高中数学排序不等式
高中数学 3.3排序不等式 新人教A版选修4-5
t2，…，t10}，t1<t2<…<t10.Fra bibliotek编辑课件
首先我们来证明m＝5，若不然，即m>5，我们让在第
一水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去，
则总的花费时间变为
T′＝(m－1)p2＋…＋pm＋(11－m)p1＋(10－m)q1＋…＋
q10－m.
栏
所以T－T′＝(2m－11)p1>0，即当m>5时，我们让第一
栏
根据排序原理，知
目 链
接
ab2×1b＋ba2×1a≥ab2×1a＋ba2×b1，
即ba2＋ba2≥ab＋ba.
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设 a1，a2，…，an 是 1，2，…，n 的一个排列，求证：12＋23＋…
＋n－n 1≤aa12＋aa23＋…＋aan－n1.
分析：构造出数组，利用排序原理证明．
栏
目
证明：设
1．设 a，b，c 都是正数，求证：bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
证明：由题意不妨设 a≥b≥c＞0，
栏
∴ab≥ac≥bc，1c≥1b≥a1.
目 链
接
由排序原理，知
ab×1c＋ac×b1＋bc×a1≥ab×b1＋ac×1a＋bc×1c＝a＋c＋b.
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应用题
有十个人各拿一只水桶去打水，设水龙头灌满第i
第三讲 柯西不等式与排序不 等式
3．3 排序不等式
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栏 目 链 接
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不等式证明
设 a，b 都是正数，求证：
栏 目
ba2＋ba2≥ba＋ba.
链 接
分析：观察不等式找出数组，并比较大小，并用排序原理证明．
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高1数学必修1排序不等式知识点总结
高1数学必修1排序不等式知识点总结排序不等式是数学上的一种不等式，也是高1同学们学习的知识点，下面是店铺给大家带来的高1数学必修1排序不等式知识点总结，希望对你有帮助。
高1数学排序不等式知识点排序不等式是数学上的一种不等式。
它可以推导出很多有名的不等式，例如：算术几何平均不等式(简称算几不等式)，柯西不等式，和切比雪夫总和不等式。
说明排序不等式(sequence inequality,又称排序原理)是高中数学竞赛大纲、新课标普通高中课程标准试验教科书(人民教育出版社)数学(选修4-5 第三讲第三节) 要求的基本不等式。
排序不等式表述如下，设有两组数a1,a2,……an,b1,b2,……bn满足a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn则有a1bn+a2bn-1+……+anb1≤a1bt+a2bt+……+anbt≤a1b1+a2b2+anbn式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时成立。
一般为了便于记忆，常记为：反序和≤乱序和≤同序和.应用设a,b,c≥0,则ab+bc+ca的最大值为_______.【解题指南】由于a,b,c的地位是均等的，不妨设a≥b≥c≥0，然后利用排序不等式求解.【解析】由排序不等式，得ab+bc+ca≤3.即ab+bc+ca的最大值为3.答案：3排序不等式的证明①分析法要证只需证根据基本不等式只需证∴原结论正确②设有两个有序数组：及求证：(顺序和≥乱序和≥逆序和)其中是自然数的任何一个排列证明：令由题设易知因为故所以即左端不等式，类似可证明右端不等式。
高中数学选修4-5第三讲排序不等式
所以 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 304，最小值为 212.
类型 3 排序不等式的实际应用
[典例 3] 某座大楼共有 n 层，在每层有一个办公室， 每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为 v1， v2，…，vn(他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上 下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排(假设每两层 楼的楼梯长都一样)?
利用排序不等式，有aa12＋aa23＋…＋aan－n 1≥bc11＋bc22＋… ＋bcnn－－11≥12＋23＋…＋n－n 1.
所以原不等式成立．
归纳升华 1．在不等式的证明方法中，配凑法比较常见，如在 运用基本不等式、柯西不等式时，常常先将不等式的一侧 (或已知等式的一侧)进行配凑，使之满足基本不等式或柯 西不等式的应用条件．在运用排序不等式时，常常根据题 目条件，配凑构造出所需要的有序数组．
解析：由基本概念知(1)(2)正确，(3)不正确，因为乱 序和也可能是 35 或其他等．由排序不等式可知(4)正确．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．有两组数 1，2，3 与 10，15，20，它们的顺序和、
反序和分别是( )
A．100，85
B．100，80
C．95，80
D．95，85
所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使 上下楼的时间最短．
归纳升华 在解决一些规划预算问题时，往往只需确定最小值与 最大值，以进行合理规划与正确预算，结合排序不等式 “顺序和最大，反序和最小”，可以方便快捷地处理，方 法巧妙，步骤灵活，过程简单．
[变式训练] 某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对 其维修分别需要 45 min，25 min 和 30 min，每台电脑耽 误 1 min，网吧就会损失 0.05 元．在只能逐台维修的条 件下，按怎样的顺序维＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值 为 a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9 ×10＋12×11＝304.
高二数学排序不等式
问题探究
猜想： 反序和 乱序和 顺序和
即：S1 S S2
形成结论 定理：（排序不等式）
设a1 a2 an , b1 b2 bn为 两组实数，c1, c2 , cn是b1, b2 , bn 的任一排列，则:
a1bn a2bn1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn 时，反序和等于顺序和.
例1、有10个人各拿一个水桶去接水， 设水龙头注满第i(i 1, 2, ,10)个人的
水桶需要 ti 分，假定这些 ti 各不相
同。问只有一个水龙头时，应如何
安排10人的顺序，使他们等候的总时 间最少？这个最少的总时间等于多少？
例2、设a1, a2, an是n个互不相同 的正整数，求证：
1 1 1 23
1 n
a1
a2 22
a3 32
an n2
作业： P45 1，2，3，4
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刚好听见这番话,把斗笠解下挂在墙上,“陆陆是少君朋友,她有事,少华作为大哥の当然要关照.听说她最喜欢跟人打官非索赔,你说话谨慎些.”村里の每个人各有原则,不了解便妄下定论容易犯事.佟灵雁也瞅了好友一眼,“可不是,我还听说她认识热点追踪の名记,被她盯上不死也得招来一 身臊.你呀,口无遮拦の早晚惹事.”“嗤,什么名记,一群狗仔嘚瑟什么？被人宰了一个又一个还不懂得收敛反省,迟早要完.”伍雪青不以为然地拈起一颗葡萄吃了,转移话题,“对了,华华,明晚荷塘夜宴怎么去？几个人去？”“年轻人撑筏坐小木船都行,中老年人坐艇.”“哟,”伍雪青来兴 趣了,“又是休闲居买の？”“休闲居和养生馆各一条,怎么,你想坐？”“不
北师大版高中数学选修4-5不等式选讲：排序不等式
(2)由(1)b1c≥c1a≥a1b，于是由顺序和≥乱序和得， ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥bb3c53＋cc3a5 3＋aa3b5 3 ＝bc32＋ca23＋ba32(∵a2≥b2≥c2，c13≥b13≥a13) ≥cc23＋aa23＋bb23＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c。
1．排序不等式的本质含义是什么？ 提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单 调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向 单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成 立条件是其中一序列为常数序列。
2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其 中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4， b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1， c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值 分别为何值？ 提示：由顺序和最大知 最大值为：a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304， 由反序和最小知 最小值为：a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212。
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn。
①
又因为x，x2，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个 排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得
1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn －1·x＋xn·1，
[悟一法] 利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中 所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a≥b≥c， 所以可直接利用已知构造两个数组。
[通一类] 1．已知 0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos
排序不等式
排序不等式说明排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标要求的基本不等式。
设有两组数a_1 , a_2 ,…… a_n; b_1 , b_2 ,…… b_n 满足a_1≤ a_2 ≤……≤ a_n, b_1 ≤ b_2≤……≤ b_n ，则有a_1 b_n + a_2 b_{n-1}+ ... + a_n b_1≤ a_1 b_{t_1} + a_2 b_{t_2} +……+ a_n b_{t_n}≤ a_1 b_1 + a_2 b_2 + ……+a_n b_n.式中t_1，t_2，……，t_n是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当a_1 = a_2 = ... = a_n 或 b_1 = b_2 = ... = b_n 时等号成立。
应用排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。
可以先令a_1 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ ... ≤ a_n，确定大小关系。
使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。
适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.排序不等式的证明：逐步调整法。
当n=2时，不妨设a_1 ≤ a_2，b_1 ≤ b_2，那么a_1 b_1 + a_2 b_2 - ( a_2 b_1 + a_1 b_2)= ( a_1 - a_2 )( b_1 - b_2 )≥0.因此n=2时成立。
当n>2时，只需分别证明两个不等式即可。
不妨设a_1 ≤ a_2 ≤ ... ≤ a_n，b_1 ≤ b_2 ≤ ... ≤ b_n。
A. 乱序和≤同序和考察a_1 b_{t_1} + a_2 b_{t_2} + ... + a_n b_{t_n}。
如果t_1=1，那么考察t_2。
如果t_i=i，i=1, ..., k，那么考察t_{k +1}。
现不妨设第一个满足t_k>k的项脚标为m，即a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_m b_{t_m} + ... + a_n b_{t_n}，t_m>m。
高中数学 第三讲 排序不等式课件选修
作业
P45 第3，4题
练习
2.已知a, b, c为正数，用排序不等式证明 2(a3 b3 c3) a2(b c) b2(a c) c2(a b).
小结
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1, 是b1, b2...bn的任一排列，那么： a1bn a2bn1 ... anb1 a1c1 a2c2 ... ancn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
三 排序不等式
知识回顾：
定理 设 a1, a2 , a3,..., an ,b1,b2 ,b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 bi 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个
且有 b1<b2<…<bn
因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数，
所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
又因 1 1 1 ... 1
22
32
n2
由排序不等式，得：
a1
a2 22
a3 32
...
an n2
b1
b2 22
b3 32
...
bn n2
11 2
1 22
3
1 32
... n
1 n2
1
1 2
高一数学排序不等式知识点
高一数学排序不等式知识点数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，其中不等式是数学中重要的一个分支。
排序不等式是在不等式的基础上，对一系列数值进行排序的一种方法。
在高一数学中，掌握排序不等式的知识点对于学生来说是非常重要的。
一、基础概念首先，我们来复习一下不等式的基础概念。
不等式是表示两个数或两个算式的关系的一种数学表达式。
常见的不等式包括大于号（>），小于号（<），大于等于号（≥），小于等于号（≤）等。
二、排序不等式的意义为什么要学习排序不等式？首先，排序不等式是数学中解决实际问题的重要工具。
在现实生活中，我们经常需要对一些数进行排序，例如排名、分数等。
其次，掌握排序不等式可以帮助我们更好地理解数的大小关系。
三、常见排序不等式1. 加减法法则：考虑到加减法运算的性质，对于任意实数a，b，c，有如下排序不等式：- 若a > b，那么a ± c > b ± c；- 若a > b，且c > 0，那么a × c > b × c；- 若a > b，那么a ÷ c > b ÷ c（其中c ≠ 0）。
2. 乘法法则：考虑到乘法运算的性质，对于任意实数a，b，c （其中c > 0），有如下排序不等式：- 若a > b，那么a × c > b × c；- 若a < b，那么a × c < b × c。
3. 幂法则：考虑到幂运算的性质，对于任意实数a，b，c（其中a > 0，b > 0，c > 0），有如下排序不等式：- 若a > b，那么a^c > b^c；- 若a < b，那么a^c < b^c。
四、综合运用了解了常见的排序不等式后，我们来看几个综合的例子，进一步理解排序不等式的应用。
例1：比较两个不等式的大小关系：3 + 5 × 2和6 × 2 - 4。
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a 1 b n a 2 b n 1 a n b1 a 1 c 1 a 2 c 2 a n c n a 1 b1 a 2 b 2 a n b n 当且仅当 a 1 a 2 a n 或 b1 b 2 b n 时 , .
反序和等于顺序和
例1
有 10 人各拿一只水桶去接水
, 设水龙头注满第 t i 分 , 假定这些 t i 各不
i
( i 1 , 2 , ,10 ) 个人的水桶需要 相同 , 问只有一个水龙头时 使他们等候的总时间最
, 应如何安排
10 人的顺序
, 多少 ?
少 ? 这个最少的总时间等于
例2 1 1 2
O
B2 B1
B
j
Bn
A1 A2 Ai An
A
图 3 .3 1
不同 , 得到的Ai OB j 不同 ,因而三角形面积也可能 不同 . 问 : OA 边上的点与 OB 边上的点如何一一搭配 , 才能使 得到的n个三角形面积之和最大 ? 如何一一搭配 , 才能 使得到的n个三角形的面积之和最 小?
设 a 1 , a 2 , , a n 是 n 个互不相同的正整数 1 3 1 n a1 a2 2
2
, 求证
a3 3
2
an n
2
补充例题
1 .设 a , b , c R , 试证 a
12 12 12Leabharlann bcbca
c
ab
a
3
10
b
10
c
10
2 . 在 ABC 中 , 试证 :
aA bB cC a b c
2
S2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn
顺序和
反序和 乱序和 顺序和
即 S1 S S2
定理
( 排序不等式或称排序原
理 ) ,
设 a 1 a 2 a n , b 1 b 2 b n 为两组实数 c 1 , c 2 , , c n 是 b 1 , b 2 , , b n 的任一排列 , 那么
,
( 2 ) 将数组 ( a 1 , a 2 , , a n ) 和 ( b 1 , b 2 , , b n ) 按相反顺序相乘 所得的和 称为
S1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 anb1
反序和
( 3 ) 将数组 ( a 1 , a 2 , , a n ) 和 ( b 1 , b 2 , , b n ) 按相同顺序相乘 所得的和 称为
探究
如图3.3 1, 设AOB ,
B
自点O沿OA 边依次取n个点A1 , A2 , , An ,沿 OB 边也依次取点B1 , B2 , , Bn .选取某个点 Ai i 1,2, n 与 某个点Bj j 1,2, , n 连结, 得到 Ai OB j .这样一一搭配 , 一共可以 得到n个三角形 .显然, 搭配的方法
于是, 上面的几何问题就可以归结为下面的代数问题 :
c1 , c2 , , cn 是数组b1 , b2 , , bn的任何一个排列 , 问以下的n个乘积的和 S a1 c1 a2 c2 an cn 何时取得最大值 ?
( 1 ) 设 c 1 , c 2 , , c n 是数组 b 1 , b 2 , , b n 的任何一个排列 则 S a1c1 a2c2 ancn叫做数组 和 ( b 1 , b 2 , , b n ) 的 乱序和 ( a1 , a 2 , , a n )