数理方程复习概要

数理方程复习概要 许志奋

1 绪论：重点掌握两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简。

练习：化下列方程为标准型：

（提示：1，双曲型不要写成双曲线；2，12a 的系数；3，双曲，椭圆，抛物型各如何作自变量变换）

（1）037422222=∂∂+∂∂∂-∂∂y u y x u x u （2） 022222

2

2=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y x u a x

u a （a 为常数） （3） 022222=∂∂+∂∂∂+∂∂y

u

y x u x u

2 波动方程的初值问题与行波法：重点掌握以下几个方面的问题

（1）能够推导并熟记一维波动方程的初值问题

∞

<<∞-==>∞<<∞-=x x x u x x u t x u a u t xx tt )()0,(),()0,(0

,{

2ψϕ 解的D ’Alembert 公式：u(x,t)=[]⎰+-+-++at

x at

x d a at x at x ξξψϕϕ)(21)()(21，

练习：55P 1.(1)

（2）能够运用齐次化原理求解如下初值问题

∞

<<∞-==>∞<<∞-+=x x x u x x u t x t x f u a u t xx tt )()0,(),()0,(0

,),({

2ψϕ 其解的表达式为： u(x,t)=

[]⎰⎰⎰-+--+-++-++t t a x t a x at x at x d d f a

d a at x at x 0)()(),(21)(21)()(21

τττξτξξξψϕϕ 练习：55P . 4

其次，对于半无界弦的振动问题，要能够根据所给的定解条件，对自由项f(x,t) 以及初始数据φ(x), ψ(x)作适当的奇延拓( u (0,t)=0 )或偶延拓(0),0(=t u x )，从而推出其解的表达式。具体见教材4342P P -页。

练习：（i ） ⎪⎩

⎪

⎨⎧=∞<<==>∞<<+=0),0(0cos )0,(,sin )0,(0,02t u x x x u x x u t x xt u a u t xx tt

（ii ）⎪⎩⎪

⎨⎧=∞<<==>∞<<+=0),0(0cos )0,(,sin )0,(0,02t u x x x u x x u t x xt u a u x

t xx tt

（3）还要注意只由端点所引起的振动，其解为右行波的情形，即注3.1.2及3.1.3的情形。

3 分离变量法:采用逐步深入的步骤，知道下列三种情况的处理

（1）齐次方程齐，次边界条件。首先利用边界条件是确定特征函数系的，最后利用初始条件确定解的表达式中的常数的！

练习 ⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-==≥==><<=l

x x l x u x x u t t l u t u t l x u a u t xx tt 0)()0,(,)0,(00),(),0(0,02

（2）非其次方程，齐次边界条件。首先利用其所对应的齐次方程，齐次边界条件来确定特征函数系，从而得其形式解

∑∞

==1

sin )(),(n n x l n t T t x u π

或

∑∞

==1

cos

)(),(n n x l

n t T t x u π

然后把自由项 f(x,t) 按照相应的特征函数系展开并代入到原方程中去，通过比较系数确定)(t T n 。

练习 ⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-==≥==><<+=l

x x l x u x x u t t l u t u t l x xt u a u t xx tt 0)()0,(,)0,(00),(),0(0

,02

（3）非其次方程，非齐次边界条件。首先要把边界条件化为齐次的，这要通过适

当的未知函数代换。通常是令 u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),其中v(x,t) 满足齐次边界条件，根据线性法容易得到w(x,t)。这样把u 的方程化为 v 的方程，它是齐次边界条件的。否则你无法确定特征函数系。

练习 ⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-==≥=+=><<+=l

x x l x u x x u t t l u t t u t l x u a u t xx tt 0)()0,(,)0,(00),(,1),0(0,012

提示：在第三种情形下，要注意的一种稳定的非齐次问题，即教材中的注4.4.1，及例4.4.1

的解法，通过一步函数代换，可以将方程以及边界条件同时化为齐次的！这也是经常要考查的内容。

4 调和方程与Green 函数法：应掌握以下几个方面的知识点

（1）知道Green 公式的推导,并且能够由Green 公式借助Laplace 方程的基本解推导出调和函数的基本积分表达式

（2）理解Green 函数的意义及性质，并知道半空间以及球面上的Green 函数，能够以此得出Dirichlet 问题的解。

（i ）半空间 三维⎩

⎨

⎧=>=++=),(|000y x f u z u u u z zz yy xx ，其Green 函数为)1

1(41)M G(M,1000M M M M r r -=π，因而

可得出此方程解为

[]

⎰⎰

⎰⎰∞+∞-∞

+∞

-Γ

-+-+-=∂∂-=dxdy

y x f z z y y x x z dS n G f

M u ),()

()()

(21

)(2

3

20202

0π

二维 ⎩⎨

⎧=>=+=)

(|0

00x f u y u u y yy xx ，其Green 函数为)1ln 1(ln 21)M G(M,100M

M M M r r -=

π，因而可得出此方程解为

=),(00y x u

⎰∞

+∞-+-dx x f y x x y )()(1

20200

π （ii ）球域上的Green 函数的作法

三维⎪⎩

⎪⎨

⎧=<++=++=++),,(|)

,,(22222

222z y x f u R z y x z y x F u u u R z y x zz yy xx ，其其Green 函数为

)cos 2cos 21(41)M G(M,402120021200R

R +-+--+=

γρρρργρρρρπ，

其解的表达式119P （4.4.7）

类似的可以得出二维圆域上Laplace 方程Dirichlet 问题

⎪⎩⎪⎨

⎧=<+=+=+),(|0

2

22222y x f u R y x u u R y x yy xx 的解为