苏教版高中数学必修一学案：3.4函数模型及其应用
2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：3-4-2 函数模型及其应用
2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：3-4-2函数模型及其应用函数模型及其应用学习目标 1.理解函数模型的概念和作用.2.能用函数模型解决简单的实际问题.3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验和调整的必要性．知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？梳理设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二用函数模型解决实际问题(1)解答应用问题的基本思想(2)解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论．知识点三数据拟合思考1我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅，但你知道任一确定的身高对应的桌椅的最佳高度吗？如何解决？梳理现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系．这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的．数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．此类题的解题过程一般有如下五步：(1)作图：即根据已知数据，画出散点图；(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式；(4)检验：将(3)中求出几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；(5)利用所求出的函数模型解决问题．思考2数据拟合时，得到的函数为什么要检验？类型一利用已知函数模型求解实际问题例1某列火车从西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开2 h内行驶的路程．反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式．再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．类型二自建确定性函数模型解决实际问题命题角度1非分段函数模型例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q 1万元和Q 2万元，它们与投入的资金x 万元的关系是Q 1＝15x ，Q 2＝35x .现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？命题角度2 分段函数模型例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，用y 表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？反思与感悟自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应应变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型时应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图所示的图象．当x∈(0,12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图象是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．(1)试求y＝f(x)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为________．2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是________．(填序号)①y ＝ax ＋b; ②y ＝ax 2＋bx ＋c ； ③y ＝a e x ＋b;④y ＝a ln x ＋b .3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是________．4．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：①y ＝2x －1; ②y ＝x 2－1； ③y ＝2x －1;④y ＝1.5x 2－2.5x ＋2.5．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．1．几类常见的函数模型：2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．答案精析问题导学 知识点一思考 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型．函数模型通常用来解释已有数据和预测． 知识点三思考1 我们知道桌椅高度与身高有关系，但我们不知道具体的对应关系是什么．这需要调查获得大量的数据，再从数据中找出规律或近似的规律．思考2 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型． 题型探究例1 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115(h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t (0≤t ≤115).2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×(2－1060)＝233(km)．跟踪训练1 2 6解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入y ＝－12x 2，得b ＝±6，因此水面宽2 6 米．例2 解 设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是单调增函数， ∴当x ＝210时，R (x )max ＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．跟踪训练2 解 设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元． 所以Q 1＝15x ，Q 2＝353－x .所以y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)，令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2.所以y ＝15(3－t 2)＋35t＝－15(t －32)2＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)，即x ＝34＝0.75(万元)，所以3－x ＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．例3 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. 又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是单调增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185.当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113， 所以当x ＝11时，y max ＝270.综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．跟踪训练3 解 (1)当x ∈(0,12]时，设f (x )＝a (x －10)2＋80(a ≠0)．因为该部分图象过点B (12,78)，将B 点的坐标代入上式，得a ＝－12， 所以f (x )＝－12(x －10)2＋80. 当x ∈[12,40]时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为线段BC 过点B (12,78)，C (40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12k ＋b ＝78，40k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝90，所以f (x )＝－x ＋90.故所求函数的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －10)2＋80，x ∈(0，12]，－x ＋90，x ∈(12，40].(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤12，－12(x －10)2＋80＞62或⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ≤40，－x ＋90＞62， 解得4＜x ≤12或12＜x ＜28，即4＜x ＜28.故老师应在x ∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 当堂训练1．19 2.② 3.y ＝0.957 6x 1004.④ 5．解 设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费为y ，旅游原价为a .甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1) ＝a 2(x ＋3)； 乙旅行社收费：y ＝2a 3(x ＋2)． ∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a 6(x －1)， ∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等．当x ＞1时，甲旅行社更优惠．。
高中数学3.4.2函数模型及其应用(2)教案苏教版必修1
3.4.2 函数模型及其应用（2）教学目标：1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4，宽为3，如果长增加x，宽减少0.5x，所得新矩形的面积为S．（1）将S表示成x的函数；（2）求面积S的最大值，并求此时x的值．二、学生活动思考并完成上述问题．三、例题解析系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习：1．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x (cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( ) 4．某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个．若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个．（1）售价为15元时，销售利润为多少？（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？A CDB hH C D5．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足：f(t)＝111(020)241(2040)t t t Nt t t N⎧+<∈⎪⎨⎪-+∈⎩≤,≤≤,，销售量g(t)与时间t满足：g(t)＝14333t-+(0≤t≤40，t∈N)，求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业课本P110－10．。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案(3)(2)
函数模型及其应用教学三维目标、重点、难点、准备。
1．1教学三维目标（1）知识与技能：使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测。
（2）过程与方法：通过例题与作业中的具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用。
（3）情感态度与价值观：利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的负责态度。
1．2教学重点：由面临的实际问题建立函数模型，检验函数模型，并利用得到的函数模型解决问题。
1．3教学难点：如何根据面临的实际问题建立函数模型。
1．4教学准备：PPT制作与几何画板制作。
1教学过程。
（学生）：（对5种基本初等函数进行回顾）（教师）：（打开PPT）函数建模的基本思想与方法：把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述称为数学建模。
数学建模的形式是多样的。
解应用题的关键是建立数学建模，把实际问题通过分析、联想、抽象转化为数学问题。
函数知识内容丰富、应用广泛，不仅数学问题，而且社会生活、生产和自然科学领域中有许多问题都需要用函数知识来解决，如成本最底、利润最高、用料最省、路程最短等常可归纳为函数的最值问题。
现在同学们来回顾一下以前是如何来解应用题的？它的步骤是怎样的？（打开PPT）运用建模思想解函数应用题的一般步骤是：读(阅读材料，审题，找基本量或关系)；建(提取信息，抽象成数学语言，根据相关定义及数学知识建立模型)；求(根据数学思想和方法，求解函数模型，得出结论)；还(把数学结论还原到实际问题中，通过分析、判断、检验得到实际正确解答，写出答案)。
一.由变量之间的依存关系建立函数关系；（学生）：是不是题目中就已经告诉我们几个量之间的函数关系了？（教师）：是的。
而且我们以前所接触的基本上就是这样的题目。
二.由所掌握的数据资料,即根据确定性,随机性数据建立函数关系,这种往往要画散点图。
（学生）：它是不知道函数关系式的。
2020年高中数学3.4.2函数模型及其应用2教案苏教版必修1
3.4.2函数模型及其应用(2)教学目标：1•能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，井求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用：2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提髙学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4,宽为3,如果长增加x,宽减少0.5x,所得新矩形的而积为S.(1) 将S表示成x的函数：(2) 求而积S的最大值，并求此时X的值.二、学生活动思考并完成上述问题.三、例题解析例1有一块半径为斤的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形個⑦的形状，它的下底初是00的直径, 上底切的端点在圆周上，写岀这个梯形周长y和腰长 "间的函数关系式，并求出它的定义域.例2 一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系:每间客房泄价20 18 16 14 住房率 65% 75%85% 95% 要使每天收入最髙，每间客房泄价为多少元？例3今年5月，荔枝上市.由历年的市场行情得知, 从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的 关系大致可用如图所示的折线尿表示（市场售价的单位 为元/ 500g ）・请写出市场售价S （r ）（元）与上市时间t （天）的函数关 系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价.练Ah 1・直角梯形04恭中，AB// OC. AB=1, 0C=BC=2.直线2： x= t 截此梯形所得某种溶液，求容器内溶液的髙度Mem ）与注入溶液的时间r （s ）之间的函数关系式，并写岀函 数的左义域.（1） 售价为15元时，销售利润为多少？（2） 若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何立价? 5.根据市场调査，某商品在最近40天内的价格f(r)与时间r 满足：位于/左方图形的而积为S,则函数S=f （f ）的大致图象为（）2. 一个圆柱形容器的底部直径是dem,髙是力cm,现在以vcm3/s 的速度向容器内注入3.向髙为“的水瓶中注水，注满为止.如果注水量孑与水深力的函数关系的图象如图At) = - 2t + n(°4'<20,(N)，销售量g(f)与时间十满足：g(f)= _[f +兰3 3-/ + 41 (20WfW40jwN)(0WrW40, teN),求这种商品日销售金额的最大值.四、小结利用图、表建模：分段建模.五、作业课本PU0-10・。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用学案(1)(2)
函数模型及其应用【复习目标】1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．【重点难点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义．【自主学习】一、课前预习：1.某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是C ,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是2.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是3.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0<x<240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是4.购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算【共同探究】例1.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳．例2.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．例3．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨 x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．(1)当k=12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大．(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．【巩固练习】1.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是．2.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数时, 按（2）方法更省钱．3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入广告费,才能获得最大的广告效应．答案：1.8 C︒2.多赚28.92元3.150台4.神州行例1. (1)依题得，60122011033t tyt t≤≤=-+<≤⎧⎪⎨⎪⎩(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则441320132=⇒=+-t t ,因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有,4)4(320232320232=+--+-t t 解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t 3小时（t 3>10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，,4)9()4(320232320232=+--+--t t 解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30．例2. 设每日来回y 次，每次挂x 节车厢，由题意，y=kx+b ，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W 节车厢，则W=2x y=2x （－2x+24）=－4x 2+48x=－4（x －6）2+144， ∴当x=6时，W max =144，此时，y=12，最多营运15840人．例 3. 解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为: y=a(1+x%)· b(1－kx%)=10000ab ［－kx 2+100(1－k)x+10000］. (1)取k=12，y=10000ab ［－12x 2+50x+10000］,∴x = 50， 即商品价格上涨50%时， y 最大为98ab. (2)因为y=10000ab［－kx 2+100(1－k)x+10000］，此二次函数开口向下，对称轴为x=50(1)k k-，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x ＞0}的一个子集中增大时，y 也增大.所以50(1)k k-＞0，解之0＜k ＜1．巩固练习： 1. 6002cm 2. 大于34 3. 2500。
高中数学 函数模型及其应用教案 苏教版必修1
函数模型及其应用教学目标：使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．教学重点：一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.教学难点：实际问题数学化.教学过程：［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．y在x ［250，400］上是一次函数．∴x＝400元时，y取得最大值870元．答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；当A 、B 距离在（a ，a ＋10）时，选择第二种方案； 当A 、B 距离恰好为a ＋10时，选择两种方案均可以； 当A 、B 距离大于a ＋10时，选择第一种方案．（其中a 为起步价内汽车行驶的里程）点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等． ［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）解析：由于d 0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A 、C 选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B ，故只能选择D ．［例5］容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度 （1－b a）10·m ％总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少 85 t 万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？解析：（1）设每年销售是x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税金为y ＝250x ·t ％．依题意，x ＝40－85t ．所求的函数关系式为y ＝250（40－85t ）t ％．（2）依题意，250（40－85 t ）·t ％≥600，即t 2－25t ＋150≤0，∴10≤t ≤15．即税率应控制在10％～15％之间为宜．注意点：1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本． 本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为（10＋x ）元，销售的个数为（100－10x ），则利润为y ＝（10＋x ）（100－10x ）－8（100－10x ）＝－10（x －4）2＋360（0≤x ≤10）．因此x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．解析：设PO ＝x ，则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902，0＜x ＜200，即x ＝190时，最大面积为24067m 2．总结：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解． 第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答． 课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km 答案：A2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．15答案：C3．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．解析：设矩形宽为x m ，则矩形长为（200－4x ）m ，则矩形面积为S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为a （a ＞0），家庭孩子个数为x （x ∈N*），甲、乙两家旅行收费分别为f （x ）和g （x ），则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a 2 x ＋32a （x ∈N*），g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a3（x ∈N*），g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a3，∴x ≥1．因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？ 答案：（1）优惠率为33％；（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于13的优惠率．6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．解析：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2＋3880948；当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2－2524 ；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．函数模型及其应用［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少85t万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．153．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价． 试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用教案(3)
函数模型及其应用一、教学目的1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；3、运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。
二、教学重点、难点重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学过程第一课时几类不同增长的函数模型1、复习引入师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。
今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。
2、新课（用幻灯片展示例题）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：1）每天回报40元；2）第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；3）第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）教师提示：1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。
2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。
设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。
苏教版高中数学必修一函数模型及其应用学案
第七讲函数模型及其应用一、复习目标要求1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二、2010年命题预测函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。
高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。
出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
预测2010年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
三、知识精点讲解1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§34 函数的模型及其应用
主备：曹广明 审核：汪显林 做题：王建亚
一、教学重、难点
针对实际问题，掌握数据与各变量之间的对应关系，掌握几种常见函数模型的应用.
二、新课导航
1. 问题情境：
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产，生活中许多实际问题
三、合作探究
活动1 ： 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元。
分别写出总成本C(单位：万元)\单位成本P(单位：万元)\销售收入R(单位：万元)以及利润L （单位：万元）关于总产量x （单位：台）的关系式．
活动2 ： 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，
经过一定时间t 后的温度是T ，则h t a a T T T T )2
1()(0⋅-=-，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期。
现有一杯用C ︒88热水冲的速溶咖啡，放在C ︒24的房间中，如果咖啡降温到C ︒40需要min 20，那么降温到C ︒35时，需要多长时间（结果精确到1.0）？
活动3： 在经济学中，函数)(x f 的边际函数)(x Mf 定义为)()1()(x f x f x Mf -+=。
某
公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台)(+∈N x 的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位：元），其成本函数为()500+4000C x x =（单位：元），利润是收入与成本之差。
（1）求利润函数)(x P 及边际利润函数)(x MP ；
（2）利润函数)(x P 与边际利润函数)(x MP 是否具有相同的最大值？
活动4： 有十米的钢材,要做成如图的窗架,上半部分是半圆,下半部分为6个小长方形组
成的长方形,试问小长方形的长,宽为多少时窗户所通过的光线最多,求窗户面积的最大值（刚才宽度忽略不计）?
四、提高拓展
1．课本P100第3题．
五、教学反思
§34 函数的模型及其应用作业
班级 姓名 学号 日期 得分
一、填空题
1．向高为0h 的瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如图所示，
那么水瓶形状可能是 ．
（1） （2） （3） （4）
2．某产品的总成本y 万元与产量x 台之间的函数关系式是()23000200.1,0240y x x x x N =+-<<∈且，若每台产品的销售价为25万元，则生产不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量为 台．
3．商店某种货物进价下降了8%，但销售价没有变，于是这种货物的销售利润 率（-销售价进价进价
x100%）由原来的r%增加到（r+10）%，则r 值等于 ． 4．某音响社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的前两天每天收0.8元,以后每天收0.5元,那么一张光盘在租出后的第n 天(*N n ∈)应收的租金()f n =_________元．
二、解答题
5．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P （万元）和Q(万元)，它们与投入资金t （万元）的关系有经验公式
P=1,5t Q =
3万元资金投入经营甲、乙两种商品问如何经营才能使总利润最大．
6．某地预计从明年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量()f x (万件) 与月份x 的近似关系为()()()()*11352,,12150
f x x x x x N x =+-∈≤且， （1）写出明年第x 个月的需求量g(x)(万件)与月份x 的函数关系式，并求出哪个月份的需
求量超过1.4万件。
（2）如果将该商品每月都投放市场P 万件，要保持每月都满足供应，则P
至少为多少万
件？
7．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1），B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：利润与投资单位为万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？（精确到1万元）．
图（1）
三、错题剖析。