关于矩阵迹的一些不等式

引起了人们的关注。文献 [ 2] 由不等式 ( 1)、 ( 2)、 ( 3) 得出了如下两个关于非负定矩阵的不
等式:
t r( A2 ) ≤ [ tr ( A ) ]2
( 4)
t r( AB ) 2 ≤ [ t r( AB ) ]2
( 5)
文 [ 3 ] 将不等式 ( 4)、 ( 5) 推广到 A、 B 为正定矩阵时 ,有
摘 要 对由 Bellman不等式推导的 两个关于实正定对称矩阵迹的不等式进行了进一步的推广 ,并得到了一 系列的关于矩阵迹的不等式。 关键词 正定矩阵 非负定矩阵 Her mite 矩阵 矩阵的迹 Bellma b不等式
Some inequalities about trace of matrix
tr(
A
+ 2
B )2
( 9)
因 t r [ ( A +
B )2 -
4AB ]≥
0,即
tr( AB ) ≤
t
r(
A
+ 2
B )2.
定理 3 设 A为非负定矩阵 , n ∈ N ,则有 t r( An ) ≤ [ tr ( A ) ]n
( 10)
证明 因 A 为非负定的 ,故存在正交矩阵 T ,使得
Tang Yao ping
( Depar tment of M a th. and Co mputional Science , Institute o f Science and Engineering , Yo ng zh ou, 425006)
Abstract some inequalities bout trace o f real positiv e definite ma trix o btained by Bellman a re g enera lized. And new inequalities o f the trace o f matrices a re giv en.
λi
_
j
W
2 ij
=
λi_ j wi2j
③
i= 1 j= 1
i , j= 1
等式左端为 λ的连续函数 ,令 λ→ 0,得:
n
∑ t r( AB ) = λi_ j wi2j
④
i , j= 1
由经典的 yo ung不等式及正交矩阵的性质和 ④ 式 ,可得:
t r( AB ) ≤
t r( AB ) n ≤ [ t r( AB ) ]n.
又由文献 [ 4] 可得 , t r( AB ) n ≤ t r( An Bn ) .
故 t r( AB )n ≤ mi n{ [ t r( AB ) ]n , t r( An Bn ) }.
参考文献
[ 1 ] Bellma n. R. Some inequalities fo r positiv e definite matrices. Genera l Inequalities 2( Bachenba ch E. F. Ed) . Bi rkha user , 1980, 89- 90. [ 2] 方玉光 . 关于正定矩阵迹的一些不等式 . 湖南数学通讯 , 1984. 2, 41- 43. [ 3] 袁德正 ,吕 雄 . 关于矩阵迹的 Bellman不等式 . 内蒙古农牧学院学 报 , 1997. 112- 114. [ 4] 席博彦 . 关于迹的 Bellma n不等式 . 新疆大学学报 (自然科学版 ) , 1991, 8( 4): 34- 36. [ 5] 陈道琦 . 关于半正定 Hermite矩阵乘积迹的一个不等式 . 数学学报 , 1988, 31( 4) , 85- 86.
t r( AB ) 2 ≤ t r( A2 B2 )
( 1)
并首先建立了类似于 Cauchy - Schw arz不等式的不等式:
2t r( AB ) ≤ trA2 + t rB2
( 2)
t r( AB )
≤
(
trA
2
)
1 2
(
t
rB
2
)
1 2
( 3)
1 p
t
r(
Ap
)
ห้องสมุดไป่ตู้
+
1 q
t
r(
Bq
)
定理 6 设 A, B 为 Hermi te正定矩阵 , n∈ N ,则有
t r( AB ) n ≤ mi n{ [ t r( AB ) ]n , t r( An Bn ) }
( 12)
证明 由定理 4可得 ,当 A , B 为 Hermi te正定矩阵 , n∈ N 时 ,有
于是
n
∑ t r [ ( A + λE ) ( B + λE) = t r [ λi Eii T′1 T2 diag {_ 1 ,_ 2 ,… ,_ n } T′2 T1 ] ① i= 1
其中 Eii = diag ( 0,… , 0, 1, 0… 0) , i = 1, 2,… , n
A = T diag {λ1 ,λ2 ,… ,λm } T′
其中 λi ≥ 0, i = 1, 2,… , m 为 A 的 m 个特征根 ,于是
An = T diag {λn1 ,λn2 ,… λnm } T′
m
m
∑ ∑ t r( An ) = λni ≤ ( λi ) n =
设 W = T′1 T2 = ( wi j )n× n , W 仍为正交矩阵。直接计算可知:
n
∑ t r [ Eii W diag {_ 1 ,_ 2… ,_n }W′] =
_
W2
j ij
②
j= 1
由 ①、② 两式 ,得
n
n
n
∑ ∑ ∑ tr [( A + λE ) (B + λE) ] =
t r( An ) ≤ [t r( A ) ]n
( 6)
t r( AB ) n ≤ [ t r( AB ) ]n
( 7)
李养成教授推荐 收稿日期: 2005年 7月 19日
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数学理论与应用 第 26卷
式中 n 为自然数 本文对不等式 ( 1) ～ ( 7) 做了进一步的推广 ,并得到一个当 A , B为 Hermi t e正定矩阵的新 的不等式。
第202066卷年第3月1期
数学理论与应用 M A T HEM A TICA L T HEO R Y A N D
A PPLICA TIO N S
V ol. 26 N o. 1 M ar. 2006
关于矩阵迹的一些不等式
唐耀平 (湖南科技学院数学与计算系 ,永州 , 425006)
∴ 有 t r( A + B ) 2 = tr ( A ) 2 + t r( B ) 2 + 2t r( AB )
由不等式 ( 3) ,可得
t r( A + B ) 2 ≤ t r( A ) 2 + tr ( B ) 2
定理
2 设
A, B 为正定矩阵 ,则有
tr( AB ) ≤
2 结论及其证明
定理 1 设 A, B 为正定对称矩阵 ,则有
t r( A + B ) 2 ≤ t r( A ) 2 + tr ( B ) 2
( 8)
证明 因对任意 n阶矩阵 A , B ,恒有 t r( B ) = tr ( B A ) .
又 ( A + B ) 2 + A2 + B2 + AB + B A
Keywords positiv e definite matrix mo n- neg ativ e definite ma trix He rmite matrix t race of a mat rix
bellman inequality
1 引 言
Bellman. R.文 [ 1] 中证明了实正定对称矩阵乘积的一个不等式:
0(
1 p
+
1 q
=
1) ,则有
t r( AB ) ≤
1 p
t
r(
Ap
)
+
1 q
t
r(
Bq
)
.
证明 设 A , B 均为 n× n 半正定矩阵 ,则存在 λ> 0,使得 |A + λE|≠ 0,|B + λE|≠
第 1期 关于矩阵迹的一些不等式
79
0,且 A + λE , B + λE 是正定的 ,令 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ … ≤ λn 及 0 < _ 1 ≤ _ 2 ≤ … ≤ _ n 分别为 A+ λE , B + λE的 n个特征根。
由于 A + λE , B + λE 是正定的 ,因而存在正交矩阵 T 1, T 2 满足 A + λE = T 1 diag {λ1 ,λ2…λn } T′1 B + λE = T2 di ag {_ 1 ,_ 2… _n } T′2
于是有
t r [ ( A + λE ) ( B + λE) ]n ≤ [ t r( A + λE ) ( B + λE ) ]n 不等式左右两端均为 λ的连续函数 ,于是令 λ→ 0,即得:
t r( AB ) n ≤ [ t r( AB ) ]n
定理 5 设 A、 B 为任意两个同阶半正定矩阵 , p , q >
i= 1
i= 1
定理 4 设 A, B 为非负定矩阵 , n ∈ N ,则有
[ t r( A ) ]n .
t r( AB ) n ≤ [ t r( AB ) ]n