高一数学教案：3.3幂函数
1.数学：3.3《幂函数》教案(新人教B版必修1)
幂函数教学设计一、教学目标1.知识与技能 理解、掌握幂函数的图象与性质，并进一步掌握研究函数的一般方法。
2.过程与方法 渗透分类讨论、数形结合的思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力。
3.情感态度价值观 培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程. 二、教学重、难点本节课的重点内容是幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法。
相对于指数函数与对数函数来说，幂函数的情况比较复杂，对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点。
学情分析及教学内容分析 三、学情分析 1.知识储备方面学习幂函数之前，学生在初中已经掌握了一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数几类基本初等函数，并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质，基本掌握了研究函数的一般方法与过程.由于幂函数的情况比较复杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难. 2. 思维水平方面所授课班级是理科实验9班，学生有较高的数学素养和较强的数学思维能力，对数学充满探索精神，对课堂教学有较高需求. 四. 教学内容分析1.幂函数在教材中的地位幂函数是新课标教材新增的内容，位于必修1第三章基本初等函数（Ⅰ）的第三节.在过渡性教材中，曾将幂函数这一内容删掉了，新课标又把幂函数重新编入教材，而相比起人教版的旧教材，幂函数的地位和难度都有所下降，新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后，并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质. 2.幂函数的作用新教材将幂函数重新加入,主要考虑到幂函数在以下几方面的作用： 1.是幂函数在实际中的应用.2.学生在初中已经学习了x y =、2x y =、1-=x y 三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.3.幂函数是基本初等函数（Ⅰ）研究的最后一个函数，在指数函数和对数函数之后，幂函数的学习与探究过程可体现类比的学习方法，渗透分类讨论数形结合的数学思想，培养归纳、概括的能力，并使学生进一步体会并掌握研究基本初等函数的一般思路与方法.组织探究二、幂函数的定义自然地，给出幂函数定义（板书，学生打开课本）一般地，形如：αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数．（由上面的式子可以看出幂函数和幂联系紧密，由于根式推广时，我们仅推广到有理数的情况，所以仅研究有理数）。
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
《幂函数》示范课教学设计【高中数学人教】
《3.3 幂函数》教学设计教学重点：5个幂函数的图象与性质．教学难点：画y ＝x 3 和 y ＝x 21的图象，通过5个幂函数的图象概括出它们的性质．用软件制作动画；PPT 课件．一、 导入新课问题1： 在前两个单元的学习中，我们为研究函数设定了一个基本框架，你能说说研究一个函数从哪些方面入手吗？答案：首先结合实际背景抽象出函数模型，能够用解析法、表格法、图象法恰当地表示函数，当厘清概念之后，着手研究函数的图象与性质，最后应用函数解决实际问题．问题2：观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共同特征吗？（1）如果张红以1元/kg 的价格购买了某种蔬菜w kg ，那么她需要支付p ＝w 元，这里p 是w 的函数；（2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为b ，那么立方体的体积V ＝b 3，这里V 是b 的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长c ＝S ，这里c 是S 的函数；（5）如果某人t s 内骑车行进1 km ，那么他骑车的平均速度v ＝1t ，这里v 是t 的函数．引导学生从解析式的结构特征去思考，发现这5个解析式的共同点．追问1：你还能举几个相同结构的函数的例子吗？（y ＝x 0，y ＝x 4，y ＝x －2，y ＝x 31等．） 预设的答案：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量．教师点拨：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数(power function )，其中x 为自变量，α为常数．（板书：幂函数）对于幂函数，我们只研究α＝1，2，3，12，－1时的图象与性质．设计意图：问题1通过学生熟悉的实际问题引出课题，追问1帮助学生进一步熟悉幂函数的结构特征．二、探究新知 1．确定研究思路问题3：按照问题1中搭建的框架，接下来我们需要研究幂函数的图象与性质了，你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究幂函数性质的方法吗？师生活动：学生回忆函数的概念与性质的探究思路，老师在学生回答的基础上补充． 预设的答案：通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．设计意图：问题（1）帮助学生确立具体的研究目标，问题（2）是帮助学生确立研究方单调性师生活动：学生可以顺利画出y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x 的图象，但是在画y ＝x 3 和y ＝x 21的图象时会遇到困难，老师引导学生通过解析式先得到部分性质，比如定义域，奇偶性，甚至是单调性，然后学生再用描点法画图，最后老师借助画图软件作出图象再加以认识．预设的答案：如图1和表2．表2y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 21 y ＝1x 定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减追问1：结合图1和表2，你能总结出这5个幂函数的共性吗？（图象都过点(1，1)，图象都经过第一象限．）追问2：这5个幂函数的图象均过第一象限，如何确定是否过第二或第三象限？（如果定义域为{x |x ≥0}，则不过第二、三象限，比如y ＝x 21；如果定义域包含(－∞，0)，可以图1结合奇偶性判断，如果为偶函数，则过第二象限，比如y ＝x 2；如果为奇函数，则过第三象限，比如y ＝x 和y ＝x 3．）追问3：在第一象限中，如何区分这5个函数的图象？（y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近，其余均单调递增．y ＝x 的图象是一条直线，其余全是曲线，当0＜x ＜1时，y ＝x 21的图象位于该直线的上方；当x ＞1时，y ＝x 21的图象位于该直线的下方．y ＝x 2和y ＝x 3的图象与y ＝x 的图象的位置关系正好相反（如图2）且当0＜x ＜1时，y ＝x 2的图象位于y ＝x 3的图象的上方，当x ＞1时，y ＝x 2的图象位于y ＝＝x 3和y ＝x 21解析式的特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性等进行初步判断，这样可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映函数的特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点．追问2，3，4引导学生体会不同幂函数的“个性”，尤其是体会不同幂函数的变化趋势的差异．∀x 1，x 2∈[0，+∞)，且x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2 ＝x 1－x 2x 1＋x 2．因为x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，所以f (x 1)＜f (x 2)，即幂函数f (x )＝x 是增函数． 设计意图：由于之前幂函数的基本性质是由图象观察得来，本题弥补了由图象归纳性质的不严谨，同时也是对刚刚学习的一般函数单调性定义的应用，提升学生的逻辑推理和数学（1）(－1.5)3和(－1.4)3可看作函数y ＝x 3当x 分别取－1.5和－1.4时所对应的两个函数值．y ＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，因为－1.5＜－1.4 ，所以(－1.5)3＜(－1.4)3．（2）1－1.5和1－1.4可看作函数y ＝1x 当x 分别取－1.5和－1.4时所对应的两个函数值.y＝1x 在(－∞，0)上单调递减，因为－1.5＜－1.4 ，所以1－1.5＞1－1.4． 设计意图：通过利用幂函数y ＝x 3和y ＝x －1的单调性比较大小，加深对幂函数性质的理解，提升学生的逻辑推理素养．四、归纳小结问题5：（1）你能用结构图的形式小结本单元的内容吗？（2）至此，本章的内容已经全部学习完毕，你能画一个思维导图梳理本章的研究内容和研究方法吗？师生活动：师生一起总结．预设的答案：答案：（1）本单元的结构图如图4；（2）本章的思维导图如图5．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生更加明确幂函数的定义和常见的5个幂函数的性质．。
人教新课标版数学高一- 人教B版必修1 3.3 幂函数 教案
3.3幂函数
教学目标：了解幂函数的概念
教学重点：了解幂函数的概念
教学课时：1课时
教学过程：
1、 概念：形如α
x y =（R ∈α），的函数叫做幂函数
2、 本节课只研究α为有理数的情形
图1 令n m =α，其中Z n m ∈,且1),(=n m ，就1>α，10<<α，0<α时 n m ,分别取奇数、偶数，偶数、奇数，奇数、奇数共九种情形进行分类。
选取以上的图形作为各类的代表
3．除教材上给出的性质外还可补充：
（1）幂函数图象在第一、二、三象限分别相交于点（1，1），（－1，1），（－1，－1），第四象限无图象。
（2）在第一象限，直线把第一象限分割成四片区域。
两块正方形（或开放正方形）区域（图二），两块矩形区域（图三）。
当n＞0时，图象在两片正方形区域内通过；当n＜O时、图象在两片矩形区域内通过。
（3）图象形状：当n＞0（n≠1）时，图象为抛物线型，n＜O时图象为双曲线型，当n＝0或1时，图象为直线型。
（4）n由小往大的变化规律如图四，从－∞O1（左拐90°）＋∞。
4、提问思考。
根据以上规律、如何迅速画出幂函数的图象草图呢？应先画函数图象在第一象限内的部分。
要先从右端入手，根据n的值，确定“入场”区域（分三区：n＜0，0＜n ＜1，n＞1＝对号入场，注意纽交点两侧情况。
再根据定义域，奇偶性确定它在第二、第三象限有无图象，若有，由对称性就可以画出了。
课堂练习：教材第118页练习题3-3A、3-3B
小结：了解幂函数的概念
课后作业：略。
人教A版(2019)必修第一册3.3 幂函数 教案
【新教材】3.3幂函数（人教A 版）幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力． 数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
重点：常见幂函数的概念、图象和性质； 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数p =w 元，这里p 是w 的函数. 问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S =a 2，这里S 是a 的函数.21问题3：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数. 问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长a =S ，这里a 是S 的函数.问题5：如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v =t －1km/s ，这里v 是t 的函数. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本89-90页，思考并完成以下问题 1. 幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
3.3幂函数
普通高中教科书数学必修第一册（人教A版2019）3.3幂函数教学设计3.3幂函数一、教学目标：（一）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（二）通过具体实例，会画y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象，描述它们的变化规律，总结掌握幂函数的性质.（三）能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.二、教学重难点重点：幂函数的概念、图象和性质．难点：利用幂函数的性质解决有关问题.三、教学用具：ppt、geogebra软件四、教学过程：（一）情境导入前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例. 1．如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付 p=w元，这里p是w的函数;2．如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=x2,这里y是x的函数; 3．如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数; 4．如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形场地的边长c=√S, 这里c是S的函数;5．如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=1km/s,t 即v=t−1,这里v是t的函数.（二）探究活动1：请观察1—5中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.1.p=w;2.y=x2;3.V=b3;4.c=√S，即c=s12;5.v=1,即v=t−1.t实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，1，-1；它们都是形如y=xα的2函数.【设计意图】将实际问题转化为数学问题，引导学生经历从实例中用函数思维方式抽象出幂函数的形式，进而引出新知识的定义和形式. （三）概念新知幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.1.练习：（1）下列函数哪些是幂函数（）①y＝x3②y=(1)x③y＝4x2④y＝x5＋21⑤y＝(x－1)2 ⑥y＝x ⑦y=2x（2）若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数，则m＝________.结论：底数只能是自变量x，指数只能是常数,幂的系数只能是1, 解析式只能是一项；判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式．在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.【设计意图】通过引导学生从函数的思维方式归纳出幂函数的定义，然后再通过练习和思考，学生进一步理解幂函数的定义.（四）探究活动2（数到形），−1时的图象与性质.现对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，12请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性）老师用geogebra软件进行展示【设计意图】通过课前预习的网络作业让学生先独立画出三个幂函数的图像，然后课堂上在同一直角坐标系中通过描点法画出另外两个幂函数，在画的过程中体会图像的变化趋势，掌握幂函数的特征.（五）探究活动3（形到数）【设计意图】由形到数，发现并归纳5个常见幂函数的图像性质. （六）性质探究探究活动4：观察α=1,2,3，1/2 ，-1时幂函数的图形，观察细节的分区，填写以下研究报告1.特殊幂函数的性质(1) y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12，y＝x－1主要分布在第象限，第象限无图像.(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12和y＝x－1的图像都通过点；(3)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是，函数y＝x2是；(4)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12,函数y＝x－1；（5）在第一象限内，函数y＝x－1的图像向上与y轴，向右与x轴.2.一般幂函数的性质：(1)第一象限均有图像，第四象限均无图像(2)幂函数图像都过点(1,1)；α>0，函数过（0,0）(3)α为偶数时，幂函数是偶函数;α为奇数时，幂函数是奇函数.(4)当α>0时,幂函数在区间(0，+∞)上单调递增；当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减（5）一般地，幂函数的图像在直线x=1的右侧，指数大的在上，指数小的在下（指大图高），在y轴与直线x=1之间正好相反（指大图低）.【设计意图】引导学生通过观察函数的图像，分析归纳出五个函数图像各自性质的基础上，再归纳幂函数的共性和差异性，进而得出幂函数的基本性质.（七）应用提升例1．在下列四个图形中，y ＝x－12的大致图像是( )例2 比较下列各组数的大小.(1) (2) （3）（八）当堂检测1.下列函数是幂函数的是（ ）A .y =5x 2B .y =x 5−1 C .y =x 8D.y =（x +1）22.若 f (x )＝(m 2－2m －2)x m是幂函数，且在第一象限为增函数，则m ＝（ ）A .−1 B. 3 C. -1或3 D.13.已知幂函数y =f(x)的图像经过点（4， 12 ），则 f (2)=（ ）A .14B.4C.√22D.√24.下列正确的是( )A.(1.5)3<(1.4)3B. (0.1)0.3>(0.2)0.3111.5 1.4--，1.23，1.33 0.53 ，0.50.5C. (11.5)−3<(11.6)−3D. (0.6)3<(0.6)0.55.若（3-2m）12＞（m+1）12，求实数m的取值范围.五．归纳总结1.幂函数概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2.幂函数性质：(1)幂函数图象都过点(1,1).(2)α为偶数时，幂函数是偶函数。
《幂函数》教案
3.3幂函数（1）教案【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念.2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.【教学策略】【教学顺序】复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.（板书：.,,,,,12132 -=====x y x y x y x y x y ）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x ，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成a x y =的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中α是常数.自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.请同学们举出一个具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习1．指出下列函数中的幂函数..,,,,5xy x y x y x x y xy 51222===+==探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数..,,,,,212132--======x y x y x y x y x y x y请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数y x =与2y x =的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题；4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}0|≠y y（0，+∞） 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 偶函数 单调性 递增（-∞，0）减 递增[0，+∞）增 （-∞，0）减 （-∞，0）增 （0，+∞）增（0，+∞）减（0，+∞）减定点（1，1）从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）总结性质虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0>α时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0<α时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．再来观察当0<α时的函数图象，（演示几何画板，显示0<α时图象，隐藏0>α时图象）幂函数在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当自变量x 取值从右边趋于0时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴，但不与y 轴相交，当自变量x 取值趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴，但不与x 轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0>α时，幂函数都过原点，在),0[+∞上是增函数；当幂指数0<α时，在),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．0>α 0<α在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；在),0[+∞上是增函数 在),0(+∞上是减函数图象过原点在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析例1 比较下列两个代数式值的大小：.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(323225.15.123234343----++a a a分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.（1）解：考察幂函数43x y =，因为43x y =在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以43434.23.2<.以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(323225.15.12323----≤+>+>a a a例2 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 解：要使3232x x y ==有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．∵f （－x ）＝3232)(x x =-＝f （x ）， ∴函数32x 是偶函数； x1 2 3 4 … y x = 01 1.59 2.08 2.52 …幂函数32x y =在［0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．思考与讨论幂函数)(R x y ∈=αα，当,5,,3,1 =α（正奇数）时，函数有哪些性质？（演示画板）定义域为R ，值域为R ，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数. 当,6,,4,2 =α（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论. 课堂练习2．幂函数43x y =的单调递增区间是________.答案：[)+∞,0 3．2121211.1,9.0,2.1===-c b a 的大小关系是________.答案a >b >c归纳小结本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法.布置作业作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示xe ——泰勒公式.)(!!3!2132R x n x x x x e nx∈++++++=《幂函数》教案说明教材：普通高中课程标准试验教科书 数学1（必修）B 版 人民教育出版社 章节：3.3幂函数 一、教学目标定位幂函数具有函数的一般性质，而又有别于前面学习过的指数、对数函数，对于幂函数的性质的研究，有助于加深对函数性质的认识和理解，为后面的学习奠定了基础.《课程标准》指出，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.正是基于这样的要求，为了达到“通过对幂函数的研究，加深学生对函数概念的理解”的目的.我制定了如下教学目标：在知识与技能方面，理解幂函数的概念.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.在过程与方法方面，通过对幂函数的学习，进一步渗透数形结合、分类讨论的思想，使学生熟练掌握研究函数性质的一般方法.在情感、态度价值观方面，通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.二、学情分析本节课授课的对象是高一年级的学生，他们对函数的概念及性质已经有了较为深刻的认识，基本上掌握了研究函数性质的一般方法.这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上，研究的第三种函数.学生能够类比研究指数函数和对数函数的过程，体会由特殊到一般的思想.学生学习幂函数知识，既可以体验类比研究的过程，又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法，从而掌握研究函数的一般方法，为以后研究其他函数，如三角函数奠定扎实的基础.三、教学诊断分析虽然学生刚刚学习过指数函数与对数函数，对于存在于函数解析式中的常数参数进行分类讨论的情况已经了解和接受，但还仅仅限于模仿和套用阶段。
3.3幂函数教学设计2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019))必修第一册
目标：让学生了解幂函数的基本概念、组成部分和性质。
过程：
讲解幂函数的定义，包括一般形式及其主要组成元素。
详细介绍幂函数的图像特点、性质，使用图表或示意图帮助学生理解。
通过实例，让学生更好地理解幂函数在实际应用中的作用。
3.幂函数案例分析（20分钟）
目标：通过具体案例，让学生深入了解幂函数的特性和重要性。
拓展与延伸
1.拓展阅读材料
-《数学分析》：选取与幂函数相关章节，深入理解幂函数的数学性质和图像特点。
-《高中数学读本》：阅读其中关于幂函数的实际应用案例，了解幂函数在自然科学、社会科学等领域的应用。
-《数学建模》：学习如何将幂函数应用于实际问题中，掌握数学建模的基本方法。
-《数学史》：了解幂函数的发展历程，认识历史上数学家们对幂函数的研究和贡献。
2.教学难点
-理解并区分不同底数的幂函数图像及其性质。
-对幂函数图像的变换，如平移、伸缩等操作的理解和应用。
-将幂函数的性质与实际情境相结合，解决具体问题。
举例：对于底数不同的幂函数，如f(x)=x^2和f(x)=(1/2)^x，通过对比分析其图像和性质，帮助学生理解底数变化对幂函数图像的影响。针对图像变换，通过具体示例，如将f(x)=x^2图像向右平移2个单位得到f(x)=(x-2)^2，讲解变换规则及其对函数性质的影响。在解决实际问题时，指导学生如何将现实问题抽象为幂函数模型，并运用所学知识进行解答。
过程：
选择几个典型的幂函数案例进行分析，如人口增长模型、衰减现象等。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解幂函数的多样性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用幂函数解决实际问题。
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3.3幂函数
教学目标：了解幂函数的概念
教学重点：了解幂函数的概念
教学过程：
1、 概念：形如α
x y =（R ∈α），的函数叫做幂函数
2、 本节课只研究α为有理数的情形
图1 令n
m =α，其中Z n m ∈,且1),(=n m ，就1>α，10<<α，0<α时 n m ,分别取奇数、偶数，偶数、奇数，奇数、奇数共九种情形进行分类。
选取以上的图形作为各类的代表
3．除教材上给出的性质外还可补充：
（1）幂函数图象在第一、二、三象限分别相交于点（1，1），（－1，1），（－1，－1），第四象限无图象。
（2）在第一象限，直线把第一象限分割成四片区域。
两块正方形（或开放正方形）区域（图二），两块矩形区域（图三）。
当n＞0时，图象在两片正方形区域内通过；当n＜O时、图象在两片矩形区域内通过。
（3）图象形状：当n＞0（n≠1）时，图象为抛物线型，n＜O时图象为双曲线型，当n＝0或1时，图象为直线型。
（4）n由小往大的变化规律如图四，从－∞O1（左拐90°）＋∞。
4、提问思考。
根据以上规律、如何迅速画出幂函数的图象草图呢？应先画函数图象在第一象限内的部分。
要先从右端入手，根据n的值，确定“入场”区域（分三区：n＜0，0＜n ＜1，n＞1＝对号入场，注意纽交点两侧情况。
再根据定义域，奇偶性确定它在第二、第三象限有无图象，若有，由对称性就可以画出了。
课堂练习：教材第118页练习题3-3A、3-3B
小结：了解幂函数的概念
课后作业：略。