椭圆的对称性在解题中的应用

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巧用椭圆的对称性解题

巧用椭圆的对称性解题

巧用椭圆的对称性解题作者:卜以军来源:《高中生·高考指导》2015年第12期一、求弦长例1 已知直线y =3x+2 被椭圆+=1(a>b>0)截得的弦长为8,则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8 的有______(填上直线的序号).①y =3x-2;②y =3x+1;③y =-3x-2;④y =-3x+2;⑤y =-3x.分析若用弦长公式解决这个问题,则没有认清问题的本质,费时费力.利用椭圆的对称性就可以轻松求解.解作出椭圆和有关直线(图略).由于椭圆既关于坐标轴对称,又关于原点对称,直线①③④与直线y =3x+2是关于坐标轴或原点对称,所以直线①③④与直线y =3x+2被椭圆截得的弦长相等.又由图知,直线②⑤被椭圆截得的弦长都大于8.故应选①③④.二、求最值例2 过原点的直线与椭圆+ y2=1交于A,B两点,F 是椭圆的右焦点,求△ABF 面积的最大值.分析由椭圆的对称性,可知A,B 两点关于原点对称.解如图1,由椭圆的对称性知,A,B 两点关于原点对称,所以|OA|= |OB|,S△AOF=S△BOF .由于焦点F 的坐标为(,0),点A到x轴距离的最大值为1,所以S△ABF=2S△AOF =2××|yA|≤.所以,△ABF 面积的最大值为.三、解答直线过定点问题例3 M,N是椭圆+ y2=1上不同的两个动点,P 是椭圆上不同于M,N 的一个动点,且直线PM 与直线PN 的斜率之积为-,求证:直线MN 必过定点.分析可以在椭圆上先取一些关于坐标轴对称的特殊点进行观察、分析,初步确定定点的位置后,再进行一般性论证.取M为椭圆的上顶点(0,1),P为左顶点(-2,0),则直线PM的斜率为.由椭圆的对称性知,若取N 为椭圆的下顶点(0,-1),则此时直线PN的斜率为 -.直线PM与直线PN的斜率之积为-,从而所求的定点应该在y 轴上.再取M为椭圆的左顶点(-2,0),N为右顶点(2,0),P为上顶点(0,1),也满足条件,则所求的定点应该在x 轴上.综上可知,所求定点必为原点.证明设点M,N,P的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),可得+y21=1,+ y22=1,+ y20=1,且kPM·kPN =·=-.又·=== -,所以=对椭圆上任意满足条件的点P( x0,y0)都成立,可得x2=-x1,y2=-y1.所以,点M与点N关于原点对称,即直线MN 必过原点.例4 如图2,已知椭圆的焦点是F1(-4,0),F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且F1B +F2B=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程.(2)求证:线段AC的垂直平分线过定点.分析对于本题的第(2)问,不难求得x1+x2=8,在x轴上方取满足条件的两点A和C,再在x轴下方取A′和C′,使A′和C′分别与A和C关于x轴对称,则A′点与C′点的横坐标之和也为8.由于椭圆关于x 轴对称,线段AC的垂直平分线与线段A′C′的垂直平分线也关于x轴对称,所以线段AC的垂直平分线必过x轴上的一个定点.(1)解:椭圆的方程为+ =1.(解答过程省略)(2)证明:由(1)可知e=,右准线为l:x=,点B的横坐标为4.设点A,C在l上的射影分别为M,N,则=,所以|AF2|=|AM|=(-x1)=5- x1.同理,|BF2|= 5-× 4,|CF2|=5-x2.由|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列,可知2|F2B|= |F2A|+|F2C|,即2( 5-× 4)=(5- x1)+(5-x2),解得x1 + x2 =8.所以,线段AC 的垂直平分线的方程为y -=-(x-4).令y =0 ,得x= 4+= 4-(x1+x2)= 4-× 8=.所以,线段AC 的垂直平分线过定点(,0).四、解决与焦半径有关的问题例5 如图3,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0).已知(1,e)和(e,)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程.(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,若|AF1|-|BF2|=,求直线AF1的斜率.分析对于本题的第(2)问,可以先求出A,B两点的坐标,再求出AF1和BF2的长度,然后由已知条件求出直线AF1的斜率,但是这种方法非常繁琐.若延长AF1交椭圆于点C,则由椭圆的对称性可知,线段CF1和线段BF2的长度相等,从而可将线段BF2对称地转移到线段CF1,使原本陌生的问题转化为熟悉的椭圆焦点弦问题.这是运用转化与化归的数学思想解决问题的一个典型案例.解(1)椭圆的方程为+ y2=1.(解答过程省略)(2)由(1)可知,F1,F2的坐标分别为(-1,0),(1,0),e=.延长AF1交椭圆于点C,由AF1∥BF2及椭圆的对称性,可知 B,C 关于原点对称,可得|BF2|= |CF1|.设点A的坐标为(x1,y1),点C的坐标为(x2,y2),其中y1>0,y2由已知条件,可知AF1>BF2,从而AF1不垂直于x轴.设AC:y =k(x+1)(k>0),将其代入椭圆的方程中,得x2+2k2(x+1)2=2,即(1+2k2)x2+4k2x +2(k2-1)=0.于是可知x1+x2=-,x1x2=.由|AF1|-|BF2|=(+x1)-(+x2)=(x1-x2)=,可知x1-x2=,则(x1+x2)2-4x1x2=3,即-=3,解得k2=.由k>0,可知k=.故AF1的斜率为.(责任编校?筑冯琪)。

圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率

圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率

圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率在圆锥曲线解题中,对称性是一种常用的技巧,可以用来简化计算和证明过程,提高解题效率。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线,它们都具有不同的对称性质,可以通过利用这些对称性质来解题。

1. 椭圆的对称性利用椭圆是一种闭合曲线,具有中心对称性质。

利用椭圆的对称性,可以简化计算和证明过程。

例如,在求解椭圆的焦点坐标时,可以利用对称性质来减少计算量。

假设椭圆的中心为原点,主轴在x轴上,次轴在y轴上。

设椭圆上一点的坐标为(x, y),则椭圆上对称的另一点的坐标为(-x, -y)。

通过利用对称性,可以避免重复计算,简化求解过程。

2. 双曲线的对称性利用双曲线是一种开口曲线,具有轴对称性质。

在利用双曲线的对称性解题时,可以根据曲线的性质进行推导。

例如,在求解双曲线的渐近线方程时,可以利用双曲线的轴对称性质来简化证明过程。

双曲线的轴对称性可以使得我们只需要证明其中一条渐近线的方程,然后通过对称性得到另一条渐近线的方程。

3. 抛物线的对称性利用抛物线是一种开口方向确定的曲线,具有顶点对称性质。

在利用抛物线的对称性解题时,可以利用顶点对称性来简化计算和证明过程。

例如,在求解抛物线的焦点坐标时,可以利用抛物线的顶点对称性质简化计算,将问题转化为求解顶点的坐标。

通过利用对称性,可以减少计算量,提高解题效率。

综上所述,对称性是解决圆锥曲线问题的重要技巧之一。

通过利用椭圆的中心对称性、双曲线的轴对称性和抛物线的顶点对称性,可以简化计算和证明过程,提高解题效率。

在解题过程中,我们应当充分利用圆锥曲线的对称性质,并善于将问题转化为利用对称性质求解对应的简化问题,从而更加高效地解决圆锥曲线问题。

椭圆常见题型与典型方法归纳

椭圆常见题型与典型方法归纳

椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点被称为椭圆的焦点,椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。

另外,椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。

这个定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线,这个常数是椭圆的离心率。

需要注意的是,当两个定点之间的距离等于常数时,椭圆的轨迹是线段,而当两个定点之间的距离小于常数时,椭圆的轨迹不存在。

椭圆的标准方程有两种形式,一种是焦点在x轴上的形式,另一种是焦点在y轴上的形式。

这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。

需要注意的是,椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。

如果分母中x的系数大于y的系数,那么焦点在y轴上,反之则在x轴上。

如果椭圆过两个定点,但焦点位置不确定,可以设椭圆方程为mx+ny=1,其中m和n都是正数。

在解题时,需要牢记椭圆的几何性质。

例如,如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍,那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。

又例如,如果一个点在椭圆上,那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0),其中a和b分别为长轴和短轴长。

椭圆的中心在原点(0,0)处,长轴与x轴平行。

椭圆的顶点分别为(a,0)。

(-a,0)。

(0,b)。

(0,-b),离心率为e=c/a,其中c为焦点到中心的距离,焦距为2c。

椭圆的准线方程为y=±(b/a)x,通径方程为y=kx或x=h,其中k和h为常数。

椭圆关于x轴和y轴对称,且具有中心对称性。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长,即PF1 + PF2 = 2a。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离,即PF1 - PF2 = 2b。

椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x,纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。

2.典型练1) 题目描述:给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1,已知长轴位于x轴上,长轴长为8,短轴位于y轴上,短轴长为6,焦点在x轴上,焦点坐标为(5,0)和(-5,0),求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。

高中椭圆的相关知识点总结

高中椭圆的相关知识点总结

高中椭圆的相关知识点总结椭圆是高中数学解析几何中的重要内容,它在数学和实际生活中都有广泛的应用。

接下来,让我们一起系统地梳理一下高中椭圆的相关知识点。

一、椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$、$F_2$的距离之和等于常数(大于$|F_1F_2|$)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

用数学语言表示为:$|PF_1| +|PF_2| = 2a$($2a >|F_1F_2| = 2c$)二、椭圆的标准方程1、焦点在$x$轴上:$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1$($a > b > 0$),其中$a$为椭圆的长半轴长,$b$为椭圆的短半轴长,$c =\sqrt{a^2 b^2}$为半焦距。

2、焦点在$y$轴上:$\frac{y^2}{a^2} +\frac{x^2}{b^2} =1$($a > b > 0$)三、椭圆的几何性质1、范围对于焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$,有$a \leq x \leq a$,$b \leq y \leq b$;对于焦点在$y$轴上的椭圆$\frac{y^2}{a^2} +\frac{x^2}{b^2} = 1$,有$b \leq x \leq b$,$a \leq y \leq a$。

2、对称性椭圆关于$x$轴、$y$轴和原点对称。

3、顶点焦点在$x$轴上的椭圆的顶点坐标为$(\pm a, 0)$,$(0, \pm b)$;焦点在$y$轴上的椭圆的顶点坐标为$(0, \pm a)$,$(\pm b, 0)$。

4、离心率椭圆的离心率$e =\frac{c}{a}$($0 < e < 1$),它反映了椭圆的扁平程度。

$e$越接近$0$,椭圆越接近于圆;$e$越接近$1$,椭圆越扁。

5、准线焦点在$x$轴上的椭圆的准线方程为$x =\pm \frac{a^2}{c}$;焦点在$y$轴上的椭圆的准线方程为$y =\pm \frac{a^2}{c}$。

体验椭圆定义在解题中的应用

体验椭圆定义在解题中的应用

来 创设物理情境 。如《 滑轮 》 ~ 节, 可让学 《 蒸 发》 一节 , 研 究影响蒸 发快慢 的因素 ,
生先看图 , 再思考 。
二、 问题
可 引导学生利 用控 制变量 的方法设 计三 个 小实验 : 1 .在 手背上 滴两 滴相等 的水
Hale Waihona Puke 把一 滴涂 开, 看哪个干得快?2 . 在桌子 从物 理情境 中提 出本节 课要研 究 的 滴,
I AO X U EW


E N C U I 懿 圈
●—■ —— ●一
注重实验教学
关键词 : 物理 实验 情境
三、 猜想 物理是 以实验为基础 的学科 , 通过 实 养学生 的观察 能力和 实际 动手操作 的能 不 能轻视 实验教学 , 为此 , 我 设计 了实验 教学七环节 教学法。
等有关 。本环节可激 发学 生热情 , 培养学 能 力。
生 直 觉 思 维 能 力。
六、 运 用

情 境
情境是教学准备阶段 , 教师可通过列 举 生产 、 生活 中的实际 事例 , 展 示实物、 模
四、 探索 在猜想结论 的基础上 , 引导学生设计
即根据 得到 的结论 , 联 系实际 , 举例
{ I 1 + 1 } = 2 a , F 2 1 = 2 c , 。> 0 , c> O } ,
当 o> c时 , 集合 P表 示以 ^, 为焦 点的
c 1 + l = 2 C l l r . . 1 B C I + I B A I = 4 .
根 据椭 圆的定义 易知 ,点 B在椭 圆
I 踊 I + I 2 a = 2 0 ,

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例谈椭圆定义在解题中的应用(精)

例谈椭圆定义在解题中的应用(精)

例谈椭圆定义在解题中的应用 WORD文档使用说明:例谈椭圆定义在解题中的应用来源于本WOED文件是采用在线转换功能下载而来,因此在排版和显示效果方面可能不能满足您的应用需求。

如果需要查看原版WOED文件,请访问这里例谈椭圆定义在解题中的应用文件原版地址:/cffe7448c0423d72460628d8.pdf例谈椭圆定义在解题中的应用|PDF转换成WROD_PDF阅读器下载例谈椭圆定义在解题中的应用聂文喜定义是揭示事物的本质属性,对于某些数学问题,若能灵活运用定义解题,往往事半功倍,本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。

一. 解方程例 1.x 2 ? 2x + 2 + x 2 + 2x + 2 = 4分析:常规方法是经过两次平方去根号求解,但运算繁杂,难免不出错。

如果联想到椭圆的第一定义,将方程配方后令1 = y2 ,得 ( x ? 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 = 4 ,则点 M(x,y)的轨迹是以 F1(-1,0) 2(1,0)为焦点,长轴长为 4 的椭圆,从而原方程的解等价于已知,F 椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。

解:由原方程可得?y 2 = 1 ? ? ? ( x ? 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 = 4 ? ? x2 y2 =1 ? + ?? 4 3 ?y 2 = 1 ?解得x = ±2 6 3二. 判断方程表示的曲线例 2. 已知 x、y ∈ R ,且满足x 2 ? 4 x + 4 + y 2 = 样的曲线。

分析:若将原方程平方,化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线,注意式子结构的特点,左边可看成点 M 到点(2,0)的距离,从而可联想右边可化为点 M 到直线 x + y ? 2 = 0 的距1 | x + y ? 2| ,试判断点 M 的轨迹是怎 2( x ? 2) 2 + y 2 2 离,即有 = ,由此联想到椭圆的第二定义,就很简单地求出点 M 的轨迹是 | x + y ? 2| 2 2 椭圆。

高中数学椭圆秒杀技巧

高中数学椭圆秒杀技巧

高中数学椭圆秒杀技巧
椭圆是平面几何中的重要概念,也是高中数学中常见的几何图形之一。

在学习
椭圆的过程中,很多同学可能会觉得难以掌握,但实际上只要掌握一些技巧,就能轻松秒杀椭圆相关问题。

本文将介绍几个高中数学中秒杀椭圆题目的技巧。

技巧一:理解椭圆的定义
在学习椭圆之前,首先要对椭圆的定义有一个清晰的认识。

椭圆是平面上到两
个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这个定义看起来有点抽象,但理解了这个定义之后,我们就能更好地解决与椭圆相关的问题。

技巧二:熟练掌握椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是一个常见的形式,即$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} =
1$。

掌握这个标准方程可以帮助我们快速识别椭圆,并在解题过程中更加得心应手。

技巧三:利用对称性简化问题
椭圆具有很强的对称性,可以利用这一特点简化问题。

分析题目中给出的条件,找到椭圆的对称轴和对称中心,可以帮助我们更快地找到解题思路。

技巧四:化简方程,消减未知数
有些椭圆相关的问题可能会涉及复杂的方程式,我们可以通过一系列化简操作,将方程转化为更简单的形式。

在这个过程中,适当的代换和方程变换是非常有帮助的。

技巧五:灵活运用性质和定理
掌握椭圆的相关性质和定理是解题过程中的利器。

比如椭圆的离心率性质、焦
点定理等,都可以帮助我们更好地理解题目和解题。

通过掌握上述技巧,我们就能更好地应对高中数学中关于椭圆的问题,轻松秒
杀各种椭圆相关题目。

希望同学们能够在练习中不断提升解题能力,取得更好的成绩!。

例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系

例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系

例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系摘要:在教学体制改革的背景下,高中数学教学面临一些新变。

传统教学方法逐渐落后于时代发展的潮流,教师需要更新教学模式,创新教学体系。

解析几何是高中数学的重要组成部分,在探讨解析几何的求解范围时,经常要分析不等关系。

本文将具体探讨解析几何中求解范围问题的特点,以及解析几何中求解范围问题的常用不等关系,希望能为相关人士提供一些参考。

关键词:解析几何;求解范围;不等关系引言:高中学生面临一定的升学压力,每个学生都设定了升学目标,希望在高考中乘风破浪,成功考入自己的理想学校。

教师是学生的引导者,担任着为学生传道受业解惑的重要任务,只有发挥教师的引导作用,才能促进学生健康成长。

数学成绩直接关系着学生升学目标的实现,数学教师需要提升学生的学习能力,让学生掌握高效的数学学习技巧。

解析几何求解范围问题是高中数学的常见考点,教师应该将着眼点放在此处,攻克解析几何难点问题,帮助学生形成解题思路。

1解析几何中求解范围问题的特点1.1知识抽象性强与其他类型的数学知识相比,解析几何中求解范围问题更加抽象。

将数学公式、数学概念和数学模型问题与解析几何中求解范围问题进行对比分析,可以发现数学公式、概念模型问题等采用了形象通俗的语言表达方式,而解析几何中求解范围问题采用了抽象高深的语言表达方式[1]。

学生的认知能力有限,对抽象知识点的吸收能力比较弱,对具象知识点的吸收能力比较强,在面对抽象知识点时,学生难免会出现畏难情绪。

1.2逻辑要求性高学生之所以会在数学学习过程中遇到阻碍,是因为高中数学思维方式非常难把握。

解析几何中求解范围问题的知识体系非常庞杂,仅仅依靠一种思维模式很难解答数学问题。

在传统教学过程中,教师习惯对类型题目进行划分,对题目进行优化分解,看题目是否能够套用公式。

这种思维定式的解题方法明显不适用于高中数学,解析几何中求解范围问题对学生的逻辑能力提出考验。

在面对抽象化的数学语言时,学生很难对已知信息进行转换,致使解题效率较低,做题失误不断。

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