八年级数学下册
××
√
×
×
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×
√
√
课堂小测
4.计算:
解： 18 = 18 = 3.
;
6
6
2
25 5;
解： 25 = 5
25 = 5. 5
3 6x2 y 解： 6x2 y = 6x2 y = 2x.
3xy ;
3xy
3xy
4 56 解： 56 =- 1 56 =- 1 4= 1.
八年级数学人教版·下册
第十六章 二次根式
16.2.2 二次根式的除法
教学目标
1.会进行简单的二次根式的除法运算 , 会用商的算术平方根的 性质进行二次根式的化简与运算 ;（重点）
2.二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用 .（难点）
新课导入
如果 a≥0 , b≥0 , 那么有 a· b ab（a≥0 , b≥0）;
知识归纳
a = a (a≥0 , b>0) , 即商的算术平方根等于 bb 被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 .
(1) 当a<0 , b<0时 , 虽然 a 有意义 , 但是 a = -a , 而不等于 a .
b
b -b
b
(2) 如果被开方数是带分数 , 应先将其化成假分数 , 如 4 1 必
6
(2)当被除式中的被开方数不能被除式中的被开方数整除时 , 或 者被除式是整数而除式是二次根式时 , 可以利用分数的基本性质 把分母中的根号化去 . 如 2 = 2 5 = 10 ，2 = 2 7 = 2 7 .
5 5 5 5 7 7 7 7
16.2.2二次根式乘法除法 正式稿
(2) 99 99 199=100；
(3) 999 999 1999=1000；
(4) 9999 9999 19999=10000.
观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现 的规律直接写出下题的结果：
99 9 99 9 199 9 100 0
n个9
n个9
n个9
n个0 .
课堂小结
八年级 下册
16.2 二次根式的乘除（3）
复习导入
二次根式的除法法则是：
a a a 0，b 0.
bb 文字语言： 二次根式与二次根式相除，被开方数相除， 根指数不变. 二次根式的除法法则的逆用：
a a a 0，b 0
bb
公式的拓展
a b c a b c a 0,b 0,c 0
解：(1) b b2 4ac 2a
10 102 4 1 (15)
21 10 160 5 2 10.
2
5.根据下列条件求代数式 b b2 4ac 的值； (1) a=1，b=10，c=－15； 2a
(2) a=2，b=－8，c=5．
解：(2) b b2 4ac 2a
8 (8)2 4 2 5
（1）最简二次根式有何特征？ 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
（2）如何化去分母中的根号，请举例说明． 可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数
基本性质化去分母中的根号．
课堂小结
（3）把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什 么？ 把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二
m a n b m n a b a 0,b 0
最简二次根式有何特征？
（1）：被开方数不含分母或分母中不含根号； （2）：被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
2020年春人教版初中数学八年级下册同步课件 第十六章 16.2 16.2.2 二次根式的除法
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2．计算：
27×
8 3÷
12＝________.
解析： 27× 答案：12
8 3÷
12＝3 3×
8 3÷
12＝3
3×83×2＝12.
八年级数学 ·下
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母题变式
(改变问法)计算 27× 83÷ 提示：原式＝ 27× 83×2
12的结果与原题相同吗？
＝ 27×83×2＝12. 答案：相同
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易错警示 二次根式的运算结果必须化为最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有二次根 式．
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[纠错训练] 计算：(1) 132；(2) 32÷ 18；(3)4 21÷(－2 7)．
解析： 12＝ 3
132＝ 4＝2.
(2)
3 2÷
1＝ 8
32÷18＝
32×8＝ 3×4＝ 3×2＝2 3.
解析：(1)
48＝ 3
438＝ 16＝4；
(2) 21255＝12·
125＝1 52
25＝12×5＝52.
(3)－
1 23÷
16＝－
11 23÷6
＝－ 73×6＝－ 14.
(4)∵a＞0，b＞0，
∴ a3b6＝ ab
a3b6＝ ab
a2b5＝ab2
b.
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答案：C
八年级数学 ·下
－ 2．把
45y2化简后得(
)
3 5y
－ 9y A. 3
B．－ y
C．－3 5y
D.3
5 5
16.2.2二次根式的除法课件
∴ 4= 9
4 9
∵ 0.25 ( ) =( 0.36 ( )
)； 0.25 = ( 0.36 (
) ( )
)
∴
0.25 0.36
=
0.25 0.36
活动探究
44
=
99
0.25 0.25
=
0.36 0.36
从中你发现了什么规律？
活动探究
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1） 16 =( 4 ), 25 5
B
C
在RT△ABC中，由勾股定理得：
AB AC2 BC2 (2 3)2 (3 5)2 57
4.计算：( 1 1 1 L 1 ) ( 11 1)
21 3 2 2 3
11 10
解：( 1 1 1 L 1 ) ( 11 1)
21 3 2 2 3
11 10
=
21
3 2
典例精讲
例3 计算： 1
3 5
2 3 2
27
3 8
2a
（2）3 2 = 27
32
=
32 3
32 =
32 3
2= 3
2 3
3
=
6
33
（3） 8 = 2a
8 2a 2a 2a
4a 2a
2
a a
举一反三
按照例题化简下列式子.
3 32
3 42 2
4
3 2
3 4 2
2 2
6 42
6 8
5 18
5
32 2 3
5 2 3
5 2
2 2
10 32
10 6
3 4
8 3 24
人教版 八年级下册16.2.2二次根式的除法
例5：化简 1 3
100
2
25x 9y2
解： 1 3 3 3
100 100 10
2
25x 9y2
25x 5 x 9y2 3y
1、化简
（1） 3
64
45
（2）
125
解（: 1） 3 =
64
33 =
64 8
（2）
45 =
32 5 =
32
3 =
125 52 5 52 5
）.
2、
a= b
ba（ a ≥0, b >0 ）
再见
求它的底面积S。
解：Q Vs Vsh 4 3 4 3 2 h 3 2 3 2 2
4 6 2 6
6
3
(3) 3
8 40
5
解: 8 5
3 40
40
=
3 40
1
=
3
(4) 27 50 6
解: 27 50 6
=3 35 2 6 = 15 6 6
= 15
注意： 以上变形的目的是为了被__开__方__数_不__含_.分母
例题解析
最简二次根式
例6 计算：
（2）3 2
知 识 点
解： 273 2 =
27
32
32
32 3 = 32 3
一
3
=
3
2 3
=
2 3
=
2 3
2
6
=________
3
3
最简二次根式
归纳：
满足以下两个条件： (1)被开方数不含__分__母________； (2)被开方数中不含能__开__得__尽_方_ 的因数或 因式.这样的二次根式叫做最简二次根式. 注意：二次根式的运算结果要化为 最简二次根式，并且分母中不含_二__次_根__式__.
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(3) 16 4 ( 4) 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
a
a
（a≥0,b＞0）
bb
－ －531成、1立解 、的： 等条要 式件使mm是等－ －_式 _53_＝成 _m_>_立_5mm_，－ －__m53_必_成。须立满的足条 件
a a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
例：化简
(1) 1 3 16
2
925yx（ 2 x＞0）(3)
0.09 169 0.64 196
练习一：
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
在二次根式的运算中， 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
3
化简：
8
最简二次根式
①被开方数不含分母或分母不含被开方数； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
练习：把下列各式分母有理化：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 ；
37
3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b ＝ 2a a＋b
a＋b • a＋b
a＋b
（3） 3
2＝
2 ＝
40 3 • 2 10 6
2 • 10
＝
10 • 10
20 ＝ 2 5 ＝ 5 60 60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清
楚分式的分子和分母都乘什么，有时还
要先对分母进行化简。
m-3 0 m-5>0
m
5
a a a 0,b 0
bb
例：计算 1 24
3
2 3 6 1
2 18
如果根号前有系数，就把系数相
除，仍作为二次根号前的系数。
注意：
如果被开方数是带分数， 应先化成假分数。
练习: (1) 8.4
0.12 (2) 3 6
63 （3）2 1 1 5 1
Hale Waihona Puke 26探究把 a a 反过来，就可以得到: bb
复习： 45 - 48
532 282
化简时注意： 被开方数中不含能开得尽方的 因数或因式。
一个长方形的面积为 18cm2，宽为 3cm， 这个长方形的长是多少？
解 : 长方形的长为： 18 3
这个结果能否化简？如何化简？
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
练习：下面的式子是不是最简二次根式？
（1） 1，（2） 40，（3）1.5 4 x2 y2
a
5 a2 b2，（6） a2 a2b2
解：
6 a2 a2b2 a2(1 b2)
a2 • 1b2
a 1b2
计算 1 3 2 3 2 3 8
6
27
2a
把分母中的根号化去,使分母变成有理 数（式）,这个过程叫做分母有理化。