圆周角习题课
2018春九年级数学下册第三章《圆》4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论2,3习题(新版)北师大版
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第3讲 圆基础(二)圆周角
第三讲 圆基础（二） 圆周角1、 角叫做圆周角。
2、在一个圆中，一条弧所对的 角等于该弧所对的 角的一半。
3、在同一个圆中，同弧或等弧所对的 角相等。
相等的 角所对的弧相等。
1、填空题（1）如图四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOC ＝100°，则∠A ＝ °（2）如图，A 、B 、C 是⊙O 上三点，D 是AB 延长线上一点，∠CBD ＝65°，则∠AOC ＝ °（3）如图，已知⊙O 的弦AD 、CB 交于点E ，AC ︵的度数为60°，BD ︵的度数为100°，则∠AEC ＝。
2、选择题（1）半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为( )(A) 5cm ； (B) ； (C) 6cm ； (D) cm ；（2）中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分．然后连结五等分点而得（如图）．五角星的每一个角的度（ ）（A ）30°（B ）35°（C ）36°（D ）37°3、解答题：1）在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x ＋100）°和（5x －30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.2）如图5，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC ，求证：∠ACB=2∠BAC 。
D OCBA图1 DO C B A 图2 D 第3题1、 或 所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
2、 °的圆周角所对的弦是圆的直径。
3、如果三角形一边上的 线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.1、填空题1）如图1，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点且∠EOD ＝45°，A 是DC 延长线上一点，AE 交半圆于B ，如果AB ＝OC ，则∠EAD ＝2）圆中一弦的长恰好是半径的2倍，则这条弦所对的圆周角的度数是 。
圆周角复习讲义(知识总结+例题+练习题)
圆周角复习讲义一、基础知识点角 ] 特殊的角[] 90 0的圆周角[] 直径所对的圆周角弧 ] 半圆所对的圆周角] 等弧所对的圆周角[] 顶点、两边圆 ] 顶点在圆上，角的两边和圆相交[公共点] 顶点在角的两边上[] 圆周角是圆内接多边形的内角[ 圆 ] 顶点在圆上，两边和圆相交的角弦 ] 有公共端点的两条弦所成的角弧 ] 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半] 命题的结构]同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等] 圆周角所对的弧是半圆] 等圆中相等的圆周角所对的弧相等,所对的弦也相等等圆中相等的弧所对的圆周角相等,所对的弦也相等等圆中相等的弦所对的圆周角相等,所对的弧也相等] 圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的一个外角等于它的内对角角 ] 圆心角弦切角顶点在圆上不是圆周角的角圆内角圆外角顶点与圆的位置] 圆心角角的两边圆的位置] 弦切角二、知识的应用（例题）例1 如图7—96、OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．证明：由OA、OB、OC都是⊙O的半径可知，例2 如图7—97，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB．解：∵⊙O是△ABC的外接圆∴∠A、∠B、∠C是圆周角，∠AOB是圆心角．又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°，∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)=180°-(50°＋47°)=83°．∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°．例3、如下右图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是弧AC上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F．(1)当弧PA=弧AB时，求证：AE=EB；(2)当点P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论．[过程](1)连结AB．证AE=EB．需证∠ABE＝∠BAE．(2)执果索因寻条件：要AF=EF，即要∠A＝∠AEF，而∠AEF=∠BED，而要∠A=∠BED，只需∠B＝∠C，从而转化为弧PC=弧AB．[结果](1)证明：延长AD交⊙O于点M，连结AB、BM．∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D．∴弧AB=弧BM．∴∠BAD＝∠BMD．又∵弧AB=弧AP，∴∠ABP=∠BMD．∴∠BAD＝∠ABP．∴AE＝BE．(2)当弧PC=弧AB时，AF=EF．证明：∵弧PC=弧AB，∴∠PBC=∠ACB．而∠AEF＝∠BED＝90°-∠PBC，∠EAF=90°-∠ACB．∴∠AEF=∠EAF．∴AF=EF．三、课堂练习：1．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°．则∠BAC＝_____2．△ABC是半径为2 cm的圆内接三角形，若BC=23 cm，则∠A的度数为 .3．在⊙O中，直径AB＝10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC= cm，AD= cm，BD= cm．参考答案：1．48°或132° 2．60°或120°3．8 52 52。
圆周角定理(1)全面版
已知:⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC A
圆心角是∠BOC
求证： ∠BAC= 1 ∠BOC
O
证明：（1）圆心O2在∠BAC的一条边上
C BC
OA=OC
∠C=∠BAC
∠BOC= ∠C+∠BAC
∠BAC= 1 ∠BOC
2
（2）圆心O在∠BAC的内部 作直径AD，利用（1）的结果得
OB AD
C O
D
B
（2）等弦对等弧（× ） （3）等弧对等弦（√ ）
A
B
（4）长度相等的两条弧是等弧（× ）
（5）平分弦的直径垂直于弦（× ）
自学思考
阅读课文76---77页： 1、什么样的角是圆周角？圆周角应具有什么条件？ 2、圆周角定理的内容是什么？是如何证明的？ 3、在证明圆周角定理时运用了哪种数学方法？ 4、试完成课本P78的练习题。
光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就 是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是 伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何 必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己 经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的 鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来， 我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！ 为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友 情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离 开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白 云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可 取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起 的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每 刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草
最新九年级数学上册 2.4圆周角 2课时特殊圆周角同步练习新版苏科版
第2章对称图形——圆2.4 第2课时特殊的圆周角知识点 1 利用直径所对的圆周角是直角求角度1．如图2－4－15，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠B的度数为( ) A．80° B．60° C．50° D．40°图2－4－15图2－4－162．如图2－4－16，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为( )A．50° B．40° C．45° D．60°3．如图2－4－17，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝________°.图2－4－17图2－4－184．[2017·株洲] 如图2－4－18，已知AM是⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.5．如图2－4－19，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°.求∠CEB的度数．图2－4－19知识点 2 利用直径所对的圆周角是直角求线段长6．教材练习第1题变式如图2－4－20，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是( )A.10 cm B．5 cm C．6 cm D图2－4－20图2－4－217．如图2－4－21，AB是⊙O的直径，若BC＝5，AC＝12，则⊙O的直径AB为________．8．[2017·台州] 如图2－4－22，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．图2－4－229．如图2－4－23，⊙O以等腰三角形ABC的一腰AB为直径，它交另一腰AC于点E，交BC 于点D.求证：BC ＝2DE.图2－4－23图2－4－2410．如图2－4－24，AB 是半圆的直径，D 是AC ︵的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°11．[2017·海南] 如图2－4－25，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是________．图2－4－25图2－4－2612．如图2－4－26，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC∥BD，AD 与BC ，OC 分别相交于点E ，F ，则下列结论：①AD⊥BD；②CB 平分∠ABD；③∠AOC ＝∠AEC；④AF＝DF ；⑤△CEF ≌△BED ；⑥BD＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．13．如图2－4－27，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD∥BC，OD 与AC 交于点E.(1)若∠B＝70°，求∠CAD 的度数； (2)若AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长．图2－4－2714．如图2－4－28，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使CD＝BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．图2－4－2815．已知：如图2－4－29①，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD＝2，直线AD，BC相交于点E.(1)∠E的度数为________；(2)如图②，直径AB与弦CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；(3)如图③，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．图2－4－291．C [解析] 因为AB 是⊙O 的直径，所以∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，则∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.故选C .2．A [解析] ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵∠ABD ＝∠ACD＝40°，∴∠BAD ＝180°－90°－40°＝50°. 3．90 [解析] 连接AC ，则∠ACB＝90°. 根据圆周角定理，得∠ACE＝∠2， ∴∠1＋∠2＝∠AC B ＝90°. 4．805．解：如图，连接BC ，则∠ADC＝∠B.∵∠ADC ＝50°， ∴∠B ＝50°.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝40°.∵∠CEB ＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD ＝60°， ∴∠CEB ＝60°＋40°＝100°. 6．B 7．138．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°，∴∠AEP ＝45°. ∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°， ∴△APE 是等腰直角三角形．(2)∵△ABC 和△APE 均是等腰直角三角形， ∴AC ＝AB ，AP ＝AE ，∠CAB ＝∠PAE＝90°， ∴∠CAP ＝∠BAE.在△APC 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAP ＝∠BAE，AP ＝AE ，∴△APC ≌△AEB ，∴PC ＝EB.∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PBE ＝90°，∴PC 2＋PB 2＝EB 2＋PB 2＝PE 2＝4. 9．证明：连接AD ，BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠C，BD ＝DC ， 即BC ＝2DC.∵∠DAE ＝∠DBE，∠ADE ＝∠ABE，∴∠DEC ＝∠DAE＋∠ADE＝∠DBE＋∠ABE＝∠ABC＝∠C， ∴DE ＝DC ，∴BC ＝2DE. 10．C [解析] 连接BD. ∵D 是AC ︵的中点，即CD ︵＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠CBD.∵∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠DAB ＝90°－25°＝65°. 11.5 2212．①②④⑥13．解：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠B ＝20°. 又∵OD∥BC，∴∠AOD ＝∠B＝70°. ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO＝12(180°－∠AOD)＝55°，∴∠CAD ＝∠DAO－∠CAB＝35°. (2)在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝7. ∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠A CB ＝90°， 即OE⊥AC，∴AE ＝EC. 又∵OA＝OB ，∴OE ＝12BC ＝72.∵OD ＝12AB ＝2，∴DE ＝OD －OE ＝2－72. 14． (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，即AC⊥BC.又∵CD＝BC ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D. (2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即(x －2)2＋x 2＝42，解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)， ∴BC ＝1＋7.∵∠B ＝∠E，∠B ＝∠D， ∴∠D ＝∠E， ∴CD ＝CE. ∵CD ＝BC ，∴CE ＝BC ＝1＋7.15． (1)如图①，连接OD ，OC ，BD.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DBC＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－30°＝60°.(2)如图②，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠E＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°.(3)如图③，连接OD，OC.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝∠BED＝60°.第2章对称图形——圆图2－Y －11．[2017·徐州] 如图2－Y －1，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB＝( ) A ．28° B ．54° C ．18° D ．36°2．[2017·宿迁] 若将半径为12 cm 的半圆形纸片拼成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．6 cm3．[2016·南京] 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为( )A ．1B . 3C ．2D ．2 3图2－Y －24．[2017·苏州] 如图2－Y －2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝56°.以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是⊙O 上一点，且CE ︵＝CD ︵，连接OE ，过点E 作EF⊥OE，交AC 的延长线于点F ，则∠F 的度数为( )A ．92°B ．108°C ．112°D ．124°5．[2017·南京] 过三点A(2，2)，B(6，2)，C(4，5)的圆的圆心坐标为( )A ．(4，176)B ．(4，3)C ．(5，176) D ．(5，3)6．[2017·连云港] 如图2－Y －3所示，一动点从半径为2的⊙O 上的点A 0出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从点A 2出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处……按此规律运动到点A 2017处，则点A 2017与点A 0之间的距离是( )A ．4B ．2 3C ．2D ．0图2－Y －3图2－Y －47．[2017·扬州] 如图2－Y －4，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO.若∠B＝40°，则∠OAC＝________°.8．[2016·南京] 如图2－Y －5，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是AB 上一点，则∠ACB ＝________°.图2－Y －5图2－Y －69．[2017·镇江] 如图2－Y －6，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于点D.若∠CAD＝30°，则∠BOD＝________°.10．[2016·泰州] 如图2－Y －7，⊙O 的半径为2，点A ，C 在⊙O 上，线段BD 经过圆心O ，∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD ＝3，则图中阴影部分的面积为________．图2－Y －7图2－Y －811．[2017·盐城] 如图2－Y －8，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AMB ︵上，点D 在AB ︵上．若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°.12. [2016·南通] 已知：如图2－Y －9，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，过⊙O 上一点B 作BD⊥AM 于点D ，BD 交⊙O 于点C ，OC 平分∠AOB.(1)求∠AOB 的度数；(2)若⊙O的半径为2 cm，求线段CD的长．图2－Y－913．[2017·淮安] 如图2－Y－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O 为圆心，OA长为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得EF＝BF，EF与AC交于点C.(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．图2－Y－1014．[2016·宿迁] 如图2－Y－11①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．图2－Y－1115．[2017·盐城] 如图2－Y－12，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A，D，E的圆的圆心F恰好在y 轴上，⊙F与y轴相交于另一点G.(1)求证：BC是⊙F的切线；(2)若点A，D的坐标分别为(0，－1)，(2，0)，求⊙F的半径；(3)试探究线段AG，AD，CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．图2－Y－12详解详析1．D [解析] 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝12∠AOB ＝12×72°＝36°.故选D.2．D 3.B4．C [解析] 连接OD .∵∠ACB ＝90°，∠A ＝56°，∴∠B ＝34°.在⊙O 中，∵CE ︵＝CD ︵， ∴∠COE ＝∠COD ＝2∠B ＝68°.又∵OE ⊥EF ，∠OCF ＝∠ACB ＝90°，∴∠F ＝112°.故选C.5．A [解析] 根据题意，可知线段AB 的垂直平分线为直线x ＝4，所以圆心的横坐标为4，然后设圆的半径为r ，则根据勾股定理可知r 2＝22＋(5－2－r )2，解得r ＝136，因此圆心的纵坐标为5－136＝176，因此圆心的坐标为(4，176)．6．A [解析] 如图所示，当动点运动到点A 6处时，与点A 0重合，2017÷6＝336……1，即点A 2017与点A 1重合，点A 2017与点A 0之间的距离即A 0A 1的长度，为⊙O 的直径，故点A 2017与点A 0之间的距离是4，因此选A.7．50 [解析] 根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，连接OC ，便有∠AOC ＝2∠B ＝80°，再由OA ＝OC ，根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得∠OAC ＝50°.8．1199．120 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，∴AC ⊥AO ，即∠CAO ＝90°.∵∠CAD ＝30°，∴∠DAO ＝60°，∴∠BOD ＝2∠DAO ＝120°.故答案为120.10.5π3 [解析] 如图，连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝2.∵∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD＝3，∴OD ＝1，BO ＝3，∴S △ABO ＝S △ODC ，∠AOB ＝30°，∠COD ＝60°，∴∠AOC ＝180°－60°＋30°＝150°，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝150π×22360＝5π3.故答案为5π3.11．110 [解析] 如图，设点D ′是点D 折叠前的位置，连接AD ′，BD ′，则∠ADB ＝∠D ′.在圆内接四边形ACBD ′中，∠ACB ＋∠D ′＝180°，所以∠D ′＝180°－70°＝110°，所以∠ADB ＝110°.12．解：(1) ∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC ＝∠COB .∵AM 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AM . 又BD ⊥AM ，∴OA ∥BD ，∴∠AOC ＝∠OCB . 又∵OC ＝OB, ∴∠OCB ＝∠B ，∴∠B ＝∠OCB ＝∠COB ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.(2)过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由(1)得△OBC 为等边三角形． ∵⊙O 的半径为2 cm ，∴BC ＝2 cm ，∴CE ＝12BC ＝1 cm.由已知易得四边形AOED 为矩形， ∴ED ＝OA ＝2 cm ， 则CD ＝ED －CE ＝1 cm.13．解：(1)直线EF 与⊙O 相切． 理由：如图所示，连接OE . ∵EF ＝BF ，∴∠B ＝∠BEF . ∵OA ＝OE ，∴∠A ＝∠AEO .∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. ∴∠AEO ＋∠BEF ＝90°， ∴∠OEG ＝90°，∴OE ⊥EF ， ∴直线EF 与⊙O 相切．(2)如图所示，连接ED .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°. ∵∠A ＝30°，∴∠ADE ＝60°.又∵OE ＝OD ，∴△ODE 是等边三角形． ∴∠DOE ＝60°.由(1)知∠OEG ＝90°， ∴∠OGE ＝30°.在Rt △OEG 中，OG ＝2OE ＝2OA ＝4，∴EG ＝OG 2－OE 2＝2 3，∴S △OEG ＝12OE ·EG ＝12×2×2 3＝2 3，S 扇形OED ＝60360×π×22＝23π，∴S阴影＝S△OEG－S扇形OED＝2 3－23π.14．解：(1)证明：如图，连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE.∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∠ADB＝∠ACB＋∠CAD，∴∠ABC＝∠CAD.∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠EAD＝90°－∠AED.∵∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠ABC＝∠CAD，∴∠EAD＝90°－∠CAD，即∠EAD＋∠CAD＝90°，∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABC＋∠ADB＝90°.∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∴4∠ABC＝90°，∴∠ABC＝22.5°，由(1)知∠ABC＝∠CAD，∴∠CAD＝22.5°.15．解：(1)证明：如图，连接EF.∵AE平分∠BAC，∴∠FAE＝∠EAC.∵EF＝AF，∴∠FAE＝∠FEA，∴∠EAC＝∠FEA，∴EF∥AC，∴∠BEF＝∠C.∵AB是Rt△ABC的斜边，∴∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，即EF⊥BC.又∵EF是⊙F的半径，∴BC是⊙F的切线．(2)如图，连接DF.∵A (0，－1)，D (2，0)， ∴OA ＝1，OD ＝2.设⊙F 的半径是r ，则FD ＝r ，OF ＝r －1. ∵OD ⊥OF ，∴OF 2＋OD 2＝FD 2，即(r －1)2＋22＝r 2，解得r ＝2.5， ∴⊙F 的半径是2.5. (3)2CD ＋AD ＝AG .证明：如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H . ∵F 是圆心，FH ⊥AC ， ∴AH ＝DH ＝12AD ，∠FHD ＝90°.∵∠BEF ＝∠C ＝90°，∴∠CEF ＝90°， ∴四边形CEFH 是矩形，∴CH ＝EF . ∵AG 是⊙F 的直径，∴EF ＝12AG ，∴CH ＝12AG .∵AD ＋CD ＝AC ＝AH ＋CH ， ∴AD ＋CD ＝12AD ＋12AG ，∴2CD ＋AD ＝AG .。
圆周角(1)
二、思想方法
1.从特殊到一般研究问题的方法。
2.分类、化归思想。
A A
. 转化
O
转化
O
A
B
C
BC
B
C
分类
课本习题25.4 第1、2题。
O.
A
B
下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
你能画一个圆周角吗？ 试试看！
圆心在圆周 角的一边上
圆心在圆周 角的内部
圆心在圆周 角的外部
弧BC所对的圆周角你能画出多少个？
B · ·C
A1
·O
A2 A3 ……
同一条弧所对圆周角有无数 个。
圆心在圆周 角的一边上
解 : 连接BC，则∠ACB=90°， ∠DCB=∠ACB-∠ACD
=90°- 60° =30° ∵∠BAD=∠DCB=30° ∴∠APC=∠BAD+∠ADC =30°+70° =100°
一、知识要点
（1）顶点在圆上； 1.圆周角的定义：
（2）角的两边都与圆还各有一个交点.
2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角 的一半。
连接AO并延长交⊙O于点D. 由(1)可得:
∠DAB = 1∠DOB,∠DAC = 1∠DOC,
2
2
D
∠DAC- ∠DAB = 1 ∠DOC- 1 ∠DOB
2
2
∴ ∠BAC = 1 ∠BOC. 2
思考题：已知⊙O中弦AB等于半径,求弦AB 所对的圆心角和圆周角的度数.
24.1.4圆周角(人教新课标九年级上)
C O
B A
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB
（2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有
怎样的关系？为什么？
A
Qp O
B
小结：
本节课你学会了什么?
1、圆周角的定义； 2、圆周角定理及证明； 3、圆周角定理的运用； 4、圆内接多边形的定义； 5、圆内接四边形的性质。
一、圆周角概念
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两 边都与圆相交的角叫做圆周角。
图中的∠ACB、∠ADB 和∠AEB是圆周角 C
D A
O·
E
B
课本P88-1判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？ 并说明理由。
P
PPຫໍສະໝຸດ PP不是 不是
顶点不 顶点不 在圆上。 在圆上。
是
不是
顶点在圆 上，两边 和圆相交。
两边不和 圆相交。
24.1.4 圆周角
教学目标
1．理解圆周角的概念，会识别圆周角。 2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算。 3.能推导和理解 圆 周 角 定理的两个推论，并能利用这两个推论解决 相关的计算和证明等问题。 4.知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形 都有外接圆。 5.能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算 和证明等问题。 6.经历观察、类比、猜想、合作交流等数学活动，体会运用分类讨 论、转化、完全归纳法等数学思想方确法解决问题,培养学生分析问题和 解决问题的能力。
∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：连接OD
∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
新人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课时练习(解析版)
新人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课时练习一、选择题1、在⊙O中，同弦所对的圆周角（）A、相等B、互补C、相等或互补D、都不对2、如图，在⊙O中，弦AD=弦DC ，则图中相等的圆周角的对数是（）A、5对B、6对C、7对D、8对3、下列说法正确的是（）A、顶点在圆上的角是圆周角B、两边都和圆相交的角是圆周角C、圆心角是圆周角的2倍D、圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4、下列说法错误的是（）A、等弧所对圆周角相等B、同弧所对圆周角相等C、同圆中，相等的圆周角所对弧也相等D、同圆中，等弦所对的圆周角相等5、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数是（）A、20°B、25°C、30°D、50°6、如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA ，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A、25°B、40°C、30°D、50°7、在⊙O中，同弦所对的圆周角( )A、相等B、互补C、相等或互补D、都不对8、下列说法正确的是( )A、顶点在圆上的角是圆周角B、两边都和圆相交的角是圆周角C、圆心角是圆周角的2倍D、圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9、如图，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )A、30°B、60°C、15°D、20°10、如图，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )A、75°B、60°C、45°D、30°11、用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )A、B、C、D、12、已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是( )A、10°B、20°C、40°D、80°13、如图24-1-4-17所示，AB为⊙O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列叙述正确的是( )A、为锐角B、为直角C、为钝角D、二、填空题14、如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.15、如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=________.16、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是和，则∠BAC的度数是________.17、如图24-1-4-16所示，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=________.18、如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=________°,∠ABD=________°19、如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF ，那么________（只需写一个正确的结论）.20、圆周角是24度，那么它所对的弧是________度.三、解答题21、如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D ，求BC、AD 和BD的长.22、如图(1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证：(1)△DOE是等边三角形.(2)如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC ，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.23、四边形ABCD中，AB∥DC ，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.图24-1-4-1124、在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？25、如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC ，交AC于D ，BC=4 cm.(1)求证：AC⊥OD；(2)求OD的长；答案解析部分一、选择题1、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补. 【分析】此题考查了圆周角定理，要考虑全面.2、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2= ∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC ，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.【分析】在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.3、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】本题考查圆周角和圆心角的联系，解决本题的关键为在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.【分析】此题考查了圆周角定理.4、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】同圆或是等圆中才存在等弦所对的圆周角相等或互补.【分析】此题考查了原周角定义，本题为常考题，容易弄错的是在同圆中等弦所对的圆周角相等，而忽略还有互补.5、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弧所对的圆心角等于所对圆周角的二倍，∠AOC的对顶角∠BOD也为50度，弧BD所对的圆周角为∠C，所对的圆心角为∠BOD，∠BOD为∠C的二倍，故选B选项.【分析】此题考查了圆周角和圆心角的相互联系.6、【答案】A【考点】平行线的性质，圆周角定理【解析】【解答】根据两直线平行内错角相等和同弧所对的圆心角等于所对圆周角的二倍，可以得到∠C 的度数是25度.【分析】此题考查了圆周角定义.7、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】同圆或是等圆中等弦所对的圆周角相等或互补.【分析】此题考查了圆周角定义，要考虑全面.8、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角的定义做题，考察圆周角和圆心角的联系，记住圆周角的度数等于它所对圆心角的一半.【分析】此题考查了圆周角定义，审题一定要仔细，结合基础知识做题.9、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，根据量角器我们可以读出∠BOC的度数为30度，∠BOC为圆心角，∠BAC为圆周角，他们是二倍的关系，故选择C选项.【分析】此题考查了圆周角定义，利用圆心角去推出圆周角的度数.10、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，弧AB所对的圆心角和圆周角分别为∠AOB和∠ACB，圆心角为圆周角的二倍，故本题选择B选项.【分析】此题考查了圆周角和圆心角的联系，做题时要注意利用所给的条件结合图像去发现所求问题和所给条件之间的相互联系.11、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.【分析】本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形.12、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系.13、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB、∠AQB、∠ARB、∠ASB都是直角,由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°.【分析】直径所对的圆周角等于90度.二、填空题14、【答案】90【考点】圆周角定理【解析】【解答】所求的弧等于半圆周的一半，即90度，∠A随对的弧加上∠B所对的弧加上∠C所对的弧等于弧AC ，弧AC所对的圆心角为180度，所以所对的圆周角为90度.【分析】根据圆周角的定义做题，注意圆心角和圆周角之间的相互联系.15、【答案】50°【考点】圆周角定理【解析】【解答】连结AO ，则AO=OB ，OA=OC ，所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.【分析】根据圆周角的定义做题，注意作好辅助线，利用半径相等构造等腰三角形，然后转化角度. 16、【答案】15°或75°【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】图(1)和图(2)，分两种情况，作直径AD ，连结BD ，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°.图1 图2【分析】根据圆周角的定义做题，要考虑全面.17、【答案】90°【考点】等边三角形的性质，圆周角定理【解析】【解答】∠1所对的弧是弧AE，∠2所对的弧是弧BE ，而弧AE＋弧BE=弧AB是半圆，因此连结AD ，∠ADB的度数是90°，所以∠ADB=∠1＋∠2.本题也可以连结EO ，得到圆心角∠EOA和∠EOB,而∠EOA＋∠EOB=180°，所以∠1＋∠2=90°.【分析】根据圆周角的定义做题.18、【答案】60；90【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弧所对的圆周角相等，所以∠ADB=60度，直径所对的圆周角等于90度.【分析】根据圆周角的定义做题，要注意所给条件中等边三角形个内角的度数，及圆周角所对半圆弧的度数.19、【答案】AB=CD【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】在同圆或是等圆中，等弦的弦心距相等.【分析】根据弦心距做题，在同圆或是等圆中，等弦的弦心距相等.20、【答案】48【考点】圆周角定理【解析】【解答】弧的度数等于它所对的圆心角的度数，圆心角与圆周角为2倍的关系.【分析】根据圆周角和圆心角的联系做题.三、解答题21、【答案】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中，BC= = =8.∵CD平分∠ACB ，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt△ADB中，AD=BD= AB=5 (cm).【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中，BC= = =8.∵CD平分∠ACB，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt△ADB中，AD=BD= AB=5 (cm).【分析】已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.22、【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE为等边三角形.（2）解:当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE ，∴△DOE为等边三角形.【考点】等边三角形的性质，圆周角定理【解析】【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE为等边三角形.（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE，∴△DOE为等边三角形.【分析】△ABC是等边三角形，所以∠B、∠C均为60°，利用60°的圆周角定理，可知△DOB、△EOC均为等边三角形.第二种情形类似.23、【答案】解：∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A ，并延长BA交⊙A于E ，连结DE.∵AB∥CD ，∴弧BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°.在Rt△EDB中，BD= = ，∴BD的长为.【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A，并延长BA交⊙A于E，连结DE.∵AB∥CD，∴弧 BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°.在Rt△EDB中，BD= = ，∴BD的长为 .【分析】由AB=AC=AD=a可以得到点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.24、【答案】考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C，则∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好.【考点】圆周角定理【解析】【解答】考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C ，则∠MAN＜∠MCN ，而∠MCN=∠MBN ，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好..【分析】在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.25、【答案】（1）证明:∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°.∵OD∥BC ，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC⊥OD.（2）解:∵OD∥BC ，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.∴OD= BC= ×4=2（cm）.【考点】三角形中位线定理，圆周角定理【解析】【解答】（1）证明:∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°.∵OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC⊥OD.（2）∵OD∥BC，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.∴OD= BC= ×4=2（cm）.【分析】根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.。
4.3 圆周角定理 2_姜红霞
A
●
B
3
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例题赏析 7 回顾与复习 1
补充例题
例2、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆 直径。求证：AB · = AE · AC AD A 分析：要证AB · = AE · AC AD AC AD O AE AB B D C △ADC∽ △ABE E 或△ACE∽ △ADB 题后思：1、证明题的思路寻找方法；
A
A
C
B
●
O
B
圆周角 顶点在圆上,它的两 边分别 与圆还有另一个交点, 像这样的角,叫做圆周角. C 圆周角也可以看作两条有公 共端点的弦所夹的角.
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火眼金睛：
判别下列各图形中的角是不是圆周角
不是 图１
图２
不是
图３
是
不是
图４
不是
图５
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2 师生合作 1
问题1、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点， 那么你发现了些什么结论？ C A B O 图2
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挑战自我 6 回顾与复习 1
如图， AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点， CD⊥AB，垂足为D，图中有哪些成比例线段？
△ACD∽ △CBD ∽ △ABC 2
C O D
AC AD AB 2 CB BD AB
2
A
●
B
CD AD BD
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自我练习 9 回顾与复习 1
∵AB为ΔABC外接圆的弦，并且过点O ∴弦AB是圆的直径
B O
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例题赏析 5 回顾与复习 1
如图，AB是⊙O的直径，AC与BC是⊙O的两条弦，AB＝１０cm, ∠A＝３０º.求弦AC与BC的长
新人教版九年级上学期数学圆弦、弧、圆心角、圆周角习题课
【解答】(1)∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×70°＝140°，故选 A.
(2)如图，作 OE⊥AB 于 E，则 OE 平分 AB，即 AE＝BE.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOE＝60°，∴AE＝OA·sin60°＝ 3.
∴AB＝2AE＝2 3，故选 B.
(3)当两条平行弦在圆心同侧时，AB、CD 之间的距离为 7 cm，当两条平行弦在圆心异侧
2020/12/19
A P
. O
C
B
D
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2.已知AB为⊙O的直径,半径OC⊥AB,E为OB上一点, 弦AD⊥CE交OC于点F,猜想OE与OF的数量关系,并 说明你的理由.
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3.已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO和BO的中点， CM⊥AB，DN⊥AB，则弧AC和弧BD有什么关系？为什么？
本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键 是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容
根据垂径定理可判断A、B， 根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．
2、（2013•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，
∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）
C
A 55° B 60 ° C 65° D 70°
(1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号) _______________________________________
__________________; (2)证明你的结论.
圆外角的度数等于它所夹的两段弧----大弧与小弧的度数差的一半.
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(1)(2010·重庆)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC 的
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• 3．如图，直线AB交圆于A，B，点M在圆上，点P在 圆外，且点M，P在AB的同侧，∠AMB=50°。没 ∠APB=x°，当点P移动时，求x的变化范围，并说明 理由。
• 4．如图①，已知△ABC是等边三角形，以BC 为直径的⊙O交AB，AC于D，E。 • （1）求证：△ODE为等边三角形； • （2）如图②，若∠A=60°，AB≠AC，则（1） 中的结论是否成立？如果成立，请给出证明； 如果不成立，请说明理由。
• 三、解答题 • 1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的 弦，延长BD到C，使CD=BD，连接AC， 问△ABC的形状怎样，证明你的结论。
• 2．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。 • （1）P是上一点（不与C，D重合），∠CPD与 ∠COB有何大小关系？试说明理由。 CPD 与 • （2）点在劣弧CD上（不与C，D重合）时， ∠COB又有什么数量关系？为什么？
3．在△ABC中，AC=24，BC=10，AB=26，则△ABC外接圆的半径 是 A．26 B．13 C ．8 D．4 4.如图，A,B,C,D是⊙O上四个点，AB,DC的延长线交于E点， A.70° B.35° C.60° D.30°
5．如图，在⊙O中，弦AD=CD，则图中相 等的圆周角的对数是（ ）
A ．7 B ．8 C ．9 D．10
ห้องสมุดไป่ตู้
• 二、填空题 • 1．如图，A，B，C为⊙O上三点，如果∠OAB=46°，则 ∠ACB=____________． • 2．如图，⊙O上B，D两点位于弦AC的两侧，。若∠D=62°， 则∠AOB=__________。 • 3．如图，A，B，是⊙O上的两点，且∠AOB=70°，C是⊙O 上不与A，B重合的任一点，则∠ABC的度数为________。 • 4．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则 ∠1+∠2=__________。
圆周角习题课
• 一、选择题 • 1．如图，⊙O的两弦AD，BC相交于点E，连接AC，BD，AO， BO。若∠ACB=60°，则下列结论正确的是 • A．∠AOB=60 ° B．∠ADB=60° ， • C．∠AEB=60° D．∠AEB=30° 2．⊙O中弦AB所对的圆心为40°，那么弦所对的圆周角为（ A．20° B．80° C．20°或160°D．80°或100° ）