中考试题分类汇编--函数综合题(2)

Q4(6，6).
10.（2006·荆门市）在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动.设运动时间为t(秒).
(1)用含t的代数式表示点P的坐标;
(2)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（，）；
（2）若P，A两点在抛物线y=－ x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）30,（ , ）;
（2）∵点P（ , ），A（ ，0）在抛物线上，故- × +b× +c= ,- ×3+b× +c=0,∴b= ,c=1.∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+1,C点坐标为（0，1）.∵- ×02+ ×0+1=1，
∴点C在此抛物上.
6.（2006·长春市）如图，二资助函数 的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.
（1）求点A的坐标.
（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式.
（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.
（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________.
解得，k＝3或k＝－1．
而tanα＋tanβ＝－ k＞0，
∴k＜0．∴k＝3应舍去，k＝－1．
故所求二次函数的解析式为y＝－x2＋ x－1．
（2）不在．
过C作CD⊥AB于D．
令y＝0，得－x2＋ x－1＝0，
解得x1＝ ，x2＝2．
∴A（ ，0），B（2，0），AB＝ ．
∴tanα＝ ，tanβ＝2．设CD＝m．则有CD＝AD·tanα＝ AD．
(3)当t=1或t= 时,即∠OPQ=90°时,以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线.当t=1时,点P、Q、O三点的坐标分别为P( , ),Q(3,0),O(0,0).设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-0),即y=a(x2-3x).将P( , )代入上式,得a=- .∴y=- (x2-3x).
（3）不可能使△A′EF成为直角三角形.
∵∠FA，E=∠FAE=60o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A，EF=90o或∠A，FE=90o
若∠A，EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A，、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；
同理若∠A，FE=90o也不可能
所以不能使△A′EF成为直角三角形.
(1)求线段OC的长.
(2)求该抛物线的函数关系式．
(3)在 轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？
若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，
请说明理由.
解：（1） ；（2） ；（3）4个点：
4．（2006·苏州市）已知函数y= 和y=kx+l(k≠O)．
(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；
(3)在什么条件下,以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式.
解:(1)作PM⊥y轴,PN⊥x轴.∵OA=3,OB=4,∴AB=5.
∵PM∥x轴,∴ .∴ .∴PM= t.
∵PN∥y轴,∴ .∴ .∴PN=3- t.
∴点P的坐标为( t,3- t).
13．（2006·临安市） 如图，△OAB是边长为 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在 轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.
（1）当A′E// 轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E// 轴，且抛物线 经过点A′和E时，求抛物线与 轴的交点的坐标；
（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.
（2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．
解：（1）∵ α，β是Rt△ABC的两个锐角，
∴tanα·tanβ＝1．tanα＞0，tanβ＞0．
由题知tanα，tanβ是方程
x2＋ kx－（2＋2k－k2）＝0的两个根，
∴tanx·tanβ＝（2＝2k－k2）＝k2－2k－2，∴k2－2k－2＝1．
解：（1）由已知可得∠A，OE=60o, A，E=AE
由A′E// 轴,得△OA，E是直角三角形，
设A，的坐标为（0，b）
AE=A，E= ,OE=2b
所以b=1，A，、E的坐标分别是（0，1）与（ ，1）
（2）因为A，、E在抛物线上，所以
所以 ，函数关系式为
由 得
与x轴的两个交点坐标分别是（ ，0）与（ ，0）
(4)若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y= x平移时，判断△ABC介于直线 ， 之间部分的面积是否改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由)
解：(1)y= +2 y= -m
(2)不变的量有：
①四边形四个内角度数不变，理由略；
②梯形EFGH中位线长度不变(或EF+GH不变)，理由略．
（1）求二次函数 的关系式.
（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB= 90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC= 5。将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.
解：（1）∵M（1，－2），N（－1，6）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，
∴ 解得
(2)①当∠POQ=90°时,t=0,△OPQ就是△OAB,为直角三角形.
②当∠OPQ=90°时,△OPN∽△PQN,∴PN2=ON•NQ.(3- t)2= t(4-t- t).
化简,得19t2-34t+15=0.解得t=1或t= .
③当∠OQP=90°时,N、Q重合.∴4-t= t,∴t= .
综上所述,当t=0,t=1,t= ,t= 时,△OPQ为直角三角形.
解 得，
∴两抛物线的交点为（0，c）
由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：
m＞ 且m≠c
15.（2006·旅顺口区）直线 分别与 轴、 轴交于B、A两点．
⑴求B、A两点的坐标；
⑵把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平
面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD
求D点的坐标．
解：如图（1）令x=0，由 得y=1
(1)求点C的坐标；
(2)求直线AD的解析式；
(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)OA=6，OB=12，
点C是线段AB的中点，OC=AC.
作CE⊥x轴于点E．
∴OE=OA=3，CE=OB=6．
14.（2006·旅顺口区）已知抛物线y=x²—4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长 度，得到一条新的抛物线.
⑴求平移后的抛物线解析式;
⑵若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;
⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax²+bx+c(a＞0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移- 个单位长度，试探索问题⑵．
(1)直线AC的解析式为________，直线 的解析式为________ (可以含m)；
(2)如图， 、 分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，当m在其范围内变化时，判断四边形EFGH中有哪些量不随m的变化而变化?并简要说明理由；
(3)将(2)中四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围；
二次函数的关系式为y=x2－4x+1.
（2）Rt△ABC中，AB= 3，BC= 5，∴AC= 4，
解得
∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移 个单位.
7.（2006·长春市）如图，在平面直角坐标系中，两个函数 的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S.
（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长.
12．（2006·临安市）抛物线y=3(x-1) +1的顶点坐标是（A）
A．（1，1）B．（-1，1）C．（-1，-1）D．（1，-1）
∴点C的坐标为(3，6).
(2)作DF⊥x轴于点F
△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4．
∴点D的坐标为(2，4).
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得 ，
解得 ，
∴直线AD的解析式为y=-x+6.
(3)存在．
Q1(-3，3)；
Q2(3，-3)；
Q3(3，-3)；
∴AD＝2CD．
又CD＝BD·tanβ＝2BD，
∴BD＝ CD．
∴2m＋ m＝ ．
∴m＝ ．∴AD＝ ．
∴C（ ， ）．
当x＝ 时，y＝ ≠
∴ 点C不在（1）中求出的二次函数的图象上．
2．（2006·永州市）已知抛物线 经过点 ．
（1）求抛物线的解析式．