四川省成都市九校联考2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
四川省成都市九校联考2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题1、直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若= ，= ，= ，则=（）A、+ ﹣B、﹣+ C、﹣+ + D、﹣+ ﹣2、函数f （x）=sin x+e x，则f'（0）的值为（）A、1B、2C、3D、03、已知m，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A、若m∥α，n∥α，则m∥nB、若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC、若m⊥α，m⊥n，则n∥αD、若m∥α，m⊥n，则n⊥α4、函数f（x）= 的单调递减区间是（）A、（0，e）B、（0，1），（1，e）C、（e，+∞）D、（﹣∞，e）5、如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A、B、C、D、6、已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1、且f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（）A、x1＞x2B、x1＜x2C、x1+x2＞0D、x1+x2＜07、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A 、2B 、C 、D 、38、若对任意的x ＞0，恒有lnx≤px ﹣1（p ＞0），则p 的取值范围是（ ） A 、（0，1]B 、（1，+∞）C 、（0，1）D 、[1，+∞）9、甲、乙两人约定在下午 4：30：5：00 间在某地相见，且他们在 4：30：5：00 之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（ ） A 、B 、C 、D 、10、如图在一个60° 的二面角的棱上有两个点A ，B ，线段分别AC 、BD 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，且AB=AC=a ，BD=2a ，则CD 的长为（ ）A 、2aB 、aC 、aD 、 a11、已知函数f （ x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则的取值范围是（ ）A 、（﹣， ）B 、（﹣，1）C 、（﹣，）D 、（﹣，1） 12、已知F 1， F 2分别为双曲线C ：﹣=1的左、右焦点，若存在过F 1的直线分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得∠BAF 2=∠BF 2F 1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A 、（3，+∞）B 、（1，2+ ）C 、（3，2+ ）D 、（1，3）二、填空题13、x 2dx=________．14、已知椭圆C1：+ =1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4 有相同的右焦点F2，点P是C1与C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率等于________．15、四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°．则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为________．16、已知函数，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，则实数m的取值范围为________．三、解答题17、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面B1CD．18、某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．19、已知函数f（x）=x+2alnx．(1)若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；(2)求函数f（x）的单调区间；(3)若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．20、在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=2AD，M，N分别为PB，PC中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C的大小；（Ⅲ）在BC上是否存在点E，使得EN⊥平面AMN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21、已知椭圆C：（a＞b＞0 ）经过点P（1，），离心率e=（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设过点E（0，﹣2 ）的直线l 与C相交于P，Q两点，求△OPQ 面积的最大值．22、已知f （x）= x2，g （x）=a ln x（a＞0）．（Ⅰ）求函数F （x）=f（x）g（x）的极值（Ⅱ）若函数G（x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）在区间（，e）内有两个零点，求的取值范围；（Ⅲ）函数h（x）=g （x ）﹣x+ ，设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若h（x 2）﹣h（x 1）存在最大值，记为M （a），则当a≤e+1 时，M （a）是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】D【考点】空间向量的加减法【解析】【解答】解：= + =﹣+ ﹣=﹣+ ﹣故选D．【分析】将向量分解成+ ，然后将利用相等向量和向量的三角形法则将与化成用、、表示即可．2、【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】解：f （x）=sinx+e x，∴f′（x）=cosx+e x，∴f′（0）=cos0+e0=1+1=2，故选：B【分析】先求导，再代值计算即可3、【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：由m，n 表示两条不同直线，α表示平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊂α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，由C错误；在D中，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．故选：B．【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在C中，n∥α或n⊂α；在D中，n与α相交、平行或n⊂α．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：f（x）= ，∴f'（x）= ，∴当x∈（0，1）和（1，e）时，f'（x）＜0，f（x）递减．故选B．【分析】求出导函数，结合函数的定义域判断函数的单调减区间即可．5、【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE= ，HE= ，OH= ．由余弦定理，可得cos∠OEH= ．故选B．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．6、【答案】C【考点】函数单调性的性质，奇函数【解析】【解答】解：函数f（x）=x﹣sinx是奇函数，由条件知，x1、x2是对称或“对等”的，因此可排除A 与B，再取x1=0、检验即知正确选项是C．故选C．【分析】根据条件可知x1、x2的大小是不能确定的，从而可排除选项A和B，再取x1=0、检验即可得到答案．7、【答案】D【考点】简单空间图形的三视图【解析】【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V= =3⇒x=3．故选D．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【考点】函数恒成立问题【解析】【解答】解：因为对任意的x＞0，恒有lnx≤px﹣1⇒p≥ 恒成立，设f（x）= 只须求其最大值，因为f'（x）= ，令f'（x）=0⇒x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，故f（x）在x=1处取最大值且f（1）=1．故p的取值范围是[1，+∞）．故选D．【分析】先把lnx≤px﹣1转化为p≥ 恒成立，再利用导函数求函数f（x）= 的最大值，让p与其最大值比较即可．9、【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成．以4：30点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，画成图为一正方形．会面的充要条件是|x﹣y|≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分，∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P（A）= ；故选B．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出集合对应的面积是边长为30的正方形的面积，写出满足条件的事件对应的集合和面积，根据面积之比得到概率10、【答案】A【考点】与二面角有关的立体几何综合题【解析】【解答】解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴= =0，∵＜，＞=60°，∴＜，＞=120°．∵= + + ，∴2= 2+ 2+ 2+2 +2 •+2 •=a2+a2+4a2+0+2×a×2a×cos120°+0=4a2．∴| |=2a．故选：A．【分析】由已知可得= + + ，利用数量积的性质即可得出．11、【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性，简单线性规划【解析】【解答】解：由图象可知：经过原点，∴f（0）=0=d，∴f（x）=ax3+bx2+cx．由图象可得：函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，函数f（x）在x=﹣1处取得极大值．∴f′（x）=3ax2+2bx+c≤0在[﹣1，1]上恒成立，且f′（﹣1）=0．得到3a﹣2b+c=0，即c=2b﹣3a，∵f′（1）=3a+2b+c＜0，∴4b＜0，即b＜0，∵f′（2）=12a+4b+c＞0，∴3a+2b＞0，设k= ，建立如图所示的坐标系，则点A（﹣1，﹣1），则k= 式中变量a、b满足下列条件，作出可行域如图：∴k的最大值就是k AO=1，k的最小值就是k CD，而k CD就是直线3a+2b=0的斜率，k CD=﹣，∴﹣＜k＜1．故选：D．【分析】利用函数以及导数的图象，推出a，b 的不等式组，然后求解即可．由图象可知：经过原点，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax3+bx2+cx．．由图象可得：函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，函数f（x）在x=﹣1处取得极大值．可得f′（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立，且f′（﹣1）=0．利用且f′（1）＜0，f′（2）＞0即可得到b＜0，3a+2b＞0，设k= ，求k的最值，进而得出结论．12、【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：在△BAF2和△BF2F1中，由∠BAF2=∠BF2F1，∠ABF2=∠F2BF1，可得△BAF2∽△BF2F1，即有= = ，即为= = ，= =e＞1，可得AF2=e（BF2﹣BA）＞c+a，即有BF2＞BA，又BA＞2a，即BF2＞2a，BF2取最小值c﹣a时，BF2也要大于BA，可得2a＜c﹣a，即c＞3a，即有e= ＞3．当AF1与x轴重合，即有= ，e= ，可得e2﹣4e﹣1=0，解得e=2+ ，即有3＜e＜2+ ．故选：C．【分析】由三角形相似的判断可得△BAF2∽△BF2F1，即有= = ，运用双曲线的定义和最值的性质，结合离心率公式，即可得到所求范围．二、<b >填空题</b>13、【答案】【考点】定积分的简单应用【解析】【解答】解：x2dx= = ．故答案为：．【分析】由定积分的概念和性质知x2dx= ，由此能求出结果．14、【答案】【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，双曲线C2：x2﹣y2=4可化为，∵|PF1|﹣|PF2|=4，则|PF1|=6，则c= =2 ，即c=2 ，由椭圆的定义可知：2a=|PF2|+|PF2|=8，∴a=4．∵椭圆C1：+ =1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，∴椭圆C1的离心率为e= = ，故答案为：．【分析】将双曲线方程转化成标准方程，则|PF2|=2，|PF1|=6，根据椭圆的定义，即可求得a=4，c=2 ，即可求得椭圆C1的离心率．15、【答案】【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】解：设以顶点 A 为端点的三条棱长都相等为1，∵，且两两夹角为60°．= ，∵以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60，∴AC就是AC1在平面ABC内的投影，∴∠C1AC是线段AC1与平面ABC所成角，在△ACC1中，AC1= ，CC1=1，AC= ，由余弦定理得cos =则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为．故答案为：【分析】以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60，由AC就是AC1在平面ABC内的投影，得∠C1AC是线段AC1与平面ABC所成角，求出AC1，利用余弦定理求解．16、【答案】【考点】函数的值，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：由题意，f（x）=0，可得m= ，∴m′= ，∴函数在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，∵存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，x=1时，m= ，x=2时，m= ，∴＜m≤ ，故答案为：；【分析】由题意，f（x）=0，可得m= ，确定函数的单调性，结合存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，x=1时，m= ，x=2时，m= ，即可得出结论三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1（2）证明：设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．18、【答案】解：（Ⅰ）由频率和等于1，所以b=1.00﹣（0.05+0.35+0.20+0.10）=0.30．a=100×0.35=35；（Ⅱ）因为第三、第四、第五组的学生数的比例是3：2：1，所以利用分层抽样从中选6人，第三、第四、第五组选取的学生人数分别是3人，2人，1人．设第三组选取的学生为1，2，3．第四组选取的学生为a，b．第五组选取的学生为c．则从6人中任意选出2人的所有方法种数是：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（1，c），（2，3），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，b），（a，c），（b，c）共15种．其中至少1人是第四组的方法种数是：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），（a，c），（b，c）共9种．所以2人中至少有1人是第四组的概率是【考点】频率分布直方图【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；（Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．19、【答案】（1）解：由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（i）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（ii）当a＜0时．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；单调递增区间是．（3）由得，由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立．即在[1，2]上恒成立．令，在[1，2]上，所以h（x）在[1，2]为减函数. ，所以【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解，在[1，2]上的最小值即可20、【答案】证明：（Ⅰ）∵M，N分别是PB，PC中点∴MN是△ABC的中位线∴MN∥BC∥AD又∵AD⊂平面PAD，MN⊄平面PAD所以MN∥平面PAD．解：（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，设AB=2，则A（﹣1，0，0），C（1，1，0），M（，0，），B（1，0，0），N（，，），则，设平面CAM法向量为，由，得，令x1=1，则，即平面ABM法向量所以，二面角B﹣AM﹣C的余弦值因为二面角B﹣AM﹣C是锐二面角，所以二面角B﹣AM﹣C等于45°（Ⅲ）存在点E，使得EN⊥平面AMN设E（1，λ，0），则，由可得，所以在BC存在点E，使得EN⊥平面AMN，此时．【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法【解析】【解答】（本小题满分14分）【分析】（Ⅰ）推导出MN∥BC∥AD，由此能证明MN∥平面PAD．（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AM﹣C的大小．（Ⅲ）设E（1，λ，0），则，由此利用向量法能求出在BC存在点E，使得EN ⊥平面AMN，此时．21、【答案】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①又e= = ②，c2=a2﹣b2③由①②③得c2=3，a2=4，b2=1，故椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），将y=kx﹣2代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜﹣．x1+x2= ，x1x2= ，|PQ|= •|x1﹣x2|= •=4 •，又O到直线PQ的距离d= ，则S△OPQ= d•|PQ|=4• ，设t= ，（t＞0），则4k2=3+t2，即有S△OPQ= =由t+ ≥2 =4，当且仅当t=2，即k=± 时等号成立，满足判别式大于0．则S△OPQ≤1．故△OPQ 面积的最大值为1【考点】椭圆的简单性质，椭圆的应用【解析】【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q （x2，y2），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值．22、【答案】解：（Ⅰ），∴，由F′（x）＞0得，由F′（x）＜0，得∴F（x）在上单调递减，在上单调递增，∴，F（x）无极大值．（Ⅱ）∴又，易得G（x）在上单调递减，在[1，e）上单调递增，要使函数G（x）在内有两个零点，需，即，∴，∴，即a的取值范围是．（Ⅲ）若0＜a≤2，∵在（0，+∞）上满足h′（x）≤0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x2）﹣h（x1）＜0．∴h（x2）﹣h（x1）不存在最大值，则a＞2，∴方程x2﹣ax+1=0有两个不相等的正实数根，令其为m，n，且不妨设0＜m＜1＜n，则，h（x）在（0，m）上单调递减，在（m，n）上调递增，在（n，+∞）上单调递减，对∀x1∈（0，1），有h（x1）≥h（m）；对∀x2∈（1，+∞），有h（x2）≤h（n），∴[h（x2）﹣h（x1）]max=h（n）﹣h（m）．∴= ．将，代入上式，消去a，m，得：，∵，∴，n＞1．据在x∈（1，+∞）上单调递增，得n∈（1，e]，设，x∈（1，e]，，x∈（1，e]，∴φ′（x）＞0，即φ（x）在（1，e]上单调递增，∴，∴M（a）存在最大值为【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可；（Ⅲ）求出函数的导数，得到方程x2﹣ax+1=0有两个不相等的正实数根，令其为m，n，根据函数的单调性判断即可．。
2016-2017年四川省成都市九校联考高一(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=（﹣1）n+1n2D．a n=（﹣1）n（n+1）22．（5分）计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±24．（5分）等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣5．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米6．（5分）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．7．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．11．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，] 12．（5分）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f（x）的最大值为．14．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=8，则S6等于．15．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinA，则△ABC的面积为．16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．20．（12分）已知数列{a n}前n项和（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos （A+C）=sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；=2S△BCD，求BD．（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S△BAD22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n+1）a n=2S n（n∈N*），数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．2016-2017学年四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=（﹣1）n+1n2D．a n=（﹣1）n（n+1）2【解答】解：经观察分析数列的一个通项公式为：a n=（﹣1）n+1n2故选：C．2．（5分）计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：2sin275°﹣1=﹣（1﹣2sin275°）=﹣cos150°=cos30°=，故选：D．3．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±2【解答】解：∵xz=（﹣1）×（﹣2）=2，y2=2，∴y=﹣（正不合题意），∴xyz=﹣2．故选：C．4．（5分）等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣【解答】解：由tan45°=tan（17°+28°）=，∴=．故选：B．5．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米【解答】解：设AB=x米，在直角△ACB中，∠ACB=45°，∴BC=AB=x米．在直角△ABD中，∠D=30°，BD=x，∵BD﹣BC=CD，∴x﹣x=200，解得：x=100（+1）．故选：C．6．（5分）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，∴sinα=，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣=，故选：B．7．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+（a1+4d）]×=a1+（a1+d），解得a1=，故选：C．8．（5分）在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=，∴=，∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选：B．9．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或【解答】解：△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，∴，解得AB=，BC=1，∴由余弦定理得：，解得AC=1或AC=2，当AC=1时，△ABC的面积S===．当AC=2时，△ABC的面积S===．故选：D．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）=sin cosα﹣cos sinα，即3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴1+sin2α=，∴sin2α=﹣，∵，∴cos2α=﹣=﹣．故选：A．11．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1，即sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍）当sin（a3﹣a6）=1时，∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=，d=﹣．∵=+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴﹣=9，化为．∴=．故选：C．12．（5分）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】（本题满分为12分）解：由：（a+b+c）（a+c﹣b）=，可得：，根据余弦定理得：，∵B是锐角，∴．∴，即，=，又△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f（x）的最大值为2．【解答】解：∵函数=2sin（x+），∴f（x）的最大值为2，故答案为：2．14．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=8，则S6等于18．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和性质可得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列．∴2×6=2+S6﹣8，解得S6=18．故答案为：18．15．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinA，则△ABC的面积为．【解答】解：在△ABC中由正弦定理可知：===2R，由sinC=2sinA，则c=2a，cosB=，sinB==，由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+（2a）2﹣2a•2a×，解得a=，c=3，△ABC的面积S=acsinB=××3×=，故答案为：，．16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为λ＜2．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），∴，化为，∴数列是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴，∴b n=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）•2n，+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴n≥2时，（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，化为λ＜n+1，∵数列{n+1}为单调递增数列，∴λ＜3．n=1时，b2=（1﹣λ）×2＞﹣λ=b1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故答案为：λ＜2．三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，∵a1，a3，a9成等比数列，∴，∴（1+2d）2=1×（1+8d）．∴d=0（舍）或d=1，∴a n=n．（2）令；S n=b1+b2+b3+…+b n=（21+1）+（22+2）+（23+3）+…+（2n+n）=（21+22+…+2n）+（1+2+3+…+n）==，．18．（12分）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．【解答】解：（1）∵α为锐角，，∴；∵β为锐角，，∴，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，∵α+β∈（0，π），∴α+β=．（2）==sin50°•==1．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．【解答】解：函数，化解可得：f（x）=2sin2xcos+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．∴函数f（x）的最小正周期T=，由得，故函数f（x）的单调递增区间，（2）∵，∴，∵0＜A＜π，∴，∴，，在△ABC中，由正弦定理得：，即．，即．20．（12分）已知数列{a n}前n项和（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}前n项和为当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==n+1．当n=1时，，不满足a n=n+1．∴{a n}的通项公式为．（2）当n≥2时，==．当n=1时，，∴T n=b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n=﹣++++…++=﹣+=﹣．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos （A+C）=sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；=2S△BCD，求BD．（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S△BAD【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：∵cosA•cosC﹣cos（A+C）=sin2B．∴cosA•cosC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=sin2B，可得：sinAsinC=sin2B，∴由正弦定理可得：b2=ac，∴a，b，c成等比数列；（Ⅱ）如图，∵角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，可得：AD+CD=6，=2S△BCD，可得：AD=2CD，∵S△BAD∴解得：AD=4，CD=2，∵由（Ⅰ）可得：b2=ac=36，∵=，可得：AB=2BC，即c=2a，∴解得：a=3，c=6，∴cosA==，∴BD==2．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n+1）a n=2S n（n∈N*），数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵（n+1）a n=2S n，∴，n∈N*当n≥2时，，=（n﹣1）a n，即（n≥2）．∴na n﹣1∴（n≥2），又a1=1，也满足上式，故数列{a n}的通项公式a n=n（n∈N*）．．由，，，可知：数列{b n}是等比数列，其首项、公比均为，∴数列{b n}的通项公式：b n=．（2）∵a n b n=n．∴T n=+3×+…+n．=+…+（n﹣1）+n，∴T n=+…+﹣n=﹣n，∴．又S n=1+2+…+n=．不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，即λn+＜2，即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0，（n∈N*）恒成立．设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6，（n∈N*）．当λ=1时，f（n）=﹣n﹣6＜0恒成立，则λ=1满足条件；当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ＞1时，由于对称轴x=＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，∴f（n）≤f（1）=﹣3λ﹣4＜0恒成立，则λ＞1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．。
2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理)Word版含解析
2016-2017学年高二下学期期中试卷（理）数学一、选择题1、命题“若q则p”的否命题是（）A、若q则￢pB、若￢q则pC、若￢q则￢pD、若￢p则￢q2、已知命题p：存在x0＞0，使2 ＜1，则￢p是（）A、对任意x＞0，都有2x≥1B、对任意x≤0，都有2x＜1C、存在x0＞0，使2 ≥1D、存在x0≤0，使2 ＜13、已知向量→m=（λ+1，1，2），=（λ+2，2，1），若（→m+ ）⊥（→m﹣），则λ=（）A、B、﹣C、﹣2D、﹣14、设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A、B、C、D、5、如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A、B、C、D、6、已知椭圆+ =1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A、2B、3C、4D、97、函数f（x）= x2﹣lnx的递减区间为（）A、（﹣∞，1）B、（0，1）C、（1，+∞）D、（0，+∞）8、若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A、f（0）+f（2）＜2f（1）B、f（0）+f（2）＞2f（1）C、f（0）+f（2）≤2f（1）D、f（0）+f（2）≥2f（1）9、直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A、2B、4C、2D、410、三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且= ，= ，= ，用，，表示，则等于（）A、（﹣+ + ）B、（+ ﹣）C、（﹣+ ）D、（﹣﹣+ ）11、在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=CC1=2，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A、0B、C、﹣D、12、若函数f（x）= +bx+c有极值点x1， x2（x1＜x2），且f（x1）=x1，则关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实数根的个数为（）A、1B、2C、3D、4二、填空题13、如图，函数F（x）=f（x）+ x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=________．14、若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于________．15、若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是________．16、若函数f（x）在其定义域的一个子集[a，b]上存在实数（a＜m＜b），使f（x）在m处的导数f′（m）满足f（b）﹣f（a）=f′（m）（b﹣a），则称m是函数f（x）在[a，b]上的一个“中值点”，函数f（x）= x3﹣x2在[0，b]上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是________．三、解答题17、设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+a|＜1}．(1)若a=3，求A∪B；(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18、已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19、已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．(1)求a，b的值；(2)判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．20、如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．(1)求CE的长；(2)求证：A1C⊥平面BED；(3)求A1B与平面BDE夹角的正弦值．21、已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合．(1)求椭圆的方程；(2)过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．22、已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．(1)当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；(2)当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．(3)若a＞0，且对任意的x1， x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．2016-2017学年高二下学期期中试卷（理）数学答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】C【考点】四种命题间的逆否关系【解析】【解答】解：根据否命题的定义，同时否定原命题的条件和结论即可得到命题的否命题．∴命题“若q则p”的否命题是的否命题是：若￢q则￢p．故选：C．【分析】根据否命题的定义进行判断即可．2、【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：∵命题p：存在x0＞0，使2 ＜1为特称命题，∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2x≥1．故选：A【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得．3、【答案】B【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】【解答】解：∵向量→m=（λ+1，1，2），=（λ+2，2，1），（→m+ ）⊥（→m﹣），则∴（→m+ ）•（→m﹣）=（2λ+3，3，3）•（﹣1，﹣1，1）=﹣2λ﹣3=0，解得．故选：B．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．4、【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】解：f′（x）=3ax2+6x，∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a=故选D．【分析】先求出导函数，再代值算出a．5、【答案】A【考点】函数的单调性与导数的关系【解析】【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．6、【答案】B【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：∵椭圆+ =1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【分析】利用椭圆+ =1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．7、【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=x﹣= ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函数f（x）在（0，1）递减，故选：B．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．8、【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0 ∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选D．【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．9、【答案】D【考点】定积分【解析】【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）| =8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．10、【答案】B【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】【解答】解：∵= ，= ，= ，=，= ，∴= == ﹣+ ，∴= + ，故选：B．【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得：= ，= ，= ，= ，= ，代入化简即可得出．11、【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=CC1=2，∴以A为原点，在平面ABC中过A作AC 的垂直为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（，1，2），B（，1，0），C1（0，2，2），=（），=（﹣，1，2），设异面直线AB1和BC1所成角为θ，则cosθ= = = ．∴异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为．故选：D．【分析】以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂直为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1和BC1所成角的余弦值．12、【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数f（x）=x3+ ax2+bx+c有两个极值点x1， x2，∴f′（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2，不妨取0＜x1＜x2， f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：C．【分析】函数f（x）=x3+ ax2+bx+c有两个极值点x1， x2，可得f′（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．二、<b >填空题</b><b></b>13、【答案】-5【考点】函数的值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：F（5）=f（5）+5=﹣5+8=3，所以f（5）=﹣2．又F′（x）=f′（x）+ x，所以F′（5）=f′（5）+ ×5=﹣1，解得f′（5）=﹣3，f（5）+f′（5）=﹣5．故答案为：﹣5【分析】根据切点在函数F（x）的图象上，求出切点坐标，然后求出函数F（x）的导函数F'（x），根据F'（5）=﹣1求出f′（5），从而求出所求．14、【答案】【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】解：∵直线l的方向向量，平面α的一个法向量，∴直线l与平面α所成的角的正弦值=| |= ．故答案为．【分析】利用向量的夹角公式，即可求出直线l与平面α所成角的正弦值．15、【答案】[1，2）【考点】元素与集合关系的判断，四种命题的真假关系【解析】【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题则它的否命题为真命题即{x|x ＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命题所以的取值范围是[1，2），故答案为[1，2）．【分析】原命题是假命题可转化成它的否命题是真命题进行求解，求出满足条件的x即可．16、【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：f′（x）=x2﹣2x，设= b2﹣b，由已知可得x1， x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，令g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，则，解得：＜b＜3，故答案为：．【分析】根据新定义得到x1， x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，构造函数g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，列出不等式组，解得即可三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：解不等式x2+2x﹣3＜0，得﹣3＜x＜1，即A=（﹣3，1），当a=3时，由|x+3|＜1，解得﹣4＜x＜﹣2，即集合B=（﹣4，﹣2），所以A∪B=（﹣4，1）（2）解：因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集又集合A=（﹣3，1），B=（﹣a﹣1，﹣a+1），所以或，解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是0≤a≤2【考点】并集及其运算，必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【分析】（1）通过解不等式，求出集合A、B，从而求出其并集即可；（2）问题转化为集合B是集合A的真子集，得到关于a的不等式组，解出即可．18、【答案】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m+1＜3﹣m，解得：﹣1＜m＜1，∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1≤m＜3．综上，实数m的取值范围是[1，3）【考点】命题的真假判断与应用【解析】【分析】若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，进而可得实数m的取值范围．19、【答案】（1）解：因为函数f（x）=ax2+blnx，所以．又函数f（x）在x=1处有极值，所以即可得，b=﹣1（2）解：由（1）可知，其定义域是（0，+∞），且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）= ，f′（1）=0得到a、b 即可；（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可．20、【答案】（1）解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）．设E点坐标为（0，2，t），则=（﹣2，0，t），=（﹣2，0，﹣4）．∵BE⊥B1C，∴•=4+0﹣4t=0．∴t=1，故CE=1．（2）证明：由（1）得，E（0，2，1），=（﹣2，0，1），又=（﹣2，2，﹣4），=（2，2，0）∴•=4+0﹣4=0，且•=﹣4+4+0=0．∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE，即A1C⊥平面BED（3）解：由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量．又=（0，2，﹣4），∴cos＜，＞= = ．∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用•=0，即可求得结论；（2）证明⊥且⊥，可得A1C⊥DB，A1C⊥BE，从而可得A1C⊥平面BED；（3）由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值．21、【答案】（1）解：根据题意，得F（1，0），∴c=1，又，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的方程为：（2）解：显然l的斜率不为0，设l：x=my+1，联立直线l与椭圆方程，化简，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设A（x1， y1），B（x2， y2），则△＞0恒成立，由韦达定理，得y1+y2= ，y1y2= ，∴==|y1﹣y2|=== ，令t= ，t≥1，则m2=t2﹣1，∴= = ，令（t≥1），则= ＞0，∴u（t）在[1，+∞）上单调递增，∴当t=1即m=0时，u min（t）=u（1）=4，（）max=3，故当m=0时，△AF'B的面积的最大值为3【考点】椭圆的简单性质【解析】【分析】（1）根据题意得F（1，0），即c=1，再通过及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；（2）由题设l：x=my+1，A（x1， y1），B（x2， y2），联立直线l与椭圆方程，结合韦达定理，得=，利用换元法计算即可．22、【答案】（1）解：当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．．当x∈时，f′（x）0，所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e（2）解：由f（x）=alnx+x2，得．若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a＜0，由f′（x）=0，得x= （舍），或x= ．若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若，即a≤﹣2e2， f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；若，即﹣2e2＜a＜﹣2，f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．= ．当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0．当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．当﹣e2≤a＜﹣2e时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2．当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；（3）解：若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+ ＜f（x1）+ ，由此说明函数G（x）=f（x）+ 在[1，e]单调递减，所以G′（x）= ≤0对x∈[1，e]恒成立，即a 对x∈[1，e]恒成立，而在[1，e]单调递减，所以a ．所以，满足a＞0，且对任意的x1， x2∈[1，e]，都有成立的实数a的取值范围不存在【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，不等式的证明，根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数；（3）a＞0判出函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，在规定x1＜x2后把转化为f（x2）+ ＜f（x1）+ ，构造辅助函数G（x）=f（x）+ ，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围．。
2016-2017学年四川省成都市高二6月联考数学(理)试题(解析版)12
高二6月联考数学（理）试题一、选择题1．设,a b 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面, ,a b αβ⊂⊥,则“//αβ”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】若,,a b b a ββ⊥⊥∴ 或a β⊂ ，此时αβ 或α 与β 相交，即必要性不成立，若,,,,b b a a b αββαα⊥∴⊥⊂∴⊥ ，即充分性成立，故αβ 是a b ⊥ 的充分不必要条件，故选A.2．下面茎叶图表示的是甲、乙两只篮球队三场不同比赛的得分情况，其中有一个数字不清楚，在图中用m 来表示.若甲队的平均分不低于乙队平均分，则m 的可能取值的集合为（ ）A. {2，3}B. {0，1，2}C. {1，2}D. {2} 【答案】B【解析】由茎叶图知，甲的平均成绩为()1889293913⨯++= ；乙的平均成绩为()119091909033m m +⨯+++=+ ，又19190,23mm +≥+∴≤ ，又,m N m ∈∴ 的可能取值集合为{}0,1,2 ，故选B.3．某程序框图如图所示,执行该程序,若输入的a 值为1,则输出的a 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得1,1,2111,2a i a i ===⨯-== ，不满足条件3,2213,3i a i >=⨯-== ，不满足条件3,2333,4i a i >=⨯-== ，满足条件3i > ，退出循环，输出a 的值为3 ，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．已知i 为虚数单位，复数1a i z i -=-（a R ∈），若01sin z x dx x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，则a 为（ ）A. 1B. -1C. ±D. ±1 【答案】D【解析】001cos |x z sinx dx x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ ()()cos 1cos001π=-----= ,()()1111222a i i a i a a z i i -+-+-===+- , 2211122a a +-⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得1a =±，故选D.5．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为EA BCDA ．3B ．2C ．1D ．3- 【答案】D【解析】试题分析：因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD =+，∴2AD AC AE =-+ ，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-．【考点】平面向量的几何运算6．一个六面体的三视图如图所示,其侧视图是边长为2的正方形,则该六面体的表面积是（ ）A. 18+B. 16+C. 14+D. 12+【答案】B【解析】由三视图知，几何体为四棱柱，根据左视图是边长为2 的正方形可得四棱柱的高为2，底面四边形为直角梯形的高也为2，又底面直角梯形的两底边长分别为1,2，所以几何体的表面积(122212226102S +=⨯⨯+++⨯=++16=+，故选B. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 7．若,x y 满足20,{40,0,x y x y y -+≥+-≤≥则2z y x =+的最大值为（ ）A. 8B. 4C. 2D. 1 【答案】A【解析】由约束条件20{400x y x y y -+≥+-≤≥ 作出可行域如图，令2t y x =+ ，化为2y x t =-+ ，由图可知，当直线2y x t =-+过()4,0点 时，t 有最小值为8 ， 2z y x ∴=+ 的最大值为8 ，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且,2,a b c 成等差数列,则cos B 的最小值为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 78【答案】D【解析】,2,a b c成等比数列，22222211744,cos 122288aca cb ac b ac B ac ac ac +-+∴=∴==-≥-= ，当且仅当a c =时，取等号， cos B ∴ 的最小值为78 ，故选D.9．等差数列{}n a 中的32017,a a 分别是函数()32641f x x x x =--＋的两个不同极值点，则110104log a 为（ ）A.12 B. 2 C. -2 D. -12 【答案】D【解析】()232017'3124,,f x x x a a =-+ 是函数()32641f x x x x =-+- 的极值点， 32017,a a ∴ 是方程231240x x -+= 的两个实数根，则320174a a += ，而{}n a 为等差数列， 3201710102a a a ∴+= ，即20102a = ，从而120101441log log 22a==- ，故选D. 10．已知函数()()2cos 1(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=>><<＋＋的最大值为3，()f x 的图像与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()()1232017f f f f +++ ＋的值为（ ） A. 4030 B. 4032 C. 4033 D. 4035【答案】C 【解析】()()()21cos 22cos 1?1(0,0,0)22x f x A x A A ωϕπωϕωϕ++=++=+>><< 的最大值为3 ， 1322A A∴++= ，可求2A = ，因为函数图象相邻两条对称轴间的距离为2 ，可得函数的最小正周期为4 ，即242πω= ，所以解得4πω= ，又()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2 ，可得()c o s 2112,c o s 20,22πϕϕϕ++=∴== ，解得4πϕ= ，所以函数的解析式为()cos 22222f x x sin x πππ⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭ ，()()()23201712...2017...220172222f f f sin sin sin sinππππ⎛⎫∴+++=-+++++⨯ ⎪⎝⎭20175040sin403440332π=⨯++= ，故选C. 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,若双曲线上存在点P ,使1221sin PF F aSIN PF F c∠=∠,则该双曲线的离心率e 范围为（ ）A. （1,1 B. （1,1 C. （1,1 D. （1,1 【答案】A【解析】由题意，点P 不是双曲线的顶点，否则1221a csin PF F sin PF F =∠∠ 无意义，在12PF F ∆ 中，由正弦定理得122112PF PF sin PF F sin PF F =∠∠，又112212,PF a cc sin PF F sin PF F PF a==∠∠ ，即12·c PF PF a = ， P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得12222,?2cP F P F a P F P Fa a-=∴-= ，即222a PF c a =- ，由双曲线的几何性质，知222,a PF c ac a c a >-∴>-- ，即2220c ac a --< ， 2210e e ∴--<，解得11e <+ ，又1e > ，所以双曲线离心率的范围是()1,1 ，故选A.【方法点晴】本题主要考查正弦定理以及利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.焦半径构造出关于e 的不等式，最后解出e 的范围.12．已知函数()f x 满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当[]()1,3,x f x l nx ∈=，若在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，曲线()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ）A. （0，1e ） B. （0， 12e） C. ln31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. ln31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]11,3x ∈ 时，又()11ln ln f x f x x x ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以函数()f x 的图象如图所示，当0a ≤ 时，显然，不合乎题意，当0a > 时，如图示，当1,13x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 时，存在一个零点，当13x << 时， ()ln f x x = ，可得()(]()()11ln 1,3,'ax g x x ax x g x a x x-=-∈=-= ，若()'0g x < ，可得()1,x g x a > 为减函数，若()'0g x > ，可得()1,x g x a< 为增函数，此时()f x 必须在[]1,3有两个零点， ()()10{3010g a g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴≤≤ ，解得ln313a e≤< ，故选C.二、填空题13．函数()()2log 23(0,1)a f x x x a a =-->≠的定义域为__________． 【答案】{ 3x x 或1x <-}【解析】 由()()2230130x x x x -->⇒+-> ，即3x >或1x <-，函数()()2l o g 23(0,1)af x x x a a =-->≠的定义域为{ 3x x 或1x <-}，故答案为{ 3x x 或1x <-}.14．已知向量()()1,cos ,sin ,2m n θθ==-,且m n ⊥ ,则2sin26cos θθ+的值为__________． 【答案】2【解析】由题意可得向量， ()()1,cos ,,2m n sin θθ==-，且m n ⊥ ，即tan 2θ= ，所以222222c o s 6c o s2t a26c o s s i n c o s t ans i n s i n θθθθθθθθθ+++==++226241⨯+==+ ，故答案为2 . 15．已知直线y ax =与圆C :222220x y ax y +--+=相交于,A B 两点,且ABC ∆为等边三角形,则圆C 的面积为__________． 【答案】6π【解析】圆C 222220x y ax y +--+= ，化为()()22211x a y a -+-=- ，圆心(),1C a，半径R = ，因为直线y ax = 和圆C 相交， ABC ∆ 为等边三角形，所以圆心C 到直线0ax y -=的距离为60Rsin =，即d ==，解得27a = ，所以圆C 的面积为()2716R πππ=-= ，故答案为6π . 16．已知函数()()()220,{1(0),x x x f x ln x x -+≤=+>若()f x ax ≥恒成立，则a 取值范围为__________． 【答案】[-2，0]【解析】由题意可作出函数()y f x =图象，和函数y ax = 的图象，由图象可知：函数y ax =的图象为过原点的直线，直线l 为曲线的切线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，且此时函数()y f x =在第二象限的部分解析式为22y x x =- ，求其导数可得'22y x =- ，因为0x = ，故'2y =- ，故直线l 的斜率为2- ，故只需直线y ax =的斜率a 介于2-与0 之间即可，即[]2,0a ∈- ，故答案为[]2,0- .【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及导数的几何意义，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．三、解答题17．已知等比数列{}n a 满足()13541,414a a a a ==-.（1）求n a ；（2）若{}n b 满足()2=log 16n n b a ⋅,求证11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12n S <.【答案】（1）32n n a -=;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出114a =， 2q =，利用等比数列的通项公式可得n a ；（2）利用对数的运算性质可得n b ，利用“裂项相消法”求和，根据放缩法可得结论.试题解析：（1）因为等比数列()2354441a a a a ==-解得42a =又因为114a =， 3134118,2,224n n n a q q a a --====⨯=. （2）()122log 16log 21n n n b a n +===+，()()111111212n n b b n n n n +==-++++. 1111111111123344512222n S n n n =-+-+-⋯⋯-=-<+++. 【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18~68岁的人群抽取一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，……，第5组，绘制了样本的频率分布直方图:并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.（1）分别求出,,n a x 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【答案】（1）100n =, 0.9a =, 9x =;（2）2人，3人，1人;（3）35．【解析】试题分析：（1）由回答正确的人数/每组的人数=回答正确的人数占本组的比例，分别可求得要求的值；（2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（3）记抽取6 人中，第二组的记为12,a a ，第三组的记为123,,b b b ，第四组的记为c ，列举可得从6名学生中任取2 名的所有可能的情况，以及其中第二组的至少有1 人的情况种数，由古典概型可得概率. 试题解析：（1）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=第2组频率为：0.2，人数为： 1000.220⨯=，所以18200.9a =÷= 第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369x =⨯=，（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:9=2:3:1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A ，抽取的6人中，第2组的设为12,a a ，第3组的设为123,,b b b ，第4组的设为c ，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是:()()()()()121112131,,,,,,,,,a a a b a b a b a c ，()()()()2122232,,,,,,,a b a b a b a c ，()()()12131,,,,,b b b b b c ， ()()()2323,,,,,b b b c b c .其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是:()()()()()()()()()1211121312122232,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a c a b a b a b a c .∴()93155P A ==． 【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及分层抽样的应用，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先()11,A B ， ()12,AB …. ()1,n A B ，再()21,A B ，()22,A B ….. ()2,n A B 依次()()3132,,A B A B ….()3,n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ， 1BC =， 2AB =， PC PD == E 为PA 中点．（Ⅰ）求证： //PC 平面BED ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM AC ⊥？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．【答案】（I ）详见解析；（II ；（III ）12PM PC =. 【解析】试题分析：(1)利用题意证得//EF PC ，然后由线面平行的判断定理可得//PC 平面BED .(2)建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量可得二面角A PC B --的余. (3)探索性问题，利用空间向量的结论可得在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，此时12PM PC λ==． 试题解析：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为F ，连接EF . 因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点， 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点， 所以//EF PC ，又EF ⊂平面BED ， PC ⊄平面BED ， 所以//PC 平面BED .（Ⅱ）解：取CD 中点O ，连接PO .因为PCD ∆是等腰三角形， O 为CD 的中点， 所以PO CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 因为PO ⊂平面PCD ， PO CD ⊥， 所以PO ⊥平面ABCD ． 取AB 中点G ，连接OG ，由题设知四边形ABCD 为矩形， 所以OF CD ⊥， 所以PO OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,1,0A -， ()0,1,0C ， ()0,0,1P ，()0,1,0D -， ()1,1,0B ， ()0,0,0O ， ()1,0,0G .()1,2,0AC =-， ()0,1,1PC =-.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则0,{0,n AC n PC ⋅=⋅=即20,{0.x y y z -=-= 令1z =，则1y =， 2x =，所以()2,1,1n =. 平面PCD 的法向量为()1,0,0OG =， 设n ， OG 的夹角为α，所以cos α=.由图可知二面角A PC D --为锐角， 所以二面角A PC B --的余弦值为3. （Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[]0,1λ∈使得PM PC λ=．因此点()0,,1M λλ-， ()1,1,1BM λλ=--- ， ()1,2,0AC =-．由0BM AC ⋅= ，即12λ=．因为[]10,12λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，此时12PM PC λ==．20．已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是2,过E 的右焦点且垂直于椭圆的长轴的直线交椭圆于,A B 两点,且2AB =. （1）求椭圆方程,（2）过点(P 的动直线l 与椭圆E 交于不是顶点的两点,M N ,试判断·7?OM ON PM PN -是否为定值,若是,求出定值,若不是请说明理由·【答案】（1）22142x y +=;（2）-9. 【解析】试题分析：（1）过E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于,A B 两点，得222b AB a == ①，由离心率是2，得2222212c a b a a -==②，由①②得,,a b c 即可得结果；（2）设()()1?122,,,M x y N x y .直线l 的方程为：y kx =，联立2224y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()221220k x +++=， ()()228120k ∆=-+>，1212222,1212x x x x k k -+==++， 122212x x k =+ ，进行向量运算即可得结果. 试题解析：（1）∵过E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于,A B 两点，∴222b AB a==…①2222212c a b a a -==…②由①②得2,a b c === 22142x y +=. （2）当斜率不存在时，不合题意设()()1?122,,,M x y N x y .直线l 的方程为： y kx =，联立2224y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩整理得()221220k x +++=， ()()228120k ∆=-+>，12122212x x x x k+==+， ()()1?122,,,,OM x y ON x y ==((1?122,,,PM x y PN x y =-= ，)12121276621OM ON PM PN x x y y y y ⋅-⋅=--++-()226623912k k --⨯=+=-+ 综上7OM ON PM PN ⋅-⋅是定值-9. 21．已知函数. （1）讨论函数在上的单调性；（2）若与的图象有且仅有一条公切线，试求实数的值.【答案】（1）当时，的单减区间是；当时，的单减区间是，单增区间是（2）1【解析】试题分析：（1）通过求导和对参数m 进行讨论求解函数的单调性；（2）利用转化思想，要保证与的图象有且仅有一条公切线，需要分别求解两个函数的切线方程，借助直线相同建立等量斜率相等和截距相等的关系，化简方程组，确定含有参数b和m的方程有唯一解，进而明确含有m的函数关系式，利用导数为工具求解函数的单调性进而确定m的值.（Ⅰ）当时，，函数在上单调递减；当时，令，函数在上单调递减；，函数在上单调递增，综上所述，当时，的单减区间是；当时，的单减区间是，单增区间是（Ⅱ）函数在点处的切线方程为，即，函数在点处的切线方程为，即.与的图象有且仅有一条公切线.所以有唯一一对满足这个方程组，且.由（1）得：代入（2）消去，整理得：，关于的方程有唯一解.令，方程组有解时，，所以在单调递减，在单调递增， 所以， 因为，只需，令、在为单减函数，且时，，即， 所以时，关于的方程有唯一解此时，公切线方程为.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为： 1,{2,x tcos y tsin αα=+=+（t 为参数，0a π≤<），以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程6sin ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点()1,2P ，设曲线C 与直线l 交于点,A B ，求11PA PB+最小值.【答案】（1）()2239x y +-=;（2 【解析】试题分析：（1）曲线C 的极坐标方程6sin ρθ=，两边同乘以ρ ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得结果；（2）直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数的几何意义及三角函数的有界性，求11PA PB+最小值. 试题解析：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=.（2）将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程，得()22c o s s i n 7t t αα+--=， 因为()24cos sin 470αα∆=-+⨯>故可设12,t t 是方程的两根，所以()121227t t cos sin t t αα⎧+=--⎨=-⎩.又直线l 过点()1,2P ，结合t 的几何意义得：1212PA PB t t t t +=+=-==≥=.∴11PA PB PA PB PA PB ++==≥⋅。
四川省成都市双流中学2016-2017学年高二(下)期中数学试卷
2016-2017学年四川省成都市双流中学高二（下）期中数学试卷一、选择题：1、设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A、{2，4}B、{4}C、∅D、{1，3，4}2、已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A、∀x∉R，2x=5B、∀x∈R，2x≠5C、∃x 0∈R，2 =5D、∃x 0∈R，2 ≠53、圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A、﹣B、﹣C、D、24、由直线x= ，x=2，曲线y=﹣及x轴所围图形的面积为（）A、﹣2ln2B、2ln2C、D、5、已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A、﹣6B、5C、38D、﹣106、在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009= ，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A、2015B、2016C、﹣2015D、﹣20167、一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A、B、C、D、8、执行如图所示的程序框图，若输出的n=4，则输入整数p的最大值是（）A、4B、7C、8D、159、若函数y=2sinωx（ω＞0）在上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A、（0，2）B、D、0﹣（﹣）﹣，﹣ω，ω ，2）．故选：B．【分析】根据x∈求出ωx的取值范围，结合题意列出ω的不等式组，从而求出ω的取值范围．10、【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：f′（x）=e x﹣x﹣m，若函数f（x）有极值，则f′（x）有零点，即g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，g（x）的切线与h（x）平行，设切点是（x0，），则切线斜率是：k= =1，故x0=0，故切线方程是：y=x+1，g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，则m＞1，故选：B．【分析】求出函数的导数，问题转化为g（x）=e x和h（x）=x+m有2个不同的交点，求出临界值即可．11、【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y= x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．12、【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵，即e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．二、<b >填空题</b>13、【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：的导数为y′= ，可得曲线在处的切线的斜率为k= =1，由斜率公式可得k=tanα=1，（0≤α＜π，且α≠ ），解得倾斜角为．故答案为：．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，结合特殊角的正切公式即可得到所求角．14、【答案】【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：∵α为第三象限的角，∴cosα= = ，则tanα= ．故答案为【分析】根据同角三角函数基本关系式，求解即可．15、【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：A，M，E三点共线，∴存在实数λ使得：= ；B，M，D三点共线，∴存在实数μ使得：；∴；∴；∴所以根据平面向量基本定理得；∴；∴，；∵；∴= ；∴．故答案为：．【分析】根据A，M，E三点共线，和B，M，D三点共线，再根据共线向量基本定理以及向量的加法、减法运算即可得到：存在实数λ，μ使得，，，然后根据平面向量基本定理即可得出，从而可表示出，，所以根据已知条件及数量积的运算即可求出．16、【答案】1【考点】数列的求和【解析】【解答】解：当n=1时，2S1=6﹣a1，∴a1=6，∵2S n=6﹣a n，∴2S n﹣1=6﹣a n﹣1，∴2a n=﹣a n+a n﹣1，∴3a n=a n﹣1，∴数列{a n}以6为首项，以为公差的等差数列，∴a n=6×（）n﹣1，∴=2n，∴b2﹣b1=2，b3﹣b2=4，…b n﹣b n﹣1=2（n﹣1），累加可得b n﹣b1=2（1+2+3+…+n﹣1）=n（n﹣1），∴b n=n（n﹣1）+2，∴= ≤ = ﹣，n≥2，∴T n= + + +…+ ≤ + + +…+ = +1﹣+ ﹣+…+ ﹣= ﹣＜1，n≥2时，即T n＜1，当n=1时，T1= ＜1，综上所述T n＜1，∴m的最小值为1故答案为：1．【分析】先根据数列的递推公式可得数列{a n}以6为首项，以为公差的等差数列，再根据对数的运算性质化简=2n，利用累加法求出b n=n（n﹣1）+2，再放缩裂项求和求出T n＜1，问题得以解决．三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：f'（x）=x2﹣2bx+2．时，f'（x）=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2），令f'（x）＞0解得x＜1或x＞2．所以，时函数的单调递增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）．令f'（x）＜0解得1＜x＜2．所以，时函数的单调递减区间为（1，2）（2）解：因为x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，则f'（﹣1）=0，故：1+2b+2=0解得：，此时f'（x）=x2﹣2bx+2=x2+3x+2，令f'（x）=0解得：x=﹣2或x=﹣1．则x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下．x （﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，+∞）f'（x） + 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增故此时x=﹣1时，f（x）有极小值；x=﹣2时，f（x）有极大值；则当x＞﹣2时，f（x）≥f（﹣1）＞0，显然函数在（﹣2，+∞）上无零点．又，（也可取x=﹣4等），则f（﹣3）f（﹣2）＜0，结合函数在（﹣∞，﹣2）上单调递增，故由零点存在定理知，函数在（﹣∞，﹣2）上必有唯一零点．综上：若x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，则此时函数y=f（x）在R上有唯一零点【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据x=﹣1是函数y=f（x）的一个极值点，求出b的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而判断函数的零点个数即可．18、【答案】（1）解：=．可得：函数y=f（x）的最小正周期（2）解：因为a，b，c成等比数列，可得：b2=ac，在△ABC中，由余弦定理有：，又由0＜B＜π，得．又，由，得，则，故，故f（B）的取值范围是【考点】三角函数的化简求值，三角函数中的恒等变换应用，余弦定理【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=﹣2sin（2x+ ），利用周期公式即可计算得解．（2）由等比数列的性质可得：b2=ac，由余弦定理可求cosB ，可得范围，进而可求范围，利用正弦函数的性质可求，即可得解．19、【答案】（1）解：从编号1﹣5的五位推销员中随机选出两位，他们的年推销金额组合如下{2，3（1）}，{2，3（2）}，{2，4}，{2，5}，{3（1），3（2）}，{3（1），4}，{3（1），5}，{3（2），4}，{3（2），5}，{4，5}共10种．其中满足两人年推销金额不少于7万元的情况共有6种，则所求概率（2）解：由表中数据可知：，由上公式可得，．故，又当x=11时，，故第6名产品推销员的工作年限为11年，他的年推销金额约为5.9万元【考点】线性回归方程【解析】【分析】（1）列举基本事件，即可求出概率；（2）将表中数据，先求出x，y的平均数，累加相关的数据后，代入相关系数公式，计算出回归系数，得到推销金额y关于工作年限x的线性回归方程，将工作年限为11年代，代入推销金额y关于工作年限x的线性回归方程，即可预报出他的年推销金额的估算值．20、【答案】（1）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．又∵平面ABC⊥平面ABEF，故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．OC⊥OE，又OE⊥FC，∵OF⊥平面OFC，∴OE⊥OF，又∵OC⊥OF，∴OF⊥平面OEC，∴OF⊥EC．（2）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2．∵∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，∴∠FCA=30°，∴FC=EC=2，△EFC为等边三角形．设FO∩EB=P，则O，B分别为PF，PE的中点，△PEC也是等边三角形．取EC的中点M，连结FM，MP，则FM⊥CE，MP⊥CE，∴∠FMP为二面角F﹣CE﹣B的平面角．在△MFP中，FM=MP= ，FP=2 ，故cos∠FMP= = =- ，即二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OE，进而得到OF⊥OE，由此能证明OF⊥EC．（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．设AF=1，AB=2．由∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，知∠FCA=30°，由已知条件推导出∠FMP为二面角F﹣CE﹣B的平面角，由此能求出二面角F﹣CE﹣B的余弦值21、【答案】解：（Ⅰ）由已知2a=4 ，得a=2 ，又c=2 ．∴b2=a2﹣c2=4．∴椭圆Γ的方程为．（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，①∵直线l与椭圆Γ交于不同两点A、B，∴△=36m2﹣16（3m2﹣12）＞0，解得m2＜16．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两根，则，．∴|AB|= = = ．又由|AB|=3 ，得﹣，解得m=±2据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．设AB的中点为E（x0，y0），则=﹣，，当m=2时，E（﹣），∴此时，线段AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x+ ），即y=﹣x﹣1．令y=2，得x0=﹣3．当m=﹣2时，E（），∴此时，线段AB的中垂线方程为y+ =﹣（x﹣），即y=﹣x+1．令y=2，得x0=﹣1．…（1分）综上所述，x0的值为﹣3或﹣1【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）由已知2a=4 ，c=2 ．由此能求出椭圆Γ的方程．（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线性质、中点坐标公式，结合已知条件能求出x0的值．22、【答案】（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）= ﹣ax+b=0，∴b=a﹣1，∴f′（x）= ﹣ax+a﹣1=﹣，当f′（x）＞0时，∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，当f′（x）＜0时，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减（2）解：假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”，则k AB= = ﹣+a﹣1，f′（）= ﹣+a﹣1，又k AB=f′（）得= ，∴ln =t，（t＞1），则lnt=2﹣，（t＞1），此式表示有大于1的实数根，令h（t）=lnt+ ﹣2（t＞1），则h′（t）= ＞0∴h（t）是（1，+∞）上的增函数，∴h（t）＞h（1）=0，与lnt=2﹣，（t＞1）有大于1的实数根相矛盾，∴函数f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟随切线”【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，利用f′（1）=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关；（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间．。
四川省成都市九校高二数学下学期期中联考试题理
12016～2017 学年度（下期）高 2015 级期中联考试卷理科数学考试时间共 120 分钟，满分 150 分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色 签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡 皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的）→ → → → 1．三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，若CA ＝a ，CB ＝b ，CC1＝c ，则A1B 等于()A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c2．函数 f ( x ) sin x e x ，则 f '(0) 的值为( )第 1 题图A ．1B ．2C ．3D ．03. 已知 m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥nB ．若 m ⊥α，n ⊂α，则 m ⊥nC ．若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n ∥αD ．若 m ∥α，m ⊥n ，则 n ⊥αx 4．函数 f ( x ) 的单调递减区间是()ln xA ．(0, e ) B ． (e ,)C． (0,1), (1, e )D. (, e )5．在棱长为 2 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于()A．15B．10C．4D．25 5 5323－π，π6．已知函数 f (x )＝x －sin x ，若 x 1，x 2∈2 2 ，且 f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是()A ．x 1>x 2B ．x 1<x 2C ．x 1＋x 2>0D ．x 1＋x 2<07. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是()A ． 3B ． 92C ．3 D ．22第 7 题图8．若对任意的 x >0，恒有 ln x ≤px －1(p >0)，则 p 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)9．甲、乙两人约定在下午 4:30 5:00 间在某地相见，且他们在 4:30 5:00 之间 到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是()3 8A ．B ．4 97 11 C ．D ．161210．如图在一个 60的二面角的棱上有两个点 A ，B ，线段分别 AC 、BD 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB ，且 AB ＝AC ＝ a ，BD ＝ 2a ，则 CD 的长为 ( ) A ． 2a B ． C ． aD ． 11．已知函数 f ( x ) ax 3bx2cx db 1的取值范围是( )a 1A ． ( 3 , 1 )B ． (2 ,1) 2 2 5 C ． (1 ,3 )D．(3,1)2 2 2第11题图45xyx 2 y 212．已知 F 1 ， F 2 分别为双曲线C ：a2 b 21 的左、右焦点， 若存在过F 1 的直分别交 双曲线C 的左、右支于 A ， B 两点，使得 BAF 2BF 2 F1 ，则双曲线C 的离心率e 的 取值范围是()A ．3,B ． 1,25C.3,2 5D ． 1,3第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13． 1 x 2dx = ． 0第 12 题图2 2 2 214．已知椭圆 C 1 : 2 2 ab1(a b 0) 与双曲线 C 2 : x y 4 有相同的右焦点F 2 ，点 P 是 C 1 和 C 2 的一个公共点，若PF 22 ，则椭圆 C 1 的离心率等于．15．四棱柱 ABCD －A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都 相等，且两两夹角为 60°.则线段 AC1 与平面ABC 所成角的正弦值为.me x 16．已知函数 f x 1 x2x1，若存在唯一的正整数 x 0 ，使得 f x 0 0 ，则实数 m 的取值范围为．三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，18-22 每题满分 12 分，共 70 分； 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， ACBC ，点 D 是 AB 的中点，求证：（Ⅰ） ACBC 1 ；（Ⅱ） AC 1 // 平面 B 1CD ．1AC BDA618．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b 的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6 人参加市汉字听写比赛，并从中选出2 人做种子选手，求2 人中至少有1 人是第4 组的概率．19．已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；2（Ⅲ）若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．x782 2 2220．在四棱锥 P - ABCD 中，△ PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为矩形，平面PAB 平面 ABCD ， AB =2 AD ， M ,N 分别为 PB ,PC 的中点.（Ⅰ）求证： MN //平面 PAD ；（Ⅱ）求二面角 B —AM —C 的大小；（Ⅲ）在 BC 上是否存在点 E ，使得 EN ⊥平面 AMN ？BE 若存在，求 BC的值；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆 C : x y1 ab 0 经过点 P (1,) ，离心率 e3a b（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；22 ．（Ⅱ）设过点E 0 , 2 的直线l 与C 相交于 P , Q 两点，求 OPQ 面积的最大值．22．已知f (x ) 1x2 ，g(x ) a ln x(a 0) .2（Ⅰ）求函数F(x)（Ⅱ）若函数G(x)取值范围；f (x)g(x) 的极值；f (x ) g(x ) (a 1)x 在区间(1, e) 内有两个零点，求的e（Ⅲ）函数h(x ) g xx1，设x (0,1) ，x (1,)，若h(x ) h(x )x 1 2 2 1存在最大值，记为M (a) ，则当a e 1时，M (a) 是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由．9102016～2017学年度（下期）高2015级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、 选择题：（每小题5分，共60分）1.D ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.C ；7.A ；8.D ；9.B ； 10.A ； 11.D ； 12.C ； 二、 填空题（每小题5分，共20分）13.13；15 . 13； 16 . 273,e e ⎛⎤⎥⎝⎦；三、 解答题（共70分）17．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，所以，1CC AC ⊥， 又AC BC ⊥，1BCCC C =，所以，AC ⊥平面11BCC B ，所以，1AC BC ⊥. ………..………（5分）（2）设1BC 与1BC 的交点为O ，连结OD ， 11BCC B 为平行四边形，所以O 为1BC 中点，又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .………（10分）A 1C 1B 1ABCDO18．(1)a ＝100－5－30－20－10＝35，b ＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：660×30＝3人，第4组：660×20＝2人，第5组：660×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）设第3组的3位同学为A 1、A 2、A 3，第4组的2位同学为B 1、B 2，第5组的1位同学为C 1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为915＝35.……………（12分） 19. (1)f′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，由已知f′(2)＝1，解得a ＝－3. ……… 4分(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). ……… 5分①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ……… 6分②当a ＜0时，f′(x)＝2(x ＋－a)x －－ax.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：单调递增区间是(－a ，＋∞). ……… 8分(3)由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数， 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x －x 2在[1,2]上恒成立. (10)分令h(x)＝1x－x 2，在[1,2]上h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a≤－72.故实数a 的取值范围为{a|a≤－72}. ……… 12分20. （Ⅰ）证明：∵M ，N 分别是PB ，PC 中点，则(2,1,0)AC =，3(,0,AM =法向量为(,n x y =，由10n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2,3z =-，即(1,2,n =-法向量(0,1,0)n =AM C -的余弦值1222n n n n ⋅=因为二面角B AM C --是锐二面角，所以二面角B AM C --等于45……………….8分 （Ⅲ）存在……………….9分设(1,,0)E λ，则11(,,222EN λ=--，由0EN AM EN MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得12λ=， 所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ， 此时12BE BC =.……………….12分 21.（Ⅰ）由点P 在椭圆上得，221314a b +=①c e a ==又所以② 由①②得2223,4,1c a b ===，故椭圆C 的标准方程为2214x y +=……………….5分112222:=2,(,),(,).214x y kx P x y Q x y x y kx y ιι⊥-=-+=（II ）当轴时不合题意，故设将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,2123=16(43)0,4k k x PQ x O PQ d OPQ ∆->>==-==∆当即时，从而又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+ ......................9分244,0,.444....................4,22..0.1OPQ t t t S t t tt t k t OPQ ∆=>==+++≥==∆>∆则因为当且仅当，即的面积最大值为1分22.：（1）解：21()()()ln (0)2F x f x g x ax x x ==> ∴'11()ln (ln )22F x ax x ax ax x =+=+ ………1分由'()0F x >得12x e->，由'()0F x <，得120x e-<<∴()F x 在12(0,]e -上单调递减，在12[,)e -+∞上单调递增， ∴12min ()()4aF x F e e-==-，()F x 无极大值. ………3分 （2）解：21()ln (1)2G x x a x a x =-+-∴'()(1)()1a x a x G x x a x x+-=-+-= 又10,a x e e><<，易得()G x 在1(,1]e 上单调递减，在[1,)e 上单调递增，要使函数()G x 在1(,)e e内有两个零点，需1()0(1)0()0G e G G e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，即2211021102(1)02a a e e a e a e a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩，………5分∴22212212222e a e e a e e a e -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩，∴2211222e a e e -<<+，即的取值范围是2211(,)222e e e -+. ………7分 （3）若02a <≤，∵2'2(1)()x ax h x x--+=在(0,)+∞上满足'()0h x ≤， ∴()h x 在(0,)+∞上单调递减，∴21()()0h x h x -<. ∴21()()h x h x -不存在最大值. ………8分 则2a >.∴方程210x ax -+=有两个不相等的正实数根，令其为,m n ，且不妨设01m n <<<则1m n amn +=⎧⎨=⎩.()h x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m n 上调递增，在(,)n +∞上单调递减，对1(0,1)x ∀∈，有1()()h x h m ≥；对2(1,)x ∀∈+∞，有2()()h x h n ≤， ∴21max [()()]()()h x h x h n h m -=-.∴11()()()(ln )(ln )M a h n h m a n n a m m n m=-=-+--+11ln()()n a m n m n m=+-+-. 将1a m n n n =+=+，1m n=代入上式，消去,a m 得 21111()()ln 2()2[()ln ()]M a n n n n n n n n n n=++-=++-∵12a e e <≤+，∴11n e n e+≤+，1n >. 据1y x x =+在(1,)x ∈+∞上单调递增，得(1,]n e ∈. 设11()2()ln 2()x x x x xxϕ=++-，(1,]x e ∈.'22211111()2(1)ln 2()2(1)2(1)ln x x x x x x x x x ϕ=-++++--=-，(1,]x e ∈. ∴'()0x ϕ>，即()x ϕ在(1,]e 上单调递增.∴max 114[()]()2()2()x e e e e e eϕϕ==++-=∴()M a 存在最大值为4e.………12分。
四川省成都市九校联考2017届高三下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年四川省成都市九校联考高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈Z|x2≤1}，则A∩B=（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．关于复数z=，下列说法中正确的是（）A．|z|=2B．z的虚部为﹣iC．z的共轭复数位于复平面的第三象限D．z•=23．已知a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β（）A．恰能作一个B．至多能作一个C．至少能作一个D．不存在4．已知二项式（x﹣）4的展开式中常数项为32，则a=（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣25．函数y=lncosx（﹣＜x＜）的大致图象是（）A．B．C．D．6．《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”，则其中分得钱数最多的是（）A．钱 B．1钱 C．钱 D．钱7．将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（）A．60 B．90 C．120 D．1808．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为4，则t的值不可能是（）A．3 B．6 C．8 D．119．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．3210．三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，+∞）12．设函数f（x）=2lnx﹣﹣m，若关于x的方程f（f（x））=x恰有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（2ln3﹣4，+∞）B．（﹣∞，2ln3﹣4）C．（﹣4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x，y满足则z=x+2y的最大值为．14．已知向量=（1，2），⊥（+），则向量在向量方向上的投影为．15．斜率为k（k＞0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y2=4x于A，B两点，若△AOF的面积是△BOF面积的2倍，则k=．=a n2+a n（n∈N*），则的整数部分是．16．已知数列{a n}满足a1=，a n+1三、解答题（本大题共小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知A=，cosB=．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，∠ABC=120°，AD=CD=，直线PC与平面ABCD所成角的正切为．（1）设E为直线PC上任意一点，求证：AE⊥BD；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正弦值．19．为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下：甲校：乙校：以抽样所得样本数据估计总体（1）比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；（2）若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共X人，求X的分布列及数学期望．20．已知椭圆C1： +=1，圆C2：x2+y2=t经过椭圆C1的焦点．（1）设P为椭圆上任意一点，过点P作圆C2的切线，切点为Q，求△POQ面积的取值范围，其中O为坐标原点；（2）过点M（﹣1，0）的直线l与曲线C1，C2自上而下依次交于点A，B，C，D，若|AB|=|CD|，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直，求a 的值；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：﹣5﹣f（x1）＜f（x2）＜﹣．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年四川省成都市九校联考高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈Z|x2≤1}，则A∩B=（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解|x|≤2可得集合A，解x2≤1可得集合B，进而由交集的意义，计算可得答案．【解答】解：根据题意，|x|≤2⇒﹣2≤x≤2，则A={x∈R||x|≤2}={x|﹣2≤x ≤2}，x2≤1⇒﹣1≤x≤1，则B={x∈Z|x2≤1}={﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0，1}；故选：C．2．关于复数z=，下列说法中正确的是（）A．|z|=2B．z的虚部为﹣iC．z的共轭复数位于复平面的第三象限D．z•=2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】化简z，求出z的共轭复数，从而求出答案即可．【解答】解：复数z===﹣1﹣i，故|z|=，z的虚部是﹣1，z•=（﹣1﹣i）（﹣1+i）=2，故选：D．3．已知a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β（）A．恰能作一个B．至多能作一个C．至少能作一个D．不存在【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由平面与平面平行的性质直接求解．【解答】解：当a∥α时，过a作平面β，使得β∥α，由平面与平面平行的性质得：这样的平面β有且只有1个．a与α相交时，设平面为β，a与α交点为P，根据题意P∈β，P∈α，则α∩β=l且P∈l，这与α∥β矛盾，∴这样的β不存在．综上所述，过平面α外一条直线a与α平行的平面的个数为至多1个．故选：B．4．已知二项式（x﹣）4的展开式中常数项为32，则a=（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用展开式的通项公式求出常数项，即可求出a的值．=（﹣a）r C4r x4﹣r，【解答】解：二项式（x﹣）4的展开式的通项为T r+1令4﹣=0，解得r=3，∴（﹣a）3C43=32，∴a=﹣2，故选：D5．函数y=lncosx（﹣＜x＜）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由条件利用余弦函数的值域以及单调性，复合函数的单调性规律，得出结论．【解答】解：在（0，）上，t=cosx是减函数，y=lncosx是减函数，且函数值y ＜0，故排除B、C；在（﹣，0）上，t=cosx是增函数，y=lncosx是增函数，且函数值y＜0，故排除D，故选：A．6．《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”，则其中分得钱数最多的是（）A．钱 B．1钱 C．钱 D．钱【考点】8C：等差关系的确定．【分析】依题意设5人所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设5人所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×（﹣）=a=．故选：D7．将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（）A．60 B．90 C．120 D．180【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、5本不同的书分成3组，一组1本．剩余两个组每组2本，利用组合数公式可得其分组方法数目，②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙三人，由排列数公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、5本不同的书分成3组，一组1本．剩余两个组每组2本；有=15种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙三人，有A33=6种情况，则有15×6=90种不同的分法；故选：B．8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为4，则t的值不可能是（）A．3 B．6 C．8 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出不满足条件S≤t时输出k=4，由此求出t的值不可能是11．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=10，S=0，满足条件S≤t，S=2°=1；k=8，满足条件S≤t，S=1+21=3；k=6，满足条件S≤t，S=3+23=11；k=4，不满足条件S≤t，输出k=4；则t的值不可能是11．故选：D．9．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32【考点】9R：平面向量数量积的运算；H2：正弦函数的图象．【分析】由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D10．三棱锥D﹣ABC及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点A，B，C，D均在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．32πB．36πC．128πD．144π【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC⊥平面ABC、△ABC 的形状，取AC中点F并连BF，由线面垂直的定义和勾股定理求出BC，求出△ABC的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案．【解答】解：由三视图可得：DC⊥平面ABC且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，在Rt△BCD中，CD=4，所以BD=4．设球心到平面ABC的距离为d，因为DC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以d=2，因为△ABC的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得R2=d2+22=8，则该三棱锥外接球的半径R=2，所以三棱锥外接球的表面积是4πR2=32π，故选A．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，+∞）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，由已知条件得tanθ＜1，渐近线的方程为y=x，从而＜1由此能求出该双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：如图，由△ABC为等腰直角三角形，所以∠BAx=45°，设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tanθ＜1，又上述渐近线的方程为y=x，则＜1，又e=，∴1＜e＜，双曲线的离心率e的取值范围（1，），故选C．12．设函数f（x）=2lnx﹣﹣m，若关于x的方程f（f（x））=x恰有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（2ln3﹣4，+∞）B．（﹣∞，2ln3﹣4）C．（﹣4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令f（x）=x得出m=2lnx﹣x﹣，根据导数的性质求出m的范围，根据根的个数判断m的范围．【解答】解：∵关于x的方程f（f（x））=x有解，∴方程f（x）=x有解，令f（x）=x得m=2lnx﹣x﹣，令g（x）=2lnx﹣x﹣，则g′（x）==（x＞0），令g′（x）＞0得0＜x＜3，令g′（x）＜0得x＞3，∴g（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，∴当x=3时，g（x）取得最大值g（3）=2ln3﹣4，∴m≤2ln3﹣4．若m=2ln3﹣4，则g（x）=m只有一解x=3，∵f（f（x））=x，∴f（x）=3．∵f′（x）=+＞0，∴f（x）是增函数，∴f（x）=3最多只有一解，不符合题意；∴m＜2ln3﹣4．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x，y满足则z=x+2y的最大值为2．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z=x+2y 过点B时z最大，求出B的坐标，代入z=x+2y得答案．【解答】解：由足约束条件作出可行域如图，由z=x+2y，得y=﹣+．要使z最大，则直线y=﹣+的截距最大，由图可知，当直线y=﹣+． 过点A 时截距最大．联立，解得，∴A （0，1），∴z=x +2y 的最大值为0+2×1=2． 故答案为：2．14．已知向量=（1，2），⊥（+），则向量在向量方向上的投影为 ﹣ ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直，求得•=﹣丨丨2，向量在向量方向上的投影为=﹣丨丨，根据向量的模长公式即可求得答案．【解答】解：由⊥（+），则•（+）=0，即2+•=0，则•=﹣丨丨2，向量在向量方向上的投影为=﹣丨丨=﹣=﹣，故答案为：﹣．15．斜率为k （k ＞0）的直线l 经过点F （1，0）交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，若△AOF 的面积是△BOF 面积的2倍，则k= 2 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．=2S△BOF，求得y A=﹣2y B，设出直线AB的方程，与抛物线方程【分析】利用S△AOF联立消去x，利用韦达定理求得m，即可求出k的值．=2S△BOF，【解答】解：∵S△AOF∴y A=﹣2y B，①∴设AB的方程为x=my+1（m＞0），与y2=4x联立消去x得y2﹣4my﹣4=0，∴y A+y B=4m②，y A y B=﹣4③由①②③可得m=，∴k=2，故答案为2．16．已知数列{a n}满足a1=，a n=a n2+a n（n∈N*），则的整数部分是+13．【考点】8E：数列的求和．【分析】根据数列的递推关系得到=﹣，利用裂项法进行求和，即可得到结论．=a n2+a n，【解答】解：由a n+1=a n（a n+1），得a n+1取倒数得到=，即=﹣，则=﹣，即m==++…+=﹣+﹣+…+﹣=4﹣，=a n2+a n＞a n，∵a n+1∴＜，且a5＞1，a2017＞1．∴0＜＜1，则4＞4﹣＞3，即3＜m ＜4．则所求整数部分为3． 故答案为：3．三、解答题（本大题共小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，已知A=，cosB=．（Ⅰ）求cosC 的值；（Ⅱ）若BC=2，D 为AB 的中点，求CD 的长．【考点】GP ：两角和与差的余弦函数；HP ：正弦定理．【分析】（I ）由cosB 的值及B 的范围求出sinB 的值，所求式子利用诱导公式及内角和定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出cosC 的值；（Ⅱ）由cosC 的值，求出sinC 的值，根据BC ，sinA ，以及sinC 的值，利用正弦定理求出AB 的唱，再利用余弦定理即可求出CD 的长．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=且B ∈（0，π），∴sinB==，则cosC=cos （π﹣A ﹣B ）=cos （﹣B ）=cos cosB +sinsinB=﹣﹣+﹣=﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC===，由正弦定理得=，即=，解得AB=6，在△BCD 中，CD 2=BC 2+AD 2﹣2BC•ADcosB=（2）2+32﹣2×3×2×=5，所以CD=．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=BC=2，∠ABC=120°，AD=CD=，直线PC与平面ABCD所成角的正切为．（1）设E为直线PC上任意一点，求证：AE⊥BD；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）设O为线段AC的中点，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，从而B，O，D三点共线，即O为AC与DB的交点，可得DB⊥平面PAC即可得AE⊥BD；（2）以所在方向为x轴，所在方向为y轴，过O作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系由题意，AC=2，OB=1，OD=2，又PA⊥平面ABCD，故直线PC与平面ABCD所成角即为∠PCA，由tan∠PCA求得PA，利用向量求解【解答】解：（1）设O为线段AC的中点，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，从而B，O，D三点共线，即O为AC与DB的交点…又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD又AC∩PA=A，所以DB⊥平面PAC因为E为直线PC上任意一点，所以AE⊂平面PAC，所以AE⊥BD…（2）以所在方向为x轴，所在方向为y轴，过O作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系由题意，AC=2，OB=1，OD=2又PA⊥平面ABCD，故直线PC与平面ABCD所成角即为∠PCA，∴tan∠PCA所以PA=，所以B（﹣1，0，0），C（0，﹣，0），P（0，，），∴…设平面BPC的法向量，由，有解得…由（1），取平面PCA的法向量．所以cos＜＞=所以二面角B﹣PC﹣A的正弦值为…19．为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下：甲校：乙校：以抽样所得样本数据估计总体（1）比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；（2）若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共X人，求X的分布列及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）计算甲、乙的平均数，比较即可得出结论；（2）由题意知，甲、乙两校学生的优秀率分别为、，X的可能取值是0，1，2，3，4；计算对应的概率，写出X的分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）计算甲的平均数为=×（75×2+85×4+95×8+105×16+115×15+125×6+135×6+145×3）=110.8，…乙的平均数为=×（75×2+85×5+95×9+105×10+115×14+125×10+135×6+145×4）=112.2；…所以乙校学生的数学平均成绩高于甲校；…（2）由上表可知，甲、乙两校学生的优秀率分别为、，X=0，1，2，3，4；…P（X=0）=×=，P（X=1）=•••+•••=，P（X=2）=×+×+•••••=，P（X=3）=•••+•••=，P（X=4）=×=；所以X的分布列为：…数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．…20．已知椭圆C1： +=1，圆C2：x2+y2=t经过椭圆C1的焦点．（1）设P为椭圆上任意一点，过点P作圆C2的切线，切点为Q，求△POQ面积的取值范围，其中O为坐标原点；（2）过点M（﹣1，0）的直线l与曲线C1，C2自上而下依次交于点A，B，C，D，若|AB|=|CD|，求直线l的方程．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意的焦点坐标，求得t的值，则丨PO丨∈[2，]，利用三角形的面积公式，即可求得△POQ面积的取值范围；（2）将直线l的方程，代入椭圆方程及圆的方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线直线l的方程．【解答】解：（1）椭圆C1： +=1的焦点坐标为（±，0），则t=2，…设P（x，y），则丨PO丨===，由x2∈[0，6]，则丨PO丨∈[2，]，…则△POQ面积S，S=××∈[1，]，△POQ面积的取值范围[1，]；…（2）设直线l的方程为：x=my﹣1；联立，消去x，整理得（2m2+3）y2﹣4my﹣10=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=…联立，消去x，得（m2+1）y2﹣2my﹣1=0，设B（x3，y3），D（x3，y4），则y3+y4=，…又丨AB丨=丨CD丨，则=，即y3﹣y1=y2﹣y4，…从而y1+y2=y3+y4，即=，解得m=0，∴直线l的方程为x=﹣1．…21．已知函数f（x）=x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直，求a 的值；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：﹣5﹣f（x1）＜f（x2）＜﹣．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）的值，求出a的值；（2）根据x1，x2是方程f′（x）=0的根，得到关于a的不等式组，求出a的范围，求出f（x1）+f（x2）的表达式，设h（a）=﹣a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），a ∈（2，3），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=，∴f′（1）=4﹣2a，由题意4﹣2a=﹣，解得：a=；（2）证明：由题意，x1，x2为f′（x）=0的两根，∴，∴2＜a＜3，由x1+x2=a＞2，x1x2=3﹣a＜1，知x1＜1＜x2，结合单调性有f（x2）＜f（1）=﹣a＜﹣，又f（x1）+f（x2）=（+）﹣a（x1+x2）+（3﹣a）lnx1x2=﹣a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），设h（a）=﹣a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），a∈（2，3），则h′（a）=﹣a﹣ln（3﹣a），h″（a）=＞0，故h′（a）在（2，3）递增，又h′（2）=﹣2＜0，a→3时，h′（a）→+∞，∴∃a0∈（2，3），当a∈（2，a0）时，h（a）递减，当a∈（a0，3）时，h（a）递增，∴h（a）min=h（a0）=﹣+a0﹣3+（3﹣a0）•（﹣a0）=﹣2a0﹣3＞﹣5，∴∀a∈（2，3），h（a）＞﹣5，综上，﹣5﹣f（x1）＜f（x2）＜﹣．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化成极坐标方程．（2）根据圆的坐标形式．利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值．【解答】解：（1）圆C1（φ为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4即：x2+y2﹣4x=0转化成极坐标方程为：ρ2=4ρcosθ即：ρ=4cosθ圆C2（φ为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1即：x2+y2﹣2y=0转化成极坐标方程为：ρ2=2ρsinθ即：ρ=2sinθ（2）射线OM：θ=α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q则：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）则：|OP|==，|OQ|==则：|OP||OQ|==设sinα+cosα=t（）则：则关系式转化为：4=由于：所以：（|OP||OQ|）max=．23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣，求得实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t 恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．2017年5月27日。
成都市彭州市五校联考2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年四川省成都市彭州市五校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合U=R，Q={x｜﹣2≤x≤3}，P=｛x｜x﹣2＜0｝，则Q ∩（∁U P）=( )A．｛x｜1≤x≤2｝ B．{x｜x≥1} C．{x|1＜x≤2｝D．{x|2≤x ≤3｝2．等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．143．已知向量=（k，3）,=（1，4），=（2,1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．4．设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．2 B．6 C．15 D．316．关于函数f（x)=5sin3x+5cos3x，下列说法正确的是（）A．函数f（x)关于x=π对称B．函数f（x)向左平移个单位后是奇函数C．函数f(x）关于点（，0)中心对称D．函数f（x)在区间[0，]上单调递增7．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据:记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9。
5 C．9。
8 D．108．若函数f(x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增,则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1］C．[2，+∞）D．[1，+∞）9．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是( ）A．2 B． C． D．310．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆(x+3）2+(y+1)2=1的弦长为2，则的最小值为( ）A．4 B．12 C．16 D．611．过双曲线的左焦点F（﹣c,0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．12．已知函数f（x）=，g（x）=ax,则方程g（x）=f（x）恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（)(注:e为自然对数的底数）A．B．C．D．二、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.）13．利用分层抽样的方法在学生总数为800的年级中抽取20名同学，其中女生人数为8人，则该年级男生人数为．14．若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．15．在区间［﹣1，5］上任取一个实数b，则曲线f（x)=x3﹣2x2+bx 在点(1，f（1）)处切线的倾斜角为钝角的概率为．16．对任意实数x，［x]表示不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[﹣3。
成都九校联考高二下学期数学(理)期中试卷及答案
2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考试卷理科数学考试时间共120 分钟，满分150 分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷选择题（共60 分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）→→→→1．三棱柱ABC—A1B1C1 中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B等于( )A．a＋b－c B．a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－c的值为( )第1题图2．函数f (x ) sin xe x ，则f '(0)A．1 B．2 C．3 D．03. 已知m，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m ⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥αx4．函数f (x) 的单调递减区间是( )ln xA．(0,e)B．(e,)C．(0,1),(1,e)D.(,e)5．在棱长为 2 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于()A ． 1510 C ． 4D ． 255 53－π6．已知函数f(x)＝x－sin x，若2 2 ，且f(x1)＋f(x2)>0，则下列不等x1，x2∈式中正确的是( )A．x1>x2 B．x1<x2C．x1＋x2>0 D．x1＋x2<07. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A．3 B．92C．3D．22第7题图8．若对任意的x>0，恒有ln x≤px－1(p>0)，则p 的取值范围是( )A．(0,1] B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)9．甲、乙两人约定在下午4:30 5:00间在某地相见，且他们在4:30 5:00之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是( )3 8 A．B．4 9 7 11 C．D．16 1210．如图在一个60的二面角的棱上有两个点A，B，线段分别AC、BD 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝AC＝a ，BD＝2a ，则CD 的长为( )A．2a B aC．a D a11．已知函数f ( x) ax3 bx2 cx d 的图象如图所示，则b 1的取值范围是( ) a 1 第10题图A．(3 ,1 )B．(2,1) 1 22 2 5 -1 0 xC．(1 ,3 )D．(3,1)2 2 2第11题图x 2 y212．已知F1 ，F2 分别为双曲线C ：a2b21的左、右焦点，若存在过F1 的直分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得BAF2 BF2 F1 ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )A ．3, B ． 1,25C. 3,25D ． 1,3第Ⅱ卷非选择题（共90 分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．1x2dx = ．第12题图2 2x y2 214．已知椭圆C1 :2 2a b1(a b 0) 与双曲线C2: x y4 有相同的右焦点F2，点P 是C1 和C2 的一个公共点，若PF22，则椭圆C1的离心率等于．15．四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°.则线段AC1 与平面ABC 所成角的正弦值为.me x16．已知函数f x1x 2x 1，若存在唯一的正整数x0 ，使得f x0 ，则实数m 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，第17题满分10分，18-22 每题满分12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，AC BC ，点D 是AB 的中点，求证：（Ⅰ）AC BC1 ；（Ⅱ）AC1 // 平面B1CD．1C BD A18．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6 人参加市汉字听写比赛，并从中选出2 人做种子选手，求2 人中至少有1 人是第4 组的概率．19．已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；2（Ⅲ）若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．xABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面20．在四棱锥P-PAB 平面ABCD ，AB2AD ，M ,N 分别为PB,PC 的中点. =（Ⅰ）求证：MN //平面PAD ；（Ⅱ）求二面角B—AM—C 的大小；（Ⅲ）在BC 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ？BE的值；若不存在，请说明理由．若存在，求BC222 221．已知椭圆 C : xy1 a b 0经过点 P (1,) ，离心率e3a b2 2 ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点E 0 , 2 的直线l 与C 相交于P,Q 两点，求OPQ 面积的最大值．22．已知f (x) 1x2 ，g(x) a ln x(a 0) .2（Ⅰ）求函数F(x)（Ⅱ）若函数G(x)取值范围；f (x)g(x) 的极值；f (x ) g(x ) (a 1)x 在区间(1,e) 内有两个零点，求的e（Ⅲ）函数 h ( x ) gx x1，设 x (0,1) ， x (1,) ，若 h ( x ) h ( x )x1 2 2 1存在最大值，记为 M (a ) ，则当a e 1时，M (a ) 是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由．2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、 选择题：（每小题5分，共60分）1.D ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.C ；7.A ；8.D ；9.B ； 10.A ； 11.D ； 12.C ； 二、 填空题（每小题5分，共20分） 13.13；15 . 13； 16 . 273,e e ⎛⎤⎥⎝⎦；三、 解答题（共70分）17．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，所以，1CC AC ⊥， 又AC BC ⊥，1BCCC C =，所以，AC ⊥平面11BCC B ，所以，1AC BC ⊥. ………..………（5分）（2）设1BC 与1BC 的交点为O ，连结OD ， 11BCC B 为平行四边形，所以O 为1BC 中点，又D 是AB 的中点， 所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .………（10分）18．(1)a ＝100－5－30－20－10＝35，b ＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽A 1C 1B 1ABCDO。
成都九校联考2016-2017学年高二下学期数学(理)期中试卷(有答案)AKMnPP
2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考试卷理科数学考试时间共120 分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷选择题（共60 分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）→→→→1．三棱柱ABC—A1B1C1 中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B等于( ) A．a＋b－c B．a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－c2．函数f (x) = sin x +e x ，则f '(0) 的值为( )第1题图A．1 B．2 C．3 D．03. 已知m，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥αx4．函数f (x) 的单调递减区间是( )lnxA．(0,e)B．(e,+∞)C．(0,1),(1,e) D. (-∞,e)5．在棱长为 2 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 、F 分别是 CC 1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于()A ．B ．C ． 4D ． 2 5 5 5 3π－6．已知函数f(x)＝x－sin x，若x1，2 2 ，且f(x1)＋f(x2)>0，则下列不等x2∈式中正确的是( )A．x1>x2 B．x1<x2C．x1＋x2>0 D．x1＋x2<07. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )9 2C．3D．22第7题图A．3 B．8．若对任意的x>0，恒有ln x≤px－1(p>0)，则p 的取值范围是( ) A．(0,1] B．(1，＋∞)C．(0,1) D．[1，＋∞)9．甲、乙两人约定在下午4:30 5:00间在某地相见，且他们在4:30 5:00之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是( )38A．B．497 11 C．D．16 1210．如图在一个60︒的二面角的棱上有两个点A，B，线段分别AC、BD 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB＝AC＝a ，BD＝2a ，则CD 的长为( )A．2a B aC．a D a11．已知函数f ( x) =ax3 +bx2 +cx +d 的图象如图所示，则b +1的取值范围是( ) a +1第10题图A．(-3,1)B．(-2,1) 1 22 2-1 0 x 5C．(-1,3)D．(-3,1)2 2 2第11题图x2 y212．已知 F 1 ， F 2 分别为双曲线C ：- a 2b 2 = 1 的左、右焦点， 若存在过F 1 的直分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得∠BAF2 =∠BF2 F1 ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )B．(1,2+5) C. (3,2+5) D．(1,3) A．(3,+∞)第Ⅱ卷非选择题（共90 分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．1x2dx = ．第12题图x y2 22 21 :2+2a b=1(a >b > 0) 与双曲线C2: x -y= 4 有相同的右焦点14．已知椭圆CF 2 ，点P 是C1和C2的一个公共点，若PF2 2，则椭圆C1的离心率等于．15．四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°.则线段AC1 与平面ABC 所成角的正弦值为.me x，若存在唯一的正整数x0 ，使得f (x0 )≥ 0 ，则16．已知函数f (x)=1-x2 +x +1实数m 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，第17题满分10分，18-22 每题满分12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，求证：（Ⅰ） AC BC 1 ； （Ⅱ） AC 1 // 平面B 1CD ．1AC BDA18．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b 的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6 人参加市汉字听写比赛，并从中选出2 人做种子选手，求2 人中至少有1 人是第4 组的概率．19．已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；2（Ⅲ）若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．xABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面20．在四棱锥P-PAB 平面ABCD ，AB2AD ，M ,N 分别为PB,PC 的中点. =（Ⅰ）求证：MN //平面PAD ；（Ⅱ）求二面角B—AM—C 的大小；（Ⅲ）在BC 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ？BE的值；若不存在，请说明理由．若存在，求BC2 22 221．已知椭圆C : x y=1(a >b >0)经过点P(1, ，离心率e =+2 2 ．a b（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点E (0 , - 2 )的直线l 与C 相交于P,Q 两点，求∆OPQ 面积的最大值．1x2 ，g(x) =a ln x(a > 0) . 22．已知f (x) =2（Ⅰ）求函数F(x)=（Ⅱ）若函数G(x)=取值范围；f (x)g(x) 的极值；f (x) -g(x) + (a -1)x在区间(1, e) 内有两个零点，求的e（Ⅲ）函数h(x) =g (x)-x +1，设x ∈ (0,1) ，x ∈(1,+∞)，若h(x) -h(x) x 1 2 2 1存在最大值，记为M (a) ，则当a ≤e +1时，M (a) 是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由．2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、 选择题：（每小题5分，共60分）1.D ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.C ；7.A ；8.D ；9.B ； 10.A ； 11.D ； 12.C ； 二、 填空题（每小题5分，共20分）13. 13；14. 2； 15 . 13； 16 . 273,e e ⎛⎤⎥⎝⎦；三、 解答题（共70分）17．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，所以，1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C =I ， 所以，AC ⊥平面11BCC B ，所以，1AC BC ⊥. ………..………（5分） （2）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，11BCC B 为平行四边形，所以O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .………（10分）A 1C 1 B 1ABCDO18．(1)a ＝100－5－30－20－10＝35，b ＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：660×30＝3人，第4组：660×20＝2人，第5组：660×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）设第3组的3位同学为A 1、A 2、A 3，第4组的2位同学为B 1、B 2，第5组的1位同学为C 1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为915＝35.……………（12分）19. (1)f′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ，由已知f′(2)＝1，解得a ＝－3. ……… 4分 (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). ……… 5分 ①当a≥0时，f′(x)＞0， f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ……… 6分。
四川省成都七中实验学校2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．）1．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若=，=，=，则=（）A． +﹣B．﹣+C．﹣++D．﹣+﹣2．函数f （x）=sin x+e x，则f'（0）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．03．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．函数f （x）=（x＞1）单调递减区间是（）A．（1，+∞）B．（1，e2）C．（e，+∞）D．（1，e）5．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1、且f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（）A．x1＞x2B．x1＜x2C．x1+x2＞0 D．x1+x2＜07．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．38．若对任意的x＞0，恒有lnx≤px﹣1（p＞0），则p的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1） D．[1，+∞）9．甲、乙两人约定在下午4：30：5：00 间在某地相见，且他们在4：30：5：00 之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（）A．B．C．D．10．如图在一个60°的二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．2 B．C．D．111．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）12．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8e C．2 D．8二、填空题（每小题5分，共20分．）13．x2dx=．14．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率等于．15．已知函数f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），满足f（3）=7，f′（x）＜2，则f（x）＜2x+1的解集为．16．已知函数，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．18．某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．19．已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．20．在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD，AB=2AD，M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C的大小．21．已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0 ）经过点P（1，），离心率e=（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设过点E（0，﹣2 ）的直线l 与C相交于P，Q两点，求△OPQ 面积的最大值．22．设f（x）=，g（x）=alnx（a＞0）．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）•g（x）的极值；（Ⅱ）若函数G（x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）x在区间内有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x＞0时，lnx+＞0．2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．）1．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若=，=，=，则=（）A． +﹣B．﹣+C．﹣++D．﹣+﹣【考点】M3：空间向量的加减法．【分析】将向量分解成+，然后将利用相等向量和向量的三角形法则将与化成用、、表示即可．【解答】解：=+=﹣+﹣=﹣+﹣故选D．2．函数f （x）=sin x+e x，则f'（0）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．0【考点】63：导数的运算．【分析】先求导，再代值计算即可【解答】解：f （x）=sinx+e x，∴f′（x）=cosx+e x，∴f′（0）=cos0+e0=1+1=2，故选：B3．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．4．函数f （x）=（x＞1）单调递减区间是（）A．（1，+∞）B．（1，e2）C．（e，+∞）D．（1，e）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f′（x）=，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜e，故f（x）在（1，e）递减，故选：D．5．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选B．6．已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1、且f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（）A．x1＞x2B．x1＜x2C．x1+x2＞0 D．x1+x2＜0【考点】3F：函数单调性的性质；3I：奇函数．【分析】根据条件可知x1、x2的大小是不能确定的，从而可排除选项A和B，再取x1=0、检验即可得到答案．【解答】解：函数f（x）=x﹣sinx是奇函数，由条件知，x1、x2是对称或“对等”的，因此可排除A与B，再取x1=0、检验即知正确选项是C．故选C．7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．8．若对任意的x＞0，恒有lnx≤px﹣1（p＞0），则p的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1） D．[1，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】先把lnx≤px﹣1转化为p≥恒成立，再利用导函数求函数f（x）=的最大值，让p与其最大值比较即可．【解答】解：因为对任意的x＞0，恒有lnx≤px﹣1⇒p≥恒成立，设f（x）=只须求其最大值，因为f'（x）=，令f'（x）=0⇒x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，故f（x）在x=1处取最大值且f（1）=1．故p的取值范围是[1，+∞）．故选D．9．甲、乙两人约定在下午4：30：5：00 间在某地相见，且他们在4：30：5：00 之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出集合对应的面积是边长为30的正方形的面积，写出满足条件的事件对应的集合和面积，根据面积之比得到概率【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成．以4：30点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，画成图为一正方形．会面的充要条件是|x﹣y|≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分，∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P（A）=；故选B．10．如图在一个60°的二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．2 B．C．D．1【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则CD的长可求．【解答】解：∵，∴+2+2+2，∵⊥，⊥，∴，，cos120°=﹣×1×2=﹣1．∴﹣2×1=4，∴||=2，故选：A．11．已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则的取值范围是（ ）A ．（﹣，）B ．（﹣，）C ．（﹣，）D ．（﹣，） 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】由图象可知：经过原点，可得f （0）=0=d ，即f （x ）=ax 3+bx 2+cx ．．由图象可得：函数f （x ）在[﹣1，1]上单调递减，函数f （x ）在x=﹣1处取得极大值．可得f′（x ）≤0在[﹣1，1]上恒成立，且f′（﹣1）=0．利用且f′（1）＜0，f′（2）＞0即可得到b ＜0，3a +2b ＞0，设k=，则k=，求k 的最值，进而得出结论．【解答】解：由图象可知：经过原点，∴f （0）=0=d ， ∴f （x ）=ax 3+bx 2+cx ．由图象可得：函数f （x ）在[﹣1，1]上单调递减，函数f （x ）在x=﹣1处取得极大值．∴f′（x ）=3ax 2+2bx +c ≤0在[﹣1，1]上恒成立，且f′（﹣1）=0． 得到3a ﹣2b +c=0，即c=2b ﹣3a ， ∵f′（1）=3a +2b +c ＜0， ∴4b ＜0，即b ＜0， ∵f′（2）=12a +4b +c ＞0， ∴3a +2b ＞0，设k=，则k=，建立如图所示的坐标系，则点A （﹣1，﹣2），则k=式中变量a 、b 满足下列条件，作出可行域如图：∴k的最大值就是k AB=，k的最小值就是k CD，而k CD就是直线3a+2b=0的斜率，k CD=﹣，∴．∴故选A．12．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8e C．2 D．8【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，求出t的值，则tln的值可求．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），y′=•t，x=，y′=，∴切线方程为y﹣2=（x﹣）设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=﹣1，代入﹣1﹣2=（ln﹣1﹣），解得t=4，∴tln=4lne2=8．故选D．二、填空题（每小题5分，共20分．）13．x2dx=．【考点】69：定积分的简单应用．【分析】由定积分的概念和性质知x2dx=，由此能求出结果．【解答】解：x2dx==．故答案为：．14．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率等于．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用双曲线、椭圆的定义，求出a，利用双曲线的性质，求出c，即可求出椭圆C1的离心率【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，由双曲线C2：x2﹣y2=4的标准方程，则|PF1|﹣|PF2|=4，c=2∵|PF2|=2，∴|PF1|=6，∴2a=|PF2|+|PF2|=8，∴a=4．∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，c=2，∴椭圆C1的离心率为e==，故答案为：．15．已知函数f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），满足f（3）=7，f′（x）＜2，则f（x）＜2x+1的解集为（3，+∞）．【考点】63：导数的运算．【分析】由f′（x）＜2，则f（x）＜2x+1可抽象出一个新函数g（x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答案．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣（2x+1），因为f（3）=7，f′（x）＜2，所以g（3）=f（3）﹣（2×3+1）=0，g′（x）=f′（x）﹣2＜0，所以g（x）在R上是减函数，且g（3）=0．所以f（x）＜2x+1的解集即是g（x）＜0=g（3）的解集．所以x＞3．故答案为：（3，+∞）．16．已知函数，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，则实数m的取值范围为．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3T：函数的值．【分析】由题意，f（x）=0，可得m=，确定函数的单调性，结合存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，x=1时，m=，x=2时，m=，即可得出结论【解答】解：由题意，f（x）=0，可得m=，∴m′=，∴函数在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，∵存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，x=1时，m=，x=2时，m=，∴＜m≤，故答案为：；三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，【分析】即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1．（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．18．某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；（Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．【解答】解：（Ⅰ）由频率和等于1，所以b=1.00﹣（0.05+0.35+0.20+0.10）=0.30．a=100×0.35=35；（Ⅱ）因为第三、第四、第五组的学生数的比例是3：2：1，所以利用分层抽样从中选6人，第三、第四、第五组选取的学生人数分别是3人，2人，1人．设第三组选取的学生为1，2，3．第四组选取的学生为a，b．第五组选取的学生为c．则从6人中任意选出2人的所有方法种数是：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（1，c），（2，3），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，b），（a，c），（b，c）共15种．其中至少1人是第四组的方法种数是：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），（a，c），（b，c）共9种．所以2人中至少有1人是第四组的概率是．19．已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，再通过讨论a的范围，从而求出其单调区间，（Ⅱ）由g（x）=+x2+2aln x得g′（x）=﹣+2x+，建立新函数，求出其最小值，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x+=，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；②当a＜0时，f′（x）=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：，）（，由上表可知，函数f （x）的单调递减区间是（0，）；单调递增区间是（，+∞）．…（Ⅱ）由g（x）=+x2+2aln x得g′（x）=﹣+2x+，由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，即﹣+2x+≤0在[1，2]上恒成立．即a≤﹣x2在[1，2]上恒成立．令h（x）=﹣x2，在[1，2]上h′（x）=﹣﹣2x=﹣（+2x）＜0，所以h（x）在[1，2]上为减函数，h （x）min=h （2）=﹣，所以a≤﹣．故实数a的取值范围为{a|a≤﹣}．20．在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD，AB=2AD，M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）MN是△ABC的中位线，可得MN∥BC∥AD，即可证以MN∥平面PAD．（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（﹣1，0，0），C（1，1，0），M（，0，），B（1，0，0），N（，，），利用向量法求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵M，N分别是PB，PC中点∴MN是△ABC的中位线∴MN∥BC∥AD又∵AD⊂平面PAD，MN⊄平面PAD所以MN∥平面PAD．…（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（﹣1，0，0），C（1，1，0），M（，0，），B（1，0，0），N（，，），则，．设平面CAM法向量为，由可得）平面ABM法向量，∴cos＜，＞=﹣因为二面角B﹣AM﹣C是锐二面角，所以二面角B﹣AM﹣C等于…21．已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0 ）经过点P（1，），离心率e=（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设过点E（0，﹣2 ）的直线l 与C相交于P，Q两点，求△OPQ 面积的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q （x2，y2），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①又e==②，c2=a2﹣b2③由①②③得c2=3，a2=4，b2=1，故椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q （x2，y2），将y=kx﹣2代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜﹣．x1+x2=，x1x2=，|PQ|=•|x1﹣x2|=•=4•，又O到直线PQ的距离d=，=d•|PQ|=4•，则S△OPQ设t=，（t＞0），则4k2=3+t2，即有S△OPQ==由t+≥2=4，当且仅当t=2，即k=±时等号成立，满足判别式大于0．则S△OPQ≤1．故△OPQ 面积的最大值为1．22．设f（x）=，g（x）=alnx（a＞0）．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）•g（x）的极值；（Ⅱ）若函数G（x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）x在区间内有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x＞0时，lnx+＞0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求导数的变号零点，然后据此得到原函数的极大值或极小值点；（2）先利用导数研究函数的单调性、极值及最值的情况，然后结合数形结合思想构造出关于a的不等式（组）求解；（3）先将原不等式变形为两个函数比较大小的情形，然后转换为两个函数最值的比较问题，还是利用导数研究．【解答】解：（1）F（x）=f（x）•g（x）==．故F（x）在上递减，在上递增，所以为极小值点，所以=，无极大值．（2）．所以．由G′（x）=0得x=1或x=﹣a（舍去）．当x∈（0，1）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）单调递增．要使G （x ）在上有两个零点需满足：，即，解得．下面比较的大小．因为=．故．故a 的范围是．（3）原不等式等价于．由（1）知f （x ）=x 2lnx 的最小值为．设h （x ）=，则．因为x ＞0，所以h （x ）在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减．h （x ）max =h （2）=． 又因为．所以f （x ）min ＞h （x ）min ，故．所以x ＞0时，lnx．2017年6月14日。