无理数与实数(基础)
第三讲-无理数与实数
代数（二）根式计算（二）——无理数与实数【知识要点】 1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=…，21.414213=， －…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。
2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a、b互为相反数。
②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。
1ab a=⇔、b互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即()()()00a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩【典型例题】例1 在实数，25，3.3333，3，0.412⋅⋅，…，π，256-中，哪些是有理数，哪些是无理数例2 （1）下列说法中，正确的是（）A．带根号的数是无理数 B．无理数都是开不尽方的数C．无限小数都是无理数 D．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（）A．若a为实数，则a大于－a B．实数m的倒数一定是1mC ．若实数x 、y ，有x y =，则x =yD ．任何负数的倒数都小于它的相反数例的相反数之和的倒数的平方为 。
例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是 。
例5 试比较下列各组数的大小；①和②，1π-，310-例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---（2）当01x <<时，2x 、x 、1x的大小顺序是（ ）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<<例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=（2）若210x -=，求20012002x y +的值。
初中数学必修——实数基础知识与应用
初中数学必修——实数基础知识与应用数学作为一门基础学科，在我们的学习中占据着至关重要的位置。
而在数学中，实数基础知识是我们学习的重点和难点之一。
在初中阶段，我们接触到的最多的就是实数这个概念。
由此，本文将从实数基础知识的概念、性质、应用三个方面进行阐述，希望能对初中生的学习有所帮助。
一、实数基础知识的概念1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数的数集，用符号R表示。
其中，有理数是能表示为分数形式的数，如正整数、负整数、分数、小数等；而无理数则是不能表示为分数形式的数，如根号2、圆周率等。
2. 实数的数轴表示我们可以利用数轴来表示实数，其中左边为负无穷，右边为正无穷，0点为原点，实数集中的数都被标在数轴上。
在数轴上，实数的“绝对值”表示的是该数到0点的相对距离。
例如，-3和3到数轴0点的距离是相等的，它们的绝对值都是3。
二、实数基础知识的性质1. 实数的顺序性实数满足的是“简单正性”，即任何一个实数都可以和0相比较，将其分为正数、负数和0。
另外，实数还满足“三角不等式”，即对于任意的实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
2. 实数的有理数和无理数分类实数可以分为有理数和无理数两种类型。
有理数可以用分数表示，而无理数则不能化为分数形式。
其中，无理数还可以分为代数无理数和超越无理数两类。
3. 实数的区间表示可以用小括号、中括号和分号表示区间，如(0,1)表示0到1之间的实数，开区间；[0,1]表示0到1之间的实数，闭区间；(a,b]表示大于a小于等于b的实数。
三、实数基础知识的应用1. 实数在几何学中的应用实数在几何学中有着广泛的应用，比如点、线和面等图形中的坐标点都可以用有序实数对来表示。
在坐标系中，我们可以计算两点之间的距离，求解线段的长度、斜率等。
2. 实数在物理学中的应用实数在物理学中也有着重要的应用，如长度、温度、时间、速度、力等物理量都可以用实数来表示。
在物理学中，我们可以通过实数的计算来求解物理问题，如速度、加速度、力与物体运动状态等。
第二章实数,无理数
第二章实数 1、认识无理数【知识准备】1.有理数的分类；任何一个有理数都能用分数表示.【自学提示】 一、完成下列题目：1,a 2=4 则a= b 2=1/9 则 b= c 2=2 则 c= 2、2在连续整数 和 之间，因此2不可能是整数.3、2不可能是 .4、2既不是整数，也不是分数，那么2就不是 .5、任何有限小数或循环小数都可化为分数，由于2的小数数位是无限的，而且是不循环的，所以把2这样的数叫做无限不循环小数，类似2的数有很多，请写出3-5个： ，无限不循环小数叫做 .6、常见无理数的三种表示形式：①开方开不尽的数，如： ②与圆周率π有关的数，如； ③特殊形式的数，如：7、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.1415926，－34，∙∙75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).8、下列的说法正确吗？如果不正确，说明理由。
（1）无限小数都是有理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）无理数都是带根号的数.9、若直角三角形的两边长分别为3和4,那么它的第三边长可能是有理数吗?可能是无理数吗?说明你的理由?例1：用有理数估计下列各数的算术平方根的范围（精确到0.001） （1）29 （2）91 【共同释疑】1、如果一个圆的半径是2，那么该圆的周长是（ ）A 、一个分数B 、一个有理数C 、一个无理数D 、一个整数3、已知a 是132-的整数部分，b 是小数部分，则=-b a 2.C BAcba4.在下列各数3，0.31，22，3 ，71，9，0.90108，0.232332…（两个2之间依次多1个3），中，无理数有（ ）个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.下列说法:①零是绝对值最小的数；②有限小数和无限循环小数都是有理数；③无理数就是带根号的数；④一个正数的算术平方根有一个，该算术平方根大于零；⑤面积为4的正方形边长是无理数.其中正确的说法有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.若a 是一个无理数，则1-a 是_______(有理数或无理数) 【知识准备】 1.在数0,1，0.1235，2,5，7,25中无理数的个数为（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个2.边长为1的正方形的对角线是（ ） A.整数 B.有理数 C.分数 D.无理数3. 求出下列含直角的图形中线段c 的长度:c= . c= . c= . c= . 一、完成下列题目：1、在直角三角形中：（利用直角三角形或正方形、矩形对角线）①若两条直角边分别为1和1，则斜边的长为 ；②若两条直角边分别为2和1，则斜边的长为 ；③若两条直角边分别为3和1，则斜边的长为 ；④若两条直角边分别为4和1，则斜边的长为 ；⑤若两条直角边分别为5和1，则斜边的长为 ；⑥若两条直角边分别为6和1，则斜边的长为 ；……2、要作出斜边的长为10的直角三角形，两条直角边的长可为 .3、任何一个无理数都可以用 的点来表示，数轴上除去表示 有理数的点以外，其他的点表示的数都是 . 【共同释疑】1、在Rt △ABC 中，如果∠B 是直角，AB=6，BC=5，则AC 的长为 .2、如图所示，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在△ABC 中边长为无理数的边有（ ）条 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【当堂测试】 1、判断正误：（1）所有的无理数都能在数轴上表示.（ ） （2）数轴上的点都表示无理数.（ ） 2、如图所示，OA=OB ，点A 表示的数是 .3、如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在三个方格纸中分别画出一个三角形，使第一个三角形有一边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的边长都是无理数。
实数基础
实数基础考点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．要点诠释：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2a>b；或利用倒数转化：如比较与.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a³10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a³10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a³10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.1．（1）a的相反数是，则a的倒数是_______．（2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简=______．（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【变式】据市旅游局统计，今年“五²一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（）A．8.55³106B．8.55³107C．8.55³108 D．8.55³1092．下列实数、sin60°、、、3.14159、-、、中无理数有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【变式】在中，哪些是有理数? 哪些是无理数?3．计算：计算：【变式1】计算：【变式2】计算：4．比较下列每组数的大小：（1）与（2）a与（a≠0）【变式】比较下列每组数的大小：（1）和（2）和5．已知：x ，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______.6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．巩固练习一、选择题1. 在实数－，0，，－3.1415，，，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（）A．66.6³107B．6.66³108 C．0.666³108 D．6.66³1073．估计的值在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间4．在三个数0.5、、中，最大的数是( )A．0.5 B．C．D．不能确定5．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到百分位）C．0.050（精确到0.001） D．0.05（精确到千分位）6．我国古代的“河图”是由3³3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是( )二、填空题7．则=____________.8．的整数部分是________．9．若互为相反数，则a+b的值为________．10．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，则的值为________．11．已知：若符合前面式子的规律，则a+b=________．12．将正偶数按下表排列：第1列第2列第3列第4列第1行 2第2行 4 6第3行 8 10 12第4行 14 16 18 20……根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．三、解答题13．计算：（1）（2）14．若，比较a、b、c的大小。
第二讲 无理数与实数
第二讲 无理数与实数【基础知识精讲】一、实数有关概念1．有理数：整数和分数统称有理数。
有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2．无理数：无限不循环小数叫做无理数（eg:π）。
无理数必须满足三个条件：①小数；②是无限小数；③不循环，三者缺一不可。
3．有理数和无理数统称为实数. 4．实数的分类 ：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()( 例1：将下列各数填在相应括号内：35，3.14，⋅⋅12.0，38-，32-，3333+-，π有理数集合{ }； 整数集合 { }； 正数集合 { }； 分数集合 { }； 实数集合 { }。
变式：下列各数中，哪些是正数？负数？有理数？无理数？.343555,3.1416,,27,0.64,0.4,,0.38,16,0.12112111211112,.47π----正数集合：{ } 负数集合：{ } 有理数集合：{ } 无理数集合：{ } 例2：判断正误（1）有理数包括整数、分数和零 （ ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ ） （3）不带根号的数都是有理数 （ ） （4）带根号的数都是无理数 （ ） （5）无理数都是无限小数 （ ） （6）无限小数都是无理数（ ）变式：在数0.222；－∙∙24.1；2.525252…；π-3；－43；1.1351335…；3.1416；32；(－1)2；－1.424224222…其中无理数的个数为（ ）. A ．1个 B.2个C.3个D.4个二、与实数有关的概念5．实数和数轴上点的对应关系:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的关系. 6．实数的几个概念. （1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.例3：32-的相反数是________________；绝对值是_________________。
实数的概念及性质
实数实数无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率及一些含的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类：0正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．无理数大小的比较方法：（1）比较两个数的平方的大小：a ＞0，b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b ；若2()a＜2()b，则a b；若2()a＝2()b＞，则a b．（2）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，若a＞b，则a b；若a＜b，则a b；若a＝b，则a b．（3）作差法：若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．（4）作商法：a＞0，b＞0，若ab＞1，则a＞b；若ab＝1，则a＝b；若ab＜1，则a＜b．注意：（1）没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；（2）带根号的数不一定是无理数（3）一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．考点一对实数定义的考查【例1】.判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（）（2）0属于正实数．（）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是1．（）（5）若2x则2x．（）【巩固1】下列说法错误的是（）A．实数都可以表示在数轴上B．数轴上的点不全是有理数C．坐标系中的点的坐标都是实数对D．2是近似值，无法在数轴上表示准确【巩固2】下列说法正确的是（）A．无理数都是无限不循环小数B．无限小数都是无理数C．有理数都是有限小数D．带根号的数都是无理数【巩固3】下列实数317，，3.14159，8，327，21，0.101101110……中无理数有（）．A．个B．个C．个D．个2345【例2】.有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A ． 1B ．2C ． 3D ．4考点二对实数性质的考查【例1】.3的相反数是________；15的倒数是________；35的绝对值是________．【例2】.3.141＝______；|2332|______．【例3】.若3||3x ，则x ＝______；若||31x ，则x ＝______．【例4】.若直径为2个单位长度的圆上的点A 从表示5的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（）A ．52B ．45C ．52D ．54【例5】.如图，数轴上A 、B 两点对应的实数分别为a ，b ，则下列结论不正确．．．．的是（）A ．0ab B ．0abC ．0a bD ．||||0a b 【巩固1】如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( ) A ．23B ．13C ．23D ．13【巩固1】325的相反数是．【巩固2】23的倒数是．【巩固3】52的绝对值是．【巩固4】256的相反数是；倒数是；绝对值是．1 1 2B A CA OB考点三实数的分类【例1】.把下列各数填入相应的集合：－1、4、5、π、 3.14、12、32、12、7.0、0、38．（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）整数集合｛｝；（4）正实数集合｛｝；（5）负实数集合｛｝．【例2】.把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4，153，1．414，，0.6，3，34，【巩固1】下列各数：23，722，327，414.1，3，12122.3，9，9641.3中，无理数有个，有理数有个，负数有个，整数有个.【巩固2】下列实数1907，3，0，49，21，31，1.1010010001…（每两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m 个有理数，n 个无理数，则nm =考点四比较大小【例3】.估计77的大小应在（）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【巩固1】估计29的值在（）A ．在4.5和5.0之间B ．在5.0和5.5之间C ．在5.5和6.0之间D ．在6.0和6.5之间【巩固2】实数2.6，7和22的大小关系是（）A ．2.6227B ．2.6722C ．72.622D ．7222.6【例4】.一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在（）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【例5】.（1）若实数a<b<0，则|a| |b|；大于17小于35的整数是；（2）比较大小：633411253【例6】.若01x ，则1x 、x 、2x 的大小关系是【例7】.如果a 是15的整数部分，b 是15的小数部分，a b =__________．【例8】.已知a b ，为两个连续整数，且10ab ，则ab_______．【例9】.414、226、15三个数的大小关系是（）A. 41415226B. 22615414C.41422615D.22641415考点五对计算的考查【例1】.计算题（1）32716949（2）233)32(1000216【例2】.化简：（1）2551（2）103104（3）12233420112012【巩固3】已知等腰三角形一边长为a ，一边长b ，且22(2)90ab b．求它的周长．考点六综合运用【例3】.写出符合条件的数．（1）小于25的所有正整数；（2）绝对值小于22的所有整数．【例4】.一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【例5】.已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b的值．【例6】.若31.8158481.22，则31815848_____.【例7】.已知2a 的平方根是2，27ab的立方根是3，求22a b 的算数平方根．【巩固4】已知3m nAnm 是3nm的算术平方根，237m n Bm n 是7m n 的立方根，求B+A 的平方根．【巩固5】已知3xa ，2y b (0y )，且2(4)8a b (4b a )，33()18a b ，求xy 的值.【巩固6】若1211ab ac ，求23abc 的值．【巩固7】设a 、b 是有理数，并且a 、b 满足等式2522b b a ，求a+b 的平方根习题133的相反数是，|33|= 57的相反数是，21的绝对值=习题2设3对应数轴上的点A ，5对应数轴上的点B ，则A 、B 间的距离为习题3下列说法中,正确的是()A.实数包括有理数,0和无理数B.无限小数是无理数C.有理数是有限小数D.数轴上的点表示实数.习题4下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a 没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10100（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；（4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．课后巩固习题5设a 是实数，则|a|-a 的值（）A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是整数也可以是负数习题6数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是．习题7设m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值.习题8如图，数轴上两点表示的数分别为和，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（）A ．B ．C ．D ．习题9已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2|1|a a 的结果为（）A ．1B ．1C ．12aD ．21a 习题10实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（）A ．0a bB ．0a bC ．0ab D ．a b习题11若a 为217的整数部分，1b 是9的平方根，且a bb a||，求b a的算术平方根．A B ，132313231311aCA OB（第8题图）a110b （第10题图）。
11.4无理数与实数
课后实践，拓展延伸
基础达标 1.数学书P49：8、9. 2.操作实践：制作一个表面积是12平方分 米的正方体纸盒. （1）这个正方体纸盒的棱长是多少？ （2）做出这个正方体纸盒.
Thank You!
人们发现的第一个无理数是 2 。据说，它的发现还曾掀 起一场巨大的风波。
古希腊毕达哥拉斯 学派是一个研究数学、科学、哲学的
团体，他们推崇比例论，即认为一切数都是整数或者是整数
之比。有一个名叫希帕蒂斯 的学生，他画一边长为1的正方
形，ห้องสมุดไป่ตู้对角线为x，他想：x代表正方形对角线长，而x×x=2， 那么x必定是确定的数。但它是整数还是分数呢? 他证明x不 能是整数，因1×1=1, 2×2=4, x×x=2，x必定大于1而小于2， 1与2之间却没有别的整数。那么x会不会是分数呢? 毕达哥拉 斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个分数。
（2）无理数是无限小数（ ）
（3）无理数是带根号的数（ ）
（4）带根号的数是无理数（ ）
（5） 3 15 4
（）
（6）形如 a, 3 a 的数是无理数（ ）
应用新知，强化理解
1.估计 11 ，3 5 介于哪两个连续的整数之间， 更接近哪个整数？
应用新知，强化理解
我们班的学农基地是一块400平方米的正方形 土地，老师想沿着朝南一边的方向划分出一块面积 为300平方米的长方形土地种植芝麻，使它的长宽 之比为3:2，老师不知能否划分出来.体育委员见了 说：“老师不用愁，一定能从面积大的土地中划分 出一块面积小的芝麻地的”，你同意体育委员的看 法吗？老师能划分出符合条件的芝麻地吗？为什么？
探究活动
整数 精确到0.1 精确到0.01 精确到0.001
小于 2
实数基础知识点总结
实数基础知识点总结一、实数的定义实数是包括有理数和无理数的数集。
有理数是可以表示为两个整数的比的数，例如1/2、2、-3等。
无理数是无法表示为有理数的数，例如π、√2等。
实数包括所有有理数和无理数，用符号R表示。
二、实数的分类1. 有理数有理数包括整数、正整数、负整数、分数等。
整数包括所有的正整数、负整数和0。
有理数可以用分数形式表示，并且有限位或者无限循环小数。
2. 无理数无理数是无法表示为有理数的数。
无理数通常用小数形式表示，且不会出现循环。
典型的无理数包括圆周率π、自然对数底e、开方2、开方3等。
三、实数的性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，如果a小于b，b小于c，则有a小于c。
2. 对称性：对于任意的实数a、b，如果a等于b，则b等于a。
3. 传统性：对于任意的实数a、b，如果a小于b，则a加上一个正数得到的结果小于b加上这个正数得到的结果。
4. 密度性：在任意两个不相等的实数a、b之间，必然存在有理数和无理数。
四、实数的运算1. 加法运算：实数a与实数b的和等于a加b。
2. 减法运算：实数a与实数b的差等于a减b。
3. 乘法运算：实数a与实数b的积等于a乘b。
4. 除法运算：实数a与实数b的商等于a除b。
5. 幂运算：实数a的n次方等于a自乘n次。
五、实数的绝对值实数a的绝对值是a到原点的距离，记作|a|。
如果a大于0，则|a|等于a；如果a小于0，则|a|等于-a。
六、实数的有序性实数有序，任意两个实数a、b之间可以进行大小比较，即a小于b、a等于b或者a大于b。
七、实数的计算规律1. 加法交换律：对于任意的实数a、b，有a加b等于b加a。
2. 乘法交换律：对于任意的实数a、b，有a乘b等于b乘a。
3. 加法结合律：对于任意的实数a、b、c，有a加b加c等于a加（b加c）。
4. 乘法结合律：对于任意的实数a、b、c，有a乘b乘c等于a乘（b乘c）。
5. 分配律：对于任意的实数a、b、c，有a乘（b加c）等于a乘b加a乘c。
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学习目标
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
要点梳理
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能
类型一、实数概念
出下列各数中的有理数和无理数：
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.
【答案与解析】
有理数有
无理数有……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.
【变式】下列说法错误的是（）
①无限小数一定是无理数；②无理数一定是无限小数；
③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.
A．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】C；
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 类型二、实数大小的比较
例2、（2014秋•新华区校级期中）比较和1的大小．
【答案与解析】
解：∵＜＜，
即2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴＜1．
【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值范围是解题关键．
【变式】比较大小
【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜. 例3、如图，数轴上点表示的数可能是
A. B. C. D.
【答案】B；
【解析】－3＜＜－2.
要点四、实数的运算
有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
类型三、实数的运算
4、化简：
(1) (2) (3)
【答案与解析】
解：
.
【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣．
【答案】
解：原式=4+﹣1-3=．
5、若，则________．
【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.
【答案】3；
【解析】
解：由非负数性质可知：，即，∴．【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .
【变式】已知，求的值．【答案】
解：由已知得，解得．
∴＝.
巩固练习
一.选择题
1．下列说法错误的是（）
A．实数都可以表示在数轴上
B．数轴上的点不全是有理数
C．坐标系中的点的坐标都是实数对
D．是近似值，无法在数轴上表示准确
1. 【答案】D；
【解析】实数和数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示.
2. （2015春•当涂县期中）下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17的平方根是﹣，其中正确的是（）
A．0个B． 1个C． 2个 D． 3个
【解析】解：①实数与数轴上的点一一对应，故①错误；
②无理数是无限不循环小数，故②错误；
③负数的立方根是负数，故③错误；
④17的平方根是±，故④错误；
故选：A．
3. 估计的大小应在（）
A．7～8之间B．8.0～8.5之间
C．8.5～9.0之间D．9～10之间
3. 【答案】C；
【解析】，因为76比较接近81，所以在8.5～9.0之间.
4. 如图，数轴上点表示的数可能是（）.
A．B．C．D．
【解析】2＜＜3
5. 实数和的大小关系是（）
A．B．
C．D．
5. 【答案】C；
【解析】.
6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（）A．4～5之间B．5～6之间
C．6～7之间 D．7～8之间
6. 【答案】A；
二.填空题
7. 在，，，，这五个实数中，无理数是
_________________．
7．【答案】，；
8. 在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______．
8. 【答案】；
【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是、.
9. （2015•南平模拟）计算：﹣=______．
9. 【答案】0.
【解析】解：﹣=3﹣3=0．
10. 的整数部分是________，小数部分是________．
10. 【答案】2；；
【解析】，故整数部分为2，－2为小数部分.
11. 已知为整数，且满足，则________．
11. 【答案】－1, 0, 1；
12. 的相反数是________，绝对值是_________，平方等于_________.
12. 【答案】
【解析】.
三.解答题
13．（2015春•荣昌县校级期中）把下列各数填入相应的大括号
内.，﹣2，，0，，，3.1415，π﹣3，，3+，3，0.2121121112…
整数集合：{ …}；
非负实数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
解：整数集合：{﹣2，0，，，…}；
非负实数集合：{，，0，，3.1415，π﹣3，，3+，3，0.2121121112…，…}；
无理数集合：{，，π﹣3，3+，3，0.2121121112…，…}．
14. 天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个
正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到）
14. 【解析】
解：设广场的边长为，由题意,得
440000
＝≈663().
答：它的边长约为663m.
15. 已知求的值．
解：∵
∴－2＝0且＝0
解得＝2，＝－3，
∴＝2－3＝－1.。