2023届湖南省浏阳一中九校联盟高三下学期第二次联考数学试题(解析版)

2023届湖南省浏阳一中九校联盟高三下学期第二次联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}{11},A xx B x x a =-<=∣∣，且A B ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(),1∞- B.(],0∞- C.[)0,∞+ D.[)1,∞+2.在复数范围内解得方程2450x x ++=的两根为12,x x ，则12x x -=（ ） A.4 B.1 C.2 D.33.已知函数()2log cos f x x =，则下列论述正确的是（ ） A.()12,0,2x x π∃∈且12x x ≠，使()()120f x f x += B.12,,2x x ππ⎛⎤∀∈⎥⎝⎦，当12x x <时，有()()12f x f x <恒成立 C.使()f x 有意义的必要不充分条件为,2k x x Rx k Z π⎧⎫∈∈≠∈⎨⎬⎩⎭∣ D.使()12f x -成立的充要条件为44x x R x ππ⎧⎫∈∈-⎨⎬⎩⎭∣4.如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（ ）A.1753π B.75π C.2383π D.2593π5.两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ 的轴截面为等边三角形，平面PQ α∥，平面α截圆锥侧面所得曲线记为C ，则曲线C 所在双曲线的离心率为（ ）D.2 6.下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12,x x 和2212,s s ，且已知12x x =，则总体方差()2221212s s s =+ B.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1 C.已知随机变量X 服从正态分布()2,Nμσ，若()()151P XP X -+=，则2μ=D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n ，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n += 7.如图，O 是平行四边形ABCD 所在平面内的一点，且满足1|2||3||626AOB BOC OA OB OC π∠=∠====，则OD =（ ）A.2 D.18.已知,a b R ∈，且0ab ≠，对任意0x >均有()()()ln 0x a b x b x a ----，则（ ） A.0,0a b << B.0,0a b <> C.0,0a b >< D.0,0a b >>二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()2y f x =-为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）A.函数()f x 的周期为2B.函数()f x 的图象关于()1,0对称C.函数()f x 为偶函数D.函数()f x 的图象关于3x =对称10.已知,A B 为圆22:1O x y +=上的两点，P 为直线:20l x y +-=上一动点，则（ ） A.直线l 与圆O 相离B.当,A B 为两定点时，满足2APB π∠=的点P 最多有2个C.当AB =时，PA PB +的最大值是1D.当,PA PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭11.已知函数()()sin (0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则（ ）A.43πϕ=B.()f x 在区间5,62ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 C.将函数cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位长度，可得函数()f x 的图象D.函数()4y f x =+的零点个数为712.如图，正方体ABCD A B C D '-'''的棱长为3，点M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且1PC '=，则下列结论正确的有（ ）A.沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为B.保持PM 与BD '垂直时，点M的运动轨迹长度为C.若保持PM =M 的运动轨迹长度为43π D.当M 在D '点时，三棱锥B MAP '-的外接球表面积为994π 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为__________. 14.对于一个给定的数列{}n a ，把它的连续两项1n a +与n a 的差1n n a a +-记为n b ，得到一个新数列{}n b ，把数列{}n b 称为原数列{}n a 的一阶差数列.若数列{}n b 为原数列{}n a 的一阶差数列，数列{}n c 为原数列{}n b 的一阶差数列，则称数列{}n c 为原数列{}n a 的二阶差数列.已知数列{}n a 的二阶差数列是等比数列，且12342,3,6,13a a a a ====，则数列{}n a 的通项公式n a =__________.15.已知直线:1l y =-，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，点B 关于y 轴对称的点为P .若过点,A B 的圆与直线l 相切，且与直线PB 交于点Q ，则当3QB PQ =时，直线AB 的斜率为__________. 16.已知不等式()1ln(0)x a x e a a e->恒成立，则实数a 的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知,,a b c 分别为三角形ABC 三个内角,,A B C 的对边，且有2sin 6b c C a π+⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若D 为边BC 上一点，且2CD AD BD ==，求sin C . 18.（本小题满分12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知1111,2n n n n S S a a a +=-=-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）令2n an b =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，试求21n T -除以3的余数.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,,3,4,AB CD AB BC AB BC CD PC PD PA⊥======∥（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求平面PAC与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收.某贫困地区有统计数据显示，2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有56是“年轻人”.（1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，根据0.10α=的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表（2）某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售､根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为711,,10510方案二：线上直播销售.根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为113,,.2510针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由. 参考数据：独立性检验临界值表()()()()22(),.n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++其中21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>的离心率为2，椭圆W 上的点与点()0,2P 的距离的最大值为4. （1）求椭圆W 的标准方程；（2）点B 在直线4x =上，点B 关于x 轴的对称点为1B ，直线1,PB PB 分别交椭圆W 于,C D 两点（不同于P 点）.求证：直线CD 过定点. 22.（本小题满分12分） 已知()()21ln ,2f x x x a x a a R =---∈. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）若12,x x 是函数()()112g x f x a a x a ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭的两个极值点，且12x x <，求证：()()12102f x f x <-<.湖南省2023届高三九校联盟第二次联考数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【解析】()0,2A =，要使A ,0B a ，选B .2.C 【解析】解得方程2450x x ++=的两根为2i -±，故122x x -=，选C.3.B 【解析】对于A ，由题知()0f x ，若()0,2x π∈，当且仅当x π=时，()0,A f x =错；对于B ，由复合函数单调性知，当,2x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，函数()f x 单调递增，B 正确；对于C ，由2log cos x 有意义，则,2x k k ππ≠+∈Z ，,2k x x k π⎧⎫∴∈≠∈⎨⎬⎩⎭RZ ∣是,2x x k k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z ∣的充分不必要条件，C 错；对于D ，44x xππ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭R∣是()12f x -成立的充分不必要条件. 4.D 【解析】该球的表面积24100S r ππ==，所以球的半径5r =，设圆台的上､下底面圆心分别为21,O O ，在上､下底面圆周上分别取点,A B ， 连接2121,,,,,OO OO OA OB O A O B ，如图，则123,4OO OO ==，所以127OO =， 由圆台体积公式知，()125991612733V ππππ=++⋅=，故选D. 5.A 【解析】如图，设平面PQ α∥，平面α与圆锥侧面的交线为C ，过P 垂直于EF 的母线与曲线C 交于M ，不妨延长PM 至A ，使PM MA =.过A 垂直于PQ 的截面交曲线C 为,E F ，设P 在平面α内的投影为点O ，以O 为原点，PQ 投影为x 轴建立平面直角坐标系，易知点M 为双曲线顶点.设OM a =，则可求E 点坐标为()2,a a ，代入方程：22221x y a b -=，知2213b a =，故双曲线离心率为e =，选A .6.C 【解析】对于A ，总体方差与样本容量有关，A 错；对于B ，相关性越强，r 越接近于1；对于C ，若()()151P XP X -+=，则()()511(5),22P X P X μ+--=<∴==，正确；对于D ，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372m +，乙组：第30百分位数为n ，第50百分位数为33447722+=，解得30,40n m ==，故70m n +=.7.D 【解析】由已知有3,3,2,2OA OB OC AOC π∠====，又四边形ABCD 为平行四边形，所以2222||()()()OD OC CD OC BA OC OA OB =+=+=+-222222OC OA OB OC OA OC OB OA OB=+++⋅-⋅-⋅439223cos23cos136ππ=++-⨯⨯⨯-⨯=因此1OD =，故选D.8.B 【解析】()()()()ln f x x a b x b x a =----，则()0f x =的三解为123e ,,ax x b x a b ===+，其中e a为正数，要使对任意0x >均有()()()ln 0x a b x b x a ----，只能是e a a b =+且0b <，或e ,0ab a b =+.若e a a b =+，且0b <，由e 1a a a b +>+知，e a a b =+无解； 则e ,0ab a b =+，又e 0,0ab a b =>+知，0a <.选B .二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BC 【解析】由()()20f x f x ++=得()()420f x f x +++=， 所以()()4f x f x +=，即函数()f x 的一个周期为4,A 项错误； 由()2y f x =-是偶函数得()()22f x f x -=+， 所以函数()f x 关于2x =对称，由()()20f x f x ++=得()()20f x f x -+=， 所以函数()f x 关于()1,0对称，B 正确；由()()22f x f x -=+得()()()4f x f x f x -=+=， 所以函数()f x 为偶函数，C 正确；由()()20f x f x ++=得()()310f x f x +++=， 由()()22f x f x -=+得()()31f x f x -=+，所以()()330f x f x ++-=，函数()f x 的图象关于()3,0对称，D 错误.故选B C.10.AD 【解析】因为O 到直线l 的距离1d ==>，所以直线l 与圆O 相离，A 正确；当,,PO l PA PB ⊥为切线时，APB ∠取到最大值， 此时2APB π∠=，故点P 最多有1个，B 错误；当P 在l 上运动时，PA PB +无最大值，C 不正确； 当,PA PB 为切线时，设(),2P a a -，则直线AB 为()21ax a y +-=，即()210a x y y -+-=， 所以直线AB 过定点11,,22D ⎛⎫⎪⎝⎭正确. 故选AD.11.ABD 【解析】由题得512632πππω-=⋅，所以2ω=， 又22,3k k πϕπ⋅+=∈Z ，所以22,3k k πϕπ=-∈Z ， 因为02ϕπ<<，所以4,A 3πϕ=正确； 所以()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 当5,62x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 单调递增，B 正确； 将cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12得cos2y x =，再将所得图象向右平移12π个单位长度，可得cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而34cos 2sin 2sin 26263y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 错误；由()40f x +=，得4sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭23x t π+=，则4sin t =因为函数4sin y t =在0t =处切线的斜率为04,t y y =='在()0,0处切线斜率不存在，即切线方程为0t =，所以4sin y t =在0t =处图象较缓，同时当16t >时4sin t <4sin t =有7个解，故D 正确.故选ABD.12.BCD 【解析】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图形，连接AP ，则AP <，故A 错误；对于B ，平面ACB BD '⊥'，所以过点P 做平面PEF ∥平面ACB '， 所以M 的运动轨迹为线段EF ，所以23EF A D '==B 正确；对于C ，若PM =M 在以P 为球心，过点P 作PQ ⊥平面ADD A ''，此时2QM ==，所以点M 在以Q 为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为23π， 点M 的运动轨迹长度为24233ππ⨯=，故C 正确； 对于D ，以D 为坐标原点，,,DA DC DD '所在直线分别为,,x y z 轴建系，则()()()()0,0,3,0,3,2,3,3,3,3,0,0M P B A '，设三棱锥B MAP '-的外接球球心为(),,N x y z ，由2222||||||NM NP NB NA '===得，222222222222(3)(3)(2)(3)(3)(3)(3)x y z x y z x y z x y z ++-=+-+-=-+-+-=-++，解得：75,44x z y ===，所以三棱锥B MAP '-的外接球半径4R ==，所以三棱锥B MAP '-的外接球表面积为2994,4S R D ππ==正确. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.84- 【解析】由27C C n n =，可得9n =，因此21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为9293199C (1)(1)C r r r r r r rr T x x x ---+=-=-，故21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3349(1)C 84T =-=-.14.21n n -+ 【解析】设数列{}n b 为原数列{}n a 的一阶差数列，{}n c 为原数列{}n a 的二阶差数列. 则由题意可知123121,3,7,2,4b b b c c =====.又{}n c 为等比数列，故2n n c =，即12nn n b b +-=.因此()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b -----=-+-++-+=++++=-，所以()()()1122111211n n n n n n n a a a a a a a a b b b a -----=-+-++-+=++++()()()121212121221n n n n --=-+-++-+=-+.15. 【解析】如图，易知过点,A B 且与直线l 相切的圆就是以AB 为直径的圆，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()1222,,,Q x y P x y -，由3QB PQ =有212x x =-，设直线AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =有2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，结合212x x =-，得k =. 16.2e 【解析】因为0a >， 所以()()1e elnln ln 11ex xa x a a x a-⇔+--()()()()ln ln e ln ln 11e ln 1ln 1x a x a a x x a x x --⇔---⇔+--+-.令()e xf x x =+，易知()f x 在()0,∞+上单调递增， 又()()()()()()ln ln eln 1ln 1ln 1x af x a x a x x f x --=+--+-=-，所以()ln ln 1x a x --，即()ln 1ln x x a --. 令()()()12ln 1,111x g x x x g x x x -=--=-=--'， 故()g x 在()1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，因此()min ()22g x g ==. 因为不等式()1e ln(0)ex a x a a ->恒成立，所以ln 2a ，即2e a .故实数a 的最大值为2e .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）由2sin 6b c C a π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin sin cos sin B C C C A++=，.()sin sin cos sin sin sin sin A C A C B C A C C +=+=++，sin sin cos sin A C C A C =+cos 1A A -=， 又()0,A π∈，故3A π=.（2）解法一：设,0,3BAD π∠θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则22,,33ADC DAC ACD ππ∠θ∠θ∠θ==-=-， 在三角形ADC 中，由正弦定理知，2sin sin 33AD DCππθθ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22sin sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得，tan 3θ=，则2,632ACD πππθ∠θ==-=， 即sin 1C =.解法二：取AB 中点M ，延长MD 与AC 的延长线交于点N ，连接NB ，由2CD BD =有1233ND NB NC =+，由1122NM NB NA =+， 设ND NM λ=，则123322NB NC NB NA λλ+=+，即232623NB NA NC λλ-=-， 故23λ=，所以2NA NC =，即C 为AN 中点.又,AD BD M =为AB 中点，所以NM AB ⊥， 又3A π=，所以ABN 为正三角形，.又BC 平分AN ，所以sin 1C =. 18.【解析】（1）由112n n n n S S a a +-=-有11112n n n n n S a S a a +++--=-，即1112n n n n S S a a ++-=， 又11a =，故111S a =，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以12n n S n a +=，即12n n n S a +=， 故1122n n n S a +++=，两式相减得112122n n n n n a a a ++++=-，即1122n n n n a a ++=， 所以11111n n a a an n +====+，因此{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）及2n an b =，有2n n b =，所以2212242n nn T -=-=-， 又011114(31)C 3C 3C 31n n n n n n n n --=+=++++，因为011C ,C ,,C n n n n -均为正整数，所以存在正整数k 使得431n k =+，故221224231n nn T k -=-=-=-，所以21n T -除以3的余数为2..19.【解析】（1）取CD 中点,M AB 靠近点A 的三等分点O ， 因为底面ABCD 为直角梯形，且,ABCD AB BC ⊥∥， 易知AB OM ⊥， 因为PC PD ==所以PM CD ⊥，所以AB PM ⊥，因为,OM PM M OM PM ⋂=⊂､平面POM ， 所以AB ⊥平面POM .又PO ⊂平面POM ，所以AB PO ⊥， 由2,1PD PA MD OA ====，得3,PO PM ==又3OM BC ==，所以POM 为等腰直角三角形， 所以PO OM ⊥，又,,PO AB OM AB O OM AB ⊥⋂=⊂､平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，又PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .（2）由（1）可知，OB OM OP ､､三条直线两两互相垂直且交于点O ，以O 为坐标原点，OB OM OP ､､分别为x y z ､､轴建立如图空间直角坐标系， 则()()()()1,0,0,2,3,0,0,0,3,2,3,0A C P D --， 故()()()3,3,0,2,3,3,4,0,0AC PC DC ==-=， 设平面PAC 的法向量为(),,m x y z =，由0,0,m AC m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩有330,2330,x y x y z +=⎧⎨+-=⎩可取()3,3,1m =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z '''=，由0,0,n DC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩有40,2330,x x y z ''''=⎧⎨+-=⎩可取()0,1,1n =，.设平面PAC 与平面PCD 所成锐二面角为θ，则4cos 19m n m nθ⋅===故平面PAC 与平面PCD 20.【解析】（1）由图1知，“年轻人””占比为45.5%34.5%80%+=，即有20080%160(⨯=人），“非年轻人”有20016040(-=人)由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为30.1%19.2%10.7%60%++=，即有20060%120⨯=（人），不常使用直播销售用户”有20012080-=（人）.“经常使用直播销售用户中的年轻人”有51201006⨯=（人），“经常使用直播销售用户中的非年轻人”有120-10020(=人)∴补全的列联表如下：零假设0H ：经常使用网络直播销售与年龄相互独立，即经常使用网络直播销售与年龄无关. 于是100,20,60,20a b c d ====.22200(100206020)252.083 2.706120801604012χ⨯⨯-⨯∴==≈<⨯⨯⨯根据小概率0.10α=的独立性检验，我们推断0H 成立， 即认为经常使用网络直播销售与年龄无关.（2）若按方案一，设获利1X 万元，则1X 可取的值为1300,150,0,X -的分布列为：()()113001500180(10510E X =⨯+-⨯+⨯=万元) ()2222221711711(300180)(150180)(0180)120330180351001051010510D X =-⨯+--⨯+-⨯=⨯+⨯+⨯=；（或()22221711300(150)01803510010510D X =⨯+-⨯+⨯-=） 若按方案二，设获利2X 万元，则2X 可取的值为2500,300,0,X -的分布列为：()()235003000190(2510E X =⨯+-⨯+⨯=万元)，()2222222113113(500190)(300190)(0190)31049019025102510D X =-⨯+--⨯+-⨯=⨯+⨯+⨯=106900（或()22222113500(300)01901069002510D X =⨯+-⨯+⨯-=）. ()()()()1212,E X E X D X D X <<，①方案一与方案二的利润均值差异不大，但方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一.②方案一的利润均值低于方案二，选择方案二.21.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由椭圆W的离心率为2得a ==， 设点(),T m n 为椭圆上一点，则22221,2m n b n b b b+=-，因为()0,2P，所以TP ===当02b <<时，max ||4TP ==，解得2b =（舍去）； 当2b时，max ||4TP ==，解得2b =，所以a =.故椭圆W 的标准方程为22184x y +=.（2）①当CD 斜率不存在时，设()000,,C x y x -<<00x ≠，则()00,D x y -.∴直线CP 为0022y y x x -=+，令4x =得00484,2y B x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 同理可得010484,2y B x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. B 与1B 关于x 轴对称，00004848220y y x x ---∴+++=. 解得04x =，矛盾；②当直线CD 的斜率存在时，设直线CD 的方程为y kx m =+， 设()()1122,,,C x y D x y ，其中10x ≠且20x ≠，则2m ≠.联立方程组22,1,84y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，化简可得()222214280k x kmx m +++-=，()()()222222Δ16421288840k m k m k m =-+-=+->，则2284m k <+，所以2121222428,1212km m x x x x k k--+=⋅=++， 又()0,2P ，所以121222,PC PD y y k k x x --==， 所以直线PC 的方程为1122y y x x -=+，直线PD 的方程为2222y y x x -=+， 令4x =得1121248482,2B B y y y y x x --=+=+， 因为1B 和B 关于x 轴对称，所以10B B y y +=，即121248484y y x x --+=-， 又1122,y kx m y kx m =+=+代入上式，整理可得()()()121248480k x x m x x ++-+=， 即()228484021m km k k +--=+，化简可得42m k =--或2m =（舍去），所以，直线CD 的方程为42y kx k =--，即()24y k x +=-， 所以，直线CD 过定点()4,2-.22.【解析】（1）易知函数()f x 的定义域为(),a ∞+， 又()()11x x a af x x x a x a--=-'-=--， 当0a =时，()()21,2f x x x f x =-在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增； 当0a >时，()f x 在(),1a a +上单调递减，在()1,a ∞++上单调递增；当10a -<<时，()f x 在()0,1a +上单调递减，在(),0a 和()1,a ∞++上单调递增； 当1a =-时，()f x 在()1,∞-+上单调递增；当1a <-时，()f x 在()1,0a +上单调递减，在(),1a a +和()0,∞+上单调递增.（2）由()()2111ln ,022g x f x a a x a x x a x x ⎛⎫=+-+-=--> ⎪⎝⎭， 有()21a x x ag x x x x='--=--，由题意可知12,x x 是方程20x x a --=的两根，因此12121,x x x x a +==-，且12110,0142a x x -<<<<<<， 所以()()()()221211122211ln ln 22f x f x x x a x a x x a x a -=----++-()()()()()221112121212122211ln ln 22x a x a x x x x a x x x x x x a x a x a--=----=+------ ()11221ln 2x a x x a x a-=----. （i ）先证：()()120f x f x ->. 证法一：要证明()()120f x f x ->，只需证明()11221ln 02x a x x a x a---->-， 又122221111111lnln ln ln 1ln 111aax a x x a x a x x a x x --+⎛⎫⎛⎫-===+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭--+， 故只需证明1221122121111111111ln 1ln 111222x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+>⋅=⋅-=⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即证221111112ln 112ln 11x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+>+-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为1201x x <<<，故21111x x <<，所以2111211x x <+<+， 令()()222ln ,10x h x x x h x x x-='=-=->，故()h x 在()2,∞+上单调递减， 所以211111h h x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221111112ln 112ln 11x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+>+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 证毕. 证法二：由（1）可知，()f x 在()0,1a +上单调递减，要证()()120f x f x ->，只需证明1201x x a <<<+，因为()22121121110a x x x x x x x +-=-+=-=>，所以21x a <+，故1201x x a <<<+，证毕. （ii ）再证：()()1212f x f x -<. 要证()()1212f x f x -<，即证()112211ln 22x a x x a x a ----<-， 又()()211212111211222212212121222ln ln ln ln 2x x x x x x a x x x x x x x a x x x x x x x x x x x ++-++===-++++， 故只需证明()()()2112121212121212221111ln 22222x x x x x x x x x x x x x x x +⋅<+-=++-=+， 即证2112121212222221ln 12x x x x x x x x x x x x ++<==++， 因为2211212222x x x x x x+<+，所以21121212222ln ln1012x x x x x x x x +<=<++. 综上，()()12102f x f x <-<.。