圆中的分类讨论问题..

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“圆”中渗透的数学思想

“圆”中渗透的数学思想作者：赵传东来源：《初中生世界·九年级》2017年第05期数学思想是人们对数学活动经验的概括和总结，是数学基础知识及基本技能的本质体现，是数学知识的提炼、升华和结晶，是解决数学问题的灵魂.本文就带你到“圆”形世界去挖掘其中所蕴含的分类思想和转化思想，领略其美丽的风采.一、圆中的分类思想由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在没有明确图形位置的情况下，符合题意的图形可能有多种.因此在本章中应注意圆的问题的多样性，不要忘记分情况讨论.1.点和圆位置关系中的分类讨论.例1 如图1，直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B、C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（）.A.25°或155°B.50°或155°C.25°或130°D.50°或130°【分析】点D可以在劣弧上，也可以在优弧上.解：当点D在优弧BC上时，如图1，连接OB，∵直线AB与⊙O相切于B点，∴∠OBA=90°，∠AOB=50°，∠BDC=[12]∠AOB=25°；当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图1，∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=155°.∴∠BDC的度数为25°或155°.【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.由于点D既可在优弧BC上，也可在劣弧BC上，所以要分两种情况讨论.2.直线和圆位置关系中的分类讨论.例2 如图2，平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）.A.1B.1或5C.3D.5【分析】⊙P可以在y轴的左边也可以在y轴的右边.解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.【点评】本题主要考查了切线的性质的应用等知识，由于圆P在运动过程中，既可能和y 轴左边相切，也可能和y轴右边相切，所以要分情况讨论.3.圆与圆位置关系中的分类讨论.例3 以O为圆心的两个同心圆中，大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm，若圆P与这两个圆都相切，则圆P的半径为 .【分析】圆P既可以和小圆内切同时也可以和小圆外切.解：①若圆P与小圆外切，如图3（1），此时圆P的半径=[12]（3-1）=1（cm）；②若圆P与小圆内切，如图3（2），此时圆P的半径=[12]（3+1）=2（cm）.【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，虽然圆P只能和大圆内切，但和小圆既可内切，也可外切.所以两圆相切，应分情况讨论.二、圆锥中的转化思想例4 如图4所示，圆锥的母线OA=8，底面的半径r=2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 .【分析】将圆锥沿一条母线剪开，其侧面展开图是一个扇形，小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，爬行的最短路线的长实际上是扇形中弦AB的长度.[AB]的长度就是圆锥的底面周长.解：圆锥侧面展开图扇形的圆心角n=[rl]×360°=[28]×360°=90°，所以△OAB是直角三角形，根据勾股定理得AB=[82+82]=[82]，即最短距离为[82].【点评】对于立体图形研究两点间的最短距离，往往是先把立体图形展开成平面图形，再根据“在平面内两点之间线段最短”的性质解决.解决的关键是明确展开前后有关图形的对应关系.例5 如图5，在Rt△ABC中，AC=BC=[22]，若把Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（）.A.4πB.[42π]C.8πD.[82π]【分析】Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周形成两个圆锥，而且两个圆锥的形状完全相同.求所得几何体的表面积的关键是求出锥体的底面半径.解：∵∠ACB=90°，AC=BC=[22]，∴AB=[222+222]=4，Rt△ABC绕斜边AB所在的直线旋转一周所形成的几何体是由有公共底面的两个相同圆锥构成，其底面半径为2，母线长为[22]，圆锥的侧面展开图是扇形，此扇形的弧长是圆锥的底面圆周长，即为2×π×2=4π，半径是圆锥的母线长[22]，根据扇形的面积公式可求得这个圆锥的侧面积为[12]×4π×[22]=[42]π，所以几何体的表面积为[42]π×2=[82]π.故选D.【点评】绕直角三角形的斜边旋转，首先要搞清直角三角形的直角边是圆锥的母线，斜边上的高是圆锥的底面圆半径.所以明确圆锥侧面展开图的扇形的弧长、半径与圆锥的底面圆周长、母线的对应关系是解决本题的关键.（作者单位：江苏省丰县初级中学）。

江苏中考数学复习--题型六分类讨论问题(word解析版)

二、选填重难点突破题型六分类讨论问题类型一直角三角形中的分类讨论1.（2015宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3,0）、（3，0），点P在反比例函数y=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A.2个B. 4个C. 5个D. 6个2.已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则△ABC的周长为.类型二等腰三角形中的分类讨论1.已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A.6条B.7条C.8条D.9条2.在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB.则点P到BC 所在直线的距离是 ( )A. 1B.1或C.1或D.或类型三相似三角形中的分类讨论1.（2014常州）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（）A.1个B.2个C.3个D. 4个2.（2015凉山州）在ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB =.类型四圆中的分类讨论在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（-3，0），点B（0，3），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有 ( )A. 1个B.2个C. 3个D.4个【答案】类型一直角三角形中的分类讨论1. D【解析】如果以AB为直径画圆与双曲线相交，交点有4个，这四个点与AB组成的三角形是直角三角形而且是以AB为斜边，如果以A，B为直角顶点，则双曲线上还有两个点使△ABP为直角三角形，故选D.2. 60或42【解析】如解图，作AD⊥BC于点D，则AD为BC边上的高，AD=12,分两种情况：①高AD在三角形内，如解图①所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+DC2,∴DC=,在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2,∴BD=,∴BC=BD+DC=16+9=25,所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=20+15+25=60.②高AD在三角形外，如解图②所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+DC2,∴DC=,在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，∴BD=,∴BC=BD-DC=16-9=7,所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=20+15+7=42.故△ABC的周长为60或42.类型二等腰三角形中的分类讨论1.B【解析】如解图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形.故选B.2. D【解析】分两种情况：如解图①，延长AC，作PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为点E，∵CP∥AB，∴∠PCD=∠CBA=45°，∴四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=1，∴AB=，∴ＡＢ＝ＡＰ＝;∴在Rt△AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2，∴（1+DP）2+DP2＝（）2，解得，DP＝或ＤＰ＝（与题意不符，舍去）;如解图②，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA，交点为E，同理可证，四边形CDPE是正方形，∴CD=DP=PE=EC，同理可得，在Rt△AEP中，（EC-1）2+EP2=AP2，∴（PD-1）2+PD2＝（）2，解得，PD＝或(与题意不符，舍去).故选D.类型三相似三角形中的分类讨论1. C【解析】∵AB⊥BC，∴∠B=90°.∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°，AB=8，。

圆的分类讨论例题及习题

圆的分类讨论例题及习题圆中的分类讨论题------之两解情况一、根据点与圆的位置分类例1、点P 是圆0所在平面上一定点，点 P 到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2, 则该圆的半径为 ___________________ 。

解：过点P 和圆心0作直线分别与圆0相交于A 、B 两点。

PA 、 PB 分别表示圆上各点到点 P的最长距离和最短距离。

（1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径（2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径--1 - :H .所以，圆0的直径为2或6。

练习1:若。

0所在平面内一点P 到。

0上的点的最大距离为a ,最小距离为b ，则此圆的半径为（）2: P 在。

0内，距圆心0的距离为4,。

0半径长为5,经过P 点，有多少条？解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是 6cm （该弦垂直于0P ，等于5与4的平方和的平方根的2倍）；最长的是10cm （过0、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有 7、8、9cm ,所以共有8条（其中的7、8、9各有两条，以0P 为对称轴）。

3:00的半径为2.5，动点P 到定点0的距离为2,动点Q 到P 的点的距离为1,则点P 、 Q 与O 0有何位置关系？二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例 1、圆 0 的直径为 10cm ,弦 AB//CD , AB=6cm , CD = 8cm ,求 AB 和CD 的距离。

解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点 0作0M_AB 交 AB 于点M ，交CD于N ，连结OB 、0D ,得Rt 0MB , Rt 0ND ，然后由勾股定理求0M = 4cm, 0N = 3cm ，故 AB 和 CD 的距离为 1cm 。

（2）当AB 、CD 在圆心的异侧时，如图9,仍可求得0M = 4cm, ON = 3cm 故AB 和CD 的距离为7cm 。

所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。

例2、已知弓形的弦长为8cm ,所在圆的半径为5cm ,则弓形的高为多少？（ 2或8cm ）k _________ 止 ______________ ________ LAP . 定点交于。

第二十四章圆的主要知识

一、圆的有关概念1、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

注讨论等弧必在同圆或等圆的前提下。

如“长度相等的两条弧是等弧”这句话是错误的；2、直径是弦，但弦不一定是直径。

半圆是弧，但弧不一定是半圆；3、会过圆内一点做最长的弦和最短的弦；会过一点做到圆的最近距离和最远距离。

4、圆是轴对称图形，任何直径所在直线都是它的对称轴。

注“圆的每条直径都是它的对称轴”这一说法是错误的；圆是中心对称图形，绕着圆心旋转任何一个角度都与原来图形重合；证几个点共圆的方法：证这几个点到同一个点的距离相等即可；如矩形、正方形的四个顶点在同一个圆上二、垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

定理中的“直径”有时不一定整条画出来，只要过圆心必得出相应的结论，如有时只做弦心距，有时只做半径，只要与弦有交点即得出相应的结论；该定理可用来：（1）证明两线段相等。

（2）证明两条弧相等（3）计算弦长、半径、弦心距等（此时用半径、弦的一半、弦心距这三条线构成一个直角三角形，进而利用勾股定理计算出相关线段的长）；推论：（1）平分弧的直径必垂直平分弦；（此推论常用来证明垂直关系，如已知弧的中点，把中点与圆心连起来即得半径与弦垂直，进而可以进一步解决相关问题（2）弦的垂直平分线必经过圆心，（此推论主要用来找圆心，即做两条弦的垂直平分线交点即为圆心）。

（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（此推论常用来证垂直及两条弧相等，并且此句常出现在判断题中，陷阱是少“不是直径”）。

解决有关弦的问题时常做的辅助线是：过圆心做弦的垂线段。

这时与圆有关题目常见的辅助线之一。

圆中常见的分类讨论的问题：（1）没有给出圆中两平行弦的位置而要求两弦的距离，此时要分为两弦在圆心的同侧和异侧两种情况。

（2）园中的一条弦所对的圆周角有两种情况。

（3）当以圆上一点为顶点做圆周角时，若这个点没有给定位置，则有两种情况。

（4）两圆相切也有两种情况。

中考数学专题：例+练——第8课时分类讨论题(含答案)

第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于．6.（•威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。

分类讨论题(含答案)

分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于．6.（•威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。

圆中的分类讨论导学案.doc

课题：圆中的分类讨论问题一、明确目标：1、完整解决圆中一题两解的问题；2、掌握分类讨论问题解答的基本方法二、自主学习，认真准备：1、已知点P到。

0的最近距离为3cm,最远距离为13cm,则。

的半径为cm .2、A、B是。

0上的两点，旦匕A0B=136。

，C是。

0的位置关系是o5、若相切两圆的半径为3和5,则圆心距d=三、展示交流：1、上述题目考查了那些知识点？2、在解答中应该注意什么问题？四、例题分析：思路指导：先独立思考，画出符合题意的图形，再进行解答1、已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cin,求下水道中水的最大深度.点拨：由于的不确定而分类讨论2.已知半径为4和2龙的两圆相交，公共弦长为4,则两圆的圆心距为点拨：由于相交两圆圆心与公共弦的位置的不确定而分类讨论3、已知。

的直径AB = 2,过点A有两条弦AC=0, AD=/,求匕CAD的度数.O A MBA点拨：由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论4、关于直线与圆的关系分类讨论：（1）如图，在平而直角坐标系中，OC 的直径AB=12,圆心C 点的坐标为（-8, 0）, OC 以每秒2个单位长度的速度从C 沿x 轴正半轴方向运动.当t 为何值时，CDC 与y 轴相切？ v5、如图，点A, B 在直线MN 上，AB=11厘米，OA, （DB 的半径均为1厘米.OA 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，OB 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r = l + t （tNO ）.（1）试写出点A, B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆四、课堂小结：五、达标检测：1、若两圆内切，一圆半径为8,圆心距d 二3,则另一圆的半径r=2、 A ABC 是。

中考数学专题复习教学案--分类讨论题(附答案)

分类讨论题类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80°【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。

故顶角可能是50°或80°.答案：D .同步测试：1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A 落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．例2.（•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。

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Bx P2
则直线l与⊙O的关系是_相__交__或_相__切
5、已知：O是△ABC的外接圆的圆心，半径为2，且BC=2，
则∠A=___3_0_或__1_5_0_°
6、如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，1 OB
2
长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针旋转 __6_0_或_1_2_0_°时与 ⊙O相切.
A
P
O
O
B
C
B
C
A
点拨：可分为圆心在 ABC的内部和外部两种情况来讨论。
(三角形的外接圆)
已知☉O的半径长为5, △ABC内接于☉O,且 AB=AC,BC=6,AB=_3 _1_0 _或__10 NhomakorabeaA
5
5O
4
B
3D
C
A
B
31 5D
C
4
O
点拨: 可分为圆心在 ABC的内部和外部两种情况来讨论。
直线和圆的位置关系
A
C
B
O
例5：直线和圆有公共点，则直线和圆的位置关系是相__交__或_相__切点拨：有公共点分相交和相切两种情况
例6：已知☉O的半径为3，P是直线l上一点，OP长为5，则直线l与☉O的位置系是_相__离_、__相_切__或__相_交____
点拨：分OP与直线l垂直与不垂直来讨论。
(直线和圆的位置关系)
D
O
O
C
点拨：两弦与圆心的位置关系不确定时，需分类讨论。
(垂径定理)
在直径为20的圆中，有一条弦长为16，则它对的弓形的高是 _4_或__1_6
点拨：弓形的高要分优弧和劣弧两种情况来讨论。
圆的基本性质
三角形的外接圆
例4：已知 ABC内接于圆O，OBC 35 ，则 A
的度数为_5_5__或__1_2_5__。
问题一:是什么原因导致了要分类讨论？本质原因：位置关系不确定，大多数题目表现为没有图，或题目有开放性。
问题二、面对分类讨论的问题，我们如何思考?
1、我们可根据某一标准先分类（画图）、再逐类求解（即讨论），最后归纳出结论。 2、原则：统一标准，不重不漏。
1. 一条弦分圆周为9：11，这条弦所对的圆周角的度数是81°或99°； 2、如图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），
已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则（1）
⊙A与 x 轴的位置关系是_____相, 离⊙A与 y 轴的位置关系是_____相_．切
y
（2）⊙A向上平移_1_或__7_ 个单位后与 x 轴相切．
B Ox
4
.A
C
3
通过本节课的学习，你有哪些收获，请和同学们分享一下？
以上题目都是数学中的“分__类__讨_论___问题”
AB=10cm,CD=24cm,则AB和CD之间的距离为_17_c_m_或_7_c_m.
A
B
A
B
C
C
O
D
D
O
点拨：两弦与圆心的位置关系不确定时，需分类讨论。
(垂径定理)
已知：⊙O半径为1， AB、 AC 是⊙O的弦，
AB= 3 ，AC= 2 ，∠BAC的度数为_75_0_或_1_5_0
B
CB
A
D
A
2、系统的总结圆中分类讨论的典型例题.
3、通过解决问题，掌握解决分类讨论问题的方法.
(点和圆的位置关系)
例2、弦ＡB把⊙Ｏ的圆周分成1:2，则弦ＡB
所对的圆周角的度数是600 或 1200
。
C
A
B
C’
点拨：点在圆上位置不确定时，需分类讨论
(垂径定理)
例3：已知☉O的半径为13cm,该圆的弦AB∥CD,且
B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不 y
重合），则∠OAB＝____4_5____度，
∠OPB＝__4_5_或__1_3_5_度。
A
P1
3、已知：在⊙O中，半径为5，直径AB垂
直于弦CD，垂足为E，弦CD=8，则
AE的长是__2_或__8__
0
4、已知：在⊙O中，半径为5，圆内一点A，
OA=2，直线l⊥直线OA于点B，且AB=3，
学而时习之，不亦乐乎！ ——《论语》
(点和圆的位置关系)
例1、若点P是⊙O所在平面内的一点，到⊙O上各点最小距离是1，到⊙O的最大距离是7，该圆的半径为3 _或__4_________
AP A
P
O
O
B
B
点拨：当未确定点是在圆内或圆外时，需分类讨论
人教版九年级数学上册
1、能够解决圆中简单的分类讨论问题．