最小二乘问题
最小二乘法的用法举例
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
在许多领域，如线性回归分析、曲线拟合、机器学习、信号处理、控制系统、金融预测和经济建模等，最小二乘法都得到了广泛的应用。
以下是一些最小二乘法的用法举例：1. 线性回归分析线性回归分析是一种统计学方法，用于研究因变量和自变量之间的关系。
最小二乘法可以用于估计线性回归模型的参数，使得预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
2. 曲线拟合曲线拟合是一种数学方法，用于将一组数据拟合到一个特定的函数模型中。
最小二乘法可以用于估计模型的参数，使得模型预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
3. 机器学习机器学习是一种人工智能技术，用于让计算机从数据中学习并自动改进其性能。
最小二乘法可以用于训练机器学习模型，例如线性回归模型、逻辑回归模型和支持向量机等。
4. 信号处理信号处理是一种技术，用于对信号进行变换、分析和合成。
最小二乘法可以用于估计信号的参数，例如频率、幅度和相位等，使得信号的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
5. 控制系统控制系统是一种技术，用于控制系统的行为并使其达到预期的性能指标。
最小二乘法可以用于估计控制系统的参数，例如传递函数和状态空间模型等，使得控制系统的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
6. 金融预测金融预测是一种技术，用于预测金融市场的走势和未来趋势。
最小二乘法可以用于估计金融模型的参数，例如ARIMA模型和神经网络模型等，使得模型的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
7. 经济建模经济建模是一种技术，用于建立经济系统的数学模型并对其进行仿真和分析。
最小二乘法可以用于估计经济模型的参数，例如生产函数和需求函数等，使得模型的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
最小二乘法的十大经典假定
最小二乘法的十大经典假定最小二乘法是一种经典的回归分析方法，用于估计自变量和因变量之间的关系。
在使用最小二乘法进行分析时，有一些经典的假定必须满足。
本文将介绍最小二乘法的十大经典假定，以帮助读者更好地理解这一方法。
第一，线性关系。
最小二乘法适用于自变量和因变量之间的线性关系。
如果两个变量之间的关系不是线性的，则不能使用最小二乘法进行分析。
第二，严格外生性。
最小二乘法假定自变量与误差之间没有关联，也就是说，误差是完全随机的。
如果误差与自变量存在相关性，则不能使用最小二乘法进行分析。
第三，常数方差。
最小二乘法假定误差的方差是常数，也就是说，误差在自变量水平上的方差相同。
如果误差的方差存在明显的变化，则不能使用最小二乘法进行分析。
第四，正态分布。
最小二乘法假定误差服从正态分布。
如果误差不满足正态分布假定，则可能需要使用其他分析方法。
第五，同方差性。
最小二乘法假定误差的方差相等。
如果误差的方差在不同的自变量水平上有明显的不同，则不能使用最小二乘法进行分析。
第六，无多重共线性。
最小二乘法假定自变量之间不存在完全共线性或高度相关性。
如果自变量之间存在共线性，则不能使用最小二乘法进行分析。
第七，大样本。
最小二乘法假定样本大小足够大。
如果样本过小，则可能不适合使用最小二乘法进行分析。
第八，无样本选择偏差。
最小二乘法假定样本是从总体中随机抽取的。
如果样本选择存在偏差，则可能不适合使用最小二乘法进行分析。
第九，独立性。
最小二乘法假定每个观测值都是独立的。
如果存在某些观测值之间的相关性，则可能不适合使用最小二乘法进行分析。
第十，正确的功能形式。
最小二乘法假定所采用的模型是正确的，即自变量的函数形式和因变量之间的函数关系被正确地描述。
如果所采用的模型不正确，则不适合使用最小二乘法进行分析。
综上所述，最小二乘法的十大经典假定是线性关系、严格外生性、常数方差、正态分布、同方差性、无多重共线性、大样本、无样本选择偏差、独立性和正确的功能形式。
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
最小二乘法估计
机器学习领域应用
线性回归模型
在机器学习中，最小二乘法是线性回归模型的核心算法之一。通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，可以 训练出预测精度较高的线性回归模型。
特征选择
最小二乘法也可以用于特征选择，通过计算特征的系数大小，可以判断哪些特征对模型的预测结果影响较大，从 而进行特征筛选和优化。
06 最小二乘法的未来发展与 研究方向
用于研究社会现象和人类行为 ，如市场调查、人口统计等。
最小二乘法的历史与发展
历史
最小二乘法最早由法国数学家勒让德 于1805年提出，并广泛应用于天文、 物理和工程领域。
发展
随着计算机技术的进步，最小二乘法 在数据处理和统计分析方面得到了广 泛应用和改进，出现了多种扩展和变 种，如加权最小二乘法、广义最小二 乘法等。
加权最小二乘法（WLS）
总结词
详细描述
加权最小二乘法是一种改进的线性回 归分析方法，通过给不同观测值赋予 不同的权重来调整误差的平方和。
加权最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）是对普通最小二乘法 的改进，通过给不同观测值赋予不同 的权重来调整误差的平方和。这种方 法适用于存在异方差性的数据，即误 差项的方差不恒定的情况。通过合理 地设置权重，WLS能够更好地拟合数 据并提高估计的准确性。
广泛的应用领域
最小二乘法适用于多种统计模型 和回归分析，是线性回归分析中 最常用的方法之一。
缺点
假设限制
01
最小二乘法要求数据满足线性关系和误差项独立同分布等假设，
这些假设在实际应用中可能难以满足。
对异常值敏感
02
虽然最小二乘法相对稳健，但仍然容易受到异常值的影响，可
能导致估计结果偏离真实值。
最小二乘法的计算公式
最小二乘法的计算公式在以下的推导过程中，我们假设有一个线性模型，形式为:Y=Xβ+ε其中，Y是一个n维观测向量，表示观测到的因变量；X是n×m维的设计矩阵，每行代表一个观测点，每列代表一个自变量；β是一个m维参数向量，表示模型中的未知参数；ε是观测误差向量，假设服从均值为0，方差为σ^2的多元正态分布（ε~N(0,σ^2I)）。
e=Y-Xβ残差平方和SSE可以由残差向量的范数的平方表示:SSE=e^Te=(Y-Xβ)^T(Y-Xβ)要找到参数向量β的最优估计，我们需要求解以下正规方程（normal equation）:X^TXβ=X^TY正规方程的解可以通过求逆或者矩阵分解等方式得到。
当X^TX可逆时，正规方程的解为:β=(X^TX)^(-1)X^TY其中，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆运算。
X=UΣV^T其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
我们可以利用这个分解来求解正规方程:β=(X^TX)^(-1)X^TY=(VΣ^TU^TUΣV^T)^(-1)VΣ^TU^TY=VΣ^(-1)U^TY在实际计算中，我们通常通过计算设计矩阵X的奇异值分解来求解最小二乘问题，这样可以克服矩阵X不可逆的问题。
除了最小二乘估计的公式和计算方法之外，我们还可以通过方差-协方差矩阵来度量参数估计的精确程度。
方差-协方差矩阵的估计公式为：Var(β) = σ^2(X^TX)^(-1)其中，Var(β)是参数向量β的方差-协方差矩阵，σ^2是误差项ε的方差。
最小二乘法在统计学和数据分析中有着广泛的应用，它不仅适用于线性模型，还可以推广到非线性模型，并且可以通过引入响应变量的变换来解决非常数方差和非正态分布误差的问题。
此外，最小二乘法还可以用于解决多元回归、多项式拟合等问题。
总结起来，最小二乘法是一种重要的数据拟合方法，通过最小化观测值与预测值之间的差异（残差平方和），可以得到线性模型中参数的最佳估计值。
最小二乘问题公式(一)
最小二乘问题公式(一)最小二乘问题公式1. 最小二乘问题简介最小二乘问题是一种统计学和数学中常见的优化问题。
它的目标是求解一个线性模型，使得模型中的实际观测值与模型预测值之间的残差的平方和最小。
2. 最小二乘问题公式最小二乘问题的公式可以表示为：∥Ax−b∥2minx其中，A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。
3. 相关公式下面列举一些与最小二乘问题相关的公式：正规方程最小二乘问题的解可以通过使用正规方程求解：x=(A T A)−1A T b这里，A T表示A的转置，A−1表示A的逆矩阵。
最小二乘解的闭式解对于线性模型 Ax =b ，当 A T A 是满秩矩阵时，最小二乘问题的解存在唯一的闭式解。
QR 分解法除了使用正规方程，还可以使用QR 分解法求解最小二乘问题。
使用QR 分解可以将最小二乘问题转化为一个更容易求解的等价问题。
广义逆矩阵最小二乘问题的解可以通过求解广义逆矩阵的方式得到：x =A †b这里，A † 是矩阵 A 的广义逆矩阵。
4. 示例解释假设有一组观测数据，其中 m =5 表示观测样本数量，n =2 表示模型参数数量。
我们可以将这些观测数据表示为矩阵 A 和列向量 b 。
通过求解最小二乘问题，可以得到模型的最优参数估计。
假设观测数据的矩阵表示为：A =[ 12345678910]观测数据的目标值列向量表示为：b=[3 7 11 15 19]根据最小二乘问题的公式，我们可以求解最优参数估计：x=(A T A)−1A T b带入具体数值计算后，得到最优参数估计为：x=[11]这表示线性模型的最优参数为x1=1和x2=1。
5. 总结最小二乘问题是一种常见的优化问题，用于求解线性模型的最优参数估计。
通过求解最小二乘问题的公式，可以得到模型的最优参数估计。
正规方程、闭式解、QR分解法和广义逆矩阵都是常用的求解最小二乘问题的方法。
最小二乘拟合算法
最小二乘拟合算法最小二乘定义一般情况下，最小二乘问题求的是使某一函数局部最小的向量 x，函数具有平方和的形式，求解可能需要满足一定的约束：信赖域反射最小二乘要理解信赖域优化方法，请考虑无约束最小化问题，最小化 f(x)，该函数接受向量参数并返回标量。
假设您现在位于 n 维空间中的点 x 处，并且您要寻求改进，即移至函数值较低的点。
基本思路是用较简单的函数 q 来逼近 f，该函数需能充分反映函数 f 在点 x 的邻域 N 中的行为。
此邻域是信赖域。
试探步 s 是通过在 N 上进行最小化（或近似最小化）来计算的。
以下是信赖域子问题如果f(x + s) < f(x)，当前点更新为 x + s；否则，当前点保持不变，信赖域 N 缩小，算法再次计算试探步。
在定义特定信赖域方法以最小化 f(x) 的过程中，关键问题是如何选择和计算逼近 q（在当前点 x 上定义）、如何选择和修改信赖域 N，以及如何准确求解信赖域子问题。
在标准信赖域方法中，二次逼近 q 由 F 在 x 处的泰勒逼近的前两项定义；邻域 N 通常是球形或椭圆形。
以数学语言表述，信赖域子问题通常写作公式2其中，g 是 f 在当前点 x 处的梯度，H 是 Hessian 矩阵（二阶导数的对称矩阵），D 是对角缩放矩阵，Δ是正标量，∥ . ∥是 2-范数。
此类算法通常涉及计算 H 的所有特征值，并将牛顿法应用于以下久期方程它们要耗费与 H 的几个分解成比例的时间，因此，对于信赖域问题，需要采取另一种方法。
Optimization Toolbox 求解器采用的逼近方法是将信赖域子问题限制在二维子空间 S 内。
一旦计算出子空间 S，即使需要完整的特征值/特征向量信息，求解的工作量也不大（因为在子空间中，问题只是二维的）。
现在的主要工作已转移到子空间的确定上。
二维子空间 S 是借助下述预条件共轭梯度法确定的。
求解器将 S 定义为由 s1 和 s2 确定的线性空间，其中 s1 是梯度 g 的方向，s2 是近似牛顿方向，即下式的解或是负曲率的方向，以此种方式选择 S 背后的理念是强制全局收敛（通过最陡下降方向或负曲率方向）并实现快速局部收敛（通过牛顿步，如果它存在）。
最小二乘法名词解释
最小二乘法名词解释
最小二乘法：最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化方法，它可以解决线性回归和最优化问题。
它的主要思想是针对模型参数和模型函数值之间的误差平方和最小化。
也就是说，最小二乘法的目标是找到使得模型参数和模型函数值之间误差的平方和最小的一组参数，从而使得模型更加合理和有效。
最小二乘法一般用于估计因变量与自变量之间的线性关系，最小二乘法也可以用于非线性拟合，在此情况下，非线性拟合可以被转换成线性问题。
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证明 : 设有x, y Rn , 且x y, 则 2 2 r ( y ) b Ay (b Ax ) ( Ax Ay )
r ( x ) ( Ax Ay ) 2 r ( x ) 2( r ( x ), Ax Ay ) ( Ax Ay )
2 2
7
数值分析
数值分析
第二节 矩阵的广义逆
若A R nn可 逆, 则 存 在 逆 阵 1 , 且 有 A AA1 A A, A1 AA1 A1 , ( AA1 )T AA1 , ( A1 A)T A1 A Ax b的 解x A1b.
若A R nn不 可 逆 ， 或 R mn， A 是否有类似的性质
Y ( y0 , y1 ,, ym )
T
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( , ) ( , ) 1 1 1 0 G ( n , 0 ) ( n , 1 ) F ( 0 , Y ) ( 1 , Y )
2
( 0 , n ) ( 1 , n ) ( n , n ) ( n , Y )
i 0
(1)
等价于 AT AC ATY
1
或
GC F
数值分析
数值分析
0 ( x0 ) 1 ( x0 ) (x ) (x ) 1 1 其中 A (0 , 1 ,..., n ) 0 1 0 ( xm ) 1 ( xm )
n ( x0 ) n ( x1 ) n ( xm )
1 B 1 0
1 0 1 1 0 2 0 T B B 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 / 2 0 1 1 0 1 / 2 1 / 2 T 1 T B ( B B) B 0 0 1 0 1 0 0
4 A R mn是行满秩矩阵（m n, r ( A) m）则 ,
T A＝A（AAT）1 ,且AA I m (但一般不成立A A I n );
数值分析
A为行满秩时，称A为A的“右逆”。 2 3 6 1 例 已知A , 求A的广义逆A。 1 2 1 2 解：A是行满秩的矩阵，可求它的右逆
数值分析
例 如: 1 0 1 A B , 0 0 0 1 1 AB , ( AB ) 0 0 1 0 B A 0 0 ( AB ) B A
1 , 1 1 1 0 2 1 0
A +的简单性质
1 当A Rnn是可逆阵时,A + A -1; 2 2 2 ( A A) A A, ( AA ) AA ,
9
( A ) A;
数值分析
数值分析
3 A R mn是列满秩矩阵（m n, r ( A) n） ,
则A＝（AT A）1 AT ,且A A I n (但一般不成立AA I m )
数值分析
注: T T (1)法 方 程 Ax A b的 解 一 般 不 唯 一 A . ( 2)当A为 列 满 秩 时法 方 程 T Ax AT b存 在 唯 一 解 , A . 对 应 的 矛 盾 方 程 组 b存 在 唯 一 的 最 小 二 Ax 乘 解 称 为 满 秩 的 最 小 二 乘 题. 问 ( 3)当r ( A) n时, 称 为 亏 秩 的 最 小 二 乘 题, 解 不 问 唯 一.
a12 ba12
-1 2 1 例:设A= -1 2 1 ,试用A的满秩分解求广义逆A +。 0 3 2
1 1 解 : r ( A) 2, A 0
18
0 1 0 0 1
2 3
1 BC 2
数值分析
T
( RT QT QR)1 RT QT ( RT R)1 RT QT (R R ) R Q R Q
T T 1 T T
对于列正交的矩阵Q R
15
m n
，有Q Q 。
数值分析
数值分析
定理 3 设A R mn , 秩r ( A) 0, 则必有列 mr r n 满秩矩阵B R 和行满秩矩阵C R , 使A BC 称为矩阵A的满秩分解（简称秩分解）。 I r 0 I r 0 I r 证 : PAQ , 0 0 0 I r 0 0 0
2
b Ax
2
min 的解.
1 1 0 1 1 x1 1 为矛盾方程组. 例: x 1 2 2 0
4
数值分析
数值分析
定理1 : x R n是矛盾方程组Ax b的最小二乘解的 充分必要条件是 : x是方程组AT Ax AT b的解.
即 存 在x R n , 使( r ( x ), A x Ay ) 0, y R n 存 在x R n , 使AT A x AT b 证毕
AT Ax AT b称为最小二乘问题的法 方程. 求x使 b Ax
6
2
min 求x使A Ax A b
T T
数值分析
(2) A BC T T 1 T 1 T A C B C (CC ) ( B B) B
17
数值分析
数值分析
a11 (3)r ( A) 1, A a21 1 a11 a12 b
a12 a11 ba a22 11
2
如 果 存 在 Rn , 对 任 意 Rn , 使 x y ( r ( x ), A x Ay ) 0 则 有 r ( x ) r ( y ) , y R n 即 x是 矛 盾 方 程 组 b的 最 小 二 乘 解 Ax .
5
2
2
数值分析
数值分析
对x Rn , (r ( x ), Ax Ay ) 0, y Rn ( x y )T AT r ( x ) 0, y Rn AT r ( x ) 0 r ( x ) N ( AT ) AT (b Ax ) 0 AT Ax AT b
1 C 0 2 3 1 1 T , CC 0 2 2 3 1 1 2 2 1
数值分析
0 0 , 1
1 0 2 3 1 13 T T 1 C C (CC ) 14 8 1 2 13 13 16 1 A C B 2 2 4 28 3 3 8 19
A为列满秩时，称A为A的“左逆”；
1 1 例 已知A 1 1 , 求A的广义逆A。 1 1 解：A是列满秩的矩阵，可以求它的左逆 14 A ( A A) A 8 -4
T 1 T
10
2 2
2 2
数值分析
验算有A A I 2 , 但AA I 3。
T 1 T
14
数值分析
数值分析
例 若A Rmn是列满秩矩阵，则已知A有正交分解 m n n n A QR, 其中Q R 是列正交矩阵,R R 是可逆的上三角阵。试用Q和R表示A。
解：A是列满秩矩阵时，其广义逆为左逆，
A ( A A) A
T 1 T
1
Ir A P 0 BC
1
0 1 1 I r Q P 0 I r 0
1
0Q 1
其中
16
BP
Ir 0 ,
C I r
0Q
1
数值分析
数值分析
注（1）满秩分解不唯一
1 0 如矩阵A , 秩r ( A) 1, 1 0 1 0 1 显然 0 1 1， 是A的一个满秩分解， 1 0 1 0 2 1 0 1 0 ， 也是A的一个满秩分解。 2 2
但是,当A列满秩 B行满秩时有( AB) B A , ,
13
数值分析
数值分析
例 如: 1 A , B 1 1, 0 1 1 1 1 0 AB ( AB ) , 2 1 0 0 0 1 1 T T 1 B B ( BB ) , 2 1 1 1 0 A ( A A) A 1 0, B A 2 1 0 ( AB ) B A
8
数值分析
数值分析
定义 设 A R mn，若存 n m矩阵 X R nm
满足以下四个条件（也称为Penrose条件）:
1 AXA A; T 3（AX） AX( XA)T XA
则称X 是矩阵A的广义逆，又称为Penrose-Moore 广义逆，并记为A（也称为加号逆，或为伪逆）。
11
1 9 2 18 1 T T 1 A A ( AA ) 76 11 23 4 8 1 0 验算有AA I 2 , 但A A I 4。 0 1
数值分析
数值分析
定理 2 设矩阵A R
m n
有奇异值分解
0 T AU r V 0 0 则A存在唯一的广义逆是 1 A V r 0 0 T U 0
推论: A+=(ATA) + AT=AT(AAT) +
一般说来 AB) B A , A A AA I (
12
数值分析
T
数值分析
数值分析
若求s(x)= cii ( x )，使s( xi ) yi , i 0,1, ..., m