线性代数复习题1
线性代数复习题.doc答案
线性代数复习题第一章1．设()xx x x x x f 111123111212-=中含有4x 的项的系数是（ ）。
A.1B.-1C.2D.-2 答案：C2．计算行列式100010010001aa a a D =。
答案： ()221a-3．若022150131=---x ，则=x 。
答案：5。
4．k 满足_______时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321kx x x x kx x x x kx 只有零解.答案：2-≠k 且1≠k 。
5．计算行列式2132651192311021-。
答案： 436．行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =的转置行列式=T D 。
答案：=7．8级排列36215784的逆序数在τ(36215784)=_____. 答案：108．计算4阶行列式2421174214112111-----=A 。
答案： 609．计算行列式aba b b a b a D 00000000=。
. 答案：()222b a D -=。
10．若223252113=-x ，则=x 。
答案：411．若行列式02250131=--x ，则=x 。
答案：-512．排列36i15j84在i=_____,j=______时是奇排列. 答案：7，213．线性方程组⎩⎨⎧=+=+n dx cx mbx ax 2121 的系数满足 __________时，方程组有唯一解.答案：ad bc第二章1．设A 是t s ⨯的矩阵，B 是n m ⨯矩阵，如果B AC T有意义，则C 应是（ ）矩阵。
A. n s ⨯B.m s ⨯C.t m ⨯D.m t ⨯答案：C2．设A 、B 为n 阶矩阵，A 可逆，0≠k ，则运算（ ）正确. A. ()k k kB A AB =B. A A -=-C. ()()A B A B A B +-=-22D. ()111---=A k kA答案：D3．设A 为3阶方阵，且2=A ，则=-1A （ ）。
线性代数复习题-第一章
1 2 11
3. Dn 1 1 3 1 =
.
1 1 1n
abc
4. 行列式 a2 b2 c2
.
a3 b3 c3
5. 当 a
时，方程组
(a 2)
4
x1
x1 4x2 x3 0 (a 3)x2 4x3
0
有非零解.
x1 4x2 (a 4)x3 0
6.
已知齐次线性方程组
x1 x1
x3 x3
0 0
只有零解,则
应满足的条件是
.
x1 x2 x3 0
2768 10. 已知 D 4 4 4 4 ,
2479 8188
则 A41 A42 A43 A44 _______ .
二、计算题
a 1 1 1 1
1 a 1 1 1
1．计算行列式 D
.
1 1 a 1 1
1 1 1 a 1
0a0b a0b0 ２. 计算行列式 D 0b0a b0a0
a ３.计算行列式 D b
ab
b ab
a
ab a. b
3 2 51 ４.求 D 1 0 3 1 的值.
1 1 2 0 3 2 04
12 3 n
2 3 4 n1
5.计算 Dn 3 4
5 n2
n n 1 n 2 2n 1
x a aa
a xaa
6. 计算 Dn a a x a .
a a a x
7．计算 n 阶行列式 1 x 1 1 1 x
Dn
11
1 1.
1 x
1abc 8. 计算行列式 D x 1 0 0 .
y010 z 001
1 x 1 1 1 1 1 x 1 1
线性代数复习题带参考答案(一)
线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。
成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。
个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（ ）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。
线性代数复习题
第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ ]（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 。
2．排列36715284的逆序数是3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = s = ，t = 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 。
三、计算下列行列式：1．1322133212．598413111３．yxyx x y x y y x y x+++４．001100000100100=1５．000100002000010n n -６．011,22111,111n n n n a a a a a a --第二节 行列式的性质一、选择题：1．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D [ ]2．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D [ ] （A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-3． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a = [ ] （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 二、选择题：1．行列式=30092280923621534215 2. 行列式=11101101101101112．多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是3．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则4．行列式 ==2100121001210012D三、计算下列行列式：1．2605232112131412-2．xa a a x a aa x第三节 行列式按行（列）展开一、选择题：1．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是 [ ]（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-2．4阶行列式44332211000000a b a b b a b a 的值等于 [ ] （A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 3．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a 的解是 [ ] （A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=二、填空题：1． 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是2． 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++=3． 已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = 三、计算行列式：1．32142143143243212.12111111111na a a +++综 合 练 习一、选择题：1．如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = [ ] （A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M2．若xx x x xx f 171341073221)(----=，则2x 项的系数是 [ ]（A ）34 （B ）25 （C ）74 （D ）6 二、选择题：1．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = j =2. 设行列式27562513--=D ，则第三行各元素余子式之和的值为 。
线性代数复习题
线性代数复习题一、选择题1. 设矩阵A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则矩阵A的特征值可能是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -12. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩等于未知数的个数3. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示B. 向量组中任意一个向量都能由其余向量线性表示C. 向量组中任意两个向量都是线性无关的D. 向量组中任意两个向量都是线性相关的二、填空题4. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A| = 2，则矩阵A的逆矩阵A^(-1)的行列式|A^(-1)|等于_______。
5. 若线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为[A|b]，且A的秩等于b 的秩，则该线性方程组的解集是_______。
6. 设向量α和β不共线，若存在实数λ使得α = λβ，则α和β_______。
三、解答题7. 证明：若A是n阶方阵，且A^2 = A，则A的特征值只能是0或1。
8. 已知矩阵B是3×3矩阵，且B的行列式|B| = 3，求证：存在一个3×3的矩阵C，使得BC = CB = I，其中I是3阶单位矩阵。
9. 给定向量组α1 = (1, 2, 3), α2 = (4, 5, 6), α3 = (7, 8, 9)，判断该向量组是否线性无关，并说明理由。
10. 已知线性方程组：\[\begin{cases}x + 2y + 3z = 1 \\2x + 4y + 6z = 2 \\3x + 6y + 9z = 3\end{cases}\]求该方程组的解。
四、计算题11. 计算矩阵A = \[\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\0 & 1 & 4 \\5 &6 & 7\end{bmatrix}\]的行列式。
线性代数习题1(附答案)
线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分,共20分) 1.设五阶矩阵 123230,2A A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是3阶方阵,122,1A A ==，则 A = .2.设 123,,a a a 线性无关,若 112223331,,b a ta b a ta b a ta =+=+=+ 线性无关,则 t 应满足条件 .3.向量组112α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201γ线性 关4.如果矩阵 14000400x x x x A x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是不可逆的， 则 x = . 5.设 n 阶(3n ≥)矩阵 1111a a a a a a A aa a a aa⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩为 1n -, 则 a 必为 二.单项选择题(每小题4分,共20分)1. 设 ,A B 为同阶可逆矩阵， 则 ( ) (A) .A B B A = (B) 存在可逆矩阵 ,P 使 1.P AP B -= (C) 存在可逆矩阵,C 使 .TC AC B = (D)存在可逆矩阵P 和,Q 使 .PAQ B = 2.设A,B 都是n 阶非零矩阵,且 0A B =,则A 与B 的秩是 ( ). (A) 必有一个等于零. (B) 都小于n.(C) 都等于n. (D) 一个小于n, 一个等于n.3. 设n 元齐次线性方程组 0A x =中 ()R A r =, 则0A x = 有非零解的充要条件是 ( )(A) r n =. (B) r n ≥. (C) .r n < (D) .r n >4. 若 向量组,,a b c 线性无关,,,a b d 线性相关, 则 ( )(A) a 必可由 ,,b c d 线性表示. (B) b 必不可由 ,,a c d 线性表示. (C) d 必可由 ,,a b c 线性表示. (D) d 必不可由 ,,a b c 线性表示.5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，则12A 等于 ( ) (A ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101111 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10121 (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11121(D ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1201212三.(14分) 设 3521110513132413D --=----D 的(,)i j 元的余子式和代数余子式依次记作,,ij ij M A 求11121314112131.A A A A M M M M ++++++及 四. (10分) 已知 21311122,20,13225A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦求 X AX B =使.五.(10分) 判定下列向量组的线性相关性, 求出它的一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.()()()()()123451,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,141,2,2,0,2,1,5,10a a a a a =-===-=六.(10分) 用基础解系表示下面方程组的全部解:12341234123422124522x x x x x x x x x x x x a+-+=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩七(16分) 已知A 是n 阶方阵,且满足 220(A A E E +-=是n 阶单位阵). (1) 证明 A E + 和 3A E - 可逆,并求逆矩阵； (2) 证明 2A E +不可逆线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分, 共24分) 1．144。
线性代数讲义复习题
线性代数复习题 第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是。
2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c =。
3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B +=,2()A B -=,()()A B A B +-=。
4.设矩阵1234A ⎛⎫=⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和。
（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)TY =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY =。
（特别地，若,X Y 为字母向量时也应该会表达）6.设矩阵AB 与BA 都有意义，问A 与B 的关系为；又若AB 与BA 为同级方阵，问A 与B 的关系为。
7.设α是一个列向量，k 是一个数，分析k α与k α的意义 ，两者是否相等？答：。
8.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ=，βα=。
9.设矩阵2003A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则100A =。
10.设矩阵200012035A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=。
11.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A =。
12.设矩阵123456789A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R A =。
13.设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**___.AA A A ==14.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。
15.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为__________，A 的伴随矩阵*A =。
16.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB =。
17.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB =。
线性代数复习题
线性代数复习题一、选择题1. 设A为2×2矩阵，B为2×3矩阵，C为3×2矩阵，则下列哪个运算不合法？a) A + Bb) A - Bc) A × Cd) B × C2. 设A、B均为n阶可逆矩阵，下列哪个等式一定成立？a) (A · B)^-1 = B^-1 · A^ -1b) (A + B)^-1 = A^-1 + B^-1c) (A^T)^-1 = (A^-1)^Td) (AB)^-1 = A^-1 · B^-13. 若A为n阶反对称矩阵，则下列哪个结论一定成立？a) A主对角线元素全为零b) A的行列式一定为零c) A的特征值一定为零或纯虚数d) A的秩一定为n4. 设A为n阶矩阵，rank(A) = n，则下列哪个结论一定成立？a) A是可逆矩阵b) A的列空间维数为nc) A的零空间维数为nd) A的特征值都为非零数二、填空题1. 若A为对称矩阵，则A的主对角线元素为_______。
2. 若A为n阶矩阵，行列式为det(A) = 5，则A的逆矩阵的行列式为_______。
3. 若A为n阶矩阵，A的核空间的维数为2，则A的秩为_______。
4. 若A为n阶矩阵，行列式为det(A) = 0，则A一定________。
三、计算题1. 已知矩阵A = [4 3; 2 1]，求A的逆矩阵。
2. 已知矩阵A = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0]，求A的转置矩阵。
3. 已知矩阵A = [1 -2 3; 4 0 -1; 2 1 3]，求A的行列式和秩。
4. 已知矩阵A = [1 2 -1; 3 0 2; -2 1 4]，求A的特征值和特征向量。
四、应用题1. 某公司有5个部门，每个部门的工作效率可以用一个代号表示。
现有一矩阵A = [1 3 4 5 2; 2 5 1 3 4; 4 2 3 1 5; 5 4 2 3 1; 3 1 5 4 2] 表示各部门之间的协作效率。
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一．填空题1．若B A ，为3阶方阵，且2=A ，2=B ，则=-A 2 - 16 ，='⋅)(B A4 ，=-1A 1/2 .2．设A 是３阶方阵, 3=A ，则：=++131312121111A a A a A a 3 ,=++231322122111A a A a A a 0 .3． 设A 设方阵A 满足E A A =',则=A ____1±________.4．设A 是三阶方阵,8=A ,则：=++131312121111A a A a A a 8 ，=++133312*********A a A a A a 0 其中ij A 为ij a 的代数余子式.5．行列式6 3 3 2 1 2 11 1 = 18 ，行列式=22 02- 1 000 2____12_______. 6．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300220221A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200032021B ，则行列式： =-A - 6 ，=AB-12 ，=-1A 1/6 ，=*A 36 .7．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300220221A ，它的代数余子式32A = -2 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-3/1003/12/100111A 。
18．行列式：=322232223 28 ，它的第2行第3列元素1的代数余子式23A = - 2 . 9. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210110001A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001B , 则=⋅B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛420220001, 1-A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110120001. A 的伴随矩阵 *A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--200230066.10. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020002A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=987654321B , 则=+B A 8⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛258762143217,=⋅B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛18161412108642,11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 1 10 2 10 0 1A ，则=-A - 6 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11/3 1/6- 1/6 - 0 1/22/10 01 1A ，=2A 36 . 12．()013121221110⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎝⎭()152013．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 10 23 22102111 0 0010101,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12 58 54 1 3 224 3 2 1. 14. 若n 阶方阵A 的秩 r n <, 则A = 0 ．15．设0=x A ，A 是5阶方阵，且=)(A R 3, 则基础解系中含 2 个解向量． 16．若向量)3,2(),2,1(),7,4(21='='='ααβ，则β用21,αα组合的表达式是212ααβ+=.17．向量组)3,1,3('),0 ,1 ,0(),1 , 1- ,1(),0 ,0 ,2(4321=='='='αααα的线性相关性为： 线性相关，它的秩是 3 .18．已知向量组α1=(1,0,0),α2=(2,5,2),α3=(1,5,k)线性相关,则k =___2__________.19． 设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0 00000 10100 0101，则矩阵A 的秩为 2 ，线性方程组O X A =的基础解系的向量个数为 3 . 20．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++232132132111λλλλx x x x x x x x x ）（,则：当λ≠1且λ≠0 时，方程组有唯一解；当λ= 1 时方程组有无穷解； 当λ= 0 时方程组无解.21．向量），，（1 2 11='α），，（3 4 32='α，），，（1 1 13='α，则向量组321ααα，，的秩等于 2 ，该组向量线性 相 关.22 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11221002λA ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=002B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ,则当≠λ 2 时，线性方程组B AX =有唯一解；当1=λ 时，线性方程组B AX =的解X '= k k ,131⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-为任意常数.23．设0=x A ，A 是54⨯阶矩阵， =)(A R 2，则基础解系中含有 3 个解向量． 24．向量），，（3 2 11='α），，（1 2 32='α，），，（1 1 13='α，则向量组321ααα，，的秩等于 2 ，该组向量线性 相 关.25. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20001101λA ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ,则当≠λ 0 时，线性方程组B AX =有唯一解；当2=λ 时，线性方程组B AX =的解X '= （1，-1，0） 。
26．设0=x A ，A 是43⨯阶矩阵，基础解系中含有1个解向量，则=)(A R 3 ．二．选择题（每小题3分，共15分）1．若A 为3阶方阵，且2=A ，则2A -=( C )． Ａ．-4 Ｂ．4 Ｃ．-16 Ｄ．162．n 阶方阵A 的行列式0≠A 是矩阵A 可逆的（ C ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．无关条件7．n 阶方阵A 的行列式0=A 是齐次线性方程组O AX =有非零解的（ C ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．无关条件 2．设B A ,为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有（ Ｂ ）．Ａ．O A =或O B = Ｂ．0=A 或0=B Ｃ． O B A =+ Ｄ．0=+B A3．设n 元线性方程组b x A=，且n b A R A R ==),()( ，则该方程组( Ｂ )Ａ．有无穷多解 Ｂ．有唯一解 Ｃ．无解 Ｄ．不确定2. 设n 元线性方程组O x A=，且1)(-=n A R ，则该方程组的解由( A )个向量构成.Ａ．有无穷多个 Ｂ.1 Ｃ．k n - Ｄ．不确定4．设O B O A ≠≠,为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有（ D ）．Ａ．0)(=A R Ｂ． 0)(=B R Ｃ．n B R A R =+)()( Ｄ．n B R A R ≤+)()( 6. n 阶方阵A 的行列式0=A ,则A 的列向量（ A ） Ａ．线性相关 Ｂ．线性无关 Ｃ．0)(=A R Ｄ．0)(≠A R1．设n 元线性方程组b x A=，且1),(+=n b A R ，则该方程组( B)Ａ．有唯一解Ｂ．有无穷多解 Ｃ．无解 Ｄ．不确定2. 设n 元线性方程组O x A=，且k A R =)(，则该方程组的基础解系由( C )个向量构成.Ａ．有无穷多个 Ｂ．有唯一个 Ｃ．k n - Ｄ．不确定3．设矩阵B A ,，C 为n 阶方阵，满足等式C AB =，则下列错误的论述是（ B ）． Ａ. 矩阵Ｃ的行向量由矩阵A 的行向量线性表示 ； Ｂ．矩阵Ｃ的列向量由矩阵A 的列向量线性表示； C ． C B A =⋅ ;Ｄ．矩阵Ｃ的行向量由矩阵B 的行向量线性表示.6. n 阶方阵B A ，的乘积的行列式5=AB ,则A 的列向量（ B ） Ａ．方阵A 的列向量线性相关 Ｂ．方阵A 的列向量线性无关 Ｃ．5)(=A R Ｄ．n A R <)(计算行列式2111121111211112D =的值． 解．21234314211111111111121112110100555112111210010111211120001r r D r r r r r r r r -=+++-=- 设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 11 2, 求矩阵X, 使E A AX 2+=解 由AX = A +2E 得)2(1E A A X +=-()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5 2- 1 02- 3 0 1~3 1 1 11 4 12 2 E A A 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5 2-2- 3 X设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210321A ，求1-A ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100 010 001 100210321) (E A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---100 010 021 100210101221r r 1323100 121010 0122001 001r r r r -⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1002101211A （或用伴随矩阵）已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32111α ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11112α ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=53313α ，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示．解：()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==513312311111,,321ααα A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→220110220111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000110111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→000000110201 极大无关组21,αα，且2132ααα-=．设向量组321,,ααα线性无关，讨论向量组112123,,αααααα+++的线性相关性．解：由定义，令112123123()()0,k k k αααααα+++++= 即 123123233()()0k k k k k k ααα+++++=因为321,,ααα 线性无关，所以有123223 000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，由于方程组只有零解，故112123,,αααααα+++线性无关。
已知向量组.1222,1343,1121,11114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=＝ ＝ ＝ αααα求向量组4321αααα，，，的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示出来.解 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 0 01 0 0 00 1 1 0 0 2 0 1~1 1- 1 1-23 1 124 2 1 2 3 1 14321rαααα，，， 由此可知, 421,ααα，为一组极大线性无关向量组, 2132ααα+=向量），，（2 2 11='α），，（2 1 22--='α，），，（1- 2 23-='α，)3,3.0('03021=='ββ），，，（请把向量组21ββ，表示成向量组321ααα，，的线性组合.解 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1 2 1 0 01 1- 0 1 0 4 2 0 0 1~1 0 1- 2 211 2 1- 2 0 0 2- 2- 1214321r ββαααα，，，，， 由此可知321122αααβ+-= 32124αααβ++=讨论λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++2321321321)1( )1(0)1( λλλλλx x x x x x x x x(1) 有唯一解； (2) 无解； (3) 有无穷多解．解：法1 )3(1111111112+-=+++=λλλλλA（１） 当0≠λ且3-≠λ时，有0≠A ，方程组有惟一解；（２）当3-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=93 0 112121211A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→600033300211，3)(2)(=<=A R A R ，所以无解；（３）当0=λ时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→000000000111A ， 1)()(==A R A R ，方程组有无穷多解．法2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=220001111111110111λλλλλλλλλλλλA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+→2)2(000111λλλλλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--+→)1()3(0000111λλλλλλλλ求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--03203 0432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=321131111111A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→210042001111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000021001111 通解方程组⎩⎨⎧=-=--02043421x x x x x ，基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111ξ ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12012ξ ，通解为2211ξξ k k +，（21,k k 为任意常数）求非齐次线性方程组⎩⎨⎧=-+--=+--2 22243214321x x x x x x x x 的通解．解 增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2 1- 1 0 00 0 0 1- 1~2 1- 1 222- 1 111r B还原成线性方程组⎩⎨⎧+==24321x x x x可得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020011000011214321c c x x x x ,21,c c 为任意常数.设A 为满足等式O E A A =+-232的矩阵，证明A 可逆，并求1A -．解：O E A A =+-2321(3)2(3)2A A E E A A E E -⇒-=-⇒⋅-= 所以A 可逆，且11(3)2AE A -=- 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-=--2321321321 1 λλλλλx x x x x x x x x 当λ取何值时（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷解，并相应的通解．解 方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ 1- 1-1-1- 1- 1- A 的行列式2)1)(2(+-=λλA 当21≠-≠λλ且时，方程有唯一解；（1） 当2=λ时，方程组无解；（2） 当1-=λ时，增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 0 00 0 0 01- 1 1 1~rB ，可得方程组有无穷多解通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00110101121c c X向量），，（2 2 11='α），，（2 1 22--='α，），，（1- 2 23-='α，请把向量），，（001='β表示成向量组321ααα，，的线性组合. 解 解方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----====-2219100112221222191,),,(1321βββαααA X AX X 知即即βααα=--321929291 求非齐次线性方程组⎩⎨⎧=-+--=+--2422243214321x x x x x x x x 的通解．解 增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2 1- 1 0 00 0 0 2- 1~2 1- 1 422- 1121r B还原成线性方程组⎩⎨⎧+==24321x x x x可得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020011000011214321c c x x x x ,21,c c 为任意常数.1’。