2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：B甲2006所属学校（请填写完整的全名）：鲁东大学参赛队员(打印并签名) ：1. 杨成成2. 尹雯雯3. 闫妍指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：刘广臣日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床的合理安排模型摘要：本文主要建立秩和比评价模型和非线性优化模型来研究医院眼科病床合理性安排的问题。

针对问题1，首先确定4个评价病床安排合理性的指标，即术前准备时间占住院时间的比例、出院病人的平均住院日、病床使用率及病床周转次数。

根据附录所给病人信息，运用Excel进行数据处理，以周（星期）为单位，分别求出各评价指标的值。

然后建立秩和比评价模型综合评价该医院现有病床安排模型的优劣，结果显示该医院按照先来先服务的规则安排住院不是很合理，评价结果处于下、中、上三个档次的中档（其中有1个周处于下档）。

针对问题2，在现有病床数不变的情况下，要使病床安排尽量合理，也就是让所有病人的等待住院时间之和最小。

鉴于不同类眼科疾病的入院时间、术前准备时间等限制条件不同，将疾病手术分为白内障（单眼）、白内障（双眼）、其他眼科疾病（包括视网膜疾病和青光眼）及外伤四大类。

在不同约束条件下，以7月13日到9月11日这61天内四类病人的等待时间之和最小为目标函数建立非线性优化模型，并根据第二天的拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

对非线性优化模型所求解的结果，用秩和比法进行评价，结果显示，平均概率单位Y的值较问题1的结果增大，虽然总体处于中档，但没有处于下档的，并且使问题1中处于下档的变为上档，说明所建非线性优化模型比医院现有的病床安排模型更合理。

针对问题3，利用问题2的分析及非线性优化模型，求出第i天第j种病人的入院人数x，进而确定每个门诊病人的大致入院时间（具体结果见附录）。

ij针对问题4，仿照问题2，建立优化模型求解，目标函数不变，但约束条件发生改变。

鉴于白内障（双眼）手术要隔天做，因此设计了白内障（双眼）手术定在周一和周三、周二和周四、周三和周五做三种方案来求解。

结果显示，当白内障（双眼）手术安排在周二和周四做时，能保证所有患者的等待时间之和最小。

针对问题5，在问题2的基础上，从便于管理的角度出发，建立以病人的平均逗留时间最短为目标函数的优化模型来求解各类病床的分配比例。

结果显示，当白内障（单眼）的病床分配比例为0.22，白内障（双眼）的分配比例为0.28，其他眼科疾病的分配比例为0.35，外伤的病床分配比例为0.15时，所有病人的平均逗留时间最小。

关键词：病床合理安排；秩和比法；非线性优化模型；Lingo1 问题的提出医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

已知某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分为四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但要考虑手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长。

因此通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用具有重要的现实意义。

需要解决的问题如下所示。

问题1 分析题目所给信息，确定合理的评价指标体系，来评价该医院病床安排模型的优劣。

问题2 就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并利用问题1中的指标体系对所建模型作出评价。

问题3 作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。

在所建模型的基础上，根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时告知其大致入住时间区间。

问题4 若该住院部周六、周日不安排手术，重新回答问题2，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题5 有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案。

就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

2 条件的假设与符号的约定2.1条件的假设（1）在考虑病床安排时，不考虑手术条件的限制。

（2）假设白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

（3）假设所有外伤疾病均为急症，只要有病床位立即安排住院。

（4）除外伤之外，不考虑其它眼科疾病的急症。

（5）假设在考察时期内，每张病床每天都可以使用，不考虑病床的消毒、维修或其它原因，即平均病床工作日是一个常量。

（6）假设在研究的时期内医院病床数不发生变化，即恒为79张。

（7）在问题2中假设外伤病人都能立刻入院准备手术。

（8）在问题5中，不考虑床位全满的情况，并假设患者的等待时间不会超过一周。

（9）假设所有数据来源可靠、真实。

2.2 符号的约定ij a ：第i 天第j 类病的门诊人数，4,3,2,1,61,,2,1==j i ； ij x ：第i 天第j 类病的住院人数，4,3,2,1,61,,2,1==j i ； ij z ：第i 天第j 类病的出院人数，4,3,2,1,61,,2,1==j i ；i C ：第i 天代表周几（星期几）（7,,2,1 =i C ），61,,2,1 =i ； ij y ：第i 天第j 类病的等待住院人数，4,3,2,1,61,,2,1==j i ；ij t ：第i 天第j 类病人的等待入院时间，4,3,2,1,61,,2,1==j i ； j d ：第j 类病人的平均住院时间，4,3,2,1=j ；N ：考察的总人数；j α：第j 类病人占用病床的比例，4,3,2,1,61,,2,1==j i ；σ：术前准备时间占住院时间的比例.3 问题的分析原题附录给出了白内障、视网膜疾病、青光眼、外伤四类疾病的门诊时间、入院时间、手术时间及出院时间，由于日期的计算比较复杂，因此将门诊日期按实际划分成10个周，并把最早的门诊时间（7月13日）定为序号1，7月14日定为序号2，依次下去，所研究时期的最后日期（9月11日）定为序号61，使计算简单化。

（1）针对问题1，首先确定评价病床安排是否合理的指标为术前准备时间占住院时间的比例、出院病人的平均住院日、病床使用率及病床周转次数。

由于原题只给出7月13日到9月11日61天的统计数据，因此以周（星期）为单位，将61天根据实际情况划分成10个周，分别计算各个指标在一星期的数值。

鉴于第一个周只包括7月11日和13日两天的门诊时间，没有入院时间、手术时间和出院时间，所得结果必然存在很大误差，因此在计算各指标时不考虑这一周的结果。

然后利用秩和比法对已给的病床安排模型进行综合评价。

（2）针对问题2，要建立合理的病床安排模型，也就是求怎样安排病床以使所有病人的等待住院时间之和最小。

鉴于白内障手术做一只眼（单眼）的可以在周一、周三任意一天做，而白内障手术做两只眼的（双眼）只能在周一做第一只眼，周三做第二只眼，所以安排他们入院的时间也不相同。

而外伤疾病通常属于急症，只要病床有空位立即安排住院。

此外，由于对视网膜疾病和青光眼手术没有特殊的要求，且术前准备时间均为2-3天，所以可以将这两类眼科手术归为一类来处理。

根据以上分析，将眼科疾病手术分为白内障（单眼）、白内障（双眼）、外伤及其他眼科疾病四大类。

综上，要使病床安排尽量合理，建立优化模型来求解，目标函数为从7月13日到9月11日这61天内四类病人的等待时间之和最小。

然后，根据目标函数中的决策变量ij x （第i 天第j 类病人的入院人数）得到各类病人在第几天入院多少人。

鉴于同种疾病的术前准备时间（题中已给出）和术后观察时间（可根据附录中数据算出，用出院时间减去手术时间）相差不大，因此确定了入院时间和人数即可确定出院时间和病人数，进而来确定第二天安排哪些病人住院。

最后，采用与问题1相同的评价指标建立秩和比法模型对所建模型进行评价。

（3）针对问题3，本文将根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在问题2的基础上，采用非线性优化模型进行求解。

由于所设决策变量ij x 为第i 天第j 类病人的入院人数，不是入院时间，所以还要根据入院人数来进一步确定入院时间。

（4）针对问题4，仍采用优化模型来解决。

在目标函数不发生改变的基础上，安排白内障手术定在周一和周三、周二和周四、周三和周五做三种方案，使得约束条件发生变化。

然后根据所得结果，比较哪种方案最佳。

（5）针对问题5，从便于管理的角度看，各类病人占用病床的比例最好大致固定。

设四类病人的病床比例为i α，在比例确定的前提下，以所有病人在系统内的平均逗留时间最短为目标函数，建立非线性优化模型。

4 模型的建立及求解4.1 评价指标的计算根据问题1的分析，确定病床安排合理与否的评价指标[1]为术前准备时间占住院时间的比例、出院病人的平均住院日、病床使用率及病床周转次数。

下面对各个指标进行计算。

（1）术前准备时间占住院时间的比例术前准备时间占住院时间的比例是一个综合指标，既考虑了术前准备时间的长短对病床安排的影响，也兼顾了住院时间对它的影响。

设术前准备时间占住院时间的比例为σ，计算公式为同期住院时间数）期内术前准备时间（天=σ （1） （2）出院病人平均住院日出院病人平均住院日表示某时期内，住院患者平均住院时间的长短。

既是一个反映工作效率的指标，也是一个集效率、质量、管理一体的综合性指标，涉及到医院工作的方方面面。

因此，它是分析医院工作质量不可缺少的一个指标。

出院病人平均住院日=同期出院人数床日数期内出院病人占用总病 (2) (3)病床使用率病床使用率表示病床被利用的频率，反映了平均每天使用病床数与实际开放病床数的比率，正常最高使用率以93％为宜，是衡量病床安排合理性的一个重要指标。