§14.2 不等式选讲

变式训练 1 设 a，b，c 为正实数，求证 ： ， ， 为正实数，求证： 1 1 1 ＋ ＋ ＋ abc≥2 3. ≥ a3 b3 c3
因为 a，b，c 是正实数，由算术—几何平均不等 3 1 1 1 1 1 1 式可得 3＋ 3＋ 3≥3 · · ， a b c a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3＋ 3＋ 3≥ . a b c abc 1 1 1 3 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥ ＋abc. a b c abc 3 3 而 ＋abc≥2 ·abc＝2 3， abc abc 当且仅当 a＝b＝c 且 abc＝ 3时，取等号． 1 1 1 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c
6．绝对值三角不等式 ． (1)性质 1：|a＋b|≤|a|＋|b|. 性质 ： ＋ ≤ (2)性质 2：|a|－|b|≤ |a＋b| . 性质 ： － ≤ 性质 3： |a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b| . ： － ≤ 7．绝对值不等式的解法 ． (1)含绝对值的不等式 含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 含绝对值的不等式 不等式 |x|<a |x|>a a>0 a＝0 ＝ a<0
§14.2 不等式选讲 基础知识 自主学习
要点梳理 1．两个实数大小关系的基本事实 ． a>b⇔ a－b>0 ⇔ a＝b⇔ a－b＝0 ＝ ⇔ a<b⇔ a－b<0 ⇔ 2．不等式的基本性质 ． (1)对称性：如果 a>b，那么 b<a ； 如果 b<a ，那么 a>b. 对称性： 对称性 ， 即 a>b⇔ b<a . ⇔ 传递性： (2)传递性：如果 a>b，b>c，那么 a>c .即 a>b,b>c⇒a>c 传递性 ， ， 即 ⇒ .
* n n 2 2 )为实数，则(∑ai )(∑bi )≥(∑aibi)2，当且 为实数， ∑ ∑ ≥ ∑ 为实数 i ＝1 i ＝1 i＝1 n
b1 b2 bn 仅当 ＝ ＝ …＝ (当 ai＝ 0 时，约定 bi＝ 0，i＝1,2，…， 当 ，＝ ， a1 a2 an n)时等号成立． 时等号成立． 时等号成立 (3)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量， 柯西不等式的向量形式： 柯西不等式的向量形式 ， 为平面上的两个向量， 则 |α||β|≥ |α·β|，当且仅当 α、β 共线时等号成立． ≥ ， 、 共线时等号成立．
不小于(即大于或等于) 它们的几何平均数． 术平均数 不小于(即大于或等于) 它们的几何平均数．
(3)利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 对两个正实数 x，y， ， ， 是定值， ①如果它们的和 S 是定值 ， 则当且仅当 x＝y 时， 它们的积 P 取得最 大 值 ； 是定值， ②如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的和 S 取得最 小 值．
4．求不等式 1<|x＋1|<3 的解集． ． 的解集． ＋
解析
由 1<|x＋1|<3，得
1<x＋1<3 或－3<x＋1<－1， ∴0<x<2 或－4<x<－2， ∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．
1－3|x| － 5．求不等式 >0 的解集为． 的解集为． ． x
本题可去绝对值将已知不等式转化为等价的 x>0 不等式组， 即 (注： 解之前将未知数的系 (1－3x)x>0 数化为正值) x<0 或 ， (1＋3x)x>0 分别解之然后取并集即得不等式的解集为 1 1 0， ∪－∞，－ . 3 3
①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|； ③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.
解析
∵ab>0，∴a，b 同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，
∴①和④正确．
3．求不等式|2x－1|－|x－2|<0 的解集． ． 不等式 － － － 的解集．
解析 方法二 方法一 原不等式即为|2x－1|<|x－2|， ∴4x2－4x＋1<x2－4x＋4，∴3x2<3，∴－1<x<1. 原不等式等价于不等式组 1 x≥2， <x<2， ① 或②2 2x－1－(x－2)<0， 2x－1＋(x－2)<0. 1 x≤ ， 或③ 2 －(2x－1)＋(x－2)<0. 1 1 不等式组①无解，由②得 <x<1，由③得－1<x≤ . 2 2 综上得－1<x<1，所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}．
；
ax＋ ② |ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c . ＋ ≥ ⇔ ax＋
(3)|x－a|＋|x－b|≥c 和 |x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 － ＋ － ≥ － ＋ － ≤ ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的 思想； 思想； ②利用“零点分段法” 求解，体现了分类讨论的思想； 利用 “零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方 通过构造函数，利用函数的图象求解， 程的思想． 程的思想． 8．不等式证明的基本方法 ． (1)比较法； (2)综合法和分析法； (3)反证法和放缩法． 比较法； 综合法和分析法 综合法和分析法； 反证法和放缩法 反证法和放缩法． 比较法
解析
题型分类 深度剖析
题型一 算术—几何平均不等式的应用 算术 几何平均不等式的应用 例 1 已知实数 a，b，c，d 满足 a>b>c>d， ， ， ， ， 1 1 1 9 求证： . 求证： ＋ ＋ ≥ a－b b－c c－d a－d － － － － 证明 ∵a>b>c>d，
∴a－b>0，b－c>0，c－d>0， 1 1 1 ＋ ＋ a－b b－c c－d(a－d) 1 1 1 ＋ ＋ ＝ [(a－b)＋(b－c)＋(c－d)] a－b b－c c－d 3 1 3 1 1 · · ×3 (a－b)(b－c)(c－d)＝9. ≥3 a－b b－c c－d 当且仅当 a－b＝b－c＝c－d 时，取等号． 1 1 1 9 ∴ ＋ ＋ ≥ . a－b b－c c－d a－d
[难点正本 难点正本
疑点清源] 疑点清源
解含有绝对值不等式时， 脱去绝对值符号的方法主要有： 解含有绝对值不等式时 ， 脱去绝对值符号的方法主要有 ： 公 式法、分段讨论法、平方法、几何法等． 式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时 各有利弊， 在解只含有一个绝对值的不等式时， 用公式法较 各有利弊， 在解只含有一个绝对值的不等式时， 为简便； 但若不等式含有多个绝对值时， 则应采用分段讨论 为简便 ； 但若不等式含有多个绝对值时， 法；应用平方法时， 应用平方法时 ， 要注意只有在不等式两边均为正的情况 下才能施行．因此，我们在去绝对值符号时， 下才能施行．因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需 视具体情况而定． 视具体情况而定．
(3)可加性：如果 a>b ，那么 a＋c>b＋c. 可加性： 可加性 ＋ ＋
ac> 可乘性： (4)可乘性：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc ；如果 a>b，c<0， 可乘性 ， ， ， ， ac< 那么 ac<bc
.
n n
(5)乘方：如果 a>b>0，那么 an > bn(n∈N，n>1)． 乘方： 乘方 ， ∈ ， ． (6)开方：如果 a>b>0，那么 a > b(n∈N，n>1)． 开方： 开方 ， ∈ ， ． 3． 3．基本不等式 (1)定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a 定理 ： ， ∈ ， ， 等号成立． ＝b 时，等号成立． a＋b ＋ ≥ ab，当 基本不等式)： (2)定理 2(基本不等式 ：如果 a，b>0，那么 定理 基本不等式 ， ， ， 2 且仅当 a＝b 时，等号成立．也可以表述为：两个正数 的算 等号成立．也可以表述为：
4．三个正数的算术—几何平均不等式 ．三个正数的算术 几何平均不等式 a＋b＋c ＋ ＋ ≥ 3 abc， (1)定理 3 如果 a，b，c 均为正数，那么 定理 ， ， 均为正数， ， 3 等号成立． 当且仅当 a＝b＝c 时， 等号成立． 它们的几何平均数． 即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
， f(x)的最小值为 a－1. 的最小值为 －
所以对于∀ ∈ ， 所以对于∀ x∈R，f(x)≥2 的充要条件是 － 1|≥2， ≥ 的充要条件是|a－ ≥ ， 的取值范围为(－ ，－1]∪ ，＋ ． ，＋∞ 从而 a 的取值范围为 －∞，－ ∪ [3，＋∞ )．
探究提高：含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值 式里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序， 以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间 来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解 的并集．
(2)基本不等式的推广 基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1，a2，… ，an，它们的算术平均数不小于 它 a1＋ a2＋…＋ an n ≥ 们的几何平均数， a1a2… an， 们的几何平均数，即 n 等号成立． 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立 ． 5．柯西不等式 ． (1)设 a，b，c，d 为实数，则 (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥(ac＋bd)2，当 设 ， ， ， 为实数， ≥ ＋ 且仅当 ad＝bc 时等号成立． ＝ 时等号成立． (2)若 ai， bi (i∈N 若 ∈
利用算术—几何平均不等式证明问题时 几何平均不等式证明问题时， 探究提高 利用算术 几何平均不等式证明问题时，要特 别注意正、 等的基本条件． 别注意正、定 、等的基本条件．同时要注意不等式的结构 a1＋ a2＋…＋ an n 特征： 特征： ≥ a1·a2·…·an(a1， a2，…， an>0)． … ． n