等边三角形2教案

§14．3．2．2 等边三角形（二）
教学目标
（一）教学知识点
1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
（二）能力训练要求
1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．
2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．
（三）情感与价值观要求
1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
教学重点
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
教学难点
1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
探索发现法．
教具准备
两个全等的含30°角的三角尺；
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么样的数量关系？今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？
问题：用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
板书课题：30°角的直角三角形的性质
Ⅱ．导入新课
问题
1.请同学们用准备好的2个全等的含30°角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？
2.在我们拼出的这些图形中。

轴对称图形有几个，其中三角形有几个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由
三角形有2个如下图：
(1)
D
C A
B
(2)
D C
A
B
其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC ，又因为Rt △ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．
[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半． [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？ [生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC ．•而∠ADB=90°，即AD ⊥BC ．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=
12BC ．所以BD=1
2
AB ，•即在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半．
[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．•下面我们一同来完成这个定理的证明过程．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=
1
2
AB ． A
B
D
C A
B
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ． 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD （如下图） ∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC ，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC=1
2
BD=
1
2
AB．
2.总结
该性质使用范围是什么？（直角三角形）
应用该性质可求什么？（计算和证明线段的倍分。

揭示了30°角直角三角形中边的数量关系的特殊性）
逆命题成立吗？
在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．
结果：
已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1
2 AB．
求证：∠BAC=30°．
证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD．
∵CD=BC，
∴BC=1
2 BD．
又∵BC=1
2 AB，
∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD为等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
下面我们就来看一个例题．
[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，
立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE 要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠
D
C
A E
B
(1)
C
A
B
(2)
D
C
A
B
A=30°，所以DE=1
2
AD，BC=
1
2
AB，又由D是AB的中点，所以DE=
1
4
AB．
解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知
BC=1
2
AB，DE=
1
2
AD，
所以BD=1
2
×7.4=3.7（m）．
又AD=1
2 AB，
所以DE=1
2
AD=
1
2
×3.7=1.85（m）．
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．
[师]下面我们来做练习．
Ⅳ．随堂练习
（一）课本P59练习．
Ⅴ．课时小结
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．
Ⅵ．课后作业
（一）课本P59─11、12、13、14题．
（二）预习P61～P62，并准备活动课．
板书设计
§14．3．2．2 等边三角形（二）
一、定理的探究
定理：在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二、范例分析
教学反思
含30°锐角直角三角形的性质沟通了直角三角形中特殊角与边的关系，它是解决线段之间倍半关系的重要依据，但性质的探索与证明是本节课的难点．因此，在教学中将性质的探索与证明设计为学生的自主探索与合作交流的活动，教师的作用主要体现在学生学习活动中的组织和指导上．首先，教师组织学生用两个含30°角的三角尺摆放在一起，引导学生找出30°锐角所对的直角边与斜边之间的数量关系；其次，让学生自主验证，并对有困难的学生设计填空题给以帮助；再次，由于本节课的例题涉及的线段、角较多，学生不易找到联系点，设计了补充题做好铺垫．这样每位学生都有成功的体验，教学环节顺利推进．但根据学生的情况创设合适的难度的问题情景；在学生个体学习的基础上，适时组织学生的交流；在小组活动中适时介入讨论；把握课堂时机即时评价，这都还要继续实践．。