高考数学 排列组合与概率知识点 排列组合典型题 基本方法 技巧
排列组合问题的常用解题技巧与方法
排列组合问题的常用解题技巧与方法纵观近年全国高考数学试题,每年都有1-2个排列组合题,考察排列组合的基础知识与思维能力,试题的难度与课本中的试题难度相当,但也有个别试题的难度较大,重点考察学生理解、分析和解决问题的能力,有些试题以应用题的形式出现,考察学生解决实际生活问题的能力。
有关排列组合的问题是高中学生学习中棘手的一个问题,很多学生在高考中失分较多。
解决排列组合的有关问题,首先,必须认真审题,明确问题是否是排列、组合问题。
其次,抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答。
实践证明,备考的有效方法是题型和解法归类,识别模式,熟练运用。
下面,谈谈笔者在多年教学研究中的一些解题思路与方法:一、相邻问题“捆绑法”(大元素法、整体法或并组法)对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个大元素(整体)与其他元素排列,然后再对大元素内部进行排列。
例1:书架上有4本不同的数学书,5本不同的语文书,3本不同的化学书,全部竖起排成一排,如果不使同类书分开,一共有多少种排法?分析:由于同类书不分开,即把4本数学书,5本语文书,3本化学书,分别捆成一捆,看作3个大元素进行排列有,每捆内部分别有种、种、种不同的排列,再由分步计数原理,共有排法: =103680种。
二、不相邻问题“插空法”对于某几个元素要求不相邻的问题,可以先将其他无要求的全排列,再把规定不相邻的几个元素插入上述几个元素之间及两端的空位之中。
例2:七个人并排站成一排,如果甲、乙两人必须不相邻,那么,不同排法的种数是多少?分析:先把5个人全排列有不同排法,再把甲乙两人插入6个空位有种插法。
∴共有=3600种不同排法。
三、特殊元素“优先安排法”对含有特殊元素的排列组合问题,一般应优先考虑特殊元素的排法,再考虑其他元素的排列。
例3:七人站成一排照相,其中甲不站排头,也不站排尾,共有多少种排法?分析:由于甲不站两端,既为“特殊”元素,应优先安排,甲可站个位置,其余6人再进行全排列共有,由分步计数原理得共有=3600种。
高考数学总复习------排列组合与概率统计
【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关⑵排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式高考数学总复习排列组合与概率统计①排列数公式: mAn n! n(n1) (n m)!—...2)21—+(nm 1) (mW n)A n=n !=n(n —1)(n②组合数公式: mCn n!_n(nm!(n m)! m 1) - (n (m 1)③组合数性质:+ *③G2C n42.二项式定理⑴二项式定理C1C n n m(m< n).+ :+ ■ 11G32n1②C n。
m 1) (m< n).2+G11+ + •・・*C C n n2n(a+b)n=C0a n+Ca n Tb+?+C a0-r b r+?+ C n n b n，其中各项系数就是组合数G r，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1=Ga n⑵二项展开式的通项公式r b r.二项展开式的第r+1项Tr+1=C r a n"r b r(r=Q,1, ?叫n）做二项展开式的通项公式。
⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中, 端与首末两“等距离”的两个二项式系数相等，r n r (r=Q,1,2即G=G ,?,n)②若n是偶数，则中间项1项）的二项公式系数最大，其值为n；若C n2数,n是奇则中间两项（第n2 1项和第3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为G2n1 n12 =C 2.③所有二项式系数和等于n—02 13 1即G+G+?=C+G+?=23. 概率(1)事件与基本事件：随机事件在条件下，可能发生也可能不发生的事件T ：| S事件不可能事件：在条件下，一定不会发生的事件%. VS确定事件必然事件：在条件下，一定会发生的事件S基本事件：试验中不能再分的最简单“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一的个基试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形本事件；任意两个基本事件都是互斥的；式来表示.(2)频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小.随机事件而变化.的概率是一个常数(，不随具体的实验次数的变化(3)互斥事件与对立事件:事件定义集合角度理解关系事件A与B不可能同时事件A与B对立，则A 互斥事件两事件交集为空对立事件两事件互补发生，且必有一个发生(4)古典概型与几何概型：一是对立事件古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型—几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例.两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个.(5)古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式: 几何概型的概率计算公式: 两种概型概率的求法都是A包含的基本事件的个数P(A)基本事件的总数构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A)J J r-试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同.(6)概率基本性质与公式①事件A的概率P(A)的范围为：0 w P(A) < 1.②互斥事件A与B的概率加法公式：P(A B)P(A) P(B).发生事件A与B不可能同时与B必为互斥事件；事件A与B互斥，但不③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1.(7)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k n—k的概率是p n k(i —p)(k) = C n p .实际上，它就是二项式的展开式的第k+1 [(1 —p)+p](8)独立重复试验与二项分布① .一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为n 次独立重复试验.注意这里强调了三点：(1)相同条件；(2)多次重复；(3)各次之间相互独立；② .二项分布的概念：一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为X ,在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率为 P Xk _ LCP k 0 p ),(k _ 01, ,, n )n .此时称随机变量 X 服从二项分布，记作X ~B(n , p)，并称p 为成功概率.4、统计(1) 三种抽样方法① 简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回.我们在抽样调查中用的是不放回抽取.简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限.从总体中逐个进行抽取，使抽样便于 在实践中操作.它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性.每一次抽样时，每个个体等可能的 被抽到，保证了抽样方法的公平性.实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解.随机数表法：要理解好随机数表，即 表中每个位置上等可能出现 0, 1, 2, ?, 9这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可 能性.② 系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况.系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段 中进行抽样时，采用的是简单随机抽样.系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号； 第二步，将总体 的编号分段，要确定分段间隔 k ，当N (N 为总体中的个体数,n k 一“；当N 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数 这时k —T 第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号 n 抽取样本.通常是将|加上间隔k 得到第2个编号(I k)，将(I k)加上k ，得到第3个编号(I 2k),这样继续下去，直到获取整个样本.③ 分层抽样为了使抽样更好地反映总体情况， 将总体中各个个 每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样.分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比; n 为样本容量)是整数时,N 能被n 整除,I ，再按事先确定的规则 当总体由明显差别的几部分组成时， 体按某种特征分成若干个互不重叠的部分,第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步, 将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本.(2 )用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率, 应样本的频率分我们常常使用频率分布直方图来表示相布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确.xy X i y ii1 X i i 1 第二步：计算回归系数的£ a , b ,公式为 X i y i 1 nn i n( i1Xi 1X i )( i n X i )2 1 y i ) 1 决定组距与组数-分组-列频率分布表-画频率分布直方图.② 茎叶图刻画数据有两个优 一是所有的信息都可以从图中得占： 至U ；八、、• 亠J ’录和表示，但数据位数较多时不够方便.③ 平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波 动程1 n(X i x) ----------------------- .有时也用标准差的平方 方差来代替标准差，nil两者实质上是一样的.(3)两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定 随机性的相关关系.在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可 以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解. 分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程.通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，① 用样本频率分布估计总体频率分布时， 频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步 骤.通常要对给定一组数据进行列表、作图处理.作 画样本频率分布直方图的步骤： 求全距T二是茎叶图便于记 度，其计算公式为s 形成散点图.然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 如果这些点大那么就说这两个变量之间具有线性相关关 系，致分布在通过散点图中心的一条直线附近, 条直线叫做回归直线，量大，因此同学们要学会应用科学计算器.(4)求回归直线方程的步骤：其对应的方程叫做回归直线方程. £ 在本节要经常与数据打交道， 计算 第一步：先把数据制成表，从表中计算 屮出、-'■ 2；n(ad be)2(其中n构造随机变量K2ab ed)(a b)(e d)(a e)b d)得到K 2的观察值k 常与以下几个临界值加以比较:如果 k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量0的把握因为两分类变 如果 k 3.841 就有95° 量0的把握因为两分类变如果 k 6.635就有990一量 如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是 “正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
高考数学总复习专项：排列组合知识点与方法归纳
排列组合一、知识网络二、高考考点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）三、知识要点一．分类计数原理与分步计算原理1 分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。
2 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…× m n种不同的方法。
3、认知：上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。
二．排列1 定义（1）从n个不同元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。
（2）从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 .2 排列数的公式与性质（1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！=1（2）排列数的性质：（Ⅰ） =（排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系）（Ⅱ）（排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系）（Ⅲ）（分解或合并的依据）三．组合1 定义（1）从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（2）从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。
排列＼组合问题的常用解题技巧与方法
排列＼组合问题的常用解题技巧与方法纵观近年全国高考数学试题,每年都有1-2个排列组合题,考察排列组合的基础知识与思维能力,试题的难度与课本中的试题难度相当,但也有个别试题的难度较大,重点考察学生理解、分析和解决问题的能力,有些试题以应用题的形式出现,考察学生解决实际生活问题的能力。
有关排列组合的问题是高中学生学习中棘手的一个问题,很多学生在高考中失分较多。
解决排列组合的有关问题,首先,必须认真审题,明确问题是否是排列、组合问题。
其次,抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答。
实践证明,备考的有效方法是题型和解法归类,识别模式,熟练运用。
下面,谈谈笔者在多年教学研究中的一些解题思路与方法:一、相邻问题“捆绑法”(大元素法、整体法或并组法)对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个大元素(整体)与其他元素排列,然后再对大元素内部进行排列。
例1:书架上有4本不同的数学书,5本不同的语文书,3本不同的化学书,全部竖起排成一排,如果不使同类书分开,一共有多少种排法?分析:由于同类书不分开,即把4本数学书,5本语文书,3本化学书,分别捆成一捆,看作3个大元素进行排列有,每捆内部分别有种、种、种不同的排列,再由分步计数原理,共有排法: =103680种。
二、不相邻问题“插空法”对于某几个元素要求不相邻的问题,可以先将其他无要求的全排列,再把规定不相邻的几个元素插入上述几个元素之间及两端的空位之中。
例2:七个人并排站成一排,如果甲、乙两人必须不相邻,那么,不同排法的种数是多少?分析:先把5个人全排列有不同排法,再把甲乙两人插入6个空位有种插法。
∴共有=3600种不同排法。
三、特殊元素“优先安排法”对含有特殊元素的排列组合问题,一般应优先考虑特殊元素的排法,再考虑其他元素的排列。
例3:七人站成一排照相,其中甲不站排头,也不站排尾,共有多少种排法?分析:由于甲不站两端,既为“特殊”元素,应优先安排,甲可站个位置,其余6人再进行全排列共有,由分步计数原理得共有=3600种。
排列组合与概率原理及解题技巧
排列组合与概率原理及解题技巧一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA n n =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n nm n m n C C C ；（3）kn k n C C kn =--11；（4）n nk k n n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）kn m n m k k n C C C --=。
数学排列组合常用方法与技巧精讲
比赛分组
在大型体育赛事中，如何将参赛选手或队伍分成若干小 组进行预赛是一个重要的排列组合问题。例如，在篮球 比赛中，将参赛队伍分成若干小组进行循环赛，需要考 虑队伍之间的实力对比和小组内比赛的公平性。
彩票中的排列组合问题
彩票选号
彩票选号是一个典型的排列组合问题。彩票号码由一 组数字组成，每个数字都有特定的范围和出现概率。 彩民需要从指定范围内选择一定数量的数字，并按照 一定的顺序排列，以获得中奖的机会。
不同元素问题
总结词
解决不同元素问题时，需要全面考虑 所有元素的排列或组合情况。
详细描述
在排列组合问题中，如果所有元素都 是不同的，需要全面考虑所有元素的 排列或组合情况。可以采用全排列或 全组合的方法进行计算。
插空法
总结词
插空法是一种解决排列组合问题的常用方法，通过在已排好的元素之间插入新元素来满足题目的要求 。
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定位置的选取和排 列。这种方法的关键在于识别出问题中的特殊元素或特定位置，然后优先处理它们，从
而简化问题并提高解题效率。
分组法
总结词
将问题中的元素按照一定的规则进行分 组，然后对分组后的元素进行排列组合 ，可以解决一些复杂的问题。
答案
$A_{5}^{2} - 1 = 24$
解析
先从5个元素中取出2个元素进行排 列，再减去特定元素不在首位的排 列方式。
题目
在7个不同元素中取出4个元素进行 组合，其中某个特定元素必须包含在 内，有多少种不同的组合方式？
答案
$C_{6}^{2} = 15$
解析
先从7个元素中取出2个元素进行组 合，再减去特定元素不在首位的组 合方式。
高考数学排列组合答题技巧
高考数学排列组合答题技巧
高考数学排列组合答题技巧
1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的.问题。
5. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。
6. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
7. 了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
8. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
高考数学必考点：排列组合的13种套路
我们总结一下排列组合概率及统计学，这个在高考中占据17分左右，但是又不是很难的内容。
这一块在高考中一般必有一道大题，一般是第19题12分，基础题在选择填空题中一般会考一题5分，不会很难，比较基础。
类型一、特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素；若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置；若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
这种首先确定排列还是组合的问题，对于首位和末位无须考虑顺序，但是首位末位有优先需求，所以先要排首位和末位，末位必须是奇数，也就是从1，3,5这个里边去挑选一个即可，那首位还不能排0，在排除一个奇数，只剩下4个数可以选择，所以剩下的三位我们直接全排列就可以。
类型二、相邻/相间元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。
审题时一定要注意关键字眼。
类型三、不相邻问题插空策略先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
所以这两个方法的关键字都是相邻，以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。
“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定。
类型四、定序问题倍缩空位插入策略]顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
当然还可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。
类型五、重排问题求幂策略分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略，解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
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排列组合与概率经典教案两个基本原理：1.加法原理（分类计数原理）:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法, 在第二类办法中有2m 种不同的方法, ……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：n m m m m N +⋅⋅⋅+++=321种不同的方法.2.乘法原理（分步计数原理）: 做一件事,完成它有n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法, 做第二步有有2m 种不同的方法, ……, 做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有： n m m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=321种不同的方法.特别注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。
三组基本概念：1．排列1）排列：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2）排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
通常用mn A 表示。
特别地，当n m =时，称为全排列，当n m π时，称为选排列。
2． 组合1）组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2）组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,记作mn C 。
3． 事件与概率1）事件的分类：（1）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。
2）一些特殊事件：（1）等可能事件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；另外，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的。
（2）互斥事件：不可能同时发生的两个事件，我们把它称为互斥事件。
如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥。
（3）对立事件：必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。
事件A 的对立事件通常记作A 。
特别地，有B A +、B A ⋅的对立事件分别是B A ⋅、B A +，即B A B A ⋅=+、B A B A +=⋅。
（4）相互独立事件：一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件。
3）事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )。
一些重要公式： 1．排列数公式 ：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A mn-=+-⋅⋅⋅--= 这里*,N m n ∈,且n m ≤。
2．组合数公式: !)!(!!)1()2)(1(m m n n m m n n n n A A C m mm n mn-=+---==Λ，这里*,N m n ∈,且n m ≤。
注意：第一、二个公式分别多用于计算、证明。
3．等可能事件的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是n1。
如果事件A 包含的结果有m 个，则事件A 的概率为n m A P =)(。
4．互斥事件有一个发生的概率公式：如果事件A 1，A 2，…,A n 彼此互斥，那么事件A 1+A 2+…+A n 发生（即A 1，A 2，…，A n 中有一个发生）的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即：P （A 1+A 2+…+A n ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）。
特别地，1）有对立事件的概率的和等于1 即：P (A )+P （A ）= 1。
2）对于事件A 与B 及它们的和事件与及事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+5．相互独立事件同时发生的概率公式：如果事件A 1，A 2，…,A n 相互独立，那么这几个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A 1·A 2·…·A n ）=P （A 1）·P （A 2）·…·P （A n ）。
6．n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率公式：如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k（其中k =0,1,2,……,n ） 基本思想和二十一个方法：解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =443两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！A B C D E AE H G F练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种前 排后 排练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mn A m 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
一班二班三班四班六班七班练习题：个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。