例谈椭圆定义在解题中的应用
数学椭圆的定义 例题解析人教版选修1-1(A文)
椭圆的定义例题解析例1过椭圆4x2＋y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是[ ]略解：∵|AF1|＋|AF2|=2，|BF1|＋|BF2|=2，∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|=4，即|AB|＋|AF2|＋|BF2|=4．∴选B．评注：此题明是求周长，实际上是用椭圆的定义．题中提现了转化的思想．例2M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2．且2a=10,2c=6,点I为△MF1F2解：如图，I为△MF1F2的内心，∴∠1=∠2，比较①、②，并应用等比定理，得评注：此题三步用到了椭圆的定义，内角平分线定理，等比定理．等比定理是桥梁把内角平分线分线段比与椭圆的第一定义联系起来．例3已知椭圆两焦点为F1，F2，M点为椭圆上一点(不在直线F1F2上)，∠F1MF2=θ，|F1F2|=2c，|MF1|＋|MF2|=2a．求△MF1F2的面积．解：由余弦定理，得(2c)2=|F1F2|2=|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2=(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)=(2a)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)评注：例4已知方程2(k2－2)x2＋k2y2＋k2－k－6=0表示椭圆，求实数k的取值范围．解：按题意，得评注：解这种类型的题目，要注意椭圆的两种类型，同时要注意椭圆与圆的区别．例5解：设所求椭圆方程为Ax2＋By2=k，①评注：此题不知道椭圆的类型，因此采取这种“模糊”的设法，简化了计算．例6分析：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，m＋n=20，即m2＋n2－mn=144．(1) ∴(m＋n)2－3mn=144．评注：在上述方法中运用了椭圆的定义和余弦定理，这是解决椭圆中三角形问题时常求|PF1|·|PF2|的最大值．解：∵a=10，∴|PF1|＋|PF2|=20．当且仅当|PF1|=|PF2|时“=”号成立，∴|PF1|·|PF2|的最大值为100．例7证在椭圆外，(1)∵P在椭圆内，(2)∵P评注：1．本题涉及的知识点是椭圆方程与坐标概念．2．这是常用的知识点，了解坐标概念和曲线方程概念即不难证明．例8时，求|AM|＋2|MF|的最小值，并求此时点M的坐标．解析：本题按常规思路，设M(x，y)，则又M在椭圆上，y可用x表示，这样|AM|＋2|MF|可表示为x的一元函数，再求此函数的最小值．虽说此法看上去可行，但实际操作起来十分困难，但我们可以由椭圆的第二定义，转化到点到直线的距离来求，如图．∴|AM|＋2|MF|=|AM|＋d由于点A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|即为|AM|＋d的最小值，其值为8－(－2)=10例9[ ]A．椭圆 B．双曲线C．线段 D．抛物线略解：即点P(x，y)到定点F(1，1)的距离与到定直线l：x＋y＋2=0的距离的比值∴点P的轨迹是椭圆，故选A．评注：此题很妙：妙在利用椭圆的第二定义，定义不能直接运用，必须进行变形后，才知答案．若利用两边平方解会很麻烦的．例10离为[ ] A．8略解：如图|PF1|＋|PF2|=2a=10，∴|PF1|=2．∴|PF2|=10－|PF1|=10－2=8．选A．评注：此题是椭圆第一定义与第二定义的综合运用．例11如图椭圆中心为O，F是焦点，A为顶点，准线l交OA延长线于B，P、Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥OA于F，则椭圆离心率为[ ] A．0 B．2C．2 D．5答案：D．评注：此题灵活利用离心率、深化对椭圆第二定义的理解．例12则有|PF1|=a＋ex，|PF2|=a－ex．证明：由椭圆第二定义，得评注：有的书中把上述结论叫做焦半径公式．按照人民教育出版社出版的教材要求这样做是不科学的，容易陷入单纯记忆公式，忽视椭圆第二定义的理解和应用．由于叙述的方便，后面我们还是采用焦半径的提法．但是要注重理解．实际上，上述结论是椭圆第二定义的延伸，抓住椭圆第二定义，及点与直线位置关系极易推导和记住，使用时，前面冠以“根据椭圆第二定义，得”即可应用．|PF1|=a＋ex，|PF2|=a－ex，例13分析：只要解方程组即可．此种方法，思路自然，但计算量较大，需要换一个角度，寻求新的解法．解：由椭圆第二定义，得评注：充分理解椭圆第二定义，可记忆有关结论．。
椭圆作为解析几何
椭圆作为解析几何
椭圆是解析几何中的一个重要概念，它具有广泛的应用和深远的影响。
本文将从椭圆的定义、性质和应用几个方面介绍椭圆在解析几何中的重要性。
首先，什么是椭圆？椭圆是平面上一条特殊的曲线，它由一个固定点F和一个固定的长度之和等于常数2a的点P构成。
这个点F被称为焦点，2a被称为主轴的长度。
根据定义，椭圆具有以下特点：对于椭圆上的任意一点P，它到焦点F的距离与焦点到离心率的距离之和等于2a。
椭圆作为一种曲线，具有许多独特的性质。
首先，椭圆是一个闭合的曲线，它的形状类似于椭球的横截面，因此得名。
其次，椭圆具有两个对称轴，即短轴和长轴。
椭圆的焦点和离心率也是其重要的性质之一。
焦点是椭圆上的一个重要参考点，而离心率表示了椭圆的形状。
在解析几何中，椭圆的方程是一个重要的内容。
椭圆的方程可以表示为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
通过这个方程，我们可以推导出椭圆的各种性质，如焦点坐标、离心率等。
椭圆在解析几何中有广泛的应用。
首先，椭圆可以用来描述行星运动轨迹。
根据开普勒定律，行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭圆。
其次，椭圆可以用来描述光学中的折射和反射现象。
例如，当光线从一个介质经过另一个介质时，其路径可以被椭圆描述。
此外，椭圆还广泛应用于椭球体的几何学，如地理学和天文学等领域。
总之，椭圆作为解析几何中的一个重要概念，在数学和应用领域都扮演着重要的角色。
通过对椭圆的定义、性质和应用的探讨，我们可以更好地理解和应用椭圆曲线，进一步拓展解析几何的知识。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的基本性质)：3.定义法求椭圆的方程含答案
今天我们研究用定义法求椭圆的方程。
根据椭圆的定义,确定22,a b 的值，再结合焦点的位置, 直接写出椭圆方程。
先看例题例：已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,23M 在椭圆上,求椭圆C 的方程；故椭圆方程为：12322=+y x归纳整理：中心在原点, 焦点分别在x 轴上, y 轴上的椭圆标准方程分别为 22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b a b +=>>利用椭圆定义，求解椭圆方程，首先要明确焦点的位置。
选择合适的方程。
如果不能确定焦点位置，需要分类讨论。
再看一个例题，加深印象例：已知椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴， 椭圆上的点到两焦点的距离之和为10，短轴长为8 ,求椭圆方程.解：焦点在x 轴上，设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>的情况.这是本题的关键。
焦点在y轴上，设椭圆标准方程为22221(0) y xa ba b+=>>由题意,确定长轴、短轴、焦距可得：a=5，b=4，c=3椭圆方程为221 1625x y+=总结：椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹叫做椭圆．根据椭圆的焦点坐标位置，222bac-=，写出方程的对应形式。
练习：1。
一束光线从点1(1,0)F-出发，经直线:230l x y-+=上一点D反射后,恰好穿过点2(1,0)F．求以1F、2F为焦点且过点D的椭圆C的方程.2。
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3),且点F（2,0）为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C的方程;(Ⅱ)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.答案2a =12||||PF PF '+=12||F F '2292(1)(0)2255--+-= ∴2a =1c =，211b =-=．∴椭圆C 的方程为2212x y +=．2.。
椭圆第二定义在解题中的巧用
椭圆第二定义在解题中的巧用
余泽群
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2015(000)023
【摘要】平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（e=c/a,0〈e〈1）的点的轨迹通常称为椭圆第二定义，该定义人教A版仅在《选修2—1》P47例6提及，往往易被同学们忽视．由于椭圆第二定义给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，包含数形结合的思想，运用它可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以一道高考椭圆题目的两种解法为例说明椭圆第二定义在解题中的巧用．
【总页数】2页(P75-76)
【作者】余泽群
【作者单位】湖北省武汉市第一中学高二(4)班
【正文语种】中文
【相关文献】
1.椭圆第二定义的发现式学习 [J], 王超伟;
2."椭圆的第二定义"教学设计 [J], 唐官洪
3.例谈对数学问题的探究、创新——由椭圆的第二定义想到的 [J], 姜坤崇
4.缩圆法在解椭圆压轴题中的应用 [J], 胡腾戈;黄国稳
5.例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用” [J], 陈启南
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案例分析：椭圆定义推导
案例分析：椭圆定义推导案例分析：椭圆定义推导案例分析：椭圆定义推导教学中，许多老师往往比较重视将教科书上的知识教给学生，忽视让学生领略知识的发生发展过程，忽视情意教学目标，忽视学生主体地位，学生的学习过程大多停留在理解，记忆，复述，重现知识的阶段，而奢谈学生思维能力的培养，心理素质的发展，个性品质的健全。
心理学理论认为：知识的获得是一种学生主动的认知活动，学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的参与者。
人本主义教育观认为：成长的可能性是学生与生俱有的，而教育最重要，最根本的目的即在于将这种可能性转化为现实，培养学生成为“完整的人”。
在解析几何中，圆锥曲线是这块内容中的重点、难点和考点。
根据教材的安排，双曲线、抛物线的定义和性质的给出都是类比于椭圆的定义、性质。
因此，椭圆的定义、标准方程、性质的教学是这一内容的重中之重，而标准方程又是根据椭圆的定义得出，所以椭圆的定义推出显得至关重要。
现把这一教学片段展示如下：教师：在生活中，哪些事物是呈椭圆形的。
学生1：鸡蛋，橄榄球……还有个别学生2：没有画圆的圆。
教师微笑：大家说的都很对，椭圆是一个很美的图形，我想大家看了下面的几个场景就有此感觉了。
（演示课件：花卉的瓣，倒影在水面上的拱桥，美国白宫，地球运动轨迹等）（黑板上书写课题：椭圆定义及其标准方程）教师：椭圆的形状很美，它在生活中应用很广泛，从上面我们可以看到它用在建筑、天文学上，因此我们很有必要对椭圆进行研究。
我们看到椭圆的形状是一个压扁了的圆，那我们一起回忆圆的定义。
学生3：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。
教师：我们是怎样画圆的呢？同学们画画看。
（课前教师要求学生每人准备一块硬纸板，并发给每一位学生两颗图钉几颗及一根定长细绳子）学生：（动手画圆）教师：“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点P到定点O的来回距离之和为常数的点的轨迹。
”行不行。
学生齐声地：行教师：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？学生：（动手画椭圆）教师：（现场用几何画板制作课件：作椭圆）教师：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这个曲线，而且还在生活中找到了它的应用，下面我们能否根据上面圆的定义给出椭圆的定义？学生4：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。
高中数学椭圆的性质及相关题目解析
高中数学椭圆的性质及相关题目解析椭圆是高中数学中一个重要的几何图形，它有着独特的性质和应用。
本文将从椭圆的定义、性质以及相关题目解析等方面进行阐述，帮助高中学生更好地理解和应用椭圆。
一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度为2c，a和c之间的关系为a > c。
椭圆的长轴是通过焦点的直线段，长度为2a；短轴是与长轴垂直的直线段，长度为2b，且满足a > b > c。
椭圆的离心率e定义为e = c / a，离心率决定了椭圆的形状。
当e < 1时，椭圆是一个封闭曲线；当e = 1时，椭圆变成一个抛物线；当e > 1时，椭圆变成一个双曲线。
椭圆的焦点和准线的性质也是我们需要了解的。
焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF1 + PF2 = 2a；准线是与长轴平行且过焦点的直线，焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离，即PD =e * PF。
二、椭圆的相关题目解析1. 题目：已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，求椭圆的离心率。
解析：根据椭圆的定义，我们知道a = 5，b = 4。
将a和c的值代入离心率公式e = c / a，可得e = 4 / 5。
2. 题目：已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，且焦点到准线的距离为2，求椭圆的方程。
解析：根据椭圆的性质，焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离，即2 = e * a。
由于焦点到准线的距离为2，而椭圆的长轴长度为2a，所以a = 1。
再根据焦点的坐标，可得椭圆的中心为O(0, 0)。
因此，椭圆的方程为x^2 + y^2 / 1^2 = 1，即x^2 + y^2 = 1。
3. 题目：已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-2, 0)和F2(2, 0)，准线方程为x = 3，求椭圆的方程。
椭圆定义在解题中的应用
椭圆定义在解题中的应用椭圆第一定义在解题中的应用椭圆第一定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将椭圆的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.一、利用椭圆第一定义求轨迹方程例1已知中，C（-1，0），B（1，0），，求顶点A的轨迹方程.分析:用正弦定理将化为，由椭圆的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B 为焦点，长轴长为6的椭圆.解析：由正弦定理及得，∴由椭圆的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为6的椭圆∴，，∴=8∴顶点A的轨迹方程为（）.点评：本题考查了椭圆的第一定义、正弦定理及椭圆的标准方程，利用定义求轨迹是求轨迹问题的一种重要方法.二、利用椭圆第一定义解决焦点三角形问题例2已知，是椭圆的两个焦点，过与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△是正三角形，求椭圆的离心率.分析：本题关键在于寻找、间关系，结合图形，容易找到此关系.解析：由△是正三角形，得是为的直角三角形，设=，则，则=，由椭圆第一定义知，=，又====.点评:本题考查了椭圆的第一定义与椭圆性质，对焦点三角形问题，常用到第一定义.例3已知椭圆()的焦点分别为，，P是椭圆上一点，=，（1）求的最大值；（2）求的面积.分析：涉及到焦点三角形问题时，根据题意，配凑出形式，再利用椭圆的第一定义，解决有关问题.解析：（1）∵在椭圆上，∴=在中，=，====（当且仅当时取等号），又∵余弦函数在上是减函数，∴当=时，=；（2）在中，由余弦定理知，==，∴==∴===.点评：解决椭圆上一点与两焦点构成的三角形问题时，要充分利用正弦定理、余弦定理、椭圆的第一定义，关键是配凑出的形式.三、利用第一定义计算椭圆上一点到两焦点的距离问题例4已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，，弦AB=4，求的周长.分析：本题涉及椭圆上一点到两焦点的距离问题，利用椭圆第一定义求解.解析:因为，在椭圆上，所以=10，=10，∴+=10，而，∴，即的周长为20.点评：凡涉及椭圆上一点到两焦点的距离问题，注意利用椭圆第一定义求解.在解决椭圆问题要有应用椭圆第一定义的意识，见到动点到两定点距离之和等于常数（常数大于两定点的距离）应想到其轨迹是椭圆，见到椭圆上一点应想到该点到两焦点的距离之和为,只有这样才能熟练运用椭圆第一定义解题.。
椭圆的定义的应用
椭圆的第一定义解一类最值问题太和中学 王建廷学习目标： 1、知识与技能：掌握椭圆第一定义的灵活应用，常见最值问题的几何求解方法。
2、过程与方法：通过自主学习、合作探究，进一步巩固椭圆第一定义，并能运用椭圆第一定义解决与距离相关的最值问题。
体会代数法和几何法在解决数学问题时一致性和差异性。
3、情感、态度与价值观：感悟数学定义的本质，体会转化与化归思想在解决数学问题中的作用，积累“数学地”思考问题的经验。
重点：椭圆第一定义在求最值中的应用 难点：椭圆第一定义在求最值中的灵活运用课程分析：本课是在复习了椭圆的第一定义及其简单几何性质的基础上，学习椭圆第一定义的灵活应用，因此，第一定义的灵活应用是本讲的重点、难点。
学情分析：学生已经学习了椭圆的概念及其简单的性质，但是，学生灵活利用定义求最值问题还存在困难，有必要引导学生进行归纳总结。
教学模式：诱思探究式。
设计理念：根据诱思探究教学的学习方式设计的教学过程，教学设计应遵循“探究－研究－运用”亦即“观察－思维－迁移”的三个层次的要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习。
教师的“诱”要在点上，在精不用多，让学生动脑思和究，动手探，自主探究，发现规律，探讨解法。
整个教学过程始终贯穿“体验为红线，思维为主攻”，学生的学习目的要达到“探索得资料，研究获本质”。
一．课前自学 1.知识链接（1）椭圆的定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合。
（2）椭圆的标准方程：①焦点在x 轴上：12222=+b y a x (0>>b a )；②焦点在y 轴上：12222=+bx a y (0>>b a )2.自学检测（1）椭圆221259x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 中点，则||ON ＝（2）如果椭圆的焦点坐标为)0,1(),0,1(21F F -，离心率为32，过点1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，那么2ABF ∆的周长为（ ）（A ）24 （B ）12 （C ）6 （D ）3（3）求定点()0,3F 到椭圆192522=+y x 上动点P 的最小距离。
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例谈椭圆定义在解题中的应用
定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。
一、解方程
例1 x x x x 2222224-++++=
分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。
如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令12=y ，得()()x y x y -++++=1142222，则点M （x ，y ）的轨迹是以F 1（-1，0），F 2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。
解：由原方程可得
y x y x y 222221114
=-++++=⎧⎨⎪⎩⎪()() ⇔+==⎧⎨⎪⎩
⎪x y y 22
24311 解得x =±263
二、判断方程表示的曲线
例2 已知x y R 、∈，且满足x x y x y 224412
2-++=+-||，试判断点M 的轨迹是怎样的曲线。
分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M 到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M 到直线x y +-=20的距离，即有()||x y x y -++-=222
22
22，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M 的轨迹是椭圆。
三、求参数的取值范围
例3 （2004年高考·全国卷III ）设椭圆x m y 2
21
1++=的两个焦点是F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）（c>0），且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，求m 的取值范围。
解：由题意知m>0，a m b =+=11，，c m =，且
||||||||||PF PF F F c PF PF a
122212221242+==+=⎧⎨⎪⎩⎪①②
②2－①得：
||||PF PF a c b 12222222⋅=-=
又||||(||||)PF PF PF PF a 1212222
⋅≤+= 所以222b a ≤，即21≤+m ，所以m ≥1
例4 （1997年全国联赛题）若方程m(x y y x y 2222123+++=-+)()表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围是（ ）
A. （0，1）
B. （1，+∞）
C. （0，5）
D. （5，+∞）
分析：由已知得m x y x y [()]()222123++=-+
即x y x y m 22
12555++-+=()||
依题意，此方程表示椭圆，根据椭圆的第二定义，得e m
=
∈501()，，解得m>5，选D 。
四、求最值 例5 （1）（1999年全国联赛题）给定A （-2，2），已知B 是椭圆x y 22
2516
1+=上动点，F 是左焦点，当||||AB BF +53
取最小值时，求B 点坐标。
（2）已知椭圆x y 2243
1+=内有一点P （1，-1），F 为椭圆右焦点，M 是椭圆上动点，求|MP|+|MF|的最小值。
分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数，再求最值，因含有两个根式的和，代入消元不易，难以求解，但如果我们注意数量特征，利用椭圆定义合理转化，则可得到如下简解。
解：（1）显然点A 在椭圆内部，由椭圆第二定义可得：B 到椭圆左准线l 的距离d BF =53
||，所以||||||AB BF AB d +=+53
，结合平面几何知识，可知，当AB ⊥l 时，||AB d +最小，此时易求B 点坐标为（-532
，2） （2）设椭圆的左焦点为F'，由平面几何知识，得|||'||'|MP MF PF ≥-，当且仅当M 为线段F'P 的延长线与椭圆交点时取等号。
所以|||||'||'||||'|MP MF MF PF MF PF +≥-+=-=-445
所以||||MP MF +的最小值为45-。
五、求轨迹方程
例6 （2002年春季高考题）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得||||PQ PF =2，那么动点Q 的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线一支
D. 抛物线
解：因为||||PQ PF =2，所以||||||||||QF PQ PF PF PF 1121=+=+ 由椭圆第一定义得||||PF PF a 122+=，故||QF a 12=，即Q 点轨迹是以F 1为圆心，以2a
为半径的圆，选A 。
六、求焦点三角形的面积
例7 已知点P 是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上的一点，F 1、F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝α，求△F 1PF 2的面积S 。
解：△PF 1F 2中，由余弦定理，得
||||||||||cos (||||)||||(cos )F F PF PF PF PF PF PF PF PF 12212221212212221=+-=+-+αα
所以||||cos PF PF b 122
21=+α
故S PF PF b b PF F ∆121212
1222==+=||||sin sin cos tan αααα
七、求离心率
例8 已知P 是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，求椭圆离心率。
解：△PF 1F 2中，由正弦定理有
||sin ||sin ||sin[()]
PF PF F F 1212βαπαβ==-+ ⇒++=+||||sin sin ||sin()
PF PF F F 1212αβαβ ⇒+=+22a c sin sin sin()
αβαβ ⇒==++e c a sin()sin sin αβαβ
八、求离心率取值范围
例9 （2001年“希望杯”赛题）F 1、F 2是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()的两个焦点，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，求椭圆离心率的取值范围。
解：由同例8得
e =++=+-sin()sin sin cos cos αβαβαβαβ22
又αβ+=60 ，所以e =-=-∈cos cos cos [)302
322321 αβαβ，。