00关于矩阵的迹的几个不等式
矩阵秩的基本不等式
1矩阵秩的基本不等式定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。
证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。
于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。
()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。
这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。
我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。
其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。
下面，我们来证明向量组{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。
事实上，假设数j k ，()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得()()1()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑，于是()()10s r AB j j s r B Bx -=-+=∑。
这样，()()10s r AB j j s r B x -=-+=∑为0Bx =的解。
于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得()()()11()s r AB s r B j j jj s r B j x k x --=-+==-∑∑，即()10s r AB j j j k x -==∑。
由于向量组{}()1s r AB j j x -=线性无关，因此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。
于是，向量组{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。
一类矩阵迹的不等式
一类矩阵迹的不等式周其生;金乐乐【摘要】In this paper, inequality on trace of a class of matrix are provided, by using Young inequality and Lieb-Thirring inequality, and the result of some of the literature is generalized.%本文利用Young不等式和Lieb-Thirring不等式，给出一类矩阵迹的新的不等式，且推广了一些文献的结果。
【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P1-4,56)【关键词】矩阵;迹;不等式【作者】周其生;金乐乐【作者单位】安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133;安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133【正文语种】中文【中图分类】O178;O151.21矩阵的迹是矩阵的一个重要数值特征，由于矩阵迹的运算在数值计算、逼近论以及统计估计、随机控制、滤波和经济计量学等理论中应用广泛，因此，对于它的讨论引起众多数学工作者的重视。
由于矩阵的乘法无实数乘法所具有的交换性，这使得许多关于实数的不等式不能直接推广到矩阵论中，一些看似平常的代数不等式，推广为按Löwner偏序的矩阵不等式一般可能不成立。
由于矩阵迹运算克服了矩阵乘法交换性的困难，又使得实数不等式的推广成为可能，鉴于矩阵乘积的迹一般不等于矩阵迹的乘积，故而又成为推广的障碍，因此，研究矩阵不等式不仅具有应用价值，而且也极具挑战性。
本文将利用矩阵迹的Young不等式和Lieb-Thirring 不等式，以及关于迹的性质，将一些熟知的实数不等式推广到矩阵论中，得到关于矩阵迹的不等式。
杨晋和稽国平、汤正谊等人分别在文[1]和[2]中给出如下一些实数不等式。
1.Jacobsthal不等式设x≥0,y≥0，对任意正整数n，有xn+(n-1)yn≥nxyn-1；当y>0时，上式可变形为。
关于矩阵乘积迹的几个不等式
关于矩阵乘积迹的几个不等式
宝音特古
【期刊名称】《内蒙古民族师院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1990(000)001
【总页数】4页(P1-4)
【作者】宝音特古
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.关于幂等矩阵乘积的迹的不等式 [J], 詹仕林
2.关于稳定矩阵乘积迹一个不等式的注记 [J], 谭思文;杨忠鹏
3.关于斜Hermite矩阵乘积之迹的不等式 [J], 杨兴东
4.关于Hermite矩阵乘积迹的一个不等式的注记 [J], 包金山;郑瑛;其木格;阚建秋
5.矩阵乘积之迹的不等式 [J], 冯秀红;杨主旺
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一类矩阵迹的不等式
ｔ ≤ ｒ （
关 键
和ｒ ｃ㈣ （ ） （ ≤
．
词 ：上三 角矩 阵 ；特 征值 ；矩 阵迹
中图分类号 ：０ １２ ２ 文献标识码 ：Ａ 文章 编号 ：１７ ９ ９ （ ０ ８ １－ １２－ ３ ５ ． １ ６ ３— ７ ８ ２ ０ ）Ｏ ０ ２ ０
Ｉ ｅ ｕ ｌｔ ｎ ｔａ ｅ ｏ ｌ ｓ ｆ Ｍａｒｘ ｎ ｑ ａ ｉ ｏ ｒ ｃ ｆ ａ ｃａ ｓ ｏ ｔｉ ｙ
维普资讯
第 ２ 第 １期 ７卷 ２０ ０ ８年 ２月
河南 理 工 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｅ Ａ Ｏ Ｙ Ｅ Ｈ Ｉ ＮＶ Ｒ ＩＹ （ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＨ Ｎ ＮＰ Ｌ Ｔ Ｃ Ｎ ＣＵ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ Ｉ Ｎ Ｅ
引理 ２
则 有
（ ｔ ｅ 不等式 ）设 Ｉ０ Ｈｉ ｒ ｌ ｄ ＞ ，ｂ ≥０ （ ｋ＝１ ，… ，ｍ） ，２ ，又 Ｏ＞ ， ＞ ｔ ０ ０，Ｏ＋ ３ ｔ ／＝１
收 稿 日期 ：２ ０ ０ ０ ０ ７— ５— １
基 金 项 目 ：河 南 省 自然 科 学 基金 资助 项 目 （６ １５６ ０ ；河 南 省 教育 厅 自然 科 学 基金 资 助 项 目 （０ ６ １０ ４ ０ １０５ ０ ） ２０ １０ ０ ） 作者简介 ：郑 玉敏 （９ ３一） １６ ，女 ，河南浚县人 ，副教授 ，从事高等数学教学 和矩阵方面的研究．
Ａ
（ Ａ ２
．
Ａ—
ｊ２ ‘・ ’） Ａ ． （ ｌ 。 ２ Ａ ｌ 。 ’—
ｎｍ
）
”
ｎ
＝ ｛ ｍ
ＺＨＥＮＧ Ｙｕ —ｍｉ ｎ， ＣＵＩＲｕ — ｑｎ ｎ ｉｇ， ＺＨ ＥＮＧ Ｙｕ —ｇ ｅ
关于矩阵秩的一个不等式
关于矩阵秩的一个不等式Ξ沈 华 (湖北大学数学系 武汉 430062)对任意矩阵M ,用r (M )表示M 的秩。
熟知,矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量,对矩阵的加法和乘法,我们有下面两个基本的不等式。
(一)设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则r (A +B )≤r (A )+r (B )(1) (二)设A 、B 分别是两个m ×n 、n ×l 矩阵,则r (A )+r (B )-n ≤r (A B )≤m in{r (A ),r (B )}它通常被称为Sylvester 不等式。
对这两个不等式,有不同的证明和理解,见[1、2]。
在本文里,我们要结合矩阵的满秩分解,用不等式(二)来研究不等式(一),从中给出r (A +B )≤r (A )+r (B )的一个推广形式。
本文所需的矩阵知识是基本的,可在[1、2]里找到。
现在,对任意m ×n 矩阵M ,我们用C M 、R M 分别表示由M 的所有列向量、行向量所生成的向量空间。
明显地,向量空间C M 、R M 的维数为di m C M =di m R M =r (M )。
进一步地,对任意分块矩阵M =(M 1,M 2)和N =N 1N2,根据定义容易验证向量空间C M =C M 1+C M 2,向量空间R N =R N 1+R N 2。
本文的目的是证明如下的定理 设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则r (A )+r (B )-(d 1+d 2)≤r (A +B )≤r (A )+r (B )-m ax{d 1、d 2}(2)这里d 1=di m (C A ∩C B ),d 2=di m (R A ∩R B )。
(2)是比(1)精确的不等式。
根据(2)式,我们立即得到下面的推论1 设A 、B 、d 1、d 2的意义如上述定理所述,则r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当d 1=d 2=0。
关于一个矩阵迹的不等式的注记
关于一个矩阵迹的不等式的注记
杨忠鹏
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】1995(011)001
【摘要】本文修正了［２］中的一个矩阵迹的不等式的一些错误，证明了ｔｒ［（Ａ＾ａ－Ｂ＾ａ）（Ａ＾－β－Ｂ＾－β）］＜０当且仅当αβ＞０且Ａ≠０，这里Ａ，Ｂ是ｎ×ｎ的Ｈｅｒｍｉｔｅ正定矩阵。
【总页数】3页(P61-63)
【作者】杨忠鹏
【作者单位】吉林师范学院
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.关于Hermite矩阵迹的不等式的几点注记 [J], 张瑞;周其生
2.关于"矩阵迹的几个不等式"的注记 [J], 包金山;宝音特古斯
3.《关于Hermite矩阵迹的一个不等式》的一个注记 [J], 杨仕椿
4.正定Hermite矩阵迹的不等式的几点注记 [J], 宋园;
5.正定Hermite矩阵迹的不等式的几点注记 [J], 宋园
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关于矩阵左半张量积迹的几个不等式
ｌ ｔ ｒ （ Ａ Ａ ： … Ａ ） Ｉ ｍ ≤Ｈ ［ ｒ （ Ａ ） ］．
引理 ２ 设 ， 日为两个 同阶实正定 对称 矩 阵 ， 则有
２ ｔ ｒ （ Ａ Ｂ）≤ ｔ ｒ Ａ ＋ｔ ｒ Ｂ ． ｔ ｒ （ Ａ Ｂ）≤ （ ｔ ｒ Ａ ） （ ｔ ｒ Ｂ ） ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ７—１ ０
作者简介 ： 朱 秀丽 （ １ ９ ７ ９一 ） ， 女， 吉林省吉林市人 ， 东北 电力大学理学院讲师 ， 硕士 ， 主要 研究方 向： 代数与组合数学
７８
东北 电力 大 学 学报
第３ ３卷
引理 １ 对 任意正 整数 ｍ， ／ ７ ， ， 只要 Ａ 。 ， Ａ ， …， Ａ 为 ｎ阶半 正定矩 阵 ， 就有
关 于 矩 阵左 半 张 量 积 迹 的几个 不等 式
朱 秀丽 ， 尹 超 ， 于 擎
（ 东北 电力大学 理学院 ， 吉林 吉林 １ ３ ２ ０ １ ２ ）
摘 关 键
要： 矩 阵的迹是矩 阵理论 中的重要课题 ， 有很 重要 的理论 和实际应用价 值 ， 本 文主要研究 了左 词： 左半 张量积 ； 矩阵迹 ； Ｋ ｒ ｏ ｎ ｅ ｃ ｋ ｅ ｒ 积
（ １ ）设 Ｘ ＝ （ ， ， …， ）是 一个 行 向量 ， Ｙ＝（ Ｙ ， Ｙ ， …， Ｙ ‘ ）是一个 列 向量 。
情 形 １若 ｔ 是 ｓ的因子 ， 即 ｓ＝ｔ×ｎ ， 那 么 ｎ维行 向量
ｔ
＜ Ｘ ， Ｙ＞ ｚ ＝∑Ｘ ｋ ｙ ∈ Ｒ ，
ｋ ＝１
引理 ５ 设 Ａ， Ｂ为 同阶正定矩 阵 ， 则有
（ ） ．
引理 ６ 设 ４， 为 同阶半正定 矩 阵 ， Ｐ ， ｑ为正整 数 ， 且 ＋
关于矩阵迹的运算
全部特征值为 λμt s ,1 ≤ t ≤ m ,1 ≤ s ≤ n , ( A B) 2 的全部特征值为 λ2μt 2s . 于是
mn
∑∑ tr ( A B) 2 =
λ2μt 2s .
t =1 s =1
又 A2 的特征值为 λ2t (1 ≤ t ≤ m ) , B2 的特征值为 μ2s (1 ≤ s ≤ n) ,于是
t r A2 ·t r B2 = 故结论成立.
m
n
mn
∑ ∑ ∑∑ λ2t · μ2t =
λ2μt 2s .
t =1
s =1
t =1 s =1
推广 1 设 A ∈Cm ×m , B ∈Cn ×n ,则 t r ( A B) K = t r A K ·t r B K ( K 为正整数) . K = 1
第 31 卷 专 辑
陕西师范大学学报 (自然科学版)
2003 年 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 月
Journal of Shaanxi Normal University (Natural Science Edition)
文章编号 :100123857 (2003) Sup . 20039203
关于矩阵迹的运算
Vol. 31 Sup . Apr. 2003
a11t r B + a22t r B + … + am m t r B = t r A ·t r B .
3. 2 设 A ∈Cm ×m , B ∈Cn ×n ,则 t r ( A B) 2 = t r A2 ·t r B2 .
证明 设 A 的全部特征值为λ1 ,λ2 , …λm , B 的全部特征值为μ1 ,μ2 , …μn ,则 A B 的
λμi j pk .