一类矩阵迹的不等式
关于Hermite矩阵迹的一个不等式
关于Hermite矩阵迹的一个不等式
方影
【期刊名称】《河北大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2000(020)002
【摘要】设Ａ、Ｂ是两个ｎ阶Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，证明了（ＡＢ）＾２的迹小于等于Ａ＾２Ｂ＾２的迹，并且给出了该不等式成立的充要条件。
【总页数】3页(P122-123,126)
【作者】方影
【作者单位】第二军医大学基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.Hermite正定矩阵迹的算术-几何平均不等式 [J], 刘红霞;冯天祥
2.《关于Hermite矩阵迹的一个不等式》的一个注记 [J], 杨仕椿
3.正定Hermite矩阵迹的不等式的几点注记 [J], 宋园;
4.正定Hermite矩阵迹的不等式的几点注记 [J], 宋园
5.Hermite矩阵迹的一个不等式 [J], 熊明
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关于矩阵迹的不等式
关于矩阵迹的不等式
矩阵迹，是数学中用来衡量矩阵行列式的强度大小和程度性质的数字，在生活
中也被认为是重要的运算工具，它可以应用于折扣计算、分布和拆分等方面。
由于矩阵迹的不等式，数学家们可以得出了有关矩阵的各种准确的结果。
矩阵迹的不等式是数学家们一种用于求解矩阵中数值的重要策略，它可以表述
为“矩阵迹下三角形空间内的点的总和不小于矩阵迹本身”，即：若矩阵A有n行，则Tr（A）≥a＊（1＋a＊＋a^2＋…＋a^（n-1）），其中a是矩阵每个单元值的
绝对值。
即矩阵迹大于三角形空间内点的总和，矩阵A不是正可积的，若矩阵A是正可积的，则Tr（A）= a＊（1+a*+a^2+…+a^（n-1））。
矩阵迹的不等式的重要性，在于它可以确定矩阵的分层次性，以及矩阵针对不
同特征的特异性，从而有效地应用于折扣计算，分布和拆分等矩阵相关操作中。
此外，在许多研究工作中，数学家也需要采用矩阵迹的不等式，以求解和证明特定问题的推断性结果。
矩阵的系统性分析必须从矩阵的结构和特性来入手，不等式是这一过程中不可
或缺的部分。
矩阵迹的不等式为矩阵的结构和特性的系统分析提供了强有力的数学依据，是数学界一个重要的发现，也是矩阵系统性分析的基本框架。
一类矩阵迹的不等式
一类矩阵迹的不等式周其生;金乐乐【摘要】In this paper, inequality on trace of a class of matrix are provided, by using Young inequality and Lieb-Thirring inequality, and the result of some of the literature is generalized.%本文利用Young不等式和Lieb-Thirring不等式，给出一类矩阵迹的新的不等式，且推广了一些文献的结果。
【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P1-4,56)【关键词】矩阵;迹;不等式【作者】周其生;金乐乐【作者单位】安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133;安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133【正文语种】中文【中图分类】O178;O151.21矩阵的迹是矩阵的一个重要数值特征，由于矩阵迹的运算在数值计算、逼近论以及统计估计、随机控制、滤波和经济计量学等理论中应用广泛，因此，对于它的讨论引起众多数学工作者的重视。
由于矩阵的乘法无实数乘法所具有的交换性，这使得许多关于实数的不等式不能直接推广到矩阵论中，一些看似平常的代数不等式，推广为按Löwner偏序的矩阵不等式一般可能不成立。
由于矩阵迹运算克服了矩阵乘法交换性的困难，又使得实数不等式的推广成为可能，鉴于矩阵乘积的迹一般不等于矩阵迹的乘积，故而又成为推广的障碍，因此，研究矩阵不等式不仅具有应用价值，而且也极具挑战性。
本文将利用矩阵迹的Young不等式和Lieb-Thirring 不等式，以及关于迹的性质，将一些熟知的实数不等式推广到矩阵论中，得到关于矩阵迹的不等式。
杨晋和稽国平、汤正谊等人分别在文[1]和[2]中给出如下一些实数不等式。
1.Jacobsthal不等式设x≥0,y≥0，对任意正整数n，有xn+(n-1)yn≥nxyn-1；当y>0时，上式可变形为。
矩阵迹的几个不等式
矩阵迹的几个不等式矩阵迹是矩阵理论中的一个重要概念，它是矩阵的一种量度，可以用来衡量矩阵的大小。
矩阵迹的不等式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用来衡量矩阵的大小，以及矩阵之间的关系。
首先，我们来看一下矩阵迹的定义。
矩阵迹是矩阵的一种量度，它是矩阵的对角元素之和。
换句话说，矩阵迹就是矩阵的对角元素的总和。
例如，对于一个3×3的矩阵A，它的矩阵迹就是A的对角元素a11+a22+a33的和。
矩阵迹的不等式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用来衡量矩阵的大小，以及矩阵之间的关系。
矩阵迹的不等式有很多，其中最重要的是Hadamard不等式，它表明矩阵的迹不能大于矩阵的乘积。
Hadamard不等式可以表示为：|A| ≤ |A|1|A|2|A|3|…|A|n其中，|A|表示矩阵A的迹，|A|1、|A|2、|A|3…|A|n表示矩阵A的各个分量的迹。
此外，还有一些其他的矩阵迹不等式，比如Gershgorin不等式，它表明矩阵的迹不能小于矩阵的最小特征值。
Gershgorin不等式可以表示为：|A| ≥ λmin其中，|A|表示矩阵A的迹，λmin表示矩阵A的最小特征值。
另外，还有一些其他的矩阵迹不等式，比如Frobenius不等式，它表明矩阵的迹不能小于矩阵的Frobenius范数。
Frobenius不等式可以表示为：|A| ≥ ||A||F其中，|A|表示矩阵A的迹，||A||F表示矩阵A的Frobenius范数。
总之，矩阵迹的不等式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用来衡量矩阵的大小，以及矩阵之间的关系。
Hadamard不等式、Gershgorin不等式和Frobenius不等式是矩阵迹不等式中最重要的三个不等式，它们可以用来衡量矩阵的大小，以及矩阵之间的关系。
矩阵的迹及其应用
矩阵的迹及其应用唐鹏程(孝感学院数学系,湖北孝感432100)摘要:文章讨论了几类特殊矩阵的迹,给出了它们的一般结果,并举例说明它们在证明相关问题中的应用。
关键词:矩阵的迹;矩阵的秩;相似矩阵;幂等矩阵;幂零矩阵;对合矩阵中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1007-1075(2000)04-0011-03A1B1= (A,0)B0=AB(3)B1A1=B0(A,0) =BA00 0(4)由(3),(4)式,有λI-A1B1 = λI-AB (5)λI-B1A1 =λm-n λI-BA (6)将(5),(6)两式代入(2)式,得λI-AB =λm-n λI-BA即得证(1)式。
其次,设AB的全部特征根为λ1,λ2,…,λm,BA的全部特征根为μ1,μ2,…,μn,则Tr(AB) =λ1+λ2+…+λm(7)Tr(BA) =μ1+μ2+…+μn(8)再由公式(1)知,矩阵AB与BA具有相同的非零特征根,它们之区别仅在于零特征根的重数不同,因此Tr(AB) =Tr(BA)证毕设A∈Mn(F),若A2=A,则称A为幂等矩阵。
定理2若A是幂等矩阵,且rank(A) =r,则Tr(A) =r。
证因为rank(A) =r,所以存在P,Q∈Mn(F),且P,Q皆为可逆矩阵,使得A=PIr00 0Q,设P=P1P2P3P4,Q=Q1Q2Q3Q4于是A=P1Q1P1Q2P3Q1P3Q2又因为A2=A,所以Ir00 0=P-1AQ-1=P-1A·AQ-1=Ir00 0Q·PIr00 0=Q1Q20 0P10P30=Q1P1+Q2P300 0由引理3,引理4和定理1,我们有Tr(A) =Tr(P1Q1) +Tr(P3Q2)=Tr(P1Q1) +Tr(Q2P3)=Tr(Ir) =r证毕设A∈Mn(F),若存在一个自然数m,使得Am= 0,则称矩阵A为幂零矩阵。
定理3若A为幂零矩阵,则Tr(A) = 0。
矩阵迹不等式
矩阵迹不等式是数学中的一个重要概念，它依据矩阵的定义来研究矩阵的属性和性质。
矩阵迹不等式是一种描述矩阵特征的公式，是比较矩阵当中不同项之间迹（也就是对角线上所有元素之和）是否大于、小于或等于某个其他表达式的一种不等式。
矩阵迹不等式主要用于建模和计算时，它可以用来在机器学习和数据分析中研究特征、建立模型和发现规律，也用于在数值分析中优化计算。
矩阵迹不等式的一般形式为：
迹（A）>= |A1|+ |A2|+...+ |An|
其中A1、A2……An表示矩阵A的迹(对角线上所有元素之和)。
由于迹的性质，矩阵迹不等式的右侧的表达式的值都可以从矩阵的元素值计算出来，因此它可以用于计算矩阵A的特征和结构。
矩阵迹不等式的应用很广泛，主要用于解决一些定性问题，如判断矩阵的半正定性、无穷正定性和行列式等问题，矩阵迹不等式也可以应用于矩阵投影、数据统计分析等建模和计算中。
矩阵迹不等式可以用来建立多元变量分析时的参数估计模型，它也可以应用于建立回归模型和凸优化中，用来构建多重非线性约束，实现最大化和最小化目标。
总之，矩阵迹不等式是一种重要的数学工具，它能够帮助我们理解矩阵的特性，也能够应用于一些具有实际意义的领域，实现快速有效的数值分析。
一类半正定矩阵的迹不等式
2. 主要结果的证明 定理 1 的证明：由命题 3、命题 4 及（3）式得
tr ( A + B + C ) 3 = tr[ A 3 + B 3 + C 3 + ( B 2 + C 2 ) A + ( A 2 + C 2 ) B + ( A 2 + B 2 )C + A( B 2 + C 2 ) + B( A 2 + C 2 ) + C ( A 2 + B 2 ) + ABA + ACA + BAB + BCB + CAC + CBC + ACB + BAC + BCA + A_________________________________________________________________________
半正定矩阵的迹不等式
王石安
（华南农业大学理学院，广州，510642） [摘要] 给出了一些半正定矩阵的迹不等式，推广了 Bellman , Kantorovich 不等式． [关键词] 矩阵迹，半正定，实对称矩阵，不等式 [中图分类号] O151. 21
由（8）及（10）知
（9） （10）
关于矩阵的偏迹不等式
关于矩阵的偏迹不等式
宝音特古斯;周金良
【期刊名称】《内蒙古民族大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1995(000)001
【摘要】本文给出了复矩阵的ｋ──项复合矩阵的偏迹不等式：其中Ａ，Ｂ为ｎ阶半正定Ｈｅｒｍｔｅ矩阵，Ａ＿１，Ａ＿２，…，Ａ＿ｍ．（ｍ≥２）为ｎ阶复矩阵，ｉ＝１，２，…，ｒ为自然数．
【总页数】2页(P11-12)
【作者】宝音特古斯;周金良
【作者单位】襄阳师专数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O151
【相关文献】
1.矩阵迹的 Young不等式和反向 Young不等式的应用 [J], 周其生
2.矩阵指数的偏迹不等式 [J], 陈灵
3.矩阵乘积的一个偏迹不等式 [J], 李修清
4.正定Hermite矩阵迹的不等式的几点注记 [J], 宋园;
5.二阶矩阵的Bellman迹不等式的新证法 [J], 余佳妮;唐耀平
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关 键
和ｒ ｃ㈣ （ ） （ ≤
．
词 ：上三 角矩 阵 ；特 征值 ；矩 阵迹
中图分类号 ：０ １２ ２ 文献标识码 ：Ａ 文章 编号 ：１７ ９ ９ （ ０ ８ １－ １２－ ３ ５ ． １ ６ ３— ７ ８ ２ ０ ）Ｏ ０ ２ ０
Ｉ ｅ ｕ ｌｔ ｎ ｔａ ｅ ｏ ｌ ｓ ｆ Ｍａｒｘ ｎ ｑ ａ ｉ ｏ ｒ ｃ ｆ ａ ｃａ ｓ ｏ ｔｉ ｙ
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第 ２ 第 １期 ７卷 ２０ ０ ８年 ２月
河南 理 工 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｅ Ａ Ｏ Ｙ Ｅ Ｈ Ｉ ＮＶ Ｒ ＩＹ （ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＨ Ｎ ＮＰ Ｌ Ｔ Ｃ Ｎ ＣＵ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ Ｉ Ｎ Ｅ
引理 ２
则 有
（ ｔ ｅ 不等式 ）设 Ｉ０ Ｈｉ ｒ ｌ ｄ ＞ ，ｂ ≥０ （ ｋ＝１ ，… ，ｍ） ，２ ，又 Ｏ＞ ， ＞ ｔ ０ ０，Ｏ＋ ３ ｔ ／＝１
收 稿 日期 ：２ ０ ０ ０ ０ ７— ５— １
基 金 项 目 ：河 南 省 自然 科 学 基金 资助 项 目 （６ １５６ ０ ；河 南 省 教育 厅 自然 科 学 基金 资 助 项 目 （０ ６ １０ ４ ０ １０５ ０ ） ２０ １０ ０ ） 作者简介 ：郑 玉敏 （９ ３一） １６ ，女 ，河南浚县人 ，副教授 ，从事高等数学教学 和矩阵方面的研究．
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（ｃｏｌｆｍ ｔｅ ａｉ ｎ ｎｏｍ ｔ ｎｓｉ ￣ ，Ｈ ｎ ｎＰ ｌｔ ｈ ｉ Ｕ ｉ ｒｔ，Ｊａｚｏ４ ４０ Ｃ ｉａ Ｓｈｏ ａｈｍ ｔｓ ｄＩ ｒ ａｉ ｃ ｎｅ ｅａ ｏ ｅ ｎ ｎｖ ｓｙ ｉ ｕ ５ ０３ ｈｎ ） ｏ ｃａ ｆ ｏ ｃＴ ｙｃ ｃ ｅｉ ｏ
Ｖ０ ＿ Ｎｏ ｌ２７ ．１ Ｆ ｂ． ０８ ｅ ２０
一
类 矩 阵迹 的不 等式
郑玉敏 ，崔润卿 ，郑玉歌
４４ ０ ） ５ ０ ３
（ 河南理工大学 数学 与信息科学学 院，河南 焦作
摘 要 ：证 明 了满足 条件 Ｒ ［ Ａ，Ｂ］ ≤１（ 中 Ｒ ［ 其 Ａ，Ｂ］ ＝ Ｂ — Ａ ） 的矩 阵迹 的 等式 ｔ Ａ Ｂ ｒ （ Ｂ） ｒ（ Ａ ＝ｔ Ａ Ｂ ）和满足 条件 Ｒ ［ Ａ，Ｂ］ ≤１ 具有 实特征 值 的矩 阵迹 的 Ｂ ｌ ａ 且 ｅ ｍ ｎ不等 式 ｌ
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第 ６期
郑 玉 敏 等 ：一 类 矩 阵 迹 的不 等 式
ｌ３ ２
（ 。 ） （ｍ６） ≥ 。 ；
， ，．． ．．． ．．． 。 ． ． ． ． ． ．．．。 ， ． ． ． ． ． ． ． 。 。 ． ． ．
设 Ａ ＝ （ ） 是 ｍ 阶方 阵 ，称它 的主对 角线元 素之 和为 的迹 ，记 为 ｔＡ． 即 ｒ
ｔＡ ＝ ｌ ２ ｒ ｌ＋ ２＋ … ＋ ｍ ． ｍ
引理 １
设 Ａ是 ｍ 阶方 阵 ，Ａ 的特征根 为 Ａ ，Ａ ，… ，Ａ ，则
ｔＡ ＝Ａ ＋ ＋… ＋ ｒ ｌ Ａ ２ Ａ． （） ３
Ａ ｓ ａ ｔ ｈ ｑ ａｉ ｆ ｔｘｔ ｃ ｆｒ（ Ｂ） ｒ（ ，ｗ ｉ ｅｃｎ ｉｏ ｆ ［ ｂ ｔ ｃ ：Ｔ ｅｅｕ ｔ ｎｏ ｒ ａｅｏ Ａ ＝ｔ Ａ Ｂ ） ｈｌ ｔ ｏ ｄｔ ｎｏ Ｒ Ａ，曰］ ≤１ ｒ ｏ ｍａ ｉ ｒ ｔ ｅｈ ｉ （ ｈｃ ［ ｗ ｉ Ｒ Ａ，Ｂ］ ： Ｂ — Ａ） ｎ ｅ ｍ ｎｉｅｕ ｌｙｏ ｔ ｃ ｆ ａ ｘｗｔ ｒａ ｅ ｅ ｖｌｅ ｒ Ａ ｈ Ａ Ｂ ，ａ ｄＢ ｌ ａ ｎｑ ａｔ ｆ ｒ ｅｏ ｍ ｔ ｉ ｅｌ ｉ ｎ ａ ，ｔ（ Ｂ） ｌ ｉ ａ ｒ ｉ ｈ ｇ ｕ
≤
ｄ（ Ａ ｔ
ｆ厶 ， 、
厶 ｒ 。 ｅ ｄ ｐ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ： ｕ ｐ ｒｔ ａ ｇ ｌ ｒｍａｒｘ； ｅ ｇ ｎ ａ ｕ ｄ ｐ ｅ ｒ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｉ ｉｅ ｖ ｌ ｅ； ｔａ ｅ ｏ ａｒｃ ｒ ｃ ｆａ ｍ ｔｉ ｅ
矩阵迹是 矩阵 的一个重 要 的数值 特征 ，它在许 多领域 ，如 数值计 算 ，逼 近论 以及 统计估 计等都有 相 当多的应用 ，许多 量 的计算 都会 归结到矩 阵迹 的运算 ．本文 主要讨论 满足 条件 ［ ］ ≤１ （ Ａ， 其 中 ［ ］ ＝ Ｂ — Ａ） 的矩 阵迹 的几个重 要不等 式． Ａ， Ａ Ｂ 我们 知道关 于矩 阵迹有著 名 的 Ｂ ｌ ａ ｅ ｍ ｎ不等式 ：设 Ａ， 为 ｍ 阶正定矩 阵 ，则 ｌ
ｔＡ ｒ Ｂ） ≤ （ ， （） １
ｔＢ （ ） ｒ） （ Ａ ≤
正定矩 阵也成立 ． 定义
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ ２ ）
关 于 Ｂ ｌ ａ 等式 ，多年来有 不少 推广 ，如文献 ［ ］＿［ ］ ｅ ｍ ｎ不 ｌ １ ４ ．本文 将证 明 Ｂ ｌ ａ ｅ ｍ ｎ不等 式对 于非 ｌ
（） ４
＿一 ／
引理 ３ 设 Ｄ。 为 ｍ 阶上三 角矩 阵 ，则 有 ，Ｄ ｔ （ Ｄ２“ ｔ Ｄ Ｄ； ｒ Ｄｌ ） ｒ ）・ （
（） ５
证明
设 。。 ＝
［．＝． ｒ． ． 二 ］ ， 。
・
Ａｌ
则 Ｄｌ ＝ Ｄ２
Ａ ］ ｆｌ Ａ 上 ＿ ｎ ２ ，、 Ａ“ ｎ ｌ