人教版高中数学必修二检测：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元质量评估(二) word版含解析
单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.(2016·蚌埠高二检测)已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系是( )A.b⊂平面αB.b⊥平面αC.b∥平面αD.b与平面α相交，或b∥平面α【解析】选D.直线a显然不可能在平面α内，平行与相交都有可能，故选D.2.下列叙述中，正确的是( )A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形必是平面图形【解析】选 D.A中四边形可以是空间四边形；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点；C 中若三条直线有一个公共点，可得三条直线不一定在一个平面内，故A，B，C不正确，D正确.3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【解题指南】根据线、面垂直的定义判断.【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,所以n⊥l.4.(2016·银川高一检测)空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选D.取AC中点E，连接BE，DE，因为AB=AD=AC=CB=CD=BD，所以AC垂直于BE，也垂直于DE，所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是( )A.C1D1⊥B1CB.BD1⊥ACC.BD1∥B1CD.∠ACB1=60°【解析】选C.因为C1D1⊥平面B1C，B1C⊂平面B1C，所以C1D1⊥B1C，所以A选项正确；由于AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，B选项正确；因为三角形AB1C为等边三角形，所以∠ACB1=60°，即D选项正确.由于BD1与B1C是异面直线，所以C错.6.(2016·鞍山高一检测)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A.若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB.若l∥α，α∥β，则l⊂βC.若l⊥α，α∥β，则l⊥βD.若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】选C.若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A不正确；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B不正确；若l⊥α，α∥β，则l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β，故D不正确.7.(2016·衡水高二检测)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1⊥平面CBA1，其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选D.①因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，因为BC=AC，所以B1C1=A1C1，又因为M为A1B1的中点，所以C1M⊥A1B1，因为平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1，所以C1M⊥平面ABB1A1，故①正确；②由①知，C1M⊥A1B，又因为AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以A1B⊥AM，因为M，N分别是A1B1，AB的中点，所以ANB1M是平行四边形，所以AM∥NB1，因为A1B ⊥AM，所以A1B⊥NB1，故②正确；③由②知A1B⊥平面AMC1，又因为A1B⊂平面CBA1，所以平面AMC1⊥平面CBA1，故③正确，综上所述，正确结论的个数为3.8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是( )A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等【解析】选D.A.由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，不符合题意；B.EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD 无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，不符合题意；C.三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不符合题意；D.由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的.9.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°【解析】选D.由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；连接AC，易证BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可证AC1⊥B1C，因为BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；对于选项D，因为BC∥AD，所以∠B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45°，故D错.10.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.因为AC=，其余各棱长均为1，故AB⊥BC，AD⊥DC，取CD，AC的中点分别为E，F，连接EF，BF，BE，则EF∥AD，所以EF⊥CD.且EF=AD=，BF=AC=，BE⊥CD，且BE=，所以∠FEB为二面角A-CD-B的平面角，在△BEF中，BE2=BF2+EF2，所以△BEF为直角三角形，所以cos∠FEB===.11.(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选A.如图所示:因为α∥平面CB1D1,所以若设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,则m1∥m.又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,结合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1=,即sin∠CD1B1=.12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别为A1B，B1C1的中点.下列结论中正确的个数有( )①直线MN与A1C相交.②MN⊥BC.③MN∥平面ACC1A1.④三棱锥N-A1BC的体积为=a3.A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选B.由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边BC中点E，连ME，NE，则ME∥A1C，NE∥C1C，故平面MNE∥平面ACC1A1，故MN∥平面ACC1A1，所以直线MN与A1C相交错误，故③正确，①错误.因为三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面，故BC⊥平面MNE，所以MN⊥BC，②正确.==×a××a×a=a3，故④正确.所以②③④正确.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点.给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线DD1异面；③直线AM与直线BN平行；④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为________(填入所有正确结论的序号).【解析】由异面直线判定定理知：①直线AM与直线CC1异面；②直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平行(E为DD1的中点)，所以③直线AM与直线BN异面.答案：②④14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________.【解析】由题意知：PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE=P，所以DE⊥面PAE，所以DE⊥AE.易证△ABE∽△ECD.设BE=x，则=，即=.所以x2-ax+9=0，由Δ>0，解得a>6.答案：a>615.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，点M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可).【解题指南】可以证明BD⊥PC，因此只需确定M的位置，使BM⊥PC即可.(DM⊥PC也可).【解析】因为四边形ABCD的边长相等，所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.若PC⊥平面BMD，即PC垂直于平面BMD中两条相交直线，所以当BM⊥PC时，PC⊥平面BMD，所以平面PCD⊥平面BMD.答案：BM⊥PC(其他合理即可)16.(2016·成都高二检测)如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE；③V B-ACE的体积是a2；④平面ABC⊥平面ADC；⑤直线EA与平面ADB所成角为30°.其中正确的有________.(填写你认为正确的序号)【解析】由题意，AB=BC，AE=a，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a，①由于BC∥DE，所以∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角.因为AB=a，BC=a，AC=a，所以BC⊥AC，所以tan ∠ABC=，故①正确；②由图象可知AB与CE是异面直线，故②错误.③V B-ACE的体积是S△BCE×AD=×a3=a3，故③错误；④因为AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，所以AD⊥BC，因为BC⊥CD，AD∩CD=D，所以BC⊥平面ADC，因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故④正确；⑤连接CE交BD于F，则EF⊥BD，因为平面ABD⊥平面BDE，所以EF⊥平面ABD，连接AF，则∠AFE为直线AE与平面ABD所成角，在△AFE中，EF=a，AE=a，所以sin∠EAF==，则∠EAF=30°，故⑤正确.答案：①④⑤三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面.(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.【证明】(1)连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF∥B1D1，又因为B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF与BD共面，所以E，F，B，D四点共面.(2)因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，因为A1C∩平面DBFE=R，所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，所以P，Q，R三点共线.18.(12分)(2016·菏泽高一检测)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点.(1)求证：OE∥平面BCC1B1.(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.【解析】(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.19.(12分)如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG.(1)求证：EC⊥CD.(2)求证：AG∥平面BDE.【证明】(1)由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，所以EC⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，故EC⊥CD.(2)在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连接DM，则由已知知，MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD=BC，所以MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，所以AG∥DM，因为DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，所以AG∥平面BDE.20.(12分)(2016·泰安高一检测)如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC.(1)求证：平面AEF⊥平面PBC.(2)求二面角P-BC-A的大小.【解题指南】(1)要证平面AEF⊥平面PBC，可通过证明AE⊥平面PBC得出，而要证AE⊥平面PBC，已有AE⊥PB，则证出BC⊥AE即可，后者利用BC⊥平面PAB可以证出.(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，易知为45°.【解析】(1)因为PA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB与PA相交于点A，所以BC⊥平面PAB，又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB与BC相交于点B，所以AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC.(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BC，又AB⊥BC，所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，在Rt△PAB中，因为PA=AB，所以∠PBA=45°，即二面角P-BC-A的大小为45°.21.(12分)(2016·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC.(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.【解析】(1)因为PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,所以DC⊥平面PAC.(2)因为AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(3)取PB中点F.连接CE,EF,CF.因为E为AB中点,所以PA∥EF.又因为PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,所以PA∥平面CEF.因此,当F为PB中点时,PA∥平面CEF.22.(12分)如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC= ∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论.(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.【解析】(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下：取AB的中点F，连接DP，PF，EF，则FP∥AC，FP=AC，取AC的中点M，连接EM，EC，因为AE=AC且∠EAC=60°，所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC.所以四边形EMCD为矩形，所以ED=MC=AC.又因为ED∥AC，所以ED∥FP且ED=FP，所以四边形EFPD是平行四边形，所以DP∥EF，而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，所以DP∥平面EAB.(2)过C作CG∥AB，过B作BG∥AC，CG∩BG=G，连接GD.因为ED∥AC，所以ED∥BG，所以B，E，D，G四点共面，所以平面EBD与平面ABC相交于BG，因为CD⊥AC，平面ACDE⊥平面ABGC，所以CD⊥平面ABGC，又因为BG⊂平面ABGC，所以BG⊥CD，又BG⊥GC，CD∩GC=C，所以BG⊥平面CDG，所以BG⊥DG，所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ，设AB=AC=AE=a，则GC=AB=a，DC=EM=a，所以GD==a，所以cosθ=cos∠DGC==.。
2019_2020学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元质量测评(含解析)新人教A版必修2
第二章单元质量测评对应学生用书P53 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如图所示，图中点、线、面的位置关系用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n答案 A解析点、线、面的位置关系，点与线和面的关系用∈，∉，线与平面的关系用⊂，⊄，所以题图中点、线、面的位置关系表示为“α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A”，故选A．2．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EG与FH的位置关系是( ) A．异面 B．平行 C．相交 D．重合答案 C解析 如图所示，连接BD ，EF ，FG ，GH ，HE ，EG ，HF ，由E ，F ，G ，H 是空间四边形ABCD 四边的中点，有EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，∴EH 綊FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，EG 与FH 是对角线，故选C ．3．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与l ，α都成30°角的直线有且只有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 B解析 如图，和α成30°角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在的直线，当BC 与l 平行时，直线AC ，AB 都满足条件．故选B ．4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是( )A ．30° B．45° C ．60° D．90° 答案 D解析 如图，过点M 作ME∥DN 交CC 1于点E ，连接A 1E ，则∠A 1ME 为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ，则A 1M ＝32a ，ME ＝54a ，A 1E ＝414a ，所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2，所以∠A 1ME ＝90°，即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°． 5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面D．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线答案 C解析垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故D错误；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故C正确．6．从平面α外一点P引平面α的垂线PO和斜线PA，PB，已知PA＝8，PB＝5，且OA∶OB ＝4∶3，则点P到平面α的距离是( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析设OA＝4k，则OB＝3k．在Rt△POA中，PO2＝PA2－OA2＝64－16k2．在Rt△POB 中，PO2＝PB2－OB2＝25－3k2．所以64－16k2＝25－3k2，所以k2＝3，所以PO2＝16，PO＝4．7．在直三棱柱(侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ( )A．30° B．45° C．60° D．90°答案 C解析本题可借助正方体模型求解，如图，BA1与AC1所成的角即为BA1与BD1所成的角．在△A1BD1中，A1B＝A1D1＝BD1，所以BA1与BD1所成的角为60°．8．设三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AA1＝2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A．4π B．8π C．16π D．12π答案 D解析 由题意知，三棱柱的底面所在的截面圆的直径2r ＝22，则球的半径R ＝22＋12＝3，球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选D ．9．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为( )A ．12B ．13C ．33D ．23 答案 C解析 如图，取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接EF ，BF ，BE ． ∵AC＝2，其余各棱长都为1， ∴BF⊥CD，AD⊥CD，∴EF⊥CD． ∴∠BFE 是二面角A －CD －B 的平面角． ∵EF＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2．∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝EF BF ＝33．10．已知正四棱柱(底面为正方形侧棱垂直底面)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A ．1010 B ．15 C ．31010 D ．35答案 C解析 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 连接A 1B ，过E 作EF⊥A 1B ，交A 1B 于F ． ∵A 1D 1綊AD 綊BC ，∴A 1D 1綊BC ， ∴四边形A 1BCD 1为平行四边形， ∴A 1B∥CD 1，∴∠A 1BE 是异面直线BE 与CD 1所成的角或其补角． 设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，则AE ＝A 1E ＝a ，∴BE＝2a ，A 1B ＝5a ， 在Rt△A 1AB 中，sin∠AA 1B ＝AB A 1B ＝a 5a ＝55， 在Rt △A 1EF 中，sin∠AA 1B ＝EF A 1E， ∴EF＝a·55＝55a ． ∴在Rt△BFE 中，cos∠A 1BE ＝BFBE＝2a2－⎝⎛⎭⎪⎫55a 22a＝31010．11．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )答案 A解析解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ．同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ．故选A．解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A．12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA ＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是( )A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N－ADF的体积为3 7C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF D．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF答案 C解析连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF．由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错误；若在A1C1上存在点N，则V N－ADF＝V D－AFN，当N与C1重合时，V D－AFN取最小值为36，故B错误；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF．又∵AD⊥平面CB1，CM⊂平面CB1，∴AD⊥CM．∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF．∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确．过C1作C1G∥FA交AA1于点G．若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G．又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G．∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错误．综合选C．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．答案CD∥EF解析因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD．同理可证AB∥EF，所以CD∥EF．14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是________．(填“平行”“相交”或“异面”)答案相交解析连接A1D，PQ，B1C，∵点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，∴PQ∥B1C．在正方体中，易知B1C∥A1D，∴PQ∥A1D，∴A1，D，Q，P共面．又∵PQ≠A1D，∴四边形A1DQP是梯形，A1P 与DQ相交．15．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β．又∵④m⊥α，∴②α⊥β．即①③④⇒②．若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α，又∵④m⊥α，∴①m⊥n．即②③④⇒①．16．在如图所示的棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是________；截得的平面图形中，面积最大的值是________．答案2 3 3 3解析截得的三角形中，面积最大的是三角形A1C1B，面积为34×(22)2＝23．截得的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为6×34×(2)2＝33．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，D1M＝DN＝a(0<a<2)，连接MN．(1)证明：对任意a∈(0，2)，总有MN∥平面DCC1D1；(2)当a为何值时，MN的长度最小？解(1)证明：如图，作MP∥AD，交DD1于点P，作NQ∥BC，交DC于点Q，连接PQ．由题意得MP∥NQ，且MP＝NQ，则四边形MNQP为平行四边形．∴MN∥PQ．又∵PQ⊂平面DCC1D1，MN⊄平面DCC1D1，∴MN∥平面DCC1D1．(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形，∴MN＝PQ．∵DD1＝AD＝DC＝BC＝1，∴AD1＝BD＝2．∵D 1M ＝DN ＝a ，∴D 1P 1＝a 2，DQ 1＝a2．即D 1P ＝DQ ＝a 2， ∴MN＝PQ ＝1－D 1P2＋DQ 2＝1－a 22＋a 22＝a －222＋12(0<a<2)． 故当a ＝22时，MN 的长度有最小值，为22． 即当M ，N 分别移动到AD 1，BD 的中点时，MN 的长度最小，此时MN 的长度为22． 18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P －ABC 中，PA⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°．(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC⊥BM，并求PMMC 的值．解 (1)在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°， 过点B 作BN 垂直AC 于点N ，则 BN ＝AB·sin∠BAC＝1×sin60°＝32， ∴S △ABC ＝12AC·BN＝12×2×32＝32．又∵PA⊥平面ABC ，∴PA 是三棱锥P －ABC 的高．∴V P －ABC ＝13×1×32＝36．(2)证明：过N 作NM∥PA 交PC 于点M ，连接BM ． ∵PA⊥平面ABC ，∴MN⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ，∴MN⊥AC． 又MN∩BN＝N ，∴AC⊥平面BMN ． ∵BM ⊂平面BMN ，∴AC⊥BM． 此时M 即为所找的点． 在△ABN 中，易知AN ＝12AB ＝12，∴PM MC ＝AN CN ＝13．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为22的正方形，其他四个侧面都是腰长为5的等腰三角形，过棱PD 的中点E 作截面EFGH ，使截面E FGH∥平面PBC ，且截面EFGH 分别交棱PA ，AB ，CD 于点F ，G ，H ．(1)证明：EF∥GH；(2)求三棱锥F －ABD 的体积．解 (1)证明：∵平面EFGH∥平面PBC ，平面EFGH∩平面PCD ＝EH ，平面PBC∩平面PCD ＝PC ，∴EH∥PC．又E 是PD 的中点，∴H 是CD 的中点． 同理可证F ，G 分别是PA ，AB 的中点， ∴EF∥AD，GH∥AD，∴EF∥GH．(2)如图，连接AC ，设AC∩BD＝O ，连接PO ．∵底面ABCD 是边长为22的正方形，∴AC⊥BD，且AC ＝BD ＝4． ∵侧面为全等的等腰三角形，∴PO⊥AC，PO⊥BD． 又AC∩BD＝O ，∴PO⊥平面ABCD ． 在Rt△POA 中，PO ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1． 又F 为PA 的中点，∴V F －ABD ＝12V P －ABD ．又V P －ABD ＝13S △ABD ·PO＝13×12×(22)2×1＝43，∴V F －ABD ＝23．20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D⊥平面A 1BC ；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成角的正弦值．解(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE．由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE．因为AB＝AC，所以AE⊥BC．所以AE⊥平面A1BC．连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥BB1，且DE＝BB1，从而DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形AA1DE是平行四边形，所以A1D∥AE．因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．(2)如图，作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF．因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E．因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE．所以BC⊥A1F，所以平面AA1DE⊥BB1C1C，所以A1F⊥平面BB1C1C．所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成角的平面角．由AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，得EA＝EB＝2．又A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14．由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72．所以sin∠A1BF＝78．21．(本小题满分12分)△BCD内接于直角梯形A1A2A3D，若A1D＝5，A1A2＝4，沿△BCD三边分别将△A1BD，△A2BC，△A3CD翻折上去，恰使A1，A2，A3重合，重合后记为A．(1)求证：AB⊥CD；(2)求平面BCD与平面ACD所成二面角的正切值．解在题图中，由A1，A2，A3三点可重合知A1B＝A2B＝2，A1D＝A3D＝5，A2C＝A3C．作DF⊥A2A3于点F，则FA3＝3⇒A3C＝A2C＝4．(1)证明：折叠后的图形如图所示，∵AB⊥AD，AB⊥AC，AD∩AC＝A，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．(2)作AE⊥CD于点E，连接BE．∵AB⊥CD ，AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥BE，则∠AEB 为平面BCD 与平面ACD 所成二面角的平面角． 在△ACD 中，AE ＝DF·AC CD ＝161717，∵AB⊥平面ACD ，∴AB⊥AE， ∴tan∠AEB＝AB AE ＝178．22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ，且BC 1⊥A 1C ． (1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)点D 在边A 1C 1上且C 1D ＝13C 1A 1，证明在线段BB 1上存在点E ，使DE∥平面ABC 1，并求此时BEBB 1的值． 解 (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴四边形ACC 1A 1是矩形． ∵AA 1＝AC ，∴AC 1⊥A 1C ． 又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1， ∴A 1C⊥平面ABC 1． ∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1． (2)当BE BB 1＝13时，DE∥平面ABC 1，在A 1A 上取点F ，使AF AA 1＝13， 连接EF ，FD ．∵C 1D C 1A 1＝AF AA 1＝BE BB 1＝13，∴EF∥AB，DF∥AC 1．∵AB∩AC1＝A，EF∩DF＝F，∴平面EFD∥平面ABC1，∵DE⊂平面DEF，∴ED∥平面ABC1．。
(人教版,必修二)高中数学：第二章 点、直线、平面之间
2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础达标1．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α.②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对①②⑤，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在答案 B解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．(2014·淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．120°答案 C解析如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交答案 C解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C.5．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________． 答案 外心解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心．6．(2014·舟山高一检测)如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．答案 4 解析⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥BCAC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明 如图，连接AC ，所以AC ⊥BD . 又∵BD ⊥A 1A ，AC ∩AA 1＝A ， AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ， ∴BD ⊥平面A 1AC .∵A 1C ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥A 1C . 同理可证BC 1⊥A 1C .又∵BD ∩BC 1＝B ，BD ，BC 1⊂平面BC 1D ， ∴A 1C ⊥平面BC 1D . 二、能力提升8．(2014·青岛高一检测)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.265C.155D.105答案 D解析 如右图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1、B 1D 1，交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影． ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角． 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝1222＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5.∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________． 答案105解析 如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC1D 1于O ，连接AO .由已知正方体易知EO ⊥平面ABC 1D 1，所以∠EAO 为AE 与平面ABC 1D 1所成的角，设正方体棱长为1，在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12A 1D ＝22，AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52，sin ∠EAO ＝EO AE ＝105.所以直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105.10.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 因为P A ⊥平面AC ，QD ⊂平面AC ，所以P A⊥QD.又因为PQ⊥QD，P A∩PQ＝P，所以QD⊥平面P AQ，所以AQ⊥QD.①当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD<90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.11.(2014·南昌高一检测)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，又D1E⊂面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.三、探究与创新12．已知：α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R，求证：QR⊥AB.证明如图，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB.∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB.∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.∴PQ与OR确定平面PQRO.即AB⊥平面PQRO.又∵QR⊂平面PQRD，∴QR⊥AB.13．已知四面体ABCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值．解过点A作AO⊥平面BCD，连接OD，OB，OC，可知O是△BCD的中心．作QP⊥OD，如图所示．∵QP∥AO，∴QP⊥平面BCD.连接CP，则∠QCP即为CQ与平面DBC所成的角．设四面体的棱长为a，∵在正△ACD中，Q是AD的中点，∴CQ＝32a.∵QP∥AO，Q是AD的中点，O为△BCD的重心，∴QP＝12AO＝12a2－⎝⎛⎭⎪⎫23×32a2＝1 2×63a＝66a，即sin∠QCP＝QPCQ ＝23.∴CQ与平面DBC所成角的正弦值为23.。
人教版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末检测2
章末检测一、选择题1．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是() A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则a∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b答案 D解析A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中的α、β可以平行或相交．2．(2014·杭州高一检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为() A．30°B．60°C．90°D．45°答案 B解析连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，因为△A1BC1是正三角形，所以∠A1C1B ＝60°，即直线AC与直线BC1所成的角为60°.3．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β答案 C解析A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.4．(2014·浏阳高一检测)设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；③若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析借助正方体中的线线关系易知①②全错；由公理4知③正确．5．(2013·广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选B.6.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案 C解析由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．7．(2013·课标全国Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则() A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案 D解析根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.8.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°答案 D解析∵AD∥BC，∴∠BCB1为异面直线AD和B1C所成的角．∵∠B1CB＝45°，∴AD和CB1所成的角为45°.9．如图，已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为()A．7π B．9πC．11π D．13π答案 D解析由圆M的面积为4π得MA＝2，OM2＝42－22＝12⇒OM＝23，在Rt△ONM中，∠OMN＝30°，∴ON＝12OM＝3，MN＝42－(3)2＝13，∴S圆N＝13π.故选D.10．(2013·山东高考)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则P A与平面ABC 所成角的大小为()A.5π12 B.π3C.π4 D.π6答案 B解析如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠P AO即为P A 与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3，则S＝34×(3)2＝334，VABC－A1B1C1＝S×PO＝94，∴PO＝ 3.又AO＝33×3＝1，∴tan∠P AO＝POAO＝3，∴∠P AO＝π3.二、填空题11．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S 位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.答案9解析由面面平行的性质得AC∥BD，ASBS＝CSSD，解得SD＝9.12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．答案90°解析∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角．∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面MB1C1又MC1⊂平面MB1C1∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.13．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．答案90°解析如图取BC的中点D，连接AD、B1D，因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，所以易得B1D是B1A在平面BCC1B1内的射影，又易得B1D⊥BM，所以B1A⊥BM.14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.其中正确命题的序号是________．答案④解析①中b可能在α内；②a与b可能异面；③a可能与α内的直线异面．三、解答题15.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.16.(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. (2)解因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以V三棱锥C－A1DE＝13×12×6×3×2＝1.17．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角E－BD－C的大小．(1)证明如图，∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE∩BE＝E，根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD.又SA∩SC＝S. ∴BD⊥平面SAC.(2)解由(1)知∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝∠ASC.在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，设SA＝AB＝1，则SB＝ 2.由SA⊥BC，AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥面SAB，SB⊂平面SAB∴BC⊥SB.在Rt△SBC中，SB＝BC＝2，∠SBC＝90°，则SC＝2.在Rt△SAC中，∠SAC＝90°，SA＝1，SC＝2.∴cos∠ASC＝SASC＝12.∴∠ASC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.18．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(1)证明∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。
高中数学 必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系阶段质量检测 新人教A版必修2
点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D A若一组对边平行就决定了共面．在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形，正确；B中同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C中这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就可知D不正确．2．下列说法正确的是( )A．都与直线a相交的两条直线确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．过一条直线的平面有无数多个D．两个相交平面的交线是一条线段解析：选C 当这两条直线异面时不能确定平面，A错误．两条直线异面，则不能确定平面，B错误．两个相交平面的交线是一条直线，D错误．3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对解析：选A ∵EF与GH相交，设EF∩GH＝M，∴M∈EF，M∈GH.又∵EF⊂面ABD，GH⊂面BCD，∴M∈面ABD，M∈面BCD，又∵面ABD∩面BCD＝BD，∴M ∈BD，故选A.4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1D1解析：选B CE ⊂平面ACC 1A 1，而BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∴BD ⊥CE . 5．(2013·河南平顶山高一调研)给定下列四个命题： ①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④D ．②和④解析：选D ①错，两个平面相交时，也有无数个公共点．③错，比如a ⊥α，b ⊂α，c ⊂α，显然有a ⊥b ，a ⊥c ，但b 与c 也可能相交．故②④正确．6．正方体AC 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( ) A.12 B.32 C.63D.62解析：选C 连接BD 1，则BD 1∥EF ，∠BD 1A 是直线AD 1与EF 所成的角．∵AB ⊥AD 1，∴cos ∠BD 1A ＝AD 1BD 1＝63. 7．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23解析：选C 取AC 的中点E ，取CD 的中点F ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33. 8．(2013·湖南师大附中高一检测)设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选B 垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D 易知：△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°.又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.10．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度( ) A．13 B.151C．12 3 D．15解析：选A 如图，连AD.∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α.在Rt△ABD中，AD＝AB2＋BD2＝42＋122＝160.在Rt△CAD中，CD＝AC2＋AD2＝32＋160＝13.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可)．答案：BM ⊥PC (其他合理即可)12．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，MN 在平面BCC 1B 1内，MN ⊥BC 于M ，则MN 与AB 的位置关系是________．解析：由平面BCC 1B 1⊥面ABCD 知MN ⊥面ABCD . ∴MN ⊥AB . 答案：垂直13． 在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为________．解析：取AC 中点M ，连接EM ，FM ，F 为DC 中点，M 为AC 中点，∴FM ∥AD ，且FM ＝12AD ＝1，同理EM ∥BC 且EM ＝12BC ＝1.△EMF 中作MN ⊥EF 于N . Rt △MNE 中，EM ＝1，EN ＝32， ∴sin ∠EMN ＝32，∠EMN ＝60°，∴∠EMF ＝120°， ∴AD 与BC 所成角为60°. 答案：60°14．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A —BD —C ，有如下三个结论． ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角； 说法正确的命题序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ， 则AE ＝CE ＝22a . 由①知∠AEC ＝90°是直二面角A —BD —C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ， ∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2012·宁德高一检测)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ，(1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面PAB . 证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD .又CD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面PAC .(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2. ∵CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB .16．(本小题满分12分)(2012·江西高考)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ； (2)求多面体CDEFG 的体积．解：(1)证明：由已知可得AE ＝3，BF ＝4，则折叠完后EG ＝3，GF ＝4，又因为EF ＝5，所以可得EG ⊥GF .又因为CF ⊥底面EGF ，可得CF ⊥EG ，即EG ⊥平面CFG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)过点G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G －EFCD 的高，所以所求体积为13S 长方形DEFC ·GO＝13×4×5×125＝16. 17．(本小题满分12分)如图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求：(1)AO 与A ′C ′所成角的度数； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数． 解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ， ∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O . ∴OC ⊥平面AOB . 又∵OC ⊂平面AOC ， ∴平面AOB ⊥平面AOC .即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.18．(本小题满分14分)如图所示，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明：(1)∵AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，∴BD ⊥AD . 又∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴D 1D ⊥DB . 又AD ∥D 1D ＝D ，∴BD ⊥平面A 1ADD 1， ∴AA 1⊥BD .(2)如图，连接AC ，A 1C 1，AC 交BD 于O 点，连接A 1O .∵AB ＝2AD ，AD ＝AB 1， ∴A 1B 1＝12AB .∵四棱台底面ABCD 是平行四边形，∴A 1C 1綊12AC ，∴A 1C 1綊OC .∴四边形A 1OCC 1为平行四边形，∴C 1C ∥A 1O ， 又A 1O ⊂平面A 1BD ，C 1C ⊄平面A 1BD ， ∴CC 1∥平面A 1BD .。
2020-2021学年人教A版数学必修2习题：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元质量评估
第二章单元质量评估时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．不共面的四点可以确定平面的个数为(C)A．2 B．3C．4 D．无法确定解析：不共面的四个点中，任三点都是不共线的，故任意三点都可以确定一个平面，共可以确定4个平面．2．下面列举的图形一定是平面图形的是(D)A．有一个角是直角的四边形B．有两个角是直角的四边形C．有三个角是直角的四边形D．有四个角是直角的四边形解析：对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．从而得出A、B、C都不正确；根据排除法，可知选项D正确．3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是(B)A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交解析：由直线与平面平行的判定定理，可知CD∥α，所以CD与平面α内的直线没有公共点．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(B)A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析：A中，α∥β，m∥α，n∥β，则m与n平行、异面、相交皆有可能，故A错误．B中，m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β，又n⊥β，所以m ⊥n，故B正确．C中，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则m与β可能垂直，当m⊥β时有α∥β，所以C错误．D中，由面面平行的判定定理，必须要m与n 相交，才能得到α∥β，则D错误．5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(D)A．点A B．点BC．点C但不通过点M D．点C和点M解析：通过A，B，C三点的平面γ，即通过直线AB与点C的平面，因为M∈AB，∴M∈γ，而C∈γ，又M∈β，C∈β，∴γ和β的交线必通过点C和点M.6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为(C)A.22 B.3 C.12 D.32解析：过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF 于G，连接GH，AH，则∠AFH为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝52＋24＝3，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝3，∴cos∠AFH＝1 2.7．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是(D)A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析：当a∥α，a∥β时，有a∥b，a∥c，则b∥c；当a∩α＝A，a∩β＝B，且AB与l不垂直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b和c的位置关系是相交、平行或异面．8．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(C) A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，AE⊥DE，由线面垂直的判定定理，知AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE即为所求的角．设三棱柱的棱长为1，易知AE＝32，DE＝12，则tan∠ADE＝3，故∠ADE＝60°.9.已知三棱锥S-ABC的三视图如图所示，则在原三棱锥中下列命题正确的是(A)①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.A．①B．②C．①③D．①②解析：由三视图可知，三棱锥S-ABC中侧棱SA垂直于底面ABC，底面ABC是一个直角三角形，且AC⊥BC，从而只有①是正确的．故选A.10．如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(C)A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面A1B1BAC．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E解析：AE与B1C1显然是异面直线，又B1C1∥BC，AE⊥BC，所以AE ⊥B1C1，故选C.11．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(A)A.32 B.22 C.33 D.13解析：因为平面α∥平面CB 1D 1，所以平面α与平面ABCD 的交线m 平行于平面CB 1D 1与平面ABCD 的交线l .因为在正方体中平面ABCD 平行于平面A 1B 1C 1D 1，所以l ∥B 1D 1，所以m ∥B 1D 1.同理，n 平行于平面CB 1D 1与平面ABB 1A 1的交线．因为平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1，所以平面CB 1D 1与平面ABB 1A 1的交线平行于平面CB 1D 1与平面CDD 1C 1的交线CD 1，所以n ∥CD 1.故m ，n 所成的角即为B 1D 1，CD 1所成的角，显然所成的角为60°，则其正弦值为32. 12．在三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长为3的正三角形，侧棱SA ⊥底面ABC ，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为( C )A ．9 2 B.2722 C.922 D ．27 2解析：如图，设外接球的球心为O .∵在三棱锥S -ABC 中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱SA ⊥底面ABC ，三棱锥的外接球的体积为36π，∴三棱锥的外接球的半径R ＝OS ＝3.过A 作AE ⊥BC ，交BC 于E ，过球心O 作OD ⊥平面ABC 于D ，则D ∈AE ，且D 是△ABC 的重心，∴AD ＝23AE ＝23AB 2－BE 2＝3，∴OD ＝OA 2－AD 2＝ 6.O 到SA 的距离为AD ＝3，∴SA ＝OD ＋OS 2－AD 2＝26，∴该三棱锥的体积V ＝13×SA ×S △ABC ＝13×26×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×3×sin 60°＝922.二、填空题(每小题5分，共20分)13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为平行．解析：易知BD ∥B 1D 1，∴BD ∥平面AB 1D 1.同理BC 1∥平面AB 1D 1.又∵BD ∩BC 1＝B ，BD ⊂平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，∴平面AB 1D 1∥平面BC 1D .14．P 为△ABC 所在平面外一点，P A ，PB ，PC 与平面ABC 所成角均相等，又P A 与BC 垂直，那么△ABC 的形状为等腰三角形．解析：设点P 在底面ABC 上的射影为O .由P A ，PB ，PC 与平面ABC 所成角均相等，∴O 点到△ABC 三个顶点的距离相等，即O 是△ABC 的外心，∵PO ⊥底面ABC ，∴PO ⊥BC ，又P A ⊥BC ，PO ∩P A ＝P ，∴BC ⊥平面P AO ，∴OA ⊥BC ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 一定为等腰三角形．15．已知矩形ABCD ，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则当满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是a >6.解析：如图所示，连接AE ，∵PE ⊥DE ，DE ⊥P A ，PE ∩P A ＝P ，∴DE ⊥平面P AE ，∴DE ⊥AE ，∴在矩形ABCD 中，∠AED ＝90°.若满足条件的E 点有两个，则以AD 为直径的圆与BC 相交．∴3<AD 2，得a >6.16．如图，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE (A ′∉平面ABC )是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面A ′FG ⊥平面ABC ；②BC ∥平面A ′DE ；③三棱锥A ′-DEF 的体积的最大值为164a 3；④动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；⑤直线DF 与直线A ′E 可能共面．其中正确的命题是①②③④(写出所有正确命题的编号)．解析：由已知可得四边形ADFE 是菱形，则DE ⊥GA ′，DE ⊥GF ，所以DE ⊥平面A ′FG ，所以平面A ′FG ⊥平面ABC ，①正确；因为BC ∥DE ，所以BC ∥平面A ′DE ，②正确；当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′-DEF 的体积达到最大值，最大值为164a 3，故③正确；由①知动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上，故④正确；△ADE 在旋转过程中，直线DF 与直线A ′E 始终异面，故⑤错误．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17.(10分)如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BE ∥AF ，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，BE ＝12AF ，G ，H 分别为F A ，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？若共面，请证明；若不共面，请说明理由．解：(1)证明：由已知G ，H 分别为F A ，FD 的中点，可得GH ＝12AD ，GH ∥AD ，BC ＝12AD ，BC ∥AD ，∴GH ＝BC ，GH ∥BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 共面．证明如下：方法1：由BE ＝12AF ，BE ∥AF ，G 为F A 中点知，BE ＝FG ，BE ∥FG .∴四边形BEFG 为平行四边形．∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．方法2：如图，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′.∵BE ＝12AF ，∴B 为MA 中点．∵BC ＝12AD .∴B 为M ′A 中点．∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)．∴C ，D ，F ，E 四点共面．18.(12分)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．解：如图，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，且EG＝12AB，FG∥CD，且FG＝12CD.由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.19．(12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD ＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD.解：(1)∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO ＝BO，∴BO∥CD.又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形，则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)证明：∵侧面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB ⊂底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面P AD.又PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又P A⊥PD，且AB∩P A＝A，∴PD⊥平面P AB.又PD⊂平面PCD，∴平面P AB⊥平面PCD.20.(12分)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以S△VAB＝3，又因为OC⊥平面VAB，所以V C-VAB＝13OC·S△VAB＝33.因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为3 3.21．(12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a 的正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：P A∥平面BDE，平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．解：(1)证明：连接OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥P A.∵OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE.∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面P AC.∵BD⊂平面BDE，∴平面P AC⊥平面BDE.(2)由(1)知，BD⊥平面P AC，∴BD⊥OC，BD⊥OE，∴∠EOC为二面角E-BD-C的平面角，∴∠EOC＝30°.在Rt△OPC中，OC＝22a，∠ECO＝∠EOC＝30°，∴PO＝22a×33＝6a6，∴V四棱锥P-ABCD＝13×a2×66a＝618a3.22.(12分)如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ；(2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．解：(1)证明：如图，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1，又AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE . 因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A 且NE ＝A 1A ，所以四边形AA1NE为平行四边形．所以A1N∥AE，且A1N＝AE.因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以四边形AA1MB为平行四边形．所以A1M∥AB，A1M＝AB，由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝B1M2＋A1M2＝4.在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝A1NA1B1＝12，因此∠A1B1N＝30°.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.。
2019_2020学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末质量检测(含解析)新人教A版必修2
章末质量检测(二) 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l与平面α不平行，则( )A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对解析：直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.答案：C2．若直线a、b异面，直线b、c异面，则直线a、c的位置关系是( )A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．以上都有可能解析：如图，当c为AD、A1B1、A1D1的位置时，均满足b，c异面，则c与a的位置关系分别为相交、平行、异面．故选D.答案：D3．若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有( )A．0条 B．1条C．无数条 D．不确定解析：若直线a与平面α不垂直，则当直线a∥平面α时，平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．所以，若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线有无数条．答案：C4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：当直线a⊂平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.答案：A5．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为( )A．16和12 B．15和13C．17和11 D．18和10解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，∴x2－81＝(28－x)2－25，∴x＝15,28－x＝13.答案：B6．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A′D′ D．AA′解析：连接B′D′(图略)，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.答案：B7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为( )A．平行四边形B．菱形C．矩形 D．梯形解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面EFGH交平面ABCD于GH，交平面A1B1C1D1于EF，则有GH∥EF，同理EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形．答案：A8．对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m∥α，n⊥m，则n⊥α；②若m⊥α，n⊥m，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④若m⊥α，m⊂β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：①中n与α位置关系不确定；②中n可能在α内；③中α与γ位置关系不确定；由面面垂直的判定定理可知④正确．故选A.答案：A9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝25，则异面直线BD与AC所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．[2019·贵阳市监测考试]如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A 与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC＝1，MC＝AM＝22，∴∠CMA＝90°.答案：C12．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.1195解析：如图，过点A作AE⊥BD于E，连接PE. ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE.∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 214．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1与平面BB 1D 1D 的位置关系是________． 解析：因为ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD .又因为D 1D ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以D 1D ⊥AC . 因为D 1D ∩DB ＝D ， 所以AC ⊥平面BB 1D 1D . 因为AC ⊂平面ACD 1， 所以平面ACD 1⊥平面BB 1D 1D . 答案：垂直15．如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是________(填序号)．①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥平面DEC ；②不论D 折至何位置，都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥AB ；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD .解析：分别取CE ，DE 的中点Q ，P ，连接MP ，PQ ，NQ ，可证MNQP 是矩形，所以①②正确；因为MN ∥PQ ，AB ∥CE ，若MN ∥AB ，则PQ ∥CE ，又PQ 与CE 相交，所以③错误；当平面ADE ⊥平面ABCD 时，有EC ⊥AD ，④正确．故填①②④.答案：①②④16．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ：GC ＝DH ：HC ＝1：2.求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)EG 与HF 的交点在直线AC 上． 证明：(1)∵BG ：GC ＝DH ：HC ， ∴GH ∥BD .又∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ∥GH ， ∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)∵G ，H 不是BC ，CD 的中点， ∴EF ∥GH ，且EF ≠GH ， ∴EG 与FH 必相交．设交点为M ，而EG ⊂平面ABC ，HF ⊂平面ACD ，∴M ∈平面ABC ，且M ∈平面ACD ， ∴M ∈AC ，即GE 与HF 的交点在直线AC 上．18．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ， 所以四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.19．(12分)S 是Rt△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)如图所示，取AB 的中点E ，连接SE ，DE ， 在Rt△ABC 中，D 、E 分别为AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥AB ， ∵SA ＝SB ，∴△SAB 为等腰三角形，∴SE ⊥AB . 又SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE .又SD ⊂平面SDE ，∴AB ⊥SD . 在△SAC 中，SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC . (2)由于AB ＝BC ，则BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SD ⊥BD ， 又SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .20．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．(1)求证：BE ∥平面MDF ； (2)求证：平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.21．(12分)[2019·菏泽检测]如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.。
人教版高中数学必修二阶段质量检测(二)点、直线、平面之间的位置关系
阶段质量检测（二）点、直线、平面之间的地点关系(时间 120 分钟满分150分)一、选择题 (本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1． (广东高考 )若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面α内， l2在平面β内， l 是平面α与平面β的交线，则以下命题正确的选项是()A． l 与 l1， l2都不订交B． l 与 l1， l2都订交C． l 至多与 l1， l2中的一条订交D． l 起码与 l1， l2中的一条订交分析：选 D 由直线 l1和 l2是异面直线可知 l1与 l2不平行，故 l 1， l2中起码有一条与l 相交．2．已知 PA⊥矩形 ABCD ，则以下结论中不正确的选项是 ()A． PB⊥ BC B． PD ⊥CDC．PD⊥BD D ．PA ⊥BD分析：选 C 如下图，因为PA⊥平面 ABCD ，且底面 ABCD 为矩形，因此 PA⊥ BD(即 D 正确 ) ，BC⊥ PA， BC⊥ BA，而 PA∩AB＝A，因此 BC⊥平面 PAB，因此 BC⊥ PB(即 A 正确 )．同理 PD ⊥ CD (即B 正确 )， PD 与 BD 不垂直，因此C 不正确．3.如图，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中， D 为 A1B1的中点， AB＝ BC＝ BB1＝ 2， AC＝ 2 5，则异面直线BD 与 AC 所成的角为 ()A． 30°B． 45°C． 60°D．90°分析：选 C 如图，取 B1C1的中点 E ，连结 BE ， DE ，则 AC∥A1C1∥DE ，则∠ BDE 即为异面直线 BD 与 AC 所成的角．由条件可知BD＝ DE ＝ EB ＝ 5，因此∠ BDE ＝ 60°，应选 C.4.如下图， ABCD -A1B1 C1D 1是长方体， O是 B1D1的中点，直线A1C 交平面 AB1D1于点 M ，则以下结论正确的选项是 ()A．A，M，O 三点共线B． A，M ， O， A1不共面C．A，M，C，O 不共面D． B， B1， O， M 共面分析：选A 连结A1C1，AC，则A1C1∥AC，因此A，C，C1，A1四点共面，因此 A1C?面 ACC 1A1.因为 M ∈ A1C，因此 M ∈面 ACC1A1，又 M ∈面 AB 1D1，因此 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D 1的交线上，同理O 在面 ACC1A1与面 AB1D1的交线上，因此 A，M ， O 三点共线，故选 A.5．已知 m， n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l知足l⊥ m，l⊥ n，l?α，l?β，则 ()A．α∥ β且 l∥ αB．α⊥ β且 l⊥ βC．α与β订交，且交线垂直于lD．α与β订交，且交线平行于l分析：选 D因为m，n为异面直线，m⊥平面α， n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m， n，又直线l 知足 l⊥m， l⊥ n，则交线平行于l，故选 D.6．已知直线l⊥平面α，直线 m?平面β，有以下四个命题：①α∥ β? l⊥m；②α⊥ β? l∥m；③ l∥ m?α⊥ β；④l⊥ m?α∥ β.此中正确的两个命题是()A．①②C．②④分析：选D若α∥ β， l⊥ α，则B．③④D ．①③l⊥ β，又 m?β，因此l⊥ m，故①正确；若α⊥ β， l⊥α， m?β，则 l 与 m 可能异面，因此②不正确；若l∥ m， l⊥ α，则 m⊥ α，又 m?β，则α⊥β，因此③正确；若l⊥ α，l⊥ m， m?β，则α与β可能订交，故④不正确．综上可知，选 D.7.如下图， P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M 为 PB 的中点，给出五个结论：①OM ∥ PD ；② OM ∥平面 PCD；③ OM∥平面PDA；④ OM ∥平面PBA；⑤ OM ∥平面PBC.此中正确的个数是()A． 1B． 2C． 3 D ． 4分析：选 C明显OM∥ PD，又PD?平面OM ∥平面 PDA .∴①②③正确．8．把正方形ABCD 沿对角线 AC 折起，当以时，直线BD 和平面 ABC 所成的角的大小为(PCD ， PD?平面 PDA .∴ OM ∥平面PCD，A， B， C， D 四点为极点的三棱锥体积最大)A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ．30°分析：选 C当三棱锥 D -ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面 ABC ，取 AC 的中点 O ，则△ DBO是等腰直角三角形，即∠DBO ＝ 45°.二、填空题 (本大题共案填在题中的横线上 )7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．请把正确答9．在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中， E ， F 分别为棱 AA 1， CC 1 的中点，则在空间中与三条直线 A 1D 1， EF ， CD 都订交的直线有 ________条．分析： 如图，在 A 1D 1 上任取一点 P ，过点 P 与直线 EF作一个平面 α，因为 CD 与平面 α不平行，因此它们订交，设 α∩CD ＝ Q ，连结 PQ ，则 PQ 与 EF 必定订交．由点P 的随意性，知有无数条直线与A 1D 1， EF ， CD 都订交．答案： 无数10．已知 a ， b 表示直线， α， β， γ表示平面．①若 α∩β＝ a ， b ? α， a ⊥ b ，则 α⊥ β；②若 a ? α， a 垂直于 β内随意一条直线，则α⊥ β；③若 α⊥ β， α∩β＝ a ， α∩γ＝ b ，则 a ⊥ b ；④若 a ⊥ α， b ⊥ β， a ∥ b ，则 α∥ β.上述命题中，正确命题的序号是________．分析： 对①可举反例，如图，需b ⊥ β才能推出 α⊥ β；对③可举反例说明，当γ不与 α，β的交线垂直时，即可知 a ， b 不垂直；依据面面、线面垂直的定义与判断知②④正确．答案： ②④11.如下图，直线a ∥平面 α，点 A 在 α另一侧，点 B ， C ， D ∈ a ，线段 AB ， AC ， AD 分别交 α于点 E ， F ， G.若 BD ＝ 4， CF ＝ 4， AF ＝ 5，则 EG＝ ________.分析： A ?a ，则点 A 与直线 a 确立一个平面，即平面ABD .因为 a ∥ α，且AF ＝ AEEG ＝ AE ，因此 AF ＝ EG α∩平面 ABD ＝ EG ，因此 a ∥EG ，即 BD ∥ EG ，因此 ACAB .又 BD AB AC BD .于是AF ·BD ＝ 5×4＝ 20 EG ＝AC5＋49.答案：20912.如下图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，侧面对角线 AB 1，BC 1 上分别有一点 E ， F ，且 B 1E ＝C 1F ，则直线 EF 与平面 ABCD 的位置关系是 ________， EF 与 BB1的地点关系是________．分析：过点 E 作 EG∥ AB，交 BB1于点 G，连结 GF ，则B1E＝B1G.∵ B1E ＝ C1F ， B1A＝ C1B，∴C1F＝B1G，∴ FG ∥ B1C1∥ BC.又B1A B1B C1 B B1BEG∩FG ＝ G， AB∩BC＝ B ，∴平面EFG ∥平面 ABCD . 又 EF ?平面 EFG ，∴ EF ∥平面ABCD .又 B1B⊥ AB， B1B⊥BC ，AB∩BC＝ B，∴B1B⊥平面 ABCD ，∴ B1B⊥平面 EFG .又∵EF?平面 EFG，∴B1B⊥ EF .答案：平行垂直13.如图，四周体P-ABC 中， PA＝ PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ ABC＝ 90°， AC ＝8， BC＝ 6，则 PC ＝________， PC 与平面 ABC 所成角的余弦值为 ________．分析：取 AB 的中点 E ，连结 PE.∵PA ＝PB，∴PE ⊥AB.又平面 PAB⊥平面 ABC，∴PE ⊥平面 ABC .连结 CE，∴ PE ⊥ CE ，∠ PCE 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角．∠ABC＝ 90°， AC＝ 8， BC＝ 6，∴AB ＝2 7， PE＝PA2－ AE2＝6，CE ＝BE2＋ BC2＝43，PC＝PE 2＋ CE 2＝ 7， cos∠ PCE ＝743.答案： 743 714.在四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥平面 ABCD ， AD ∥ BC， BC＝2AD ＝ 4，AB＝ CD ＝10 ，则BD 与平面PAC 的地点关系是________ ；若二面角A-PC-D的大小为60°，则 AP 的值为________．分析：设 O 为 AC 与 BD 的交点，作DE ⊥ BC 于点 E.由四边形ABCD 是等腰梯形易证得∠DBC＝∠ BCA，由已知条件易得CE ＝BC－AD＝ 1，则 DE ＝DC 2－ CE 2＝ 3，2因此BE＝DE ，进而得∠DBC＝∠BDE ＝∠BCA＝45°，因此∠ BOC ＝ 90°，即 AC⊥ BD .由 PA ⊥平面 ABCD 得 PA⊥ BD，又 PA∩AC＝A，因此 BD⊥平面 PAC.作 OH ⊥ PC 于点 H ，连结 DH .又 DO⊥平面 PAC，故DO ⊥ PC.又 DO∩OH ＝O，因此 PC⊥平面 DOH ，进而得 PC⊥ DH .故∠ DHO 是二面角 A-PC-D 的平面角，因此∠ DHO ＝ 60°.易知 DO＝2， AC＝ 32，因为在 Rt △ DOH 中， tan∠ OHD ＝ tan 60 °＝OD，因此 OH ＝OH63.在 Rt △ COD 中， OC＝CD2－ OD2＝ 2 2.PA OH在 Rt △ PAC 中，PC＝OC .设 PA＝ x，可得x＝3，x2＋226解得 x＝322，即 AP＝322 1111.答案：垂直3221115．如图 1 所示的等边△ ABC 的边长为2a， CD 是 AB 边上的高， E ， F 分别是 AC， BC 边的中点．现将△ABC 沿 CD 折叠，使平面ADC ⊥平面 BDC，如图 2 所示，则直线 AB 与平面 DEF 的地点关系是 ________，四周体 A-DBC 的外接球体积与四棱锥 D -ABFE 的体积之比为 ________．分析： ∵ E ， F 分别为 AC ， BC 的中点，∴ AB ∥ EF ，∵AB ?平面 DEF ， EF ? 平面 DEF ，∴AB ∥平面 DEF .以 DA ， DB ， DC 为棱补成一个长方体，则四周体A-DBC 的外接球即为长方体的外接球．设球的半径为22＋ 3a 22252R ，则 a＋ a＝ (2R)，∴ R ＝ a ，4于是球的体积V 1＝ 4πR 3＝565πa 3.31 33又 V A-BDC ＝ S △BDC ·AD ＝6 a ，31 133 ，V E- DFC ＝ S △DFC ·AD ＝24a32∴V 1 ＝ V 1＝ 2015πV D -ABFE9.V A- BDC － V E -DFC答案： 平行20 15π9三、简答题 (本大题共 5 小题，共 74 分，解答时写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )16． (本小题满分 14 分 )在空间四边形 ABCD 中， E ， H 分别是 AB ， AD 的中点， F ， G分别是 BC ，CD 上的点，且CF＝ CG ＝ 2.求证： CB CD 3(1)E ， F ， G ， H 四点共面；(2)三条直线 EF ， GH ， AC 交于一点．证明： (1) 在△ ABD 中， E ， H 分别是 AB 和 AD 的中点，∴EH 綊 1 B D.2在△ CBD 中，CF＝CG 2 2 CB CD＝，∴FG 綊 BD.33∴EH ∥FG .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由 (1)可知， EH ∥ FG ，且 EH ≠FG ，因此它们的延伸线必订交于一点，设为点P.∵AC 是平面 ABC 和平面 ADC 的交线， EF ? 平面 ABC ， GH ? 平面 ADC ，平面 ABC ∩平面 ADC ＝ P，∴由公义 3 知 P∈ AC.∴三条直线EF ， GH， AC 交于一点．17.(本小题满分 15 分 )如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直， PD＝ PC .(1)证明： BC∥平面 PDA；(2)证明： BC⊥ PD.证明： (1) ∵在长方形ABCD 中， BC∥ AD ， BC?平面 PDA ， AD?平面 PDA，∴BC ∥平面 PDA .(2)取 CD 的中点 H ，连结 PH .∵PD ＝ PC，∴PH ⊥CD.又平面 PDC ⊥平面 ABCD ，平面 PDC ∩平面 ABCD ＝ CD， PH ?平面 PDC，∴PH ⊥平面 ABCD .又 BC?平面 ABCD，∴PH ⊥ BC.∵在长方形ABCD 中， BC⊥ CD ， PH ∩CD＝ H ，∴BC ⊥平面 PDC .又 PD ?平面 PDC，∴BC ⊥PD.18.(本小题满分 15 分 )如图，平行六面体 ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，∠ C1CB＝∠ C1CD＝∠ BCD＝ 60°.(1)求证： C1C⊥ BD .CD(2)当CC1的值为多少时，可使A1C⊥平面 C1BD?解： (1) 证明：连结A1 C1， AC，设 AC 和 BD 交于点 O，连结 C1O.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD， BC＝ CD .又∵∠ BCC 1＝∠ DCC1， C1C 是公共边，∴△ C1BC≌△ C1DC ，∴ C1B＝ C1D.∵DO ＝ OB，∴ C1O⊥ BD.又∵ AC∩C1O＝ O，∴BD ⊥平面 ACC1A1.又∵ C1C?平面 ACC1A1，∴C1C⊥ BD .(2)由 (1)知 BD ⊥平面 AC1.∵A1C?平面 ACC1 A1，∴ BD ⊥ A1C.当CD＝ 1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形．CC1同理可证 BC1⊥ A1C.又∵ BD ∩BC1＝ B，∴ A1C⊥平面 C1BD.19.(本小题满分 15 分 )如下图，在长方体ABCD -A1B1C1D 1中，AB＝ 2， BB1＝ BC＝ 1， E 为 D 1C1的中点，连结ED ， EC， EB 和 DB.(1)求证：平面 EDB ⊥平面 EBC；(2)求二面角 E -DB -C 的正切值．解： (1) 证明：在长方体 ABCD -A1B1C1D1中， AB＝ 2， BB1＝ BC ＝ 1， E 为 D1C1的中点．因此△ DD 1E 为等腰直角三角形，∠D1ED ＝ 45°.同理∠ C1EC＝ 45°.因此∠ DEC ＝ 90°，即 DE ⊥EC.在长方体ABCD -A1B1C1D 1中， BC⊥平面 D1DCC 1，又 DE ?平面 D1DCC 1，因此 BC⊥ DE .又 EC∩BC＝ C，因此 DE ⊥平面 EBC.因为 DE ?平面 DEB ，因此平面DEB ⊥平面 EBC .(2)如下图，过 E 在平面 D 1DCC1中作 EO⊥ DC 于 O.在长方体ABCD -A1B1C1D1中，因为平面ABCD ⊥平面D1DCC 1，因此EO ⊥面ABCD .过 O 在平面 DBC 中作 OF ⊥ DB 于 F ，连结 EF ，因此 EF ⊥BD .∠ EFO为二面角E-DB- C的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝ 1 ，5又 OE ＝ 1，因此 tan∠ EFO ＝ 5.20．(本小题满分 15 分)(浙江高考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1 C1中，∠ BAC＝ 90°， AB＝ AC＝ 2， A1A＝ 4， A1在底面 ABC 的射影为BC 的中点， D 是 B1C1的中点．(1)证明： A1D ⊥平面 A1BC；(2)求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值．解： (1)证明：设 E 为 BC 的中点，连结 AE ， A1E， DE ，由题意得 A1E⊥平面 ABC，因此 A1E ⊥ AE.因为 AB＝ AC，因此 AE⊥ BC .又因为 A1E， BC?平面 A1BC， A1E∩BC＝ E ，故 AE ⊥平面 A1BC.由 D ， E 分别为 B1C1， BC 的中点，得 DE ∥ B1B 且 DE ＝ B1B，进而 DE ∥ A1A 且 DE ＝ A1A，因此四边形AA1DE 为平行四边形．于是 A1D∥ AE.又因为 AE⊥平面 A1BC，因此 A1D⊥平面 A1BC.(2)作 A1F⊥ DE ，垂足为 F ，连结 BF .因为 A1E ⊥平面 ABC，因此 BC⊥ A1E .因为 BC⊥ AE ， AE ∩A1E＝ E ，因此 BC⊥平面 AA1DE .因此 BC⊥ A1F .又因为 DE ∩BC＝ E ，因此 A1F⊥平面 BB1C1C.因此∠ A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角．由 AB ＝AC＝ 2，∠ CAB＝ 90°，得 EA ＝EB ＝ 2.由 A1E⊥平面 ABC，得 A1A＝ A1B＝ 4， A1E＝ 14.由 DE ＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠ DA1E＝ 90°，得 A1F ＝77.2.因此 sin∠ A1 BF＝8。
人教新课标版数学高一人教A版必修二测评 第二章 点、直线、平面之间
单元测评(二)点、直线、平面之间的位置关系(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线()A．异面B．相交C．平行D．垂直解析：当直尺与地面垂直时，地面上的任意一条直线都和直尺所在的直线垂直；当直尺所在的直线与地面不垂直时，过直尺所在的直线作一与地面垂直的平面，此平面与地面的交线设为a，则地面内任一与交线a 垂直的直线都与直尺所在的直线垂直．答案：D2．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的() A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圆圆心．答案：B3．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m ⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.答案：B4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD 与BC”均不垂直解析：当AC＝1时，由DC＝1，AD＝2，得∠ACD为直角，DC ⊥AC，又因为DC⊥BC，所以DC⊥面ABC.所以DC⊥AB.答案：B5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α解析：选项A的已知条件中加上m⊂β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D正确，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α.答案：D6．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°解析：取BC中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，∴∠EFH ＝30°. 答案：D7．点P 是等腰△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，在△ABC 中，底边BC ＝6，AB ＝5，则P 到BC 的距离为( )A ．4 5 B. 3 C ．3 3D ．2 3解析：作AD ⊥BC 于D ，连接PD ，易证PD ⊥BC ，故PD 的长即为P 到BC 的距离．AD ＝ AB 2－⎝⎛⎭⎪⎫12BC 2＝52－32＝4. ∴PD ＝AD 2＋PA 2＝42＋82＝4 5.答案：A8．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105解析：在平面A 1B 1C 1D 1内过点C 1作B 1D 1的垂线，垂足为E ，连接BE .⎭⎬⎫C 1E ⊥B 1D 1，C 1E ⊥BB 1⇒C 1E ⊥平面BDD 1B 1，∴∠C 1BE 的正弦值就是所求角的正弦值． ∵BC 1＝22＋12＝5，C 1E ＝2×222＝2，∴sin ∠C 1BE ＝C 1E BC 1＝25＝105.答案：D9．将正方形ABCD 沿BD 折成直二面角，M 为CD 的中点，则∠AMD 的大小是( )A ．45°B ．30°C．60°D．90°解析：如图，设正方形边长为a.在△AMD中，AD＝a，AM＝32a，DM＝a2，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.答案：D10．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：折叠后，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD ＝BD，AB⊥BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，同理CD⊥BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.∴互相垂直的平面有：平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABD，共3对．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．①②(1)图①可以用符号语言表示为__________．(2)图②可以用符号语言表示为__________．答案：(1)α∩β＝l，m⊂α，m∥l，n⊂β，n∩l＝P(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B12．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E 是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.解析：当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD.答案：E是SA的中点13．在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中，与MN平行的是__________．解析：如图，设DC的中点为E，则重心M、N分别在中线AE、BE上，且EMMA＝ENNB＝12，∴MN∥AB，而AB⊂面ABC，AB⊂面ABD∴MN∥面ABD，MN∥面ABC.答案：面ABD，面ABC14．(2012·佛山高一检测)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n ⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题是__________．解析：当m⊥n，n⊥β时，m∥β，又m⊥α，所以α⊥β；当α⊥β，n⊥β时，n∥α，又m⊥α，所以m⊥n.答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC ⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AC＝平面ABC∩平面PAC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.(6分)又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.(12分)16．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明：(1)∵E，F分别是AP，AD的中点，∴EF∥PD.又∵PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD.∴直线EF∥平面PCD.(6分)(2)连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．又∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.(12分)17．(12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(6分)(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.(12分)18．(14分)△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点，如图．(1)求证：DF∥平面ABC；(2)求证：AF⊥BD；(3)求平面BDF与平面ABC所成锐二面角的大小．解析：(1)证明：如图所示，取AB的中点G，连接CG，FG.∵EF＝FB，AG＝GB，∴FG綊12EA.又DC綊12EA，∴FG綊DC.∴四边形CDFG为平行四边形，故DF∥CG.∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC.(4分)(2)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥CG.又△ABC是正三角形，∴CG⊥AB.∴CG⊥平面AEB.∴CG⊥AF.又∵DF∥CG，∴DF⊥AF.又AE＝AB，F为BE中点，∴AF⊥BE.又BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDE.∴AF⊥BD.(8分)(3)延长ED交AC延长线于G′，连接BG′.由CD＝12AE，CD∥AE知D为EG′中点，∴FD∥BG′.由CG⊥平面ABE，FD∥CG，∴BG′⊥平面ABE.∴∠EBA为所求二面角的平面角．(12分)在等腰直角三角形AEB中，易求∠ABE＝45°. (14分)。
2016-2017学年人教版高中数学必修二检测：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元质量评估(二)
单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.(2016·蚌埠高二检测)已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系是( )A.b⊂平面αB.b⊥平面αC.b∥平面αD.b与平面α相交，或b∥平面α【解析】选D.直线a显然不可能在平面α内，平行与相交都有可能，故选D.2.下列叙述中，正确的是( )A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形必是平面图形【解析】选D.A中四边形可以是空间四边形；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点；C中若三条直线有一个公共点，可得三条直线不一定在一个平面内，故A，B，C不正确，D正确.3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【解题指南】根据线、面垂直的定义判断.【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,所以n⊥l.4.(2016·银川高一检测)空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选 D.取AC中点E，连接BE，DE，因为AB=AD=AC=CB=CD=BD，所以AC垂直于BE，也垂直于DE，所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是( )A.C1D1⊥B1CB.BD1⊥ACC.BD1∥B1CD.∠ACB1=60°【解析】选C.因为C1D1⊥平面B1C，B1C⊂平面B1C，所以C1D1⊥B1C，所以A选项正确；由于AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，B选项正确；因为三角形AB1C为等边三角形，所以∠ACB1=60°，即D选项正确.由于BD1与B1C是异面直线，所以C错.6.(2016·鞍山高一检测)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A.若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB.若l∥α，α∥β，则l⊂βC.若l⊥α，α∥β，则l⊥βD.若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】选C.若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A不正确；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B不正确；若l⊥α，α∥β，则l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β，故D不正确.7.(2016·衡水高二检测)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1⊥平面CBA1，其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选D.①因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，因为BC=AC，所以B1C1=A1C1，又因为M为A1B1的中点，所以C1M ⊥A1B1，因为平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1，所以C1M⊥平面ABB1A1，故①正确；②由①知，C1M⊥A1B，又因为AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以A1B⊥AM，因为M，N分别是A1B1，AB的中点，所以ANB1M 是平行四边形，所以AM∥NB1，因为A1B⊥AM，所以A1B⊥NB1，故②正确；③由②知A1B⊥平面AMC1，又因为A1B⊂平面CBA1，所以平面AMC1⊥平面CBA1，故③正确，综上所述，正确结论的个数为3.8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是( )A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等【解析】选D.A.由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，不符合题意；B.EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，不符合题意；C.三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A点到面DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确，不符合题意；D.由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的.9.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°【解析】选D.由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；连接AC，易证BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可证AC1⊥B1C，因为BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；对于选项D，因为BC∥AD，所以∠B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45°，故D错.10.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.因为AC=，其余各棱长均为1，故AB⊥BC，AD⊥DC，取CD，AC的中点分别为E，F，连接EF，BF，BE，则EF∥AD，所以EF ⊥CD.且EF=AD=，BF=AC=，BE⊥CD，且BE=，所以∠FEB为二面角A-CD-B 的平面角，在△BEF中，BE2=BF2+EF2，所以△BEF为直角三角形，所以cos∠FEB===.11.(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选A.如图所示:因为α∥平面CB1D1,所以若设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,则m1∥m. 又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,结合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1=,即sin∠CD1B1=.12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别为A1B，B1C1的中点.下列结论中正确的个数有( )①直线MN与A1C相交.②MN⊥BC.③MN∥平面ACC1A1.④三棱锥N-A1BC的体积为=a3.A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选B.由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边BC 中点E，连ME，NE，则ME∥A1C，NE∥C1C，故平面MNE∥平面ACC1A1，故MN∥平面ACC1A1，所以直线MN与A1C相交错误，故③正确，①错误.因为三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面，故BC⊥平面MNE，所以MN⊥BC，②正确.==×a××a×a=a3，故④正确.所以②③④正确.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点.给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线DD1异面；③直线AM与直线BN平行；④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为________(填入所有正确结论的序号).【解析】由异面直线判定定理知：①直线AM与直线CC1异面；②直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平行(E为DD1的中点)，所以③直线AM与直线BN异面.答案：②④14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________.【解析】由题意知：PA⊥DE，又PE⊥DE，PA∩PE=P，所以DE⊥面PAE，所以DE⊥AE.易证△ABE∽△ECD.设BE=x，则=，即=.所以x2-ax+9=0，由Δ>0，解得a>6.答案：a>615.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，点M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可).【解题指南】可以证明BD⊥PC，因此只需确定M的位置，使BM⊥PC即可.(DM⊥PC也可).【解析】因为四边形ABCD的边长相等，所以四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.若PC⊥平面BMD，即PC垂直于平面BMD中两条相交直线，所以当BM⊥PC时，PC⊥平面BMD，所以平面PCD⊥平面BMD.答案：BM⊥PC(其他合理即可)16.(2016·成都高二检测)如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE；③V B-ACE的体积是a2；④平面ABC⊥平面ADC；⑤直线EA与平面ADB所成角为30°.其中正确的有________.(填写你认为正确的序号)【解析】由题意，AB=BC，AE=a，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a，①由于BC∥DE，所以∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角.因为AB=a，BC=a，AC=a，所以BC⊥AC，所以tan∠ABC=，故①正确；②由图象可知AB与CE是异面直线，故②错误.③V B-ACE的体积是S△BCE×AD=×a3=a3，故③错误；④因为AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，所以AD⊥BC，因为BC⊥CD，AD∩CD=D，所以BC⊥平面ADC，因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故④正确；⑤连接CE交BD于F，则EF⊥BD，因为平面ABD⊥平面BDE，所以EF⊥平面ABD，连接AF，则∠AFE为直线AE与平面ABD所成角，在△AFE中，EF=a，AE=a，所以sin∠EAF==，则∠EAF=30°，故⑤正确.答案：①④⑤三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面.(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.【证明】(1)连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EF ∥B1D1，又因为B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF与BD共面，所以E，F，B，D四点共面.(2)因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，因为A1C∩平面DBFE=R，所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，所以P，Q，R三点共线.18.(12分)(2016·菏泽高一检测)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点.(1)求证：OE∥平面BCC1B1.(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.【解析】(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C ∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC ⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.19.(12分)如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE ∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG.(1)求证：EC⊥CD.(2)求证：AG∥平面BDE.【证明】(1)由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，所以EC⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，故EC⊥CD.(2)在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连接DM，则由已知知，MG=MN，MN∥BC∥DA，且MN=AD=BC，所以MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，所以AG∥DM，因为DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，所以AG∥平面BDE.20.(12分)(2016·泰安高一检测)如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC.(1)求证：平面AEF⊥平面PBC.(2)求二面角P-BC-A的大小.【解题指南】(1)要证平面AEF⊥平面PBC，可通过证明AE⊥平面PBC 得出，而要证AE⊥平面PBC，已有AE⊥PB，则证出BC⊥AE即可，后者利用BC⊥平面PAB可以证出.(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，易知为45°.【解析】(1)因为PA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB与PA相交于点A，所以BC⊥平面PAB，又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB与BC相交于点B，所以AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC.(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BC，又AB⊥BC，所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，在Rt△PAB中，因为PA=AB，所以∠PBA=45°，即二面角P-BC-A的大小为45°.21.(12分)(2016·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC.(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.【解析】(1)因为PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,所以DC⊥平面PAC.(2)因为AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(3)取PB中点F.连接CE,EF,CF.因为E为AB中点,所以PA∥EF.又因为PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,所以PA∥平面CEF.因此,当F为PB中点时,PA∥平面CEF.22.(12分)如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC= ∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论.(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.【解析】(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下：取AB的中点F，连接DP，PF，EF，则FP∥AC，FP=AC，取AC的中点M，连接EM，EC，因为AE=AC且∠EAC=60°，所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC.所以四边形EMCD为矩形，所以ED=MC=AC.又因为ED∥AC，所以ED∥FP且ED=FP，所以四边形EFPD是平行四边形，所以DP∥EF，而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，所以DP∥平面EAB.(2)过C作CG∥AB，过B作BG∥AC，CG∩BG=G，连接GD.因为ED∥AC，所以ED∥BG，所以B，E，D，G四点共面，所以平面EBD与平面ABC相交于BG，因为CD⊥AC，平面ACDE⊥平面ABGC，所以CD⊥平面ABGC，又因为BG⊂平面ABGC，所以BG⊥CD，又BG⊥GC，CD∩GC=C，所以BG⊥平面CDG，所以BG⊥DG，所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ，设AB=AC=AE=a，则GC=AB=a，DC=EM=a，所以GD==a，所以cosθ=cos∠DGC==.关闭Word文档返回原板块。
【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》课时单元检测 章末检测(B)
第二章章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．给出下列语句：①一个平面长3 m，宽2 m；②平面内有无数个点，平面可以看成点的集合；③空间图形是由空间的点、线、面所构成的．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．a∥β，则a平行于β内的()A．一条确定的直线B．任意一条直线C．所有直线D．无数多条直线3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是()A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面5．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1()A．相等B．互补C．相等或互补D．以上均不对6．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DBA．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．A．4 B．3 C．2 D．1A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β11．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°12．如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A ．63 B ．255 C ．155 D ．105 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于O ，若AO ＝8，BO ＝9，CD ＝34，则CO ＝________．14．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．①若AC ＝BD ，则四边形EFGH 是________；②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是________．15．在边长为a 的等边三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C后，BC ＝12a ，这时二面角B －AD －C 的大小为________．16．如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：________时，SC ∥平面EBD ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA上的点，且满足AE EB ＝AH HD ＝12，CF FB ＝CGGD＝2．(1)求证：四边形EFGH 是梯形；(2)若BD ＝a ，求梯形EFGH 的中位线的长．18．(12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC．19．(12分) 如图所示，在四面体ABCD中，若棱CD＝2，其余各棱长都为1，试问：在这个四面体中，是否存在两个面互相垂直？证明你的结论．20．(12分) 如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ⊥PD ，底面ABCD 是直角梯形，其中BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，AD ＝3BC ，O 是AD 上一点．(1)若CD ∥平面PBO ，试指出点O 的位置； (2)求证：平面P AB ⊥平面PCD ．21．(12分) 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1．(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE ．22．(12分) 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(1)求证：OD ∥平面P AB ；(2)求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值．第二章 点、直线、平面之间的位置关系(B) 答案1．B2．D [直线a 平行于过a 且与α相交的平面的交线，在平面α内与交线平行的直线有无数条．]3．C [易知A 、B 中的直线是平行的，故一定共面，D 选项的四个点恰好在一个六边形的截面上(如图所示)．]4．C [可以以正方体为载体作出判断．] 5．C6．B [因为AD 1⊥A 1D ，且AD 1⊥A 1B 1．]7．C [关键在于“共面的直线m 、n ”，且直线m ，n 没有公共点，故一定平行．] 8．B [①②④正确．]9．C [当l ⊥α，α⊥β时不一定有l ⊂β，还有可能l ∥β，故A 不对，当l ∥α，α∥β时，l ⊂β或l ∥β，故B 不对，若α∥β，α内必有两条相交直线m ，n 与平面β内的两条相交直线m ′，n ′平行，又l ⊥α，则l ⊥m ，l ⊥n ，即l ⊥m ′，l ⊥n ′，故l ⊥β，因此C 正确，若l ∥α，α⊥β，则l 与β相交或l ∥β或l ⊂β，故D 不对．]10．D [∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l ． ∵AB ∥l ，∴AB ∥m ．故A 一定正确．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ．从而B 一定正确． ∵A ∈α，AB ∥l ，l ⊂α，∴B ∈α．∴AB ⊄β，l ⊂β．∴AB ∥β．故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立．故D 不一定成立．]11．D [对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成角，此角为45°，故D 错．]12．D [如图所示，在平面A 1B 1C 1D 1内过点C 1作B 1D 1的垂线，垂足为E ．连接BE ．⎭⎪⎬⎪⎫C 1E ⊥B 1D 1C 1E ⊥BB 1⇒C 1E ⊥平面BDD 1B 1． ∴∠C 1BE 的正弦值就是所求值．∵BC 1＝22＋12＝5，C 1E ＝2×222＝2．∴sin ∠C 1BE ＝C 1E BC 1＝25＝105．]13．16或272解析 当AB 与CD 的交点O 在两平面之间时CO ＝16；当AB 与CD 的交点O 在两平面之外时，CO ＝272．14．菱形 矩形 15．60°解析 如图所示可知，∠CDB 为二面角B －AD －C 的平面角，由CD ＝BD ＝BC ＝12a ，可知∠CDB ＝60°．16．E 是SA 的中点解析 连接AC 交BD 于O ，则O 为AC 中点， ∴EO ∥SCEO ⊂面EBD ，SC ⊄面EBD ， ∴SC ∥面EBD ．17．(1)证明 因为AE EB ＝AH HD ＝12，所以EH ∥BD ，且EH ＝13BD ．因为CF FB ＝CGGD＝2，所以FG ∥BD ，且FG ＝23BD ．因而EH ∥FG ，且EH ＝12FG ，故四边形EFGH 是梯形．(2)解 因为BD ＝a ，所以EH ＝13a ，FG ＝23a ，所以梯形EFGH 的中位线的长为12(EH ＋FG )＝12a ．18．(1)解 该几何体的直观图如图所示(2)①证明 连接AC ，BD 交于点O ，连接OG ，因为G 为PB 的中点，O 为BD 的中点，所以OG ∥PD ．又OG ⊂面AGC ，PD ⊄面AGC ，所以PD ∥面AGC ．②证明 连接PO ，由三视图，PO ⊥面ABCD ，所以AO ⊥PO ． 又AO ⊥BO ，所以AO ⊥面PBD ． 因为AO ⊂面AGC ， 所以面PBD ⊥面AGC ．19．解 存在两个互相垂直的平面，即平面ACD ⊥平面BCD ．过A 作AE ⊥CD ，∵AD ＝AC ＝1，DC ＝2，∴∠DAC ＝90°，∴AE ＝22，连接BE ，∵BD ＝BC ＝1，CD ＝2，BE ⊥DC ，BE ＝22， ∴∠AEB 是二面角A —CD —B 的平面角． ∵AB ＝1，∴AB 2＝AE 2＋BE 2， ∴∠AEB ＝90°，∴平面ACD ⊥平面BCD ．20．(1)解 ∵CD ∥平面PBO ，CD ⊂平面ABCD ， 且平面ABCD ∩平面PBO ＝BO ， ∴BO ∥CD ．又BC ∥AD ，∴四边形BCDO 为平行四边形． 则BC ＝DO ，而AD ＝3BC ，∴AD ＝3OD ，即点O 是靠近点D 的线段AD 的一个三等分点．(2)证明 ∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ， 且AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面P AD ．又PD ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥PD ．又P A ⊥PD ，且AB ∩P A ＝A ， ∴PD ⊥平面P AB ． 又PD ⊂平面PCD ，∴平面P AB ⊥平面PCD ． 21．证明 (1)如图设AC 与BD 交于点G ． 因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG ．因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE ． (2)连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，∴四边形CEFG 为平行四边形，又∵CE ＝EF ＝1，∴▱CEFG 为菱形， ∴EG ⊥CF ．在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ．∵正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，∴BD ⊥平面CEFG ．∴BD ⊥CF ．又∵EG ∩BD ＝G ，∴CF ⊥平面BDE ．22．(1)证明 如图，∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点， ∴OD ∥P A ．又P A ⊂平面P AB ，OD ⊄平面P AB ， ∴OD ∥平面P AB ．(2)解 ∵AB ⊥BC ，OA ＝OC ， ∴OA ＝OB ＝OC ． 又∵OP ⊥平面ABC ， ∴P A ＝PB ＝PC ．取BC 的中点E ，连接PE ，OE ， 则BC ⊥平面POE ， 作OF ⊥PE 于F ，连接DF ，则OF ⊥平面PBC ，∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角． 设AB ＝BC ＝a ，则P A ＝PB ＝PC ＝2a ，OA ＝OB ＝OC ＝22a ，PO ＝142a ．在△PBC 中，∵PE ⊥BC ，PB ＝PC ，∴PE ＝152a ．∴OF ＝21030a ．又∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点，∴OD ＝P A2＝a ．在Rt △ODF 中，sin ∠ODF ＝OF OD ＝21030．∴OD 与平面PBC 所成角的正弦值为21030．。