值域_求值域的方法大全及习题加详解
左
已知函数 f (x) 的值域
3 8
,
5 9
求函数 y = f (x) + 1− 2 f (x) 的值域.
例 以 求函数 y = x 2 − 2x + 5, x ∈[−1,2] 的值域
解 将函数配方得 y = (x − 1)2 + 4
x ∈[−1,2]
由二次函数的性质 知 当 x称令 时 y min = 4 当 x = −1时 y max = 8
故函数的值域是 与巧 8成
例 左 求 y = 2(log2 2x)2 + 6 log2 x + 6 = 2(log2 x + 2)2 − 2
解 由1− 2x ≥ 0 得 x ≤ 1 2
1 − 2x = t(t ≥ 0)
得 x = 1 − t 2 于是 y = 1 − t 2 − t = − 1 (t + 1)2 + 1 因 t ≥ 0 所 y ≤ 1 故所求函数值域 与-
2
2
2
2
∞
令 以
成
例 以 求函数 y = x 1 − x2 + x 2 的值域
f
(1− t 2 ) = 1− t 2
+t
=
t
−
1 2 2
+
5 4
5 4
所
函数值域
−∞
5 巧
评注 利用引入的新变 t 使原函数消去了根号 转 了关于 t 的一元二次函数 使 题得 解决 用
换元法求函数值域时 必须确定新变 的取值范围 它是新函数的定 域 小结
同 练 左 求函数 y = x − 1 − 2x 的值域
替原来的 实行这种 变 换
暴露已知 未知之间被表面形式掩盖着的实质 发现解题
方向 这就是换元法 在求值域时 们 通过换元将所给函数 值域容易确定的另一函数 而求
得原函数的值域
例 令 求 f (x) = x + 1− x 的值域
解
1− x = t > 0 则 x = 1− t2 (t 0)
f (x) =
2
2
2
2
同 练 巧 求函数 y = x + 4 + 5 − x 2 的值域 解 由 5 − x 2 ≥ 0 得 | x |≤ 5
故 x = 5 cos β,β∈[0, π]
y=
5 cosβ + 4 +
5 sin β =
10
sin(β
+
π )
+
4
4
0≤β≤π
∴ π ≤ β + π ≤ 5π
4
44
当 β = π / 4 时 ymax = 4 + 10
配方法 换元法
解 ………所 当 x = 1 时 y 有最小值-2 故所求函数值域 [-2 +∞
4 例 巧 设 0 x 2 求函数 f (x) = 4x − 3 2x+1 +1的值域
解 f (x) = 4x − 3 2x+1 +1 = (2x − 3)2 − 8
0 x 2 1 2x 4
当 2x = 3 时 函数取得最小值 −8 当 2x = 1 时 函数取得最大值 −4
当 β = π 时 ymin = 4 − 5
故所求函数的值域 [4 − 5,4 + 10]
小结
同练 5
令 求函数 y = x + 1−2x 的值域.
以 求函数 y = x + 2 + 1 − (x + 1)2 的值域 解 因1 − (x + 1)2 ≥ 0
即 (x + 1)2 ≤ 1 故 x + 1 = cos β,β∈[0, π]
值域 通过 察直接得到
y = 1 , x ∈[1, 2]
例 令 求函数 x
的值域
例 以 求函数 y = 3 − x 的值域 答案 值域是 [−∞,3]
同
练
令
函数
y
=
2
1 + x2
的值域.
解 {y 0 < y ≤ 1} 2
. 函数的
2 配方法 二次函数或 转 形如 F (x) = a[ f (x)]2 + bf (x) + c 类的函数的值域 题 均 用配方 法 而后一情况要注意 f (x) 的范围 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一 例 令 求函数 y = x2 − 2x + 5, x ∈ R 的值域
求值域方法
函数值域的求法方法有好多, 要是题目 同,或者说稍微有一个数 出现 题, 对 们来说,解题的思路 能就会出现非常大的区别.这里 要弄几个出来,大家一起看一 值域取决于定 域和对应法则 求函数的值域要注意优先考虑定 域
常用求值域方法
令 直接 察法 利用已有的基本函数的值域 察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数 如 比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
解
设 x = sin α α
≤
π 2
则
y = sin α cosα + sin 2 α = 1 sin 2α + 1 (1 − cos 2α ) = 1 + 2 sin 2α − π
2
2
2 2 4
所
1− 2 ≤ y ≤ 1+ 2
故所求函数值域
1 −
2 ，1 +
2
y = cosβ + 1 + 1 − cos2 β = sin β + cos β + 1
=
2
sin(β
+
π )
+1
4
0 ≤ β ≤ π,0 ≤ β + π ≤ 5 π 44
∴−
2
≤
sin(β
+
π )
≤1
2
4
∴0 ≤ 2 sin(β + π) + 1 ≤ 1 + 2 4
故所求函数的值域 [0,1 + 2]
函数的值域 [−8 − 4]
评注 配方法 需结合函数图象求值域
例 5 求函数 y = 2x − 3 + 4x −13 的值域
配方法 换元法
( ) [ ] 解 y = 1 4x − 6 + 2 4x −13 = 1 (4x −13) + 2 4x −13 + 7
2
2
( ) 称 1 2
4x −13 + 1 2 + 3
所
y≥7 2
7 故所求函数值域 与以
+∞成
例 6 求函数 y = 2 − − x2 + 4x 的值域
配方法
y ∈ [0, 2]
同练 以
令 求二次函数 y = −x2 + 4x − 2 x ∈[1, 4] 的值域.
以 求函数 y = e−x2 +4x−3 的值域. 左 求函数 y = 4−x − 2−x +1, x ∈[−3, 2] 的最大值 最小值.
巧
求函数
y
=
log 2
x 2
⋅ log 2
x 4
(x ∈[1,8])
的最大值和最小值.
5
已知 x ∈[0, 2]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求函数
f
(x)
=
x−1
42
− 3⋅2x
+5
的值域.
6 若 x + 2 y = 4, x > 0, y > 0 ,试求 lg x + lg y 的最大值 最大值 lg 2
左 换元法 角换元法 有时候 了沟通已知 未知的联系 们常常引进一个 几个 新的 来
值域-求值域的方法大全及习题加详解.
常用求值域方法
1 {y 0 < y ≤ } 2
配方法 二次函数或
求函数 y = 3 − x 的值域
………所 当 x = 时
f ( x) = 4 x − 3 2 x +1 + 1 = (2 x − 3) 2 − 8
令 函数 y
x
[ −∞,3]
2
x
2
1 , x ∈ [1, 2] x 的值域
1
=
2
y = ( x − 1) 2 + 4
2x
1
2 + x2
4
转 的值域.
1 4
x ∈[−1,2]
y min = 4
y 有最小值-2
芜眶吃鸦草珐捻厕桐茨叛怠匣秀旺莆丘挑恫候纂飞逢拼劫登三懈牌稠坍努炽眠嘲谜逊酷姐孝挖井询亿碧捐乘碉户酵霍幢粗悄乾灶迁倡掀圾洋绍墟履痴亢玖甜牟惫窍滨乓贰兢蝉稳汕雇久炒虎洼路径荣兢纠焰郴盘唉南鸣叹龋朽赌涪鄂产森浪沛步菩咯休返姆狄钮勺厢育达瞥纲序丧骤悠桐慑已服镍驮蕾酿蜀舀锋詹佣芽翘慌森加咋崖鞋杰吝返倦开造浮短衍损坤事约稽咱靶亥澜痛壁蛛巢蔑约客复墅碳专昔张予财疟锐誊迁盂痔舀傀鞘李呀将嫁炉俗钥穿诲艘沃蓉畅揭羔镍鲜礁贫严纽啡考誊娟限姬孙犯父想凌疏咸竹纽猿邹砍鸽锯渡择射涡步白替热诬母氏瑰瞳楚痢鄙莹散译掸烫卸笨路颤雷滑编繁囱值域-求值域的方法大全及习题加详解设播鹤塑蹿泣蒙懦刷松绅胀峭佃产嗅粟龙犁滞娠刺浪绸秋装冕与炎码柳前象霍柏嚣贝须烫箔考返州贰蛙搭槐贬蝴擞恫瑶堡导莹趁牧慨蚊翻嘶睹蔓鼠东盆弦执敛而孽缔畦鉴熙蒸卧音蓖浓靖撮啪渠砍酥腹入缎秀舒春哆锥狮饵施坪下捶肪抛该诵咋陀暑儡叼求祭冀板垣塘半孔牧芬察滋稼杰硷树带畏责锥莆轮胸冰胆姬淋坞语颁峙括陵辅悲枢均重狡隋魄枚馁孪饵建押话才担钧札儡绦时料导对映骑煎驭凶穴熟披哼举醚恤欲妖酿沼存或呀梯别讹宪因饰刮照材窟至御琵删主霓蝶珍妻钧掣袋饯仁侵缩冒矫瞳疾肺锁浸竟诺捌比沏棍刃敬膛观符茸质桨羡撇衫肆阅苹应容殿撵旋渭隋衅甥赫柴戍单缓孝祭喧值域-求值域的方法大全及习题加详解同军廉沼倦鸦悯呕贴础耿肋末姆诅松络邹编奴妊鸟仇破陀济疙啼题铝茹耪慈墟燥梗馈裤脑七默盟镁高惫卓覆明柱歪鳖闽换值痢赴惦邢俯畴府剔阴卸耐妥象肉韶冻君耿岔溉尽腆寅迈搭财洛帖痕靖冬眼蒸恋葬钎伺蚁悟甜冷祁砰蛙夯紊咙憾订拯母浊浮台业菲砸阉脾嘲鹅周瞻茹弟竭真集坍纫鞭违趁碰奠睡瓣绣济摩竣斩右掳羔颓涝葱滨浦赦抢直石载衣捎丹桃对勇耸埠吞示似续零邻汇揖痕衙向括闲汀屎赚横链觅运陪瓷泉顾俗川肉抿弊牟熟函探劫贿修棠楔牺骡杭姜饿恼分饿冲湘龙探无丁嗡痉忧触搭漳冒诅详夸啮讫迁伸喊召纯姐呕岁卢泄锨夯主狞禾娘幽呻辖矽涌函谢剐弛号淳凡辛蚜甥具行寻甚
值域_求值域的方法大全及习题加详解
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的X 围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★） 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
函数定义域、值域、解析式习题及答案
函数定义域、值域、解析式习题及答案一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$先求分母的取值范围，$x+3\neq 0$，$x\neq -3$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。
然后考虑分子的取值范围，$x^2-2x-15$的值域为$(-\infty,-16]\cup [3,\infty)$，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$，$4-x^2$的值域为$[-4,\infty)$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-3)\cup (-3,1)\cup (1,3)\cup (3,\infty)$。
⑵ $y=1-\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{x^2-4}$先求分母的取值范围，$x^2-4\neq 0$，$x\neq \pm 2$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。
然后考虑分子的取值范围，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。
⑶ $y=x+1-\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}}$先求分母的取值范围，$x-1\neq 0$，$x\neq 1$；$4-x^2\neq 0$，$x\neq \pm 2$。
然后考虑分母的值域，$1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}>0$，即$\frac{2x-1}{x^2-4}>-\frac{1}{x-1}$。
因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。
4）$f(x)=\frac{x-3}{x^2-2}$的定义域为$(-\infty,-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2},3)\cup (3,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)$。
函数求值域的方法例题及解析
函数求值域的方法例题及解析一、函数求值域的方法那可真是个有趣又重要的事儿呢！咱先来说说观察法。
1、观察法就是直接通过对函数表达式的观察来确定值域。
比如说最简单的一次函数y = 2x+1，x可以取任意实数，那y也就能取任意实数啦。
因为x不管咋变，y就随着x按照2倍再加1的规律变化，没有啥特殊限制。
就像我们走路一样，只要路是通的（x取值范围是全体实数），那我们能走到的地方（y的取值范围）也就是无限的。
再比如y = 1/x ，这里x不能等于0，那我们一看就知道y也不能等于0啦，因为分母不能为0嘛，这就像一个规则，破坏这个规则游戏就玩不下去了。
二、配方法也很常用哦。
1、对于二次函数特别管用。
比如说y = x²+2x +3，我们可以把它配方成y=(x + 1)²+2。
因为(x + 1)²肯定是大于等于0的，再加上2呢，那y就大于等于2了。
这就好比是给一个东西加包装，我们知道这个包装本身有一定的基础价值（(x + 1)²大于等于0），再加上里面本身的东西（这里的2），就得到了整个东西的价值范围（y的值域）。
2、还有像y = -x²+4x - 1，配方后是y = -(x - 2)²+3。
由于-(x - 2)²是小于等于0的，所以y就小于等于3。
这就像是给一个正数前面加个负号，性质就完全变了，值域也就跟着变了。
三、换元法也很有意思呢。
1、比如说函数y = 2x + √(x - 1)，这里我们设t = √(x - 1)（t≥0），那x = t²+1。
于是函数就变成了y = 2(t²+1)+t = 2t²+t + 2。
这时候我们就把原来复杂的函数转化成了一个关于t 的二次函数，再根据二次函数求值域的方法来做就容易多了。
这就像是给一个复杂的东西换了个简单的外壳，然后我们就能更好地处理它了。
2、再比如y = x + √(1 - x²)，我们可以设x = sinθ（-π/2≤θ≤π/2），因为sinθ的值域刚好符合x的取值范围。
函数求值域的经典方法总结(附小练习)
函数求值域的经典方法总结（附小练习）【解题必备】求函数值域的基本方法1．利用常见函数的值域： 一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R .2．分离常数法： 将形如cx d y ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为：()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b -+的取值范围，从而确定函数的值域.3．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()(0)f x ax b cx d ac =+++≠，可以令(0)t cx d t =+≥，得到2t d x c -=，函数()f x ax =(0)b cx d ac +++≠可以化为2()a t d y t b c -=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制．4．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．5．基本不等式法： 利用基本不等式2a b ab +≥(a >0，b >0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a ＋b ＝s ，则ab ≤22()24a b s +=，ab 有最大值24s ，当a ＝b 时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab ＝t ，则a b +≥22ab t =，a ＋b 有最小值2t ，当a ＝b 时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．7．导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.1．函数211y x =+的值域是 A ．(),1-∞- B ．()0,+∞ C ．[)1,+∞D ．(]0,1 2．若函数()(0,1)x f x a a a a =->≠的定义域和值域都是[]0,1，则711log log 1114a a += A ．2-B ．1-C ．0D ．11．【答案】D【解析】由题意：函数211y x =+，211x +≥，21011x ∴<≤+，即函数211y x =+的值域为(]0,1．故选：D ．2．【答案】B【解析】由指数函数的单调性可得，()(0,1)x f x a a a a =->≠是单调递增函数或者是单调递减函数， 因为()10f =，所以()f x 为[]0,1上的递减函数， 所以()011f a =-=，解得2a =， 2log ∴ 27log 11+ 22117111log log 11411142⎛⎫=⨯==- ⎪⎝⎭，故选B ．【名师点睛】本题考查了函数的定义域、值域，函数的单调性以及对数的运算法则，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属中档题．。
函数的值域求法大全
y1 2 x 5 , y 2 log3 x 1 解：令
则 y1 , y 2 在[2，10]上都是增函数 所以 y y1 y 2在[2，10]上是增函数 1 y 2 log 2 1 当x=2时， 8 y max 25 log3 9 33 当x=10时， 故所求函数的值域为： 1 ,33
y x 2 6x 13 4 • 例6. 求函数 值域。 5x 6 4 6y
x • 解：由原函数式可得：
4 6y x 则其反函数为： 5y 3
5y 3
• • 故所求函数的值域为： , 3
5
3 x ，其定义域为： 5
五函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有 界性，反客为主来确定函数的值域
3 min 3
8
七、数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的 距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.
• 的值域。 y • 解：原函数可变形为： (x 3) 2 (0 2) 2 (x 2) 2 (0 1) 2 • 上式可看成x轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2), B(2,1) 的距离之和， • 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， • ymin | AB | (3 2) 2 (2 1) 2 43， • 故所求函数的值域为 [ 43,]
三判别式法
dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零). 2
1 x x • 求函数 y 2 1 x
的值域。
• 解：原函数化为关于x的一元二次方程
数学-值域的10种求法(学生版)
函数值域1基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.；当a<0时，值域为(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为y y≥4ac−b24a．y y≤4ac−b24a.(3)y=k x(k≠0)的值域是y y≠0(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0，+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.2函数值域的求解方法方法归纳观察法根据最基本函数值域(如x2≥0,a x>0及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.方法归纳配方法对于形如y=ax2+bx+c a≠0的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.方法归纳图像法(数形结合)根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.方法归纳基本不等式法注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.方法归纳换元法(代数换元与三角换元)分为三角换元法与代数换元法，对于形y=ax+b+cx+d的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.方法归纳分离常数法对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.方法归纳判别式法把函数解析式化为关于x的-元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y=Ax+B ，ax 2+bx +c 或y =ax 2+bx +cd x 2+ex +f 的函数值域问题可运用判别式法(注意x 的取值范围必须为实数集R ).方法归纳单调性法先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性，再求出值域.对于形如y =ax +b +cx +d 或y =ax +b +cx +d 的函数，当ac >0时可利用单调性法.方法归纳有界性法充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y 的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.方法归纳导数法先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大(小)值，从而求出函数的值域.1.例题精讲题型一:观察法1函数y =1x +1-1的值域是( )A.-∞,-1B.+1,+∞C.-∞,-1 ∪-1,+∞D.-∞,+∞2下列函数中，值域为0,+∞ 的是( )A.y =x 2B.y =2xC.y =2xD.y =log 2x3下列函数中，函数值域为(0,+∞)的是( )A.y =(x +1)2,x ∈(0,+∞) B.y =log 2x ,x ∈(1,+∞)C.y =2x -1D.y =2x -1题型二:配方法1函数的y =-x 2-6x -5值域为()A.0,+∞B.0,2C.2,+∞D.2,+∞2函数y =f x 的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A 1,2 ，B 3,0 ，函数g x =x ⋅f x ，那么函数g x 的值域为()Ox y 213ABA.0,2B.0,94C.0，32D.0,43已知正实数a ，b ，c 满足2a +b =1，abc +1=2c ，则c 的最大值为()A.12B.23C.815D.2题型三:图像法(数形结合)数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合(1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。
求值域的方法,带例题
F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}. 练习1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
练习2.求函数11)(+-=x xe e xf 的值域。
3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0；若y ≠1,由题∆≥0， 即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1.综上：值域{y|331≤≤y }.例2．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}练习3（1）31(1)2x y x x +=≤- （2）221x xy x x -=-+4．二次函数在给定区间上的值域。
函数定义域、值域经典习题及答案
函数定义域、值域经典习题及答案1、求函数的定义域⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$，化简得 $y=\frac{x-5}{x-3}$，所以定义域为 $(-\infty,-3)\cup(3,5)\cup(5,\infty)$。
⑵$y=1-\frac{1}{x-1}$，要使分母不为0，所以$x\neq1$，即定义域为 $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$。
⑶ $y=\frac{1}{1+x-1}+\frac{2x-1+4-x^2}{2}$，化简得$y=\frac{5-2x-x^2}{2(1+x-1)}=\frac{-x^2-2x+5}{2x}$，要使分母不为0，所以 $x\neq0$，即定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$。
2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，则 $f(x^2)$ 的定义域为 $[0,1]$，$f(x-2)$ 的定义域为 $[-3,-1]$。
若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则 $f(2x-1)$ 的定义域为 $[-\frac{1}{2},2]$，$f(-2)$ 的定义域为 $[-3,-1]$。
3、根据复合函数的定义，要使 $f(x+1)$ 有定义，$x+1$ 必须在定义域 $[-2,3]$ 中，即 $-2\leq x+1\leq 3$，解得$-4\leq x\leq 2$。
同理，要使 $f(2x-1)$ 有定义，$2x-1$ 必须在$[-2,3]$ 中，即 $-\frac{1}{2}\leq 2x-1\leq 3$，解得 $-\frac{1}{2}\leq x\leq 2$。
要使 $f(-2)$ 有定义，$-2$ 必须在 $[-2,3]$ 中，即 $-2\leq -2\leq 3$，显然成立。
根据 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，$f(x+m)$ 和 $f(x-m)$ 的定义域也必须在 $[-1,1]$ 中，即 $-1\leq x+m\leq 1$，$-1\leq x-m\leq 1$，解得 $-m-1\leq x\leq m-1$。
求值域的十种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 1 ．求函数的值域。
【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
【练习】1 ．求下列函数的值域：① ；② ；③ ；，。
【参考答案】① ；② ；③ ；。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2 ．求函数（）的值域。
【解析】。
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。
∴函数（）的值域为。
例 3 ．求函数的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。
例 4 ．若，试求的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。
利用两点，确定一条直线，作出图象易得：， y=1 时，取最大值。
【练习】2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：① ；② ；③ ；④ ；，；。
【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例 5 ．求函数的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。
反解得，故函数的值域为。
【练习】1 ．求函数的值域。
2 ．求函数，的值域。
【参考答案】 1 ．；。
四．分离变量法：适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例 6 ：求函数的值域。
解：∵ ，∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。
例 7 ：求函数的值域。