关于Hermite矩阵迹的几个不等式

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南航戴华《矩阵论》第五章Hermite矩阵与正定矩阵

(10) 若A B，P为n m列满秩矩阵,则P H AP P H BP; (11) 若A B，P为n m矩阵,则P H AP P H BP; (12) 若A 0( A 0)，C 0(C 0),且AC CA,则
AC 0( AC 0).
定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A≥0, B>0，则
定理5.3.4 设A, B均为n 阶Hermite矩阵，则 (1) 若A B 0，则B1 A1 0 ; (2) 若A B 0，则B1 A1 0. 定理5.3.5 设A,B均为n 阶Hermite矩阵,且AB = BA,则 (1) 若A B，则A2 B2; (2) 若A B，则A2 B2 . 定理5.3.6 设A是m n行满秩矩阵, B是n k矩阵,则
In( A) { ( A), ( A), ( A)}
则称In( A)为矩阵A的惯性。
定理5.1.6(Sylvester惯性定律）设 A,B是n 阶Hermite 矩阵，则 A与B相合的充分必要条件是
In( A) In(B)
(5.1.6)
5.1.3 Hermite二次型
由n个复变量
x1
,
,
x
，系数为复数的二次齐
(1) B A的充分必要条件是 ( AB1 ) 1; (2) B A的充分必要条件是 ( AB1 ) 1.
定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则
min ( A)I A max ( A)I
其中max ( A) 和min ( A)分别表示A的最大和最小特征值。
推论5.3.1 设A是Hermite非负定矩阵，则 A≤ tr(A) I 。
矩阵，并且称 A的秩为Hermite二次型的秩。
利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可

一类矩阵迹的不等式

一类矩阵迹的不等式周其生;金乐乐【摘要】In this paper, inequality on trace of a class of matrix are provided, by using Young inequality and Lieb-Thirring inequality, and the result of some of the literature is generalized.%本文利用Young不等式和Lieb-Thirring不等式，给出一类矩阵迹的新的不等式，且推广了一些文献的结果。

【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P1-4,56)【关键词】矩阵;迹;不等式【作者】周其生;金乐乐【作者单位】安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133;安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133【正文语种】中文【中图分类】O178;O151.21矩阵的迹是矩阵的一个重要数值特征，由于矩阵迹的运算在数值计算、逼近论以及统计估计、随机控制、滤波和经济计量学等理论中应用广泛，因此，对于它的讨论引起众多数学工作者的重视。

由于矩阵的乘法无实数乘法所具有的交换性，这使得许多关于实数的不等式不能直接推广到矩阵论中，一些看似平常的代数不等式，推广为按Löwner偏序的矩阵不等式一般可能不成立。

由于矩阵迹运算克服了矩阵乘法交换性的困难，又使得实数不等式的推广成为可能，鉴于矩阵乘积的迹一般不等于矩阵迹的乘积，故而又成为推广的障碍，因此，研究矩阵不等式不仅具有应用价值，而且也极具挑战性。

本文将利用矩阵迹的Young不等式和Lieb-Thirring 不等式，以及关于迹的性质，将一些熟知的实数不等式推广到矩阵论中，得到关于矩阵迹的不等式。

杨晋和稽国平、汤正谊等人分别在文[1]和[2]中给出如下一些实数不等式。

1.Jacobsthal不等式设x≥0,y≥0，对任意正整数n，有xn+(n-1)yn≥nxyn-1；当y>0时，上式可变形为。

矩阵(南航)5章

定理5.3.1 阵,则
设 A, A1, B, B1, C 均为 n 阶 Hermite 矩
(1) A ≥ B( A > B ) A ≤ B( A < B );
( 2 ) A ≥ B ( A > B ) 对任意 n 阶可逆矩阵 P 都有
P H AP ≥ P H BP ( P H AP > P H BP );
其中 r = rank(A).上式称为二次型的规范形.
5.2
Hermite正定(非负定)矩阵
n
定义5.2.1 设A是n阶Hermite矩阵 , 如果对任意 x ∈ C
n H
且x ≠ 0, 都有 x H Ax > 0,则称 A为正定矩阵 , 记作 A > 0; 如果对任意 x ∈ C 都有 x Ax ≥ 0, 则称 A为非负定(半正定 )矩阵 , 记作 A ≥ 0.
A11 A= H A 12 A12 A22 A11 ∈ C k ×k ,
H 则 A > 0 的充分必要条件是 A11 > 0, A22 A12 A111 A12 > 0,此时
H | A |=| A11 | | A22 A12 A111 A12 | .
例5.2.3
若 A = (a ij ) 是 n 阶Hermite 正定矩阵,则
推论5.2.1 设 A 是 n 阶 Hermite 正定矩阵 , 其特征值
为 λ1 , λ 2 , L , λ n,则
(1) A 1 是正定矩阵;
( 2) 如果 Q 是任一 n × m 列满秩矩阵 , 则 Q AQ > 0;
H
( 3) A > 0 ; tr ( A) > λ i ( i = 1, 2, L , n) .

关于复正规矩阵的2个不等式

关于复正规矩阵的2个不等式沈浮;夏必腊;周堂春【摘要】给出了复正规矩阵的2个不等式,其中一个可看成是对文献[1]中定理3.9的推广,另一个是对文献[2]定理6.2.2的进一步研究,它们具有一定的理论价值和应用价值.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2014(032)001【总页数】3页(P5-7)【关键词】Hermite矩阵;正定矩阵;满秩矩阵;酉相似【作者】沈浮;夏必腊;周堂春【作者单位】解放军陆军军官学院数学教研室,安徽合肥230031;解放军陆军军官学院数学教研室,安徽合肥230031;解放军陆军军官学院数学教研室,安徽合肥230031【正文语种】中文【中图分类】O151.210 引言矩阵不等式是矩阵理论中的一个很重要内容。

随着矩阵理论的迅速发展及其在自然科学、工程技术和社会经济等领域的广泛运用，关于矩阵不等式的新结果层出不穷。

文献［1］中的定理3.9指出:当A是Hermite矩阵时，则有λmin(A)E≤A≤λmax(A)E。

文献［2］中定理6.2.2又指出:当A和B为2个非负定的Hermite矩阵时，则有0≤trAB≤λmax(A)trB≤rtA·trB。

这2个结果都是针对Hermite矩阵的，本文对复正规矩阵进行了研究，得出了更进一步的结论。

本文中，用Re(z)表示复数z的实部，用λmin (A)和λmax(A)分别表示Hermite矩阵A的最小特征值和最大特征值，用λRmin(A)和λRmax(A)分别表示复矩阵A 实部最小的特征值和实部最大的特征值，用tr(A)记矩阵A的迹，向量x的共轭转置用xH，E表示n阶单位矩阵。

1 基本概念及相关引理定义1:设A∈Cn×n，若对任意非零列向量x∈Cn×1，都有则称A为复正定矩阵(或复非负定矩阵)，记作A＞0(或A≥0)。

显然，当A为Hermite正定(非负定)矩阵时，它也是复正定(非负定)矩阵。

定义2:设A、B∈Cn×n，如果A－B是复正定矩阵(或复非负定矩阵)，则称复矩阵A大于复矩阵B(或称复矩阵A大于或等于复矩阵B)，记作A＞B(或A≥B)。

hermite矩阵行列式

∣hermite矩阵行列式
一、引言
行列式是线性代数中的基本概念，它是定义在矩阵上的一个数值，反映了矩阵的某些基本性质。Hermite矩阵是一种特殊的实对称矩阵，其元素满足一定的条件，这种矩阵在实际问题中有着广泛的应用。而Hermite矩阵的行列式作为矩阵的一个重要属性，具有许多重要的性质。本文将对Hermite矩阵的行列式进行详细的分析和讨论。
−1
det(A ) =
1 。这是因为逆矩阵的定义和行列式的性质相符合。
det(A)
四、应用举例
1. 在线性变换中的应用：设ϕ : Rn → Rn是一个线性变换，并且有ϕ(x) = Ax，其中A是一个非奇异的Hermite矩阵。
由于线性变换保持向量的长度和夹角不变，因此ϕ(x)和x的点积仍然等于ϕ(x)和ϕ(y)的点积。这导致了著名的
Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的向量x, y ∈ Rn，都有 ϕ(x)
⋅
ϕ(y)
≤
ϕ(x)
⋅
，当且仅当时等号 ϕ(y)
∥x∥ = ∥y∥ = 1
∥x∥
∥y∥
∥x∥
∥y∥
成立。而这个不等式正是利用了Hermite矩阵的非负性以及行列式的乘积性质。
2. 在二次型中的应用：设f(x) = xTAx是一个二次型，其中A是一个对称的Hermite矩阵。由于二次型在优化、统计学等领域中有广泛的应用，因此研究二次型的性质和特征是非常重要的。Hermite矩阵的行列式在这个领域中也有着
2. 乘积性质：设A和B都是n × n的Hermite矩阵，那么它们的乘积AB也是Hermite矩阵，并且有 det(AB) = det(A) ⋅ det(B)。这是行列式的基本性质之一，对于任意的方阵都成立，但对于Hermite矩阵而言，由于其元素的非负性，这个性质更加明显。

关于迹类算子的几个不等式

关于迹类算子的几个不等式
吴琼;周其生
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2000(023)004
【摘要】利用算子的极分解证明无穷维Hilbert空间H上正迹类算子迹的不等式,又对于H H上的正算子矩阵,当主对角线元素L、M的正次幂Lp、 Mp(p＞0)为迹类算子或Hilbert-Schmidt算子时,利用正算子矩阵的某些性质及H.Wayl 的不等式,分别得到迹范数不等式和Hilber-Schmidt范数不等式,从而使作为有限维空间上算子的矩阵或分块矩阵的有关结论得到推广.
【总页数】4页(P593-596)
【作者】吴琼;周其生
【作者单位】安庆师范学院,科研处,安徽,安庆,246011;安庆师范学院,数学系,安徽,安庆,246011
【正文语种】中文
【中图分类】O177.1
【相关文献】
1.基于Hadamard乘积下的矩阵迹的几个不等式 [J], 宋雪;薛兰兰;王菊平
2.关于矩阵左半张量积迹的几个不等式 [J], 朱秀丽;尹超;于擎
3.关于Hermite矩阵Schur补的迹的几个不等式 [J], 解运运;段复建
4.关于Hermite矩阵迹的几个不等式 [J], 赵秀芳;王希彬;翟晓红;马丽丽;李立
5.关于算子迹的几个不等式的等价性 [J], 周其生
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矩阵秩的基本不等式

矩阵秩的基本不等式第一篇：矩阵秩的基本不等式矩阵秩的基本不等式定理1：设A∈Rm,n，B∈Rn,s，则r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}。

证明：由于Bx=0的解一定是ABx=0的解，因此Bx=0的基础解系为ABx=0的基础解系的一部分。

于是，s-r(B)≤s-r(AB)，即r(AB)≤r(B)。

r(AB)=r((AB)T)=r(BTAT)≤r(AT)=r(A)。

这样，我们就证明了r(AB)≤r(A)，r(AB)≤r(B)，故r(AB)≤min{r(A),r(B)}。

我们假设x1，x2，……，xs-r(B)，xs-r(B)+1，……，xs-r(AB)为ABx=0的基础解系。

其中，Bxi=0，1≤i≤s-r(B)；Bxj≠0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)。

下面，我们来证明向量组{Bxj}s-r(AB)j=s-r(B)+1是线性无关的。

事实上，假设数kj，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)，使得s-r(AB)j=s-r(B)+1s-r(AB)∑s-r(AB)kj(Bxj)，于是Bj=s-r(B)+1∑xj=0。

这样，s-r(AB)j=s-r(B)+1j=s-r(B)+1s-r(B)s-r(AB)j=1∑xj=0为Bx=0的解。

于是，存在数kj，1≤j≤s-r(B)，使得∑∑(-kx)，即∑jjj=1kjxj=0。

由于向量组{xj}s-r(AB)j=1线性无关，因此，kj=0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)。

于是，向量组{Bxj}线性无关。

j=s-r(B)+1s-r(AB)又由于A(Bxj)=ABxj=0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)，因此{Bxj}为j=s-r(B)+1s-r(AB)Ax=0的基础解系的一部分。

于是，s-r(AB)-[s-r(B)+1]+1=r(B)-r(AB)≤n-r(A)即r(AB)≥r(A)+r(B)-n。

推论1：若A∈Rm,n，B∈Rn,s满足AB=0，则r(A)+r(B)≤n。

矩阵乘积之迹的不等式

矩阵乘积之迹的不等式冯秀红;杨主旺【摘要】Some trace inequalities of the product of some complex matrices, and derive a trace inequality of the power of product of two positive semidefinite Hermite matrices by using the obtained results. Moreover, we get a trace inequality of the power of a positive semidefinite Hermite matrix by using matrix decomposition,in the mean time,we extend correlative results.%研究若干复矩阵乘积之迹的不等式,并利用得到的不等式推出两个Hermite半正定矩阵乘积的任意次幂之迹的不等式,利用矩阵的分解给出一个Hermite半正定矩阵任意次幂之迹的不等式,推广了相关结果.【期刊名称】《山西大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)001【总页数】4页(P10-13)【关键词】Hermite矩阵;迹;不等式【作者】冯秀红;杨主旺【作者单位】南京信息工程大学,数理学院数学系,江苏,南京,210044;南京信息工程大学,数理学院数学系,江苏,南京,210044【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵的迹作为矩阵的一个重要数字特征在计算数学、数值估计、随机控制及其计量经济理论等方面有重要应用.国内外学者对此研究相当活跃[1-11].本文运用矩阵特征值与奇异值不等式的性质,获得 m个复矩阵乘积以及 Hermite半正定矩阵任意次幂之迹的不等式,推广了 Yang在文献[7]中的结果.本文所用记号如下:我们用 I表示单位矩阵,O表示零矩阵,tr(A)表示矩阵A的迹,即矩阵A的主对角线之和或所有特征值之和,λi(A)与σi(A)(i=1,…,n)分别表示 n阶矩阵A的特征值与奇异值;|λ1(A)|≥…≥|λn(A)|≥0表示 n阶复矩阵A的特征值的递降排序,σ1(A)≥…≥σn(A)≥0表示 n阶复矩阵A的奇异值的递降排序.特别地,当A是n阶 Hermite半正定矩阵时,λ1(A)≥…≥λn(A)≥0,且σi(A)=λi(A)(i=1,…,n).如果λi(A)≤λi(B)(i=1,…,n),则记A≤B,或B≥A.特别地,当λi(A)≥0时,记A≥O.A+表示矩阵A的Moore-Penrose逆.首先介绍本文需要的引理.引理1[1-2] 设A与B是 Hermite半正定矩阵,则其次,设 B是 Hermite半正定矩阵,则∀ε＞0,B+εI＞O,于是由上面所证λi(A(B+εI))≥0,因为特征值是矩阵元素的连续函数[1],故令ε→0即得所证.定理1 设A1,A2,…,A m是m个n阶复矩阵,则甚至tr(A1 A2…A m)有可能是复数.由引理4可知,当A与B都是n阶 Hermite半正定矩阵时,λi(AB)≥0,(i=1,…,n),则tr(AB)≥0.定理2 设矩阵A与B都是n阶 Hermite半正定矩阵,k为任意正整数,则证明当 k=1时,因为 A与B都是n阶 Hermite半正定矩阵,所以σ1(A)=λ1(A),σ1(B)=λ1(B),故由引理4与定理1有同理,tr(AB) ≤λ1(B)tr(A),因而tr(AB)≤min{λ1(A)tr(B),λ1(B)tr(A)} ≤tr(A}tr(B).对于一般情形,由于BAB…AB以及AB…ABA都是 Hermite半正定矩阵,故有注记4 如果将定理2的条件中B是n阶 Hermite半正定矩阵减弱为B是n阶Hermite矩阵,此时取k,s为正偶数,m=k+s,则定理3的结论仍然成立.事实上,因为 k,s为正偶数,故可设 k=2~k,s=2~s,则 m=2~k+2~s,且 B2是 n阶Hermite半正定矩阵,于是由定理2,我们有【相关文献】[1] Ho rn R A,Johnson C R.Topics in Matrix Analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press,1991.[2] 王松桂,吴密霞,贾忠贞.矩阵不等式[M].2版.北京:科学出版社,2006.[3] 杨兴东.关于斜 Hermite矩阵乘积之迹的不等式[J].南京师范大学学报:自然科学版,2001,24(1):37-39.[4] 杨兴东.关于 Hermite矩阵迹的不等式[J].南京气象学院学报,2000,23(1):130-132.[5] Marshall A W,Olkin I.Inequalities:Theory of Majoration and Its Applications[M].New York:Academic Press,1979.[6] Wang Bo-ying,Gong Ming-peng.Some Eigenvalue Inequalities for Positive Semi-Definite Matrix Power Products[J].L inear Algebra and Its Applications,1993,184:249-260.[7] Yang X J.NOTE:A Matrix Trace Inequality[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2000,250:372-374.[8] 杨兴东.矩阵之和的特征值与奇异值估计[J].数学杂志,2004,24(3):263-266.[9] Furuichi Shigeru,Kuriyama Ken,Yanagi Kenjiro.Trace Inequalities for Products of Matrices[J].Linear Algebra and Its Applications,2009,430:2271-2276.[10] Furuichi Shigeru,Lin Ming-hua.A Matrix Trace Inequality and Its Application[J].Linear Algebra and Its Applications,2010,433:1324-1328.[11] Komaroff N.Enhancements to the Von Neumann Trace Inequality[J].Linear Algebra and Its Applications,2008,428:738-741.。

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ＳｖｒｌｎｑａｉｅｂｕｅｔａｅｏｒｔｔｘｅｅａｅｕｌｉｓａｏｔｈｃｆｉｔｔｒＨｅｍｉｍａｒｅｉ
ＺＨＡＯｕｆｇ，ＷＡＮＧ — ｉＺＸｉ－ａｎＸｉｂｎ，ＨＡＩａ — ｏｇ，ＭＡｉｌ，ＬｉｏｈｎＸｉＬ－ｉＩＬ
文章编号：１０ — ８１（０２）０－０１００７９３２１２０１— ３
关于Ｈｒｉ矩阵迹的几个不等式ｅｔｍｅ
赵秀芳，王希彬，翟晓红。，马丽丽，李立
（．１齐齐哈尔大学理学院，黑龙江齐齐哈尔１１０；２齐齐哈尔市朝鲜族中学，６０６．黑龙江齐齐哈尔１１６６０；０３齐齐哈尔中，黑龙江齐齐哈尔１１０）．学６０２
１引言及预备知识来受到了许多学者的广泛关注Ｉ．９０，１８年
ＢｌａＲ在献【中Ｈｒｉ正矩阵ｅｎｌ．文１对ｅｔ定ｍ】ｍｅ给出了个乘积的式：ｔＡ）≤ （Ｂ）同一不等ｒＢ。仕，时给出了（Ａ不
（．ｈｏｏＳｉｎｅｉｈｒｎｖｒｉ，Ｑｑｍ１０，Ｃｉａ．ｉｉａｏａｉｄｅｈｏ，ＱｑＩｒ６０６ｈｎ；１Ｓｏｌｆｃｃ，Ｑｑａｉｓｙｉｌｒ６０６ｈｎ；２ＱｑｈｒｒｎＭｄｌＳｏｌｉｉ１０，ＣｉａｃｅｉＵｅｔｉ１Ｋｅｃｌ１ａ３ＱｑｈｒｄｌＳｈｏ，Ｑｑｈｒ６０２ｈｎ）．ｉｉＭｉｄｅｃｏｌｉｉａ１１０，Ｃｉａａ
等式２ｒＢ ≤ ｔＡ）（＋和ｔＡ）（ｒ。＋（）１９年，ｒＢ ≤ ｔ）缸ｎ．９０（Ａ ‘ 席博彦在文献【中将矩阵迹的Ｂｌａ２】ｅｍｎｌ不等式进行了推广：Ａ曰为Ｈｒｉ正半定矩阵，ｎ设，ｅｔｍｅ为正整数，则ｔＡ） ≤ ｒ．ｒＢｔＡＢ）（（本文利用矩阵恒等变形的方法，得到了Ｈｒｉ正半定矩阵和Ｈｒｉ正定矩阵迹的几个重要不等式，ｅｔｍｅｅｔｍｅ推广了相关文献的结果．引理设Ａ曰为任意２Ｈｒｉ正半定矩阵，则，个ｅｔｍｅ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｒｅｅｒｈｄｔｅｔｃｎｑａｉｏｒｔｏｉｖｅ－ｅｎｔｔｉｎｒｔｏｉｖｅｎｔｓａｃｅｈｒｅｉｅｕｌｙｆｒＨｅｍｉｐｓｔｅｓｍｉｄｆｉｍａｒａｄＨｅｍｉｐｓｔｅｄｆｉａｔｅｉｉｅｘｅｉｉｅ
ｓｍｉｄｆｉｔｘａｄＨｅｍｉｏｉｖｅｎｔｔｘｔａｅｇｎｒｌｅｅｒｓｌｆｅｒｌｖｎｅａｕｅｅ－ｅｎｔｍａｒｎｒｔｐｓｔｅｄｆｉｍａｒｃ，ｅｅａｉｄｔｕｔｏｅａｔｈｒｔｒ．ｉｅｉｅｉｉｅｉｒｚｈｅｓｔｅｈｌＫｅｏｄ：Ｈｅｍｉｔｘｐｓｔｅｄｆｉｔｉ；ｐｓｔｅｓｍｉｅｉｉｔｃｓｔｃｆｔｘｙｗｒｓｒｔｍａｒ；ｏｉｖｅｎｔｍａｒｘｏｉｖｅｄｆｔｍａｒｅ；ｒｅｏｒｅｉｉｉｅｉｎｅｉａｍａｉ
０ｔＡ） ≤ｒＢ（
（）（Ｘｒ）８ｔｔｔｒｒＢＡＡ
ｔｒＡ ≤（Ａ）ｔｒ
（）１
（２）
ｔ＋缸）．ｒＡ８
引理２” 设Ａ为半正定矩阵，，【伯４ｌ为正整数，则引理３ｌ引理设Ａ为同阶Ｈｒｉ正半定矩阵，，自然数，则ｔＡ＋，ｅｍｔｅｌ为ｒ（设Ａ，２ …，ｌＡ，Ａ都是Ｈｒｉ正定矩阵，０＜ｅｔｍｅ＜ｒ，则
第３卷第２２期
２１年３月０２
高师理科学刊
ＪｕａｆｃｅｃｆａｈｒＣｏｅｅａｄＵｎｖｒｉｏｍｌｉｎｅｏｃｅｓｏＳＴｅＨｇｎｉｅｔｓｙ
Ｖ０．２Ｎｏ２１３．Ｍａ．２２ｒ０１
摘要：研究了Ｈｒｉ正半定矩阵和Ｈｒｉ正定矩阵的迹的不等式问题．ｅｔｍｅｅｔｍｅ利用矩阵恒等变形的方法，得到了Ｈｒｉ正半定矩阵和Ｈｒｉ正定矩阵迹的几个重要不等式，ｅｔｍｅｅｔｍｅ推广了相关文献的结果．关键词：Ｈｅｍｔ阵；正定矩阵；半正定矩阵；矩阵的迹ｒｉｅ矩中图分类号：０５．１１１２文献标识码：Ａｄｉ０９９．ｓ．０－８１０２２０ｏ：１．６￣ｓ１７９３．１．．４３ｉｎ０２００
ｍａｒｅ．ＴｒｕｈｉｅｆＭｅｏｍａｉｎｏｔｘｏｔｉｅｅｅａｍｐｒｎｎｑａｉｅｆＨｅｍｉｏｉｖｔｉｓｃｈｏｇｄｎｃｄｆｒｔｆｍａｒ，ｂａｎｄｓｖｒｌｉｏｔｔｉｅｕｔｓｏｒｔｐｓｔｅｉｏｉａｌｉｅｉ