高一数学下学期开学考试试题(普通班)
湖北省十堰市丹江口市第二中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
湖北省十堰市丹江口市第二中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）A．小于100g B．等于100gC．大于100g D．与左右臂的长度有关四、解答题17．已知{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，{}1,3,5,7B =，求A B Ç，()()U UA B Çðð.由函数()=-仅有一个零点，y f x m由图知：0m =.故答案为：017．{}5A B =I ，()(){}U U6A B Ç=ðð.【分析】根据集合的交集，补集运算可得解.【详解】由{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，{}1,3,5,7B =，{}5A B \Ç=，{}U 1,3,6,7A =ð，{}U 2,4,6B =ð，()(){}U U 6B A \Ç=ðð.18．(1){26}x x -<<∣(2)[)0,¥+【分析】（1）解不等式得到{06}M x x =<<∣，{24}N x x =-<<∣再计算并集即可.（2）根据集合的包含关系和集合N =Æ，N ¹Æ两种情况，得到不等式，即可解得答案.【详解】（1）由{}260,M x x x =->∣，解得：{06}M xx =<<∣，1a =-时，{24}N x x =-<<∣，所以{26}M N x x È=-<<∣.（2）当N =Æ时，23a a ³-，解得1a ³；当N ¹Æ时，232036a a a a <-ìï³íï-£î，解得01a £<.综上，a 的取值范围为[)0,¥+.。
黑龙江省高一下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，那么集合（ ）{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<A B = A ．B ． {}32x x -<<{}52x x -<<C ．D ． {}33x x -<<{}53x x -<<【答案】A【分析】由集合交集的定义直接运算即可得解.【详解】因为集合，，{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<所以.{}|32B x x A -<=< 故选：A.2．设命题：，，则为（ ）p x ∀∈N x ∈Z p ⌝A ．，B ．， x ∀∈N x ∉Z x ∃∈N x ∉ZC ．，D ．， x ∀∉N x ∈Z x ∃∈N x ∈Z 【答案】B【分析】含有一个量词的命题的否定，既要否定结论，也要改变量词.【详解】命题：，，则为：，，故A ，C ，D 错误.p x ∀∈N x ∈Z p ⌝x ∃∈N x ∉Z 故选：B.3．设，，且，则的最小值为（ ）0x >0y >9xy =x y +A ．18B ．9C ．6D ．3 【答案】C【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】∵0,0x y >>∴，（当且仅当，取“=”）6x y +≥=3x y ==故选：C.4．若为第一象限角，则是（ ） α2αA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 【答案】D【解析】写出第一象限角，得到的范围，再讨论k 的取值即可.α2α【详解】因为为第一象限角， α所以， 22,2k k k Z ππαπ<<+∈所以，,24k k k Z απππ<<+∈当时，，属于第一象限角，排除B ； 0k =024απ<<当时，，属于第三象限角,排除AC ； 1k =524αππ<<所以是第一或第三象限角2α故选：D5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 ()26log f x x x =-()f x A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,4()4,+∞【答案】C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. (2)310f =->3(4)202f =-<【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6．sin 20cos 40cos 20sin140︒︒︒︒+=A ． BC ．D ．12-12【答案】B【详解】 sin 20cos 40cos 20sin140sin 20cos 40cos 20sin 40sin(2040)sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B7．已知函数是定义在上的减函数，则当时，实数的取值范围为()f x [)0,+∞1(21)()3f a f ->a （ ） A ． B ． C ． D ． 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】根据函数为定义域上的减函数及定义域建立不等式组即可求解.【详解】因为函数是定义在上的减函数，且， ()f x [)0,+∞1(21)(3f a f ->所以， 1213021a a ⎧-<⎪⎨⎪≤-⎩解得， 1223a ≤<故选：C8．已知是偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是()f x ()0,∞+()()()0.5,1,0f f f --（ ）A ．B ． ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<C ．D ．()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-【答案】C【分析】利用偶函数的性质化简要比较的三个数，再根据函数在上的单调性判断出三者的()0,∞+大小关系，从而确定正确选项.【详解】∵函数为偶函数，∴，又∵在区间上是增()f x ()()()0.50.5(11),f f f f -=-=()f x ()0,∞+函数，∴，即.()()()00.51f f f <<()()()00.51f f f <-<-故选C.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.二、多选题9．函数的图象过（ ）()log (2)(01)a f x x a =+<<A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BCD【分析】画出函数大致图象即可判断.【详解】的图象相当于是把的图象向左平移2个单()log (2)(01)a f x x a =+<<()log 01a y x a =<<位，作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二､三､四象限. ()()log 2a f x x =+()01a <<()f x 故选：BCD.10．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数的是（ ）(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 3y x =||1y x =+21y x =-+1y x=-【答案】AD【分析】逐个分析各项可得结果.【详解】对于A 项，设，定义域为R ，则，所以是奇函数， 3()y f x x ==3()()f x x f x -=-=-3y x =由，在上单调递增可得在上单调递增，故选项A 正确；0α>y x α=(0,)+∞3y x =(0,)+∞对于B 项，设，定义域为R ，则，所以是偶()||1y f x x ==+()||1||1()f x x x f x -=-+=+=||1y x =+函数，故选项B 错误；对于C 项，设，定义域为R ，，所以是偶函数，2()1y f x x ==-+2()1()f x x f x -=-+=21y x =-+故选项C 错误； 对于D 项，，定义域为，，所以 1()y f x x ==-(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x f x x-==-是奇函数，由，在上单调递减可得在上单调递减， 1y x=-0α<y x α=(0,)+∞1y x -=(0,)+∞所以在上单调递增.故选项D 正确. 1y x=-(0,)+∞故选：AD.11．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èøy t =t A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】ABC 【分析】画出在的图像，即可根据图像得出. 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø【详解】画出在的图像如下： 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø则可得当或时，与的交点个数为0；0t <2t ≥1y cosx =+y t =当或时，与的交点个数为1； 0=t 322t ≤<1y cosx =+y t =当时，与的交点个数为2. 302t <<1y cosx =+y t =故选：ABC.12．设函数，则下列结论正确的是（ ）()cos2f x x x -A ．的一个周期为()f x π-B ．的图像关于直线对称 ()y f x =π6x =-C ．的图像关于点对称 ()y f x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．在有3个零点()y f x =[0,2π]【答案】ABC【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可()f x【详解】， π()cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对A ，最小周期为，故也为周期，故A 正确； 2ππ2T ==π-对B ，当时，为的对称轴，故B 正确； π6x =-ππ262x -=-sin y x =对C ，当时，，又为的对称点，故C 正确； π12x =26π0x -=()0,02sin y x =对D ，则， ()0f x =()ππ2sin 202π,Z 66x x k k ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝⎭解得，故在内有共四个零点，故D 错误 ()ππ,Z 212k x k =+∈()f x [0,2π]π7π13π19π,,,12121212x =故选：ABC.三、双空题13．函数的振幅是________，初相是________． 1π3sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】 3 π6【分析】根据振幅和初相的定义可得答案.【详解】振幅，3A =令则初相. 0x =π6ϕ=故答案为:3, π6四、填空题14．函数（，且）的图象必经过点的坐标________．1x y a =+0a >1a ≠【答案】()0,2【分析】利用指数函数的性质即可求解.【详解】令，得，0x =012y a =+=所以函数（，且）的图象必经过点.1x y a =+0a >1a ≠()0,2故答案为：.()0,215．等于________．2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【答案】44.5【分析】设，由平方关系得到2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒求解.2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【详解】解：设，2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒因为，22222222sin 1cos 89,sin 2cos 88,sin 3cos 87,...,sin 89cos 1︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒所以，2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒两式相加得：，2189S =⨯所以，44.5S =故答案为：44.516．已知，且，则________． ()1sin 535α︒-=27090α-︒<<-︒()sin 37α︒+=【答案】##【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-cos β值，利用的范围确定的符号.αcos β【详解】设,,那么,从而.53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-于是.因为,()sin sin 90cos γββ︒=-=27090α︒︒-<<-所以.由,得. 143323β︒︒<<1sin 05β=>143180β︒︒<<所以cos β===所以. ()sin 37sin αγ︒+==故答案为：五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且角α的终边与单位圆交点为P ，，且β是第一象限角，求：和的cos 0.6β=sin()αβ-tan()αβ+值.【答案】 ，sin()αβ-=2tan()11αβ+=-【分析】先利用题给条件求得，，，再利sin αα==tan 2α=-4sin 5β=4tan 3β=用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得和的值.sin()αβ-tan()αβ+【详解】角α的终边与单位圆交点为P ，则 sin αα==tan 2α=-由，且β是第一象限角，可得， cos 0.6β=4sin 5β=4tan 3β=则 4sin()sin cos cos sin 0.65αβαβαβ-=-== ()42tan tan 23tan()41tan tan 11123αβαβαβ-+++===----⨯18．已知．求值：tan 2α=(1)； sin cos sin cos αααα+-(2)．2cos 2sin cos 1ααα--【答案】(1)3；(2) 85-【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.【详解】（1）∵，tan 2α=∴； sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---（2）. 22222cos 2sin cos 12tan cos 2sin cos 1111co 1s sin ta 4n 1558αααααααααα-----=-=-=-=-++19．已知，． 0πx <<1sin cos 5x x +=(1)求的值；sin cos x x -(2)若，试比较与的大小． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-tan x tan θ【答案】(1) 7sin cos 5x x -=(2)tan tan x θ> 【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值； 242sin cos 25x x =-sin cos x x -（2）根据第一问求出的值，再利用已知等式求出的值，进行比较即可.tan x tan θ【详解】（1）对于，两边平方得， 1sin cos 5x x +=221sin cos 2sin cos 25x x x x ++=所以，∵，∴，，所以， 242sin cos 25x x =-0πx <<sin 0x >cos 0x <sin cos 0x x ->∴，∴； 249(sin cos )12sin cos 25x x x x --==7sin cos 5x x -=（2）联立，解得，所以， 1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4tan 3x =-因为，且，所以分子分母同除以有：，解得． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-cos 0θ≠cos θtan 11tan 13θθ+=-tan 2θ=-∴.tan tan x θ>20．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【答案】(1)(－1，1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)(0，1)．【分析】（1）结合真数大于零得到关于的不等式组即可求得函数的定义域； x （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．x 【详解】（1）要使函数有意义，则， 1010x x +>⎧⎨->⎩解得，即函数的定义域为；11x -<<()f x (1,1)-（2）函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=- 是奇函数．()f x ∴（3）若时，由得，1a >()0f x >log (1)log (1)a a x x +>-则，求解关于实数的不等式可得， 1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩x 01x <<故不等式的解集为．(0,1)21．已知函数．2()sin cos cos 2f x x x x x =+(1)求的单调递减区间；()f x (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围． ()()g x f x a =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 【答案】(1)； 2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2) 31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可；（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性，即可求出实数()a f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围．a【详解】（1）21cos211()sin cos cos22cos22cos2222xf x x x x x x x x x-=+=++=++，1sin262xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，解得，则的单调递减区间为3222,262k x k kπππππ+≤+≤+∈Z2,63k x k kππππ+≤≤+∈Z()f x；2,,63k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，当()()g x f x a=-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，0,6xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单增，当时，，2,662xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭,62xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,626xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦单减，()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭又，，，要使在上有()10sin162fπ=+=13sin6222fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭71sin0262fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦两个解，则.31,2a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22．已知函数.1()1xf xx-=+（1）证明函数在上为减函数；()f x(1,)-+∞（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；ln(tan)y f x=（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.(,42ππ(tan)tan0f x a x+≤【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.,,44k k k Zππππ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭(,3-∞-【解析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据tan1tan1xx<⎧⎨>-⎩奇偶性定义可判断函数的奇偶性.（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的tant x=11tatt-+<+()1,+∞a取值范围.【详解】（1），，，11x∀>-21x∀>-12x x<又，()()()122212121211()()11112x xx xf x f xx x x x----=-+-=+++因为，，，故，，，11x >-21x >-12x x <110x +>210x +>120x x -<故即，所以函数在上为减函数.12())0(f x f x ->12()()f x f x >()f x (1,)-+∞（2）的满足的不等关系有：即， ((ln t )n )a y f x =x 1tan 01tan x x->+()()1tan tan 10x x +-<故，解得， tan 1tan 1x x <⎧⎨>-⎩,44k x k k Z ππππ-+<<+∈故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称. ,44k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭Z k ∈令()((ln ta )n )F x f x =又 ()()()tan tan tan()tan tan 11ln ln ln 11x x x x xF x f -+--===--+，()()()tan ln x f F x =-=-故为奇函数. ln (tan )y f x =（3）令，因为，故. tan t x =(,)42x ππ∈1u >故在上不等式能成立即为 (,)42ππ(tan )tan 0f x a x +≤存在，使得，所以在上能成立， 1t >101t at t-+≤+()11t a t t -≤+()1,+∞令，则且， 1s t =-0s >()21121323t s t t s s s s-==+++++由基本不等式有2s s+≥s 所以时等号成立， ()131t t t -≤=-+1t 故的最大值为a 的取值范围为. ()11t y t t -=+3-(,3-∞-【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.。
辽宁省本溪市2023-2024学年高一下学期开学考试 数学含答案
2026届高一年级寒假验收考试数学试题（答案在最后）命题人：宋德霞考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写．．．．．．．．的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教B 版必修第一册，必修第二册，必修第三册7.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合则{}02A x x =<<，{}0,1,2B =，则A B = （）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}02．角2024°的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()18f x x=B ．()12f x x-=C ．()72f x x =-D ．()2132f x x =4．在ABC △中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且3AE EC =，则ED = （）A ．1124AB AC-+B ．1223AB AC-C ．1223AB AC-+D ．1124AB AC-5．已知正实数a ，b ，设甲：11a a b b +<+>，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．去年4月，国内猪肉，鸡蛋，鲜果、禽肉、粮食，食用油、鲜菜价格同比（与前年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）A ．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小粮食、食用油、鲜菜价格同比变化情况B ．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍C ．前年4月鲜菜价格要比去年4月低D ．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%7．已知函数()231x f x x =++，()2log 31g x x x =++，()331h x x x =++的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．b a c>>D ．a b c>>8．函数()()2445f x x x x x =--）A ．4B ．2C ．4120D ．2110二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各组向量中，不能作为基底的是（）A ．()10,0e = ，()21,1e =B ．()11,2e = ，()22,1e =-C ．()13,4e =- ，234,55e ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()12,6e = ，()21,3e =--10．某射击运动员射击10次，中靶环数分别是7．8，9，7，6，5，10．9，5，7（单位：环），则（）A ．这组数据的中位数与众数相等B ．这组数据的30%分位数与极差相等C ．若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件D ．若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是对立事件11．已知()10y x x=>．则（）A x y 的最小值为2B ．28x y的最大值为34C ．229x y +的最小值为23D ．y y x -的最小值为14-12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()()()11f x f x f x ++-=，()3g x -是偶函数，且()()32f x g x +-=，若()31g -=则（）A ．()112f =B ．()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()()6f x f x =+D ．()f x 为奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知扇形OAB 的圆心角为2rad ，其弧长是1cm ，则该扇形的面积是______2cm ．14．已知()2,1a =-，()1,2b =- ，()()22a b a b m +- ∥，则m =______．15．甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为12，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为______．16．已知函数()()13mx f x an a +=+-其中m ，n ∈R ，0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,1，()1f =，则()2f m n +=⎡⎤⎣⎦______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合{}22150M x x x =--<，{}237N x m x m =-<<+．（1）当4m =-时，求()R M N ð；（2）若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）设两个非零向量a 与b不共线．（1）若b A a B =+，28a b BC =+，()3b CD a =-，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b + 和a kb +反向共线．19．（本小题满分12分）已知函数()2221f x x x -=-+，函数()()1g x f x x=⋅．（1）求函数()g x 的解析式；（2）试判断函数()g x 在区间()1,+∞上的单调性，并证明；（3）求函数()g x 的值域．20．（本小题满分12分）某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解学生们的劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：劳动时间（时）频数（人数）频率[)0,1120.12[)1,2300.3[)2,3x 0.4[]3,418y 合计m1（1）统计表中的x =______，y =______，补全频率分布直方图；（2）估计所有被调查学生劳动时间的平均数；（3）针对被调查的学生，用分层抽样的方法从劳动时间在[)0,1和[]3,4的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人．求这2人全部来自劳动时间在[]3,4的概率．21．（本小题满分12分）已知不等式()214k x k k +≤++，其中x ，k ∈R ，（1）若3x =，解上述关于k 的不等式；（2）若不等式对[)4,k ∀∈-+∞恒成立，求x 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()42log 6x f x x -=-，且()31f =-，()44221x x x xg x m m --=+-⋅-⋅+．（1）解不等式()1f x >；（2）设不等式()1f x >的解集为集合A ，若对任意1x A ∈，存在[]20,1x ∈，使得()12x g x =，求实数m 的取值范围．2026届高一年级寒假验收考试·数学试题参考答案，提示及评分细则1．A 由()()2,00,2A =- ，{}0,1,2B =，则{}1A B = ，故选A ．2．C 20242245360︒=︒+⨯︒，因为224°的终边在第三象限，所以角2024°的终边在第三象限．故选C ．3．B 设幂函数()af x x =，将点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入ay x =得142a=，所以12a =-．所以幂函数的解析式为()12f x x-=．故选B ．4．D 如图，因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，又3AE EC =，所以34AE AC = ，所以()13112424ED AD AE AB AC AC AB AC =-=+-=- ．故选D ．5．C 由0a >，0b >及()1011a a a bb b b b +--=<++，得0a b <<，所以11a b >，显然>>可知110a b>>，则0b a >>，所以()1011a a a b b b b b +--=<++，即11a ab b +<+，所以甲是乙的必要条件．综上可知，甲是乙的充要条件．故选C ．6．D 由图可知，猪肉，鸡蛋，鲜果，禽肉，粮食，食用油这6种食品中，粮食价格同比涨幅最小，所以A 错误；因为34.4%58.5%<⨯，所以B 错误；前年4月鲜菜价格要比去年4月高．所以C 错误；因为()121.2%7.6%3%8.5%9.6%10.4%34.4%7⨯-++++++()122%7%3%8%9%10%34%7>⨯-++++++⎡⎤⎣⎦149%7%7=⨯=，所以D 正确．故选D ．7．B 令()0f x =，()0g x =，()0h x =得231xx =--，2log 31x x =--，331x x =--，则a 为函数2xy =与31y x =--交点的横坐标，b 为函数2log y x =与31y x =--交点的横坐标，c 为函数3y x =与31y x =--交点的横坐标，在同一直角坐标系中，分别作出2xy =，2log y x =，3y x =和31y x =--的图象，如图所示，由图可知，b c a >>，故选B ．8．C 由解析式易知()f x 的定义域为[]0,4，令)0t t =+>，所以24t =+2122t =-，由y =04x ≤≤，可知0y ≤≤248t ≤≤，则2t ≤≤所以()()(222114225255f x g x t t t t ⎛⎫==--=-++≤≤ ⎪⎝⎭，则()()2154141522020f xg t t ⎛⎫==--+≤⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为4120．故选C ．9．ACD A ，C ，D 中向量1e 与2e x 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e不共线，所以可作为一组基底．故选ACD ．10．AC由题知，这组数从小到大排列为5，5，6，7，7，7，8，9，9，10，所以这组数据的众数为7，中位数是()7727+÷=，所以这组数据的中位数与众数相等，故A 正确；因为100.33⨯=，所以这组数据的30%分位数为()672 6.5+÷=，极差为1055-=，不相等，故B 错误；若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件，故C 正确；若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是互斥事件，但不是对立事件，故D 错误．故选AC ．11．AD 对于A ，因为0x >，0y >2≥=，当且仅当1x y ==时，等号成立，A 正确；对于B ．因为0x >，0y >，由基本不等式得328222x xx y+=≥==当且仅当3,1,x y xy =⎧⎨=⎩即x =3y =时，等号成立，故28x y 的最小值为B 错误；对于C ，由基本不等式得22966x y xy +≥=，当且仅当x =3y =时，等号成立，故229x y +的最小值为6，C 错误；对于D ，因为()10,0y x y x=>>，所以22111244y y y y y x ⎛⎫-=-=--≥-⎪⎝⎭，当12y =时，等号成立，故y y x -的最小值为14-，D 正确．故选AD 12．ABC因为()3g x -是偶函数，所以()()()()()()3323f x g x f x g x f x g x -+--=-+-==+-，所以()()f x f x =-．当0x =时，()()032f g +-=，又()31g -=，所以()01f =，所以()()()1101f f f +-==，所以，()112f =，故A 正确；由()()()11f x f x f x ++-=，得()()()21f x f x f x +-=-，两式相加得()()12f x f x -+=-，所以()()3f x f x =-+，又()()f x f x =-，所以，()()3f x f x -=-+，即()()30f x f x -++=，所以()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；()()()36f x f x f x =-+=+，故C 正确；由()()f x f x =-可知()f x 为偶函数；D 不正确．故选ABC ．13．14设扇形的半径为R ，则12R =，所以12R =，所以扇形的面积为21111cm 224⨯⨯=．14．－6因为()2,1a =-，()1,2b =- ，所以()425,a b +=- ，()323,6a b m m m -=--，由()()23a b a b m +-∥，得()()564230m m -+-=，解得6m =-．15．1116由题意得甲、乙两队获胜的概率均为12，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛，则再进行两场比赛甲队获胜的概率为111224⨯=；再进行三场比赛甲队获胜的概率为11111112222224⨯⨯+⨯⨯=；再进行四场比赛甲队获胜的概率为111111111111322222222222216⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=，所以最终甲队获胜的概率为11311441616++=．16．22由题意，函数()()13mx f x an a +=+-恒过定点()2,1，可得210,30,m n +=⎧⎨-=⎩解得12m =-，3n =，所以15322m n +=-+=，()()1123x mx f x a n a a -++=+-=，()121f a ==2a =．则511445222f -+-⎛⎫==⎪⎝⎭，()221245222f m n f -⎛⎫⎡⎤⎛⎫+===⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭．17．解：{}{}2215035M x x x x x =--<=-<<．（1）当4m =-时，{}113N x x x =-<<，则{}R 113N x x x =≤-≥或ð，所以(){}R 35M N x x =≤< ð．（2）若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，则M N Ü，所以233,75,m m -≤-⎧⎨+≥⎩（等号不同时取得），解得20m -≤≤，故实数m 的取值范围为[]2,0-．18．（1）证明：∵b A a B =+ ，28a b BC =+，()3b C a D =- ，∴()()832833552a b a b a b BD B D a C b a b A C B ===++-=++-++=．∴AB 、BD共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．（2）解：∵ka b - 与a kb +向共线，∴存在实数()0λλ<，使即()bka b a k λ+=+即b ka b a k λλ+=+，∴()()1bk a k λλ=--∵a ，b是不共线的两个非零向量，∴10k k λλ-=-=，∴210k -=，∴1k =±，∵0λ<，∴1k =-．19：解：（1）令2t x =-，则2x t =+，∴()()()22221f t t t =+-++，∴()221f t t t =++，即()221f x x x =++，∴()()12f x g x x xx==++．（2）函数g （x ）在区间()1,+∞上单调递增．证明：任取121x x >>，则()()()()12121212121211122x x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又120x x ->，1210x x ->，120x x >，∴()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，∴函数()g x 在区间()1,+∞上是增函数．（3）当0x >时，()1224g x x x =++≥=，当且仅当1x =时．等号成立．当0x <时，()()112220g x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++=--+-+≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x =-时，等号成立．∴()g x 的值域为(][),04,-∞+∞ ．20．解：（1）由题意120.12100m m =⇒=，故0.440x m ==，180.18y m==，频率分布直方图如图所示：（2）平均劳动时间120.530 1.540 2.518 3.5214 2.14100100t ⨯+⨯+⨯+⨯===（时）．（3）由题意，劳动时间在[)0,1应抽取的人数为0.12520.120.18⨯=+（人），分别记为A ，B ；劳动时间在[]3,4应抽取的人数为0.18530.120.18⨯=+（人），分别记为a ，b ，c ．则该试验的样本空间()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c Ω=，()10n Ω=．设事件M =“抽取的2人均来自[]3,4”，则()()(){},,,,,M a b a c b c =，()3n M =，所以()310P M =，故所求概率为310．21．解：（1）若3x =，则不等式()214k x k k +≤++变形为2210k k -+≥，即()210k -≥，解得k ∈R ，故不等式的解集为R ．（2）不等式()214k x k k +≤++对[)4,k ∀∈-+∞恒成立．当1k =-时，()()20114≤-+-+，即04≤，x ∈R ；当1k >-时，241k k x k++≤+恒成立．∵24441113111k k k k k k k ++=+=++-≥=+++（当且仅当41,11,k k k ⎧+=⎪+⎨⎪>-⎩即1k =时，等号成立）∴3x ≤；当41k -≤<-时，241k k x k++≥+时恒成立．∵()()244411115111k k k k k k k ⎡⎤++=++-=--++-≤-⎢⎥++-+⎣⎦（当且仅当41,141,k k k ⎧+=⎪+⎨⎪-≤<-⎩即3k =-时，等号成立），∴5x ≥-．综上，x 的取值范围为[]5,3-．22，解：（1）由条件()2log 6ax f x x -=-可知，206x x ->-，解得26x <<，故函数()f x 的定义域为()2,6，由()31f =-，可知1log 13a=-，得到3a =，即()32log 6x f x x -=-，解不等式()1f x >，即236x x ->-，解得56x <<，所以不等式()1f x >的解集为{}56x x <<．（2）由（1）可知{}56A x x =<<．设22x x t -=+，则当[]0,1x ∈时，[]21,2x∈，对于函数1y x x =+，[]1,2x ∈时为增函数，故5222,2x x t -⎡⎤=+∈⎢⎣⎦，则()()()22222211xx x x g x m t mt --=+-+-=--，设()21h t t mt =--，由题意知()5,6A =为52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()h t 的值域的子集，当22m ≤，即4m ≤时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()2325,5215 6.242h m h m =-≤⎧⎪⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即得3110m -≤≤-；当5222m <<，即45m <<时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2h ，52h ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的较大者，令()2326h m =-≥，∴32m ≤-；令52156242h m ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，则316m ≤-，不合题意；当522m ≤，即5m ≥时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()2326,52155,242h m h m =-≥⎧⎪⎨⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得m ∈∅．综合上述，实数m 的取值范围为31,10⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。
2023-2024学年浙江省杭州市高一下册开学考试数学试题(附解析)
- 1 -2023-2024学年浙江省杭州市高一下学期开学考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本答题卡一并交回.4．测试范围：人教A 版2019必修第一册全册＋必修第二册6.1－6.3.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列结论正确的是（ ）A ．BC ．D ．若，则{}2,3∅=Q ⊆N Z A B A ⋃=A B⊆2．在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）ABC 2BD DA =CA m CD n == ，CB =A ．B ．C ．D ．32m n-23m n-+32m n+ 23m n+ 3．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为220ax bx ++>{2xx <-∣1}x >-220x bx a ++<（ ）A ．B ．C ．D ．或112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭}{211x x x <->∣或112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭{2xx <-∣1}x >4．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ）()y f x =()2,4A ．的定义域是B ．在其定义域内为减函数()y f x =[)0,∞+()y f x =C ．是奇函数D ．是偶函数()y f x =()y f x =5．“实数”是“函数在上具有单调性”的（ ）1a =-()223f x x ax =+-()1,+∞A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知，则的值为（ ）π1sin 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭5πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．CD ．79-797．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩R a A ．B ．C ．D ．()0,1⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭()1,+¥8．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的0ω>()π,4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,40,13⎛⎤ ⎥⎝⎦52,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下四个命题，其中是真命题的有（ ）A ．命题“”的否定是“”,sin 1x x ∀∈≥-R ,sin 1x x ∃∈<-R B ．设向量的夹角的余弦值为，且，则,a b 13-1,3a b == (2)11a b b +⋅= C ．函数（且）的图象过定点()log (1)1a f x x =-+0a >1a ≠()2,1D ．若某扇形的周长为6cm ，面积为，圆心角为，则22cm (0π)αα<<1α=10．若正实数a ，b 满足，则下列选项中正确的是（ ）1a b +=A ．有最大值Bab 14C ．的最小值是10D ．14a b +122a b ->11．函数在其定义域上的图像是如图所示折线段，其中点的坐标分别为()f x ABC ,,A B C ，， ，以下说法中正确的是（ ）()1,2()1,0-()3,2-- 3 -A ．((2))2f f -=B ．为偶函数()1f x +C ．的解集为()10f x -≥[3,2][0,1]-- D ．若在上单调递减，则的取值范围为()f x []3,m -m (3,1]--第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．定义函数，则 .())5,07,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩()0f f ⎡⎤=⎣⎦13．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点32330x x +-=()0,1.3x =14．已知，，则．2sin cos 20ββ-+=()sin 2sin ααβ=+()tan αβ+=四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知.()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)已知，求的值.()2f α=-sin cos sin cos αααα+-16．已知，，且为偶函数.()()12e 2xm xf x m -=⋅-()e e 1xaxx g x =-()g x (1)求实数的值；a(2)若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.()()f xg x =m17．已知函数.()ππ2sin sin 1cos 22f x x x x x⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)求函数在区间的最大值和最小值；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)荐在区间上恰有两个零点，求的值.()()65g x f x =-π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1212,x x x x <()12sin x x -18．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润为y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k （）元，若商店保持这两种家电的售价0100k <<不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．19．已知()e (2)e x xf x k -=+-(1)当是奇函数时，解决以下两个问题：()f x ①求k 的值；②若关于x 的不等式对任意恒成立，求实数m 的取值2()(2)2e 100xmf x f x ----<(1,)x ∈+∞范围；(2)当是偶函数时，设，那么当n 为何值时，函数()f x 2()log ()g x f x =有零点．2()[()1][21()]h x g x n n g x n n =-+⋅+-+-- 1 -1．C【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可.【详解】对于A ，中不含有任何元素，是任何集合的子集，则，故A 错误；∅∅{}2,3∅⊆对于B ，，故B 错误；Q Q 对于C ，表示自然数集，表示整数集，则，故C 正确；N Z ⊆N Z 对于D ，，则，故D 错误.A B A ⋃=B A ⊆故选：C 2．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，，所以，即，2BD DA =2BD DA = ()2CD CB CA CD-=-所以．CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ 故选：B ．3．C【分析】根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得.,a b 【详解】由不等式的解集为或，220ax bx ++>{2x x <-∣1}x >-得是方程的两个根，且，2,1--220ax bx ++=0a >因此，且，解得，2(1)b a -+-=-22(1)a -⨯-=1,3a b ==不等式化为：，解得，220x bx a ++<22310x x ++<112x -<<-所以不等式为.220x bx a ++<1{|1}2x x -<<-故选：C 4．D【分析】首先将点坐标代入得幂函数表达式进而得其定义域单调性，结合奇偶性的定义即可得解.【详解】由题意设幂函数为，则，所以，，()f x x α=()22224f α===2α=()2f x x =其定义域为全体实数，且它在内单调递增，[)0,∞+又，所以是偶函数，故ABC 错误，D 正确.()()()22f x x x f x -=-==()y f x =故选：D.5．A【分析】根据二次函数的单调性求出，再根据充分不必要条件的判定即可.1a ≥-【详解】当时，，则在上单调递增，1a =-()()222314f x x x x =--=--()f x ()1,∞+即其在上具有单调性，则正向可以推出；()1,∞+若函数在上具有单调性，()223f x x ax =+-()1,∞+则对称轴，解得，则反向无法推出；1x a =-≤1a ≥-故“实数”是“函数在上具有单调性”的充分不必要条件.1a =-()223f x x ax =+-()1,∞+故选：A.6．D 【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.π6α+【详解】∵，225πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 126626639αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D.7．C【分析】要使函数是减函数，须满足求不等式组的解即可.10012(1)2log 2a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪--≥⎩【详解】若函数在上单调递减，则(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩R 10012(1)2log 2a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪--≥⎩，1a ≤<故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.8．D【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.- 3 -【详解】由解得，πππ2π2π,242k x k k ω-+≤+≤+∈Z 3π2ππ2π,44k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间为，()f x 3π2ππ2π,,44k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 因为在区间上单调递增，所以，所以.()f x π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭3πππ2422T ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭04ω<≤当时，由在区间上单调递增可知，得；0k =()f x π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭3ππ42π3π44ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩103ω<≤当时，由解得；1k =5ππ429π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩332ω≤≤当时，无实数解.2k =13ππ4217π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩易知，当或时不满足题意.1k ≤-2k ≥综上，ω的取值范围为.15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故选：D 9．ACD【分析】利用全称命题的否定可判定A ，利用平面向量的数量积公式及运算律可判定B ，利用对数函数的性质可判定C ，利用扇形的周长、面积公式可判定D.【详解】对于A ，命题“”的否定是“”正确，故A 正确；,sin 1x x ∀∈≥-R ,sin 1x x ∃∈<-R 对于B ，22(2)22cos ,a b b a b b a b a b b+⋅=⋅+=⋅+ ，故B 错误；2121337113⎛⎫=⨯⨯⨯-+=≠ ⎪⎝⎭对于C ，，故C 正确；()2log 111a x x =⇒-+=对于D ，设扇形半径，则或，r 22611422r r r r ααα+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩21r α=⎧⎨=⎩又，所以成立，故D 正确.0πα<<1α=故选：ACD 10．AD【分析】利用A ；利用可判断1a b=+≥212a b a b =++≤++=B ；展开后再利用基本不等式可判断C ，由再利用指数函数1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭211a b a -=->-的单调性可判断D ．【详解】对于A ，∵，且，∴，当且仅当时取到等0,0a b >>1a b +=1a b =+≥12a b ==号，∴，∴有最大值，∴选项A 正确；14ab ≤ab14对于B ，，∴2112a b a b =++=+≤++=0<+≤当且仅当时取到等号，∴B 错误；12a b ==对于C ，，14144()1459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当即时取到等号，所以C 不正确；4b aa b +21,33b a ==对于D ，∵，∴，∴D 正确．211a b a -=->-122a b ->故选：AD.11．ACD【分析】利用函数图像逐一判断各选项即可.【详解】由图像可得，所以，A 正确；(2)1f -=((2))(1)2f f f -==由图像可得关于对称，所以关于对称，B 错误；()f x =1x -(1)f x +2x =-由图像可得即的解集为，C 正确；()10fx -≥()1f x ≥[3,2][0,1]-- 由图像可得在上单调递减，所以的取值范围为，D 正确；()f x [3,1]--m (3,1]--故选：ACD 12．49【分析】根据分段函数，结合指对数运算求解即可。
2023-2024学年四川省绵阳高一下学期开学考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年四川省绵阳高一下册开学考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}3,1,0,1A =--，集合{}22,B x x x =-<<∈Z ，则A B = （）A.{}1- B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}1,0-【正确答案】B【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}3,1,0,1A =--，{}{}22,1,0,1B x x x =-<<∈=-Z ，因此，{}1,0,1A B =- .故选：B.2.下列说法正确的是：（）A.终边在y 轴上的角的集合为ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣B.第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣C.第二象限角大于第一象限角D.60︒角与600︒角是终边相同角【正确答案】A【分析】根据终边相同角的表示可判断A ，D ；根据象限角的概念与表示可判断B ，C ．【详解】对于A ，终边在y 轴上的角的集合为π3π2π,Z 2π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣，即ππ2π,Z (21)π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ∣∣，即ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣，故A 正确；对于B ，第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭∣，故B 错误；对于C ，120︒是第二象限角，420︒是第一象限角，120420︒<︒，故C 错误；对于D ，600360240︒=︒+︒，与60︒终边不同，故D 错误．故选：A ．3.函数()211f x x =+-的定义域为（）A.2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()2,11,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C.()2[,1)1,3⋃+∞ D.2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】由已知得32010x x ->⎧⎨-≠⎩，解得23x >且1x ≠，所以函数()211f x x =+-的定义域为()2,11,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B4.若角α的终边过点()3,4P -，则2sin cos αα+的值为（）A.25-B.25C.1D.1-【正确答案】D【分析】先由三角函数的定义得到sin ,cos αα，再代入2sin cos αα+计算即可.【详解】由三角函数的性质可得43sin ,cos55αα=-=，432sin cos 2155αα⎛⎫∴+=⨯-+=- ⎪⎝⎭故选：D.5.下列各组中两个值大小关系正确的是（）A .()()tan 50tan 48-<-B.912tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()()sin 506sin 145>D.cos cos 53ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】A【分析】根据三角函数的单调性与诱导公式一一验证即可.【详解】对于选项A 、B ：由正切函数的单调性可得()()tan 50tan 48-<-，912tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A 正确，B 错误；对于选项C ：()()()sin 506sin 360146sin 146=+=，则根据正弦函数的单调性可得()()sin 146sin 145< ，则C 错误；对于选项D ：根据余弦函数的单调性可得cos cos 53ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 错误；故选：A.6.函数()21x f x x-=的图像为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()21x f x -=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x-=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.7.《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以直接完成的无字证明为（）A.222(00)a b ab a b +≥>>，B.00)2a ba b +≥>>，C.00)2a b a b +≤>>， D.200)aba b a b≤>>+，【正确答案】C【分析】由图形可知用a 、b 表示出OF 、OC ，在Rt OCF 中由勾股定理可求CF ，根据OF CF ≤即可得出结论．【详解】由图形可知：122a b OF AB +==，2a bOC -=．在Rt OCF 中，由勾股定理可得：CF ==．CF OF ≥ ，2a b +∴≤．(0)a b >，．故选：C ．8.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(),0∞-单调递增，设0.33a =，0.413b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 0.3c =，则（）A.()()()f c f a f b >>B.()()()f a f c f b >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f a f b f c >>【正确答案】A【分析】先将,a b 化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较a 、b 、||c 三个数的大小关系，再由函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性并结合偶函数的性质可得出()f a 、()f b 、()f c 的大小关系.【详解】()444110log 0.3log log 0,1,0.33c ==-=∈ ，0.30.40.331,331a b =>=>>，即1||0b a c >>>>，由于函数()y f x =是偶函数，在区间(),0∞-上单调递增，所以在()0,+∞上单调递减，由于函数()y f x =为偶函数，则()()()|c|f f a f b >>，即()()()c f f a f b >>，故选：A.本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为()0,+∞上的单调性再比较.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列判断正确的有（）A.3π=- B.78a =（其中0a >）C.341627818-⎛⎫=⎪⎝⎭D.8312384m n m n --⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中0m >，0n >）【正确答案】BCD【分析】根据根式的性质判断A ，根据分数指数幂的运算性质判断B ，C ，D.【详解】对于选项A3ππ3=-=-，A 错误；对于选项B ，因为0a >78a===，B 正确；对于选项C ，33433441622327813328---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，C 正确；对于选项D ，因为0m >，0n >，所以8312384m n m n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 正确；故选：BCD.10.关于函数π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.直线π3x =为其一条对称轴B.点π(,0)6-为其一个对称中心C.在区间22π,π33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减D.在区间π2,π23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减【正确答案】ABD【分析】四个选项都采用代入的方法，结合函数的性质和图象，即可判断选项.【详解】A.当π3x =时，ππππsin sin 13362f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π3x =为其一条对称轴，故A 正确；B.当π6x =-时，πππsin sin 00666f ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π(,0)6-为其一个对称中心，故B 正确；C.当22π,π33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π,626x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当πππ,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时函数单调递增，当ππ5π,626x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，故C 错误；D.当π2,π23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π5π,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数单调递减，故D 正确.故选：ABD11.若直线3y a =与函数1(0xy a a =->，且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 可以是（）A.2B.13C.14D.18【正确答案】CD【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．【详解】由题意，直线3y a =与函数1(0xy a a =->，且1)a ≠的图象有两个公共点，当01a <<时，|1|x y a =-的图象如图（1）所示，由已知得031a <<，103a ∴<<；当1a >时，|1|x y a =-的图象如图（2）所示，由已知可得031a <<，103a ∴<<，结合1a >可得a 无解．综上可知a 的取值范围为1(0,3．故选：CD ．12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，当[]()20,1,x f x x x ∈=+，则下列说法中正确的有（）A.函数()f x 关于直线1x =对称B.4是函数()f x 的周期C.()()202220230f f +=D.方程()ln f x x =恰有4不同的根【正确答案】ABD【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A 的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B 的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C 的正误；分别作出()y f x =和ln y x =的图象，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为()()1g x f x =+是偶函数，所以()()g x g x -=，即()()11f x f x -=+所以()f x 关于1x =对称，故A 正确.对于B ：因为()()11f x f x -=+，所以()()()()()211f x f x f x f x +=-+=-=-，所以()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，即周期4T =，故B 正确对于C ：()()()()()()()2022200,20233112,f f f f f f f ==-===-=-=-所以()()2022202320f f +=-≠，故C 错误；对于D ：因为[]()20,1,x f x x x ∈=+，且()f x 关于直线1x =对称，根据对称性可以作出[]1,2x ∈上的图象，又()()2f x f x +=-，根据对称性，可作出[]2,4x ∈上的图象，又()f x 的周期4T =，作出()y f x =图象与ln y x =图象，如下图所示：所以()f x 与ln y x =有4个交点，故D 正确.故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.函数22log (2)y x =-的零点是_________．【正确答案】1和3【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令()221x -=即可求解【详解】依题意，令()221x -=，解得：1x =或3x =，故1和3.14.若()0,x ∞∈+幂函数()211a y a a x-=--为减函数，则实数a 的值为______.【正确答案】1-【分析】先根据函数是幂函数求出a 的值，再代入验证即可.【详解】因为函数()211a y a a x-=--是幂函数，所以211a a --=，解得1a =-或2a =，当1a =-时，2y x -=，满足在区间()0,∞+上是减函数，当2a =时，y x =，不满足在区间()0,∞+上是减函数，故1-15.若正实数a 、b 满足3a b +=，则14a b+的最小值为______.【正确答案】3【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：因为正实数a 、b 满足3a b +=，所以()14114141553333a a b a b a b a b b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b aa b =，则23b a a b =⎧⎨+=⎩，即1a =，2b =时取等号，即14a b +的最小值为3.故316.已知函数22,1()2ln(1),1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若22()()()3F x f x af x =-+的零点个数为4，则实数a取值范围为__________.【正确答案】57,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【分析】画出()f x 的图象，利用换元法，结合二次函数零点分布列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】12221,1,1()2ln(1),1ln(1),1x x x x f x x x x x -⎧+⎧+≤≤⎪⎪==⎨⎨->⎪⎩⎪->⎩()12f =，由()ln 12x -=解得2e 1x =+.画出()f x 的图象如下图所示，令()f x t =，由图象可知()y f x =与y t =有两个公共点时，01t <≤或2t >；()y f x =与y t =有一个公共点时，0=t ；()y f x =与y t =有三个公共点时，12t <≤.依题意，22()()()3F x f x af x =-+的零点个数为4，对于函数()223h t t at =-+，由于()2003h =≠，()h t 的两个零点12,t t ，全都在区间(]0,1或区间()2,+∞，或一个在区间(]0,1一个在区间()2,+∞，所以()()2228Δ4033012200321103a a a h h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪⎪⎪=-+≥⎩或()2228Δ403322224203a a a h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪=-+>⎪⎩或()()()2228Δ4033200321103224203a a h h a h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪=>⎪⎨⎪=-+≤⎪⎪⎪=-+<⎩，解得26533a <≤或∅或73a >，所以a 的取值范围是2657,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.故答案为：2657,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦研究二次型复合函数的零点问题，关键点有两个，一个是内部函数的图象与性质，如本题中的函数()f x 的图象与性质.另一个是二次函数零点分布的知识，需要考虑判别式、对称轴以及零点存在性定理.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）)106362338(31)42(3)+--（2）23lg42lg5log 3log 8lg1++⨯+．【正确答案】（1）4（2）5【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；（2）根据对数的运算性质求解即可．【小问1详解】102331)2+-+312233322122⎛⎫=+-⨯+ ⎪⎝⎭42213+-+==．【小问2详解】23lg42lg5log 3log 8lg1++⨯+222log 8=lg4lg25log 30log 3++⨯+()2lg 425log 8⨯+=232lg10log 2235+=+==．18.已知()()()πsin 3sin 3π23π2cos cos π2f ααααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（1）化简()f α.（2）已知tan 2α=，求()f α的值.【正确答案】（1）3sin cos 2sin cos αααα-+；（2）1.【分析】（1）根据诱导公式直接计算化简即可；（2）根据齐次式求解即可.【小问1详解】解：根据诱导公式得：()()()πsin 3sin 3πcos 3sin 3sin cos 23π2sin cos 2sin cos 2cos cos π2f ααααααααααααα⎛⎫+-- ⎪--⎝⎭===--+⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【小问2详解】解：由（1）知()3sin cos 2sin cos f ααααα-=+，因为tan 2α=，所以()3sin cos 3tan 132112sin cos 2tan 1221f ααααααα--⨯-====++⨯+19.已知非空集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =-≤≤．（1）若3a =，求R ()P Q ⋂ð；（2）若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）R ()[2,4)P Q =- ð（2）[0,2]【分析】（1）由交集，补集的概念求解，（2）转化为集合间关系后列式求解，【小问1详解】当3a =时，[4,7]P =，{|25}Q x x =-≤≤，则R (,4)(7,)P =-∞+∞ ð,R ()[2,4)P Q =- ð，【小问2详解】由题意得P 是Q 的真子集，而P 是非空集合，则12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩且12a +=-与215a +=不同时成立，解得02a ≤≤，故a 的取值范围是[0,2]20.对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本()C x 万元，已知()249,0501440051870,5010021ax x x C x x x x ⎧+<⎪=⎨+-<⎪+⎩，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润=销售额-成本）为()L x 万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. 1.41)≈（1）年利润()L x （单位：万元）关于年产量x （单位：吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？【正确答案】（1）21250,0504()14400620,5010021x x x L x x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪--+<⎪+⎩（2）当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元.【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解；（2）当(0x ∈，50]时，求得max y 万元；当(50x ∈，100]时，结合基本不等式，即可求.【小问1详解】当基底产出该中药材40吨时，年成本为16004940250a +⨯+万元，利润为5040(16004940250)190a ⨯-+⨯+=，解得14a =-，则21250,0504()14400620,5010021x x x L x x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪--+<⎪+⎩.【小问2详解】当(0x ∈，50]，()212504L x x x =+-，对称轴为20x =-<，则函数在(0，50]上单调递增，故当50x =时，max 425y =，当(50x ∈，100]时，()14400144002114400620620620.5620.5451.32121221x L x x x x x x +⎛⎫⎛⎫=--+=-++=-+-≈ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭当且仅当2114400221x x +=+，即184.12x =-≈时取等号，因为425451.3<，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元.21.已知函数()231x f x x -=+．（1）判断函数()f x 是否具有奇偶性？并说明理由；（2）试用函数单调性的定义证明：()f x 在（-1，＋∞）上是增函数；（3）求函数()f x 在区间［1，4］上的值域．【正确答案】（1）函数()f x 不具有奇偶性；理由见解析；（2）证明见解析；（3）［-12，1］.【分析】（1）通过定义域不关于原点对称来判断奇偶性；（2）任取x 1，x 2∈（-1，＋∞），且x 1＜x 2，通过计算f （x 1）-f （x 2）的正负来判断单调性；（3）通过函数()f x 在区间［1，4］上的单调性求得最值即可.【小问1详解】由已知10x +≠，故1x ≠-函数()f x 定义域为()(),11,-∞--+∞ ，因为定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不具有奇偶性；【小问2详解】证明：()231x f x x -=+=2(1)51x x +-+=521x -+，任取x 1，x 2∈（-1，＋∞），且x 1＜x 2f （x 1）-f （x 2）＝（2-151x +）-（2-251x +）＝251x +-151x +=12125(1)5(1)(1)(1)x x x x +-+++＝12125()(1)(1)x x x x -++，又由-1＜x 1＜x 2，则x 1-x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，故f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以f (x )在（-1，＋∞）是增函数；【小问3详解】由（2）知，f (x )在［1，4］上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝-12，f (x )max ＝f （4）＝1，故f (x )在［1，4］上的值域是［-12，1］．22.已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=.（1）求a ，b 的值（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -⋅≥在[]2,4x ∈上有解，求实数k 的取值范围；（3）若()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）1,0a b ==；（2）1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）(0,)+∞．【分析】（1）判断函数在[2,3]上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得,a b ；（2）设2log [1,2]t x =∈，利用分离参数法，题中问题为22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭在[1,2]t ∈上有解，求出2121t t+-的最大值即可得．（3）把方程化简，并设21x t =-，方程化为2(32)(21)0t k t k -+++=，结合21x t =-图象，方程2(32)(21)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，则有101t <<，21t >，或101t <<，21t =，利用二次方程根的分布知识求得k 的范围．【详解】（1）由题意2()(1)1g x a x b a =-++-，又0a >，∴()g x 在[2,3]上单调递增，∴(2)4411(3)9614g a a b g a a b =-++=⎧⎨=-++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．（2）由（1）2()21g x x x =-+，()1()2g x f x x x x==+-，[2,4]x ∈时，2log [1,2]x ∈，令2log t x =，则()20f t kt -≥在[1,2]上有解，1()2220f t kt t kt t -=+--≥，∵[1,2]t ∈，∴22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭，[1,2]t ∈，则11,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为14，∴124k ≤，即18k ≤．∴k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）原方程化为221(32)21(31)0x x k k --+-++=，令21x t =-，则(0,)t ∈+∞，2(32)(31)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，作出函数21x t =-的图象，如图原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记2()(32)(31)0h t t k t k =-+++=，则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩，解得0k >，或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，无解．综上k 的取值范围是(0,)+∞．本题考查函数的单调性，考查不等式有解，考查根据函数零点求参数范围问题，解题关键是掌握利用零点存在定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数函数的最值，涉及到几个零点时，还要老考虑函数图象与直线的交点个数，本题考查了分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力．。
高一数学下学期开学考试试题含解析
卜人入州八九几市潮王学校HY二零二零—二零二壹高一下学期开学考试数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.与没有公一共元素【答案】B【解析】【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．【详解】5，，，所以．应选：B．【点睛】此题考察集合的相等的条件的应用，集合的运算的关系，考察计算才能.，那么满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．【详解】函数，的图象如图：满足，可得：或者，解得．应选：D．【点睛】此题考察分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考察计算才能．，那么是()A.奇函数，且在〔0,1〕上是增函数B.奇函数，且在〔0,1〕上是减函数C.偶函数，且在〔0,1〕上是增函数D.偶函数，且在〔0,1〕上是减函数【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，那么，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，应选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】此题主要考察了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的断定、函数的单调性的断定与应用、复合函数的单调性的断定等知识点的综合考察，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及推理与运算才能，此题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于根底题.4.，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线的长度分别，那么它们的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，AT>MP>OM，即c>a>b.5.，，假设与的夹角为钝角，那么的取值范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根据与的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出的范围即可．【详解】；的夹角为钝角；，且不平行；；解得，且；的取值范围为：．应选：B．【点睛】考察向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系．，那么在上的零点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：由以下列图可得在上的零点的个数为，应选C.考点：函数的零点.y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：〔1〕由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；〔2〕由函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕由函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.是定义域为的奇函数,满足.假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．，，，，假设且，那么四边形的面积为A.15 B.16 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】可求出，，根据且即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而可求出的值，进而得出四边形ABCD的面积．【详解】，，；，且；；解得；，或者；．应选：B．【点睛】考察向量坐标的加法和数量积的运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件．，，，那么的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由,那么,又，,解得,应选B.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、特殊角的三角函数.的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到，且，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的图象的特征即函数的值域，正弦函数图像的整体性，得出结论．【详解】依题意得g(x)=sin2+2=sin+2,假设g(x1)·g(x2)=9,那么g(x1)=g(x2)=3,那么g〔x1〕=g〔x2〕=3，所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,那么当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|获得最大值3π.应选：C．【点睛】此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．在进展函数伸缩平移时把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原那么，这一原那么只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进展加减.12.如图，在中，设，的中点为的中点为的中点恰为，那么等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的三角形法那么以及向量中点关系，结合向量的根本定理可表示出．【详解】由题意可得，，，应选：C．【点睛】此题考察平面向量根本定理，表示出是解决问题的关键，属中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕的定义域为______．【答案】或者，【解析】【分析】由，切化弦得，即或者，然后解出答案．【详解】因为所以等价于或者所以或者，故答案为：或者，．【点睛】此题考察三角函数的定义域及其求法，考察象限角与轴线角的三角函数值的符号，是根底题．14.，向量，，假设，那么角的值是______．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积与三角恒等变换，即可求出C的值．【详解】向量，，那么，又，所以，即，所以；又，所以，所以，解得．故答案为：．【点睛】此题考察了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，是根底题．15.是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，，那么的小关系是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在上为减函数，进而可得，，，据此分析可得答案．【详解】根据题意，是定义在内的偶函数，且在上是增函数，那么在上为减函数，那么，，，且有，那么有；故答案为：．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的性质，属于根底题．16.给定一组函数解析式：；；；：；；及如下列图的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义域，奇偶性和单调性分别进展判断即可．【详解】：的定义域为，当时，对应第6个图象；是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象；的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象；的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象：的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象；的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象；是奇函数的应用为R，那么上是增函数，对应第5个图象故7个函数解析式依次排序，故答案为：【点睛】此题主要考察幂函数图象的判断，结合函数的定义域奇偶性，单调性分别进展判断是解决此题的关键．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕，集合，，假设，务实数的取值集合．【答案】或者.【解析】【分析】对集合M进展讨论，然后根据条件，即可务实数a的取值范围．【详解】当，即，时，，满足条件，当，即时，或者，假设，那么或者，即或者，此时，综上：a的取值范围是或者【点睛】此题主要考察集合关系的应用，比较根底要注意对集合M进展分类讨论．且．当时，函数恒有意义，务实数的取值范围；是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？假设存在，试求出的值；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕设是减函数，又时，有意义且的取值范围是〔2〕假设存在实数,满足题设条件，在区间上单调递减函数，且是减函数，由即但这样的实数不存在【解析】试题分析：〔1〕根据对数函数的定义，可知且，时，显然符合，时，由别离参数得，右边函数在上单调递减，故，故；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，根据复合函数单调性可知，由〔1〕知，由的最大值为，与不符，故不存在.试题解析：〔1〕当时，由函数恒有定义知恒成立，即，∴，又且，∴实数的取值范围为；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，那么函数在区间上为减函数，且是减函数，∴，又在上恒为正，那么，故，由的最大值为，与不符，故不存在符合题设条件的实数．考点：对数函数定义域与单调性.19.如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.求的值；判断的值是否为一个常数，并说明理由．【答案】14；是.【解析】【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.【详解】法1：由可得，，,的值是一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，，故：解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求，此时，，设E点坐标为，，常数．【点睛】此题考察向量在几何中的应用，此题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．求函数的解析式；当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．【答案】；，．【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式．由题意可得当时，函数的图象和直线只有一个交点，数形结合可得m的范围．【详解】将的图象向左平移个单位长度得到的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象．，，，当时，方程有唯一实数根，函数的图象和直线只有一个交点，如下列图：故方程有唯一实数根的m的取值范围为，．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．，其图象与轴相邻的两个交点的间隔为．求函数的解析式；2假设将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当获得最小值时，在上的单调递增区间．【答案】〔1〕；〔2〕，【解析】【分析】利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．【详解】，，，，由函数的周期，，，，2将的图象向左平移个长度单位，，函数经过，，即，，，，，当，m取最小值，此时最小值为，，令，那么，当，即时，函数单调递增，当，即时，单调递增；在上的单调递增区间，【点睛】此题考察三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考察转化思想，属于中档题．=)且=.(1)求的值.(2)假设函数=有零点,务实数的取值范围.(3)当时,恒成立,务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕由函数的解析式以及，求得的值；〔2〕由题意可得，函数的图象和直线有交点，那么有，即可求得的取值范围；〔3〕由题意可得当恒成立，令，那么，且，利用单调性求得，从而求得实数的取值范围.试题解析：(1)对于函数=,由,∴.(2)==.假设函数===有零点,那么函数的图象和直线有交点,∴,∴.(3)∵当恒成立,即恒成立,令,那么,且==,∵=在上单调递减,∴=,∴.点睛：此题主要考察了指数函数的性质以及换元法的运用.解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.。
黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
D．既不充分也不必要条件
4．若函数 f (x) ax ax (a 0 且 a 1) 在 R 上是增函数，那么 g(x) loga (x 1) 的大致 图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若正数 x 、 y 满足 x 2y 2xy ，若不等式 x 2y m 的恒成立，则 m 的最大值等于
B．若 ac2 bc2 ，则 a b D．若 a b ， c d ，则 ac bd
11．已知 f x 是定义在 R 上的函数，且满足 f x f x 1 1，当 x 10, 时，f x x2 ，
则下列命题正确的是（ ）
A． f x 是周期为 2 的函数
B．当 x 1, 2 时， f x 2x x2
2
2．已知集合 A x 0 x 3 ， B x x 2, x Z ，则 AI B （ ）
A． 2, 3
B． 0, 3
C．0,1, 2
D．0,1, 2,3
3．“ a 0 ”是“关于 x 的函数 y ax b （ a 0 ）的图像过一、三象限”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充要条件
(1)求 f x 的解析式；
(2)若方程
af
x
sin
2x
a
1
0
在
π 4
,
π 2
上有实数解，求实数
a
的取值范围.
试卷第 4 页，共 4 页
（） A．4
B．
9 2
C． 4 2
D．8
6．若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，在 , 0 上是增函数，且 f (1) 0 ，则
f (x) f (x) 0 的解集为（ ） x
上海市七宝中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题(含答案和详细解析)
第1页共16页2023-2024学年上海市七宝中学高一年级下学期开学考数学试卷2024.2一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合{}{}2,1,0,1,2,230,A B x x x N =--=-<∈，则A B = ______.的弦所对的劣弧长是______.3.函数21log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为______.4.已知:31p x - ，:(q x a a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是______.5.设,,a b c 都是非零常数，且满足49a b c b ==，则11a c +=______.（结果用b 表示）6.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点3455P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．则cos2α=______.7.已知关于x 的不等式20ax x a -+<的解集非空，则实数a 的取值范围是______.8.若实数x 满足cos2sin 1x x +=，且()0,x π∈，则x =______.9.对任意[),0,x y ∈+∞，且x y ≠，不等式x y -恒成立，则实数c 的取值范围为______.10.在ABC ∆中，tan 4tan B A =，则当B A -取最大值时，sin C =______.11.已知函数122|2|log (1),1()()22,x x x n f x n m n x m ----⎧⎪=<⎨⎪-<⎩ 的值域是[]1,2-，当30,4n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，实数m 的取值范围是______.12.定义：关于x 的两个不等式()0f x <，()0g x <的解集分别为(,)a b 和1(a ，1b，则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式2cos 20x θ-+<与不等式224sin 10x x θ++<为对偶不等式，则θ=______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设,a b R ∈，若110a b <<，则（）.A.a b < B.a b < C.a b ab+> D.22a b <。
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高一普通班下学期开学考试数 学 试 题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|1≤2x ＜4}，则A∩B 等于（ ） A ．{1} B ．{﹣1，1} C ．{1，0} D ．{﹣1，0，1} 2. 函数1y x x =-+的定义域为( )A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥ D ．}10|{≤≤x x3. 下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是 （ ）4．下面说法正确的选项（ ）A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5. 函数01()()22f x x x =-++的定义域为A.1(2,)2-B.[-2，+∞）C.),21()21,2[+∞- D.1(,)2+∞6．下列四个命题：(1)函数f (x )在x ＞0时是增函数，x ＜0也是增函数，所以f (x )是增函数；(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2与x 轴没有交点，则b 2－8a ＜0且a ＞0；(3)y ＝x 2－2|x |－3的递增区间为[1，＋∞)．其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 7.已知2)(5+-+=xcbx ax x f ，4)2(=f ，则=-)2(f A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知函数)1(+=x f y 的定义域是[-2,3]，则)(2x f y =的定义域是 A. [-1,4] B.[0,16] C.[-2,2] D.[1,4]9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是A ．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D ．(0,1]xyOxyOxyOOyxA B CD)2(32)(),1(2)(≤+-=≥-=x x x g x x x f 10．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点)0,6(π对称B ．关于6π=x 对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．关于12x π=对称 11．已知双曲线c ：，以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN|=，则双曲线C 的离心率 是（ ）A ．2B ． 3C ．2D ．31+12．已知函数2f x x bx c =++（），（b ，c ∈R ），集合()()()00{}{|}A x f x B x ff x ====丨，，若存在00x B x A ∈∉，则实数b 的取值范围是（ ）A ． 04b ≤≤B ． 0b ≤或4b ≥C ．04b ≤<D ．0b <或4b ≥ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 ． 14. 函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≤≤-)02(6)30(222x x x x x x 的值域是 ．15.已知函数3212++=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________．16.对定义域分别为12,D D 的函数(),()y f x y g x ==，规定：函数则()h x 的单调减区间是____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分12分）已知函数f (x )＝a x(x ≥0)的图象经过点(2，14)，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．121212()(),,()(),,(),.f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎪⎩且且且18.（本小题满分12分）已知函数()f x 的定义域为()0,,(2)1,()()()f f xy f x f y +∞==+ 且当1>x 时，0)(>x f .(1)判断函数()f x 在其定义域(0,)+∞上的单调性并证明； (2)解不等式()(2)3f x f x +-≤．19．（本小题满分12分）计算下列各式的值 （1）()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---+（2） 74log 2327log lg 25lg 47+++20．（本小题满分12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P f x =()的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a 、c ∈N *)满足：①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11. （1）求a 、c 的值；（2）若对任意的实数x ∈[12，32]，都有f (x )－2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数),(1222)(R x a x f xx ∈+-+=若满足f(1) ＝31 （1）求实数a 的值； （2）证明：()x f 为奇函数。
（3）判断并证明函数f （x ）的单调性。
参考答案一、选择题1—12 C DCCC AACDA CD二、填空题 13、[)0,1 14.[]8,1- 15.30<≤k 16.)2,47()1,(和-∞ 也可为]2,47(]1,(和-∞三、解答题 17.解：(1)∵函数f (x )＝a x(x ≥0)的图象经过点(2，14)， ∴14＝a 2， .................3分 ∴a ＝12. .................5分(2)由(1)知f (x )＝(12)x， .................7分∵x ≥0，∴0＜(12)x ≤(12)0＝1， ................10分即0＜f (x )≤1， .∴函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0, 1]． .................12分18.(1) ()x f 在()+∞,0上是增函数 证明如下：设021>>x x ，)()()()(2212211x f x xf x x x f x f +=⋅= ∵021>>x x ∴121>x x ∴0)(21>x x f ∴)()(21x f x f > 则)(x f 为),0(+∞上的增函数.(2)()()()211224=+=+=f f f 3)2()4()8(=+=f f f 原式可化为)8()]2([f x x f ≤- 又因为()x f 在()+∞,0上是增函数所以()⎪⎩⎪⎨⎧≤->->82020x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>>42-20x x x所以{}42|≤<x x所以不等式的解集为{}42|≤<x x 19．解（1）原式＝23221)23()827(1)49(--+-- =2323212)23()23(1)23(-⨯-⨯+-- =22)23()23(123--+-- =21（2）原式＝2)425lg(33log 433+⨯+ ＝210lg 3log 2413++- ＝4152241=++-20．分析：本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。
解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则 x 01006051002550=+-=. 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． （2）当0100<≤x 时，P =60当100550<<x 时，P x x =--=-600021006250.() 当x ≥550时，P =51所以P f x x x x x N x ==<≤-<<∈≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()600100625010055051550 （3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L P x xx x x x x N =-=<≤-<≤∈⎧⎨⎪⎩⎪()()4020010022501005002当x =500时，L =6000；当x =1000时，L =11000因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元. 21.(1)由52)1(=++=c a f 得3=+c a)11,6(44)2(∈++=c a f可知3431<<-a ∵+∈N a ∴a=1 此时c=2 (2) ∵]23,21[∈x 原不等式可化为212++≥xx m 令21)(++=x x x g ]1,21[∈x )(x g 是减函数 ]23,1[∈x )(x g 是增函数 证明如下：设21x x <且]1,21[21∈x x)11)(()()(212121x x x x x g x g --=- ∵]1,21[21∈x x ∴)()(21x g x g >，则]1,21[∈x )(x g 是减函数 同理]23,1[∈x )(x g 是增函数 又∵29)21(=g 625)23(=g )23()21(g g > ∴21)(++=x x x g 在]23,21[上最大值为29 只需292≥m 49≥m 即可 22.解：（1）a ＝1 （2）证明略。
（3）1212)(+-=x x x f 在R 上为单调增函数。
证明略。