磁场4-2动感生电动势
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感生电动势
dB 0 dt
E涡
B t
5
9-3 感生电动势 B 线圈在磁场中不动 B
B 若 0， t 则Er 沿顺时针方向。
方 向 说 明
Er 的方向就是感生电动势 的方向。 一般地，感生电场或感生电动势的方 向直接用楞次定律判断。
B 若 0， t 则Er 沿逆时针方向。
E感 只有以螺线管轴线为中心的圆周切向分量
B r R L
12
9-3
感生电动势
感生电场线是在垂直于轴线平面内， 以轴线为中心的一系列同心圆。 作如图环路
B r d d 2 E dl ( B S ) ( B r ) l 涡 R L dt dt
Байду номын сангаас
rR
9-3
感生电动势
dB 2 R E d l 涡 L dt dB 2 E涡 2r R dt
B
S S
L
R
r
B t
R 2 dB E涡 2r d t
方向：逆时针方向
15
E涡
9-3
感生电动势
E涡
R 2 dB 2r d t
rR rR
6
B ε E感 dl dS L s t
9-3
感生电动势
上式表明感生电场的环流不等于0，说 明感生电场是有旋场。 感生电场的性质和稳恒电流的磁场的 性质十分相似。 如果说，电流是磁场的涡旋中心，那么 变化的磁场就是感生电场的涡旋中心。 感生电场的电力线类似于磁力线，是无 头无尾的闭合曲线，呈涡旋状，所以称之为 涡旋电场。 感生电场也是无源场。
d l E涡 dl dt
E涡
B t
5
9-3 感生电动势 B 线圈在磁场中不动 B
B 若 0， t 则Er 沿顺时针方向。
方 向 说 明
Er 的方向就是感生电动势 的方向。 一般地，感生电场或感生电动势的方 向直接用楞次定律判断。
B 若 0， t 则Er 沿逆时针方向。
E感 只有以螺线管轴线为中心的圆周切向分量
B r R L
12
9-3
感生电动势
感生电场线是在垂直于轴线平面内， 以轴线为中心的一系列同心圆。 作如图环路
B r d d 2 E dl ( B S ) ( B r ) l 涡 R L dt dt
Байду номын сангаас
rR
9-3
感生电动势
dB 2 R E d l 涡 L dt dB 2 E涡 2r R dt
B
S S
L
R
r
B t
R 2 dB E涡 2r d t
方向：逆时针方向
15
E涡
9-3
感生电动势
E涡
R 2 dB 2r d t
rR rR
6
B ε E感 dl dS L s t
9-3
感生电动势
上式表明感生电场的环流不等于0，说 明感生电场是有旋场。 感生电场的性质和稳恒电流的磁场的 性质十分相似。 如果说，电流是磁场的涡旋中心，那么 变化的磁场就是感生电场的涡旋中心。 感生电场的电力线类似于磁力线，是无 头无尾的闭合曲线，呈涡旋状，所以称之为 涡旋电场。 感生电场也是无源场。
d l E涡 dl dt
动生电动势感生电动势感生电场普遍环路定理
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感应加热
感应加热器利用动生电动势对金属进 行加热。当金属在变化的磁场中时， 会在金属内部产生动生电动势，从而 产生电流并加热金属。
02 感生电动势
定义与产生机制
定义
当磁场发生变化时，会在导体中产生电动势。这个电动势被 称为感生电动势。
产生机制
磁场的变化会在导体中激发出电场，这个电场驱动导体中的 自由电荷移动，从而产生感生电动势。
感生电场的应用实例
电磁感应
当线圈中的磁场发生变化时，会在线 圈中产生感生电动势，进而产生电流。
磁记录
利用感生电场可以记录磁场的变化， 从而实现信息的存储和读取。
04 普遍环路定理
定理的表述与证明
表述
在磁场中，如果闭合回路的磁通量发生变化，那么就会产生电动势。这个电动势的大小等于回路的磁通量变化率 与回路的长度成正比。
证明
根据法拉第电磁感应定律和安培环路定律，通过引入磁场线穿过闭合回路的磁通量概念，可以推导出普遍环路定 理。
普遍环路定理的应用场景
电机工程
普遍环路定理是电机设计中的重 要理论依据，用于计算和预测电 机在不同工作状态下的电动势和
电流。
电力系统
在电力系统中，普遍环路定理用于 分析和计算电力传输过程中的电压 和电流变化，以确保电力供应的稳 定性和可靠性。
感生电动势的计算公式
公式
E = -dΦB/dt，其中E是感生电动势，ΦB是磁通量。
解释
这个公式表示，当磁通量发生变化时，就会产生感生电动势。负号表示电动势的 方向与磁通量变化的方向相反。
感生电动势的应用实例
01
02
03
感应炉
电磁感应——动生电动势总结
b a
b
εi
3、应用计算式计算在磁场中运动导线上的动生电动势
K K 速度也可以不同， v、 B
在一般情况下，磁场可以不均匀,导体在磁场中运动时各部分的
K 和 l 也可以不相互垂直，在这些情况下计算
运动导体内产生的总动生电动势应采取这样的步骤：
K K 先以一端为起点，在位置 l 处选取线元 dl ，计算线元上产生的动
生电动势；进而对整个处于磁场中的运动导体部分作积分，得到
总动生电动势。
K K K dε 动 = (v × B ) ⋅ d l
ε动 = ∫
L
L
K K K (v × B ) ⋅ d l
对于闭合回路
ε 动 为正时，表示电动势 为负。因此，由上式算出的电动势有正负之分， K K ε 动 为负时，则表示电动势的方向逆着dl 的方向。 方向顺着 dl 的方向；
a
K v
K B
b
K f
K K u fb 1
K K u +v
K K K K P = ( f1 + f2 ) ⋅ (v + u ) K K K K K = (−ev × B − eu × B) ⋅ (v + u ) = −evBu + euBv = 0
总洛仑兹力与总速 度垂直，不做功！
讨 论
（2）回路中的电能从何而来？
ε动的正负来判断电动势的方向。
实验演示
3、动生电动势产生过程中的能量转换
每个电子受的洛仑兹力
K B⊗
K f2
a
−eK uFra bibliotekK K K f l = f1 + f 2 K K K f1 = − ev × B
K f1 K f2
动生电动势与感生电动势
【解】由于金属棒处在通电导线的非均匀磁场中，因此必
须将金属棒分成很多长度元dx，规定其方向由A指向B。这样 在每一dx处的磁场可以看作是均匀的，其磁感应强度的大小为
B 0I
2x
根据动生电动势的公式可知，dx小段上的动生电动势为
d动
(v
B)
dl
Bv
cos
dx
0I
2x
vdx
由于所有长度元上产生的动生电动势的方向都相同，所以金
d
dt
d dt
S
B
dS
又根据电动势的定义可得
L EK dl
式中，EK为感生电场的电场强度。感生电场的电场强度是 非静电性场强。
则有
L EK
dl
d dt
B dS B dS
s
s t
dB
s
S t
若闭合回路是静止的，即所包围面积S不随时间变化，即
S 0 ，则上式可写成
t
B L EK dl s t dS
性场强为
Ek
fL (e)
vB
根据电动势的定义可得，动生电动势为
a
动
L Ek
dl
(v B) dl
b
上式是动生电动势的一般表达式。由上式可知，动生电动势
的方向是非静电性场强 Ek v B 在运动导线上投影的指向。
【例9-2】如下图所示，长直导线 中通有电流I＝10A，有一长l＝0.1m的 金属棒AB，以v＝4m·s-2的速度平行于 长直导线作匀速运动，棒离导线较近的 一端到导线的距离a＝0.1m，求金属棒 中的动生电动势。
1861年，英国物理学家麦克斯韦提出感生电场的假设，认为 由于磁场变化而产生一种电场，是这个电场使导体中自由电子作 定向运动而形成电流。麦克斯韦还认为，即使没有导体，这种电 场同样存在。这种由变化磁场激发的电场称为感生电场。
动生电动势和感生电动势
Ek
1 2
B t
r
1 2
kr
2. r > R 区域
作半径为 r 的环形路径，并以逆
时针为回路绕向，则同理有
2rEk
S
B t
ds
R2k
R
o
r
r
B
1 B R2 1 R2
Ek 2 t
r
k 2r
Foundation - SJYGGF
§ 13.2 动生电动势和感生电动势
Nov 5, 2002 9/33
随时间均匀增加， dB k dt
若铝圆盘的电导率为γ，求盘内 的感应电流。
见书P212页，例4
R
解： 取半径为r、宽为dr的圆环微 元，并以逆时针方向为正方向，则 微元环中元电动势为
d L Ek dl L Ek dl
1 kr 2r dl kr2
20
o
r
dr
B
微元环中的电阻为 dR 1 2r hdr
Foundation - SJYGGF
§ 13.2 动生电动势和感生电动势
Nov 5, 2002 21/33
4) 电度表记录电量
电度表记录用电量，就是
利用通有交流电的铁心产生交
变的磁场，在缝隙处铝盘上产
o
生涡电流，涡电流的磁场与电
磁铁的磁场作用，表盘受到一
转动力矩，使表盘转动。
o’
Foundation - SJYGGF
感生电动势
1. 感生电动势——回路不动或不变，因磁场随时间变 化产生的电动势。相应的电流称为感生电流。
2. 感生电动势的起源——感生电场Ek 1) Maxwell感生电场（涡旋电场）假设
Maxwell 1861年首先从理论上预言感生电场的存在，后 被Hertz的电磁波实验所证实。Maxwell假设： 变化的磁场要在其周围空间激发一种电场——感生电场
感生电动势和动生电动势
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在这种电场力的作用下定向移动,产生感应 电流,或者说产生感应电动势.变化的的磁
场能在周围空间激发电场,这种电场叫感应 电场,由感生电场产生的感应电动势称为感 生电动势.
感生电动势在电路中的作用就是 电源,其电路就是内电路,当它与 外电路连接后就会对外电路供电.
感应电场是产生感应电流或感应电动势 的原因,感应电场的方向同样可由楞次定 律判断.
X X CX
伦兹力为F洛=QVB,F洛方向向上,正 X X XF洛 电荷向上运动,使导体下端出现负电 X XL X V 荷,结果上端C的电势高于下端D的 X X XF电 电势,出现由C指向D的静电场,此时 X X DX 电场对正电荷的作用力是向下,与洛 伦兹力方向相反,当二力互相平衡时， ＣＤ两端随时随地彰显尊贵身份。
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在这种电场力的作用下定向移动,产生感应 电流,或者说产生感应电动势.变化的的磁
场能在周围空间激发电场,这种电场叫感应 电场,由感生电场产生的感应电动势称为感 生电动势.
感生电动势在电路中的作用就是 电源,其电路就是内电路,当它与 外电路连接后就会对外电路供电.
感应电场是产生感应电流或感应电动势 的原因,感应电场的方向同样可由楞次定 律判断.
X X CX
伦兹力为F洛=QVB,F洛方向向上,正 X X XF洛 电荷向上运动,使导体下端出现负电 X XL X V 荷,结果上端C的电势高于下端D的 X X XF电 电势,出现由C指向D的静电场,此时 X X DX 电场对正电荷的作用力是向下,与洛 伦兹力方向相反,当二力互相平衡时， ＣＤ两端随时随地彰显尊贵身份。
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电磁感应、动生电动势、感生电动势讲解
这就是导线以恒定的速度在匀强磁场中运动产生的动生电动势。
前面所说到的电磁感应定律中，需要磁通量发生变化才能产生感应电流，其实就是变 化的磁场在回路中产生了感生电场，这种电场与静电场不同，感生电场的电场线是闭 合的，这样在电路中就可以产生电动势，这一假说正是由麦克斯韦提出的，若用Ek表 示感生电场；
根据前面定义电动势的公式可知，载流子为正电荷时，定义的是把正电荷从负极搬运 到正极，而现在载流子是电子，所以动生电动势就是非静电力(洛伦兹力)把电子从正 极M搬运负极N时所做的功，即ε= ∫Ek·dL = ∫(v×B)·dL，因为v与B垂直，化简后得 到ε= ∫vBdL章《从加法角度来看麦克斯韦电磁场方程，它并没有你想的那么深奥无趣》中， 将为你详细介绍电磁场中的四个基本方程，格式统一尽显美感。
《电磁感应中的两种生电方式，现代发电 机的理论基础》
上一章讲到的电磁感应定律中，只要回路中的磁通量发生变化，电路中就会出现感应 电动势，而对于电路结构来说，想要改变电路的磁通量，一般有两种方式，一种是磁 场中的线圈面积不变，且线圈不运动，只有穿过导线面积的磁感强度随时间变化，或 者磁场在空间中运动，这样产生的感应电动势叫做感生电动势；
第二种是回路面积发生变化，或者单根导线在磁场中运动，此时产生的电动势称为动 生电动势。
先来说说动生电动势，如图1所示有一根长度为L的导线，磁场方向垂直于屏幕向里， 导体以速度v向右运动，则导体内每个电子都要受到洛伦兹力Fm = (-e)v×B，根据右 手定则，电子受到的洛伦兹力由M指向N，
因为导体两端存在电场，所以Fm就是我们前面说的非静电力，它能使电子从M移动 到N，当电场积累到一定程度时，静电力F与非静电力Fm相等，于是导体两端有稳定 的电势差，这时非静电力Fm的场强就可以表示为 Ek = Fm/(-e) = v×B，方向与Fm 相反，
前面所说到的电磁感应定律中，需要磁通量发生变化才能产生感应电流，其实就是变 化的磁场在回路中产生了感生电场，这种电场与静电场不同，感生电场的电场线是闭 合的，这样在电路中就可以产生电动势，这一假说正是由麦克斯韦提出的，若用Ek表 示感生电场；
根据前面定义电动势的公式可知，载流子为正电荷时，定义的是把正电荷从负极搬运 到正极，而现在载流子是电子，所以动生电动势就是非静电力(洛伦兹力)把电子从正 极M搬运负极N时所做的功，即ε= ∫Ek·dL = ∫(v×B)·dL，因为v与B垂直，化简后得 到ε= ∫vBdL章《从加法角度来看麦克斯韦电磁场方程，它并没有你想的那么深奥无趣》中， 将为你详细介绍电磁场中的四个基本方程，格式统一尽显美感。
《电磁感应中的两种生电方式，现代发电 机的理论基础》
上一章讲到的电磁感应定律中，只要回路中的磁通量发生变化，电路中就会出现感应 电动势，而对于电路结构来说，想要改变电路的磁通量，一般有两种方式，一种是磁 场中的线圈面积不变，且线圈不运动，只有穿过导线面积的磁感强度随时间变化，或 者磁场在空间中运动，这样产生的感应电动势叫做感生电动势；
第二种是回路面积发生变化，或者单根导线在磁场中运动，此时产生的电动势称为动 生电动势。
先来说说动生电动势，如图1所示有一根长度为L的导线，磁场方向垂直于屏幕向里， 导体以速度v向右运动，则导体内每个电子都要受到洛伦兹力Fm = (-e)v×B，根据右 手定则，电子受到的洛伦兹力由M指向N，
因为导体两端存在电场，所以Fm就是我们前面说的非静电力，它能使电子从M移动 到N，当电场积累到一定程度时，静电力F与非静电力Fm相等，于是导体两端有稳定 的电势差，这时非静电力Fm的场强就可以表示为 Ek = Fm/(-e) = v×B，方向与Fm 相反，
动生电动势感生电动势
动生电动势感生电动势动生电动势在稳恒磁场中，导线切割磁感线运动产生的感应电动势叫做动生电动势。
一段长为L的直导线切割磁感线运动的动生电动势ε i =BLvsin(v，B)，其中B为导线上的磁感强度，v为导线的运动速度，(v，B)为速度v与磁感强度B间的夹角。
还应该注意，公式中的B和v都是与导线垂直的，与导线平行的B和v对动生电动势ε i 无贡献。
动生电动势是由洛伦兹力引起的。
如图所示，长L的导线在磁场B中以速度v 运动，导线带动其中的电子也以v运动，电子受洛伦兹力方向向下，b端积累较多电子带负电，a端缺少电子带正电。
导线相当于电源，a是正极，b是负极。
电子受洛伦兹力f=εvB，单位电荷受力为vB，把单位正电荷从b移到a时洛伦兹力做的功为vBL，故动生电动势ε =BLv。
导线中无电流时，电子受的电i 场力与洛伦兹力平衡，E=vB，ab间电压Uab=EL=vBL。
动生电动势的方向即导线中正电荷所受洛伦兹力的方向，可用右手定则确定。
感生电动势导体不动，由磁场随时间变化产生的感应电动势叫做感生电动势。
感生电动势不是由洛伦兹力引起的。
不能用公式εi =BLvsin(v,B)计算感生电动势的大小。
闭合回路电荷的作用力。
感应电场是随时间变化的磁场产生的，又叫涡旋电场，因为感应电场的电场线是闭合的，无起点无终点。
如图(1)所示，当磁场B随时间增大时，在周围空间产生的感应电场的电场线是一些闭合的曲线，方向可用楞次定律判定。
例如，电子感应加速器就是利用变化磁场产生的感应电场来加速电子的设备。
柱形电磁铁在两极间产生向下的磁场，磁场中有一个环形真空管道，磁场变化在真空管道中产生感应电场，电子受感应电场力而加速运动。
磁场对电子的洛伦兹力使电子沿半径为r圆形轨道运动。
若磁场在t时刻为B。
经过?t时间磁场变为B'，则电子运动的圆周的磁通量变化?φ=B'S-BS=变化磁场产生感应电场，感生电动势是电磁感应现象最本质的内容。
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a
R
若棒上下运动， 则棒中即有感生电动势 ，也有动生电动势。
计算较复杂。
例3、在垂直于纸面内非均匀的随时间变化的磁场 B=kxcost中，有一弯成角的金属框COD，OD与x 轴重合，一导体棒沿x方向以速度v匀速运动。设 t=0时x=0，求三角形框内的感应电动势。
解：设任意时刻t导体棒在x=l处
原因？
B变！
1
Φm
产生感应电动势的非 ε 静电性场强是什么？
2
来源于变化的 B !
R
非洛仑兹力所致
1861年Maxwell假设： 在变化磁场的周围将产生电场，这称为 用 感生电场，或有旋电场， Ei 表示。
( v B)
问题： 感生电场 Ei ?
二、感生电场与变化磁场的关系
l vt
1 33 3 2 i kv t tg sin t kv t tg cos t 3 动生 感生
动生 BLv kv t tg cos t
3 2
ε感生
d 1 3 3 kv t ωtgθ sin ω t dt 3
四、电子感应加速器
有力地证明Maxwll提出的感生电场假设
例3、已知导体运动如图，求导体中的感应电动势。 解：
vB
Id l
L
α
B
v
例4、圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运动
求：动生电动势 解：
a
vB
d θ
R
b
dl
θ
θ
B
v
哪端电位高？
a端高，方向b→a
例5、一根长为L的铜棒，在均匀磁场B中以角速度 在与磁场方向垂直的平面上作匀速转动。求棒的两 端之间的感应电动势大小。 解： a
εi
L
b Ek dl (v B) dl
a
讨论与说明：
εi
L
b Ek dl (v B) dl
a
(1) 若B均匀，匀速 ， i vBdl Bvl v 则
（2）注意两个角度关系：
请自行举例！
（3） i的方向： i 0, 与dl 同向； i 0与dl 反向
5. 感生电场与静电场的区别：
（1）激发的源不同；
思考？
B 求 E 一般较难。（仅少数对称情况） 6. 由 i t
三、感生电动势的计算
例1、在亥姆霍兹线圈中间轴上放一半为0.1m 的小线圈，在小线圈所包围的面积内磁场近 似均匀。设在亥姆霍兹线圈中通以交变电流 ，产生的磁感应强度B=5.010-3sin100t. 求小 线圈中的感生电动势和感生电场强度。
B dS
s
B
y
C
kx cosω t xtgθ dx 0 1 3 kl tgθ cosω t 3
lx dx
l
D
x
1 3 kl tgθ cosω t 3 由法拉第电磁感应定律 d 1 3 2 dl εi kl tgθ ω sin ω t kl tgθ cosω t dt 3 dt
lBsindlcos
B
z
l
Bsin ldl
2
i d i Bsin ldl
2 0
L
a
r
l
b dl B
2
B L 2 sin >0 2 正号说明 电动势方向与积 分方向相同 从 a 指向b
2
思考：如何利用
（电动势方向 Oa）
（2）若为铜盘转动，视为铜棒并联。
（盘中心与边缘有电势差）
（3）用法拉第定律直接求解：
d εi dt
L N
O
设想回路OAM（如图）
t内转过θ 角, 磁通量变化
S
M
A
C
b
εiOab
d dB dS S dt dt dB dB SdS dt S dt
R
O
回路积分：
εiOab εiOa εiab εibO εiab
1 S Lh 2
则
C
b
i的方向可有楞次定律确定
1 2 BS B L θ 2 1 2 θ 1 2 εi BL BL ω t 2 t 2
方向由楞次定律单独确定（请判定电位高低！）
例6、一长直导线中通电流 I=10A，有一长为L=0.2m的 金属棒与导线垂直共面。当 棒以速度v=2m/s平行于长直 导线匀速运动时，求棒产生 的动生电动势。
1
例2、半径为R的圆柱形空间区域，充满着均匀磁场。 已知磁感应强度的变化率大于零且为恒量。问在任意 半径r处感生电场的大小以及棒AB上的感生电动势。
dB 解： 由 0可知Ei的方向 dt （如图， 如何确定？）
Ei
R
C Ei
r
本题，在C内外均有： a
I
a
v
b
解：
I
a
v
b
x
dx
d
L
（a点电势高）Va
Vb
可否用磁通量变化来做？
复杂！
例7 、在空间均匀的磁场 B Bz中
导线ab绕z轴以 匀速旋转 导线ab与z轴夹角为 设 ab L l z
求：导线ab中的电动势 解：建坐标如图
在坐标l 处取dl
B
l
d Ll
b
d dt
进行计算
二、磁场中转动的闭合线圈
考虑线圈法线与B线有 角，则 BS cos θ
d dθ ε i N NBS sin θ dt dt
N .
S
θ
设线圈以恒定角速度旋转,则: (θ ω t ) 交变电动势
（也可用动生电动势得到此结果）
关于线圈在磁场中转动问题，需指出以下点： （1）对于其它形状线圈，计算方法相同； （2）以上设线圈为刚性，即面积S为常量,而 =常量； （3）以上绕对称轴旋转，若绕某一边旋转， 总感应电动势如何？ 不变！为什么？
法拉第定律 电动势定义
B εi Ei dl dS L S t
电磁场的基本方程之一
讨论： 1. 此式反映感生电场由变化的磁场产生； 2. 式中的S是以L 为周 S 界的任意曲面; L 3. 感生电场的环流不等于 零，所以又称“有旋电场”（非保守场） 4.式中负号表示感生 B 电场与磁场增量的方 Ei t 向成左手螺旋关系。
a
Ei
C Ei
b
Ei cos dx
0
R r h
dx
r dB Ei (大小) 2 dt 2 2 R L 4 h cos θ r r
Ei
关于εi 解法（二）：
假想回路Oab
回路磁通量的变化： a
Ei dB 1 d (mv) dt eR dt R F eEi
1 d R d B Ei 2R dt 2 dt
( π R B )
2
于是： B 1 B
2
电磁铁的励磁电流随时间交变（从而B变）,如图:
0 ~ T 4 , B向上（）且增大 ， 0 T 4 T 2 3T 4 t Ei 逆时针； T 4 ~ T 2 , B向上（）且减小 ， Ei 顺时针； 加速有效 T 2 ~ 3T 4 , B向下 且减小 ， Ei 顺时针； 加速无效 3T 4 ~ T , B向下 且增大 ， Ei 逆时针； 0 ~ T 4加速足够！
L
Ei dl Ei dl Ei 2πr
L
b
Ei
逆时针为正向，则 dS 与 B反向
（1）
r R (C内)
则
（2）
r dB Ei 2 dt
Ei
r R (C外)
R dB Ei 2r dt
2
0
R
r
（3） 棒ab的感生电动势
L i Ei dx 0 L
（2）环流不同。（电场线不同）
解：
r B
2
I
3
I B
0.1 5 10 sin 314t
2
εi
L
Ei dl Ei 2π r
εi 0.05 Ei cos 314t 2π r 2 3.14 0.1
0.08 cos 314t (V m )
l Ek F ( e) v B
非静电场：
- v
F a
b端积聚+q a端积聚-q
出现电势差：
一旦接通，便有电流：ab为内电路 （Ii从低电位到高电位） 电动势：
Vb Va
§10-3 感生电 动势 感生电场
§10-3 感生电动势
d d εi (B S ) dt dt
感生电场
动生电动势
B不变 ，变(切割)或夹角变 S S不变 , 夹角也不变 ， 变 B
感生电动势
变
R
若棒上下运动， 则棒中即有感生电动势 ，也有动生电动势。
计算较复杂。
例3、在垂直于纸面内非均匀的随时间变化的磁场 B=kxcost中，有一弯成角的金属框COD，OD与x 轴重合，一导体棒沿x方向以速度v匀速运动。设 t=0时x=0，求三角形框内的感应电动势。
解：设任意时刻t导体棒在x=l处
原因？
B变！
1
Φm
产生感应电动势的非 ε 静电性场强是什么？
2
来源于变化的 B !
R
非洛仑兹力所致
1861年Maxwell假设： 在变化磁场的周围将产生电场，这称为 用 感生电场，或有旋电场， Ei 表示。
( v B)
问题： 感生电场 Ei ?
二、感生电场与变化磁场的关系
l vt
1 33 3 2 i kv t tg sin t kv t tg cos t 3 动生 感生
动生 BLv kv t tg cos t
3 2
ε感生
d 1 3 3 kv t ωtgθ sin ω t dt 3
四、电子感应加速器
有力地证明Maxwll提出的感生电场假设
例3、已知导体运动如图，求导体中的感应电动势。 解：
vB
Id l
L
α
B
v
例4、圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运动
求：动生电动势 解：
a
vB
d θ
R
b
dl
θ
θ
B
v
哪端电位高？
a端高，方向b→a
例5、一根长为L的铜棒，在均匀磁场B中以角速度 在与磁场方向垂直的平面上作匀速转动。求棒的两 端之间的感应电动势大小。 解： a
εi
L
b Ek dl (v B) dl
a
讨论与说明：
εi
L
b Ek dl (v B) dl
a
(1) 若B均匀，匀速 ， i vBdl Bvl v 则
（2）注意两个角度关系：
请自行举例！
（3） i的方向： i 0, 与dl 同向； i 0与dl 反向
5. 感生电场与静电场的区别：
（1）激发的源不同；
思考？
B 求 E 一般较难。（仅少数对称情况） 6. 由 i t
三、感生电动势的计算
例1、在亥姆霍兹线圈中间轴上放一半为0.1m 的小线圈，在小线圈所包围的面积内磁场近 似均匀。设在亥姆霍兹线圈中通以交变电流 ，产生的磁感应强度B=5.010-3sin100t. 求小 线圈中的感生电动势和感生电场强度。
B dS
s
B
y
C
kx cosω t xtgθ dx 0 1 3 kl tgθ cosω t 3
lx dx
l
D
x
1 3 kl tgθ cosω t 3 由法拉第电磁感应定律 d 1 3 2 dl εi kl tgθ ω sin ω t kl tgθ cosω t dt 3 dt
lBsindlcos
B
z
l
Bsin ldl
2
i d i Bsin ldl
2 0
L
a
r
l
b dl B
2
B L 2 sin >0 2 正号说明 电动势方向与积 分方向相同 从 a 指向b
2
思考：如何利用
（电动势方向 Oa）
（2）若为铜盘转动，视为铜棒并联。
（盘中心与边缘有电势差）
（3）用法拉第定律直接求解：
d εi dt
L N
O
设想回路OAM（如图）
t内转过θ 角, 磁通量变化
S
M
A
C
b
εiOab
d dB dS S dt dt dB dB SdS dt S dt
R
O
回路积分：
εiOab εiOa εiab εibO εiab
1 S Lh 2
则
C
b
i的方向可有楞次定律确定
1 2 BS B L θ 2 1 2 θ 1 2 εi BL BL ω t 2 t 2
方向由楞次定律单独确定（请判定电位高低！）
例6、一长直导线中通电流 I=10A，有一长为L=0.2m的 金属棒与导线垂直共面。当 棒以速度v=2m/s平行于长直 导线匀速运动时，求棒产生 的动生电动势。
1
例2、半径为R的圆柱形空间区域，充满着均匀磁场。 已知磁感应强度的变化率大于零且为恒量。问在任意 半径r处感生电场的大小以及棒AB上的感生电动势。
dB 解： 由 0可知Ei的方向 dt （如图， 如何确定？）
Ei
R
C Ei
r
本题，在C内外均有： a
I
a
v
b
解：
I
a
v
b
x
dx
d
L
（a点电势高）Va
Vb
可否用磁通量变化来做？
复杂！
例7 、在空间均匀的磁场 B Bz中
导线ab绕z轴以 匀速旋转 导线ab与z轴夹角为 设 ab L l z
求：导线ab中的电动势 解：建坐标如图
在坐标l 处取dl
B
l
d Ll
b
d dt
进行计算
二、磁场中转动的闭合线圈
考虑线圈法线与B线有 角，则 BS cos θ
d dθ ε i N NBS sin θ dt dt
N .
S
θ
设线圈以恒定角速度旋转,则: (θ ω t ) 交变电动势
（也可用动生电动势得到此结果）
关于线圈在磁场中转动问题，需指出以下点： （1）对于其它形状线圈，计算方法相同； （2）以上设线圈为刚性，即面积S为常量,而 =常量； （3）以上绕对称轴旋转，若绕某一边旋转， 总感应电动势如何？ 不变！为什么？
法拉第定律 电动势定义
B εi Ei dl dS L S t
电磁场的基本方程之一
讨论： 1. 此式反映感生电场由变化的磁场产生； 2. 式中的S是以L 为周 S 界的任意曲面; L 3. 感生电场的环流不等于 零，所以又称“有旋电场”（非保守场） 4.式中负号表示感生 B 电场与磁场增量的方 Ei t 向成左手螺旋关系。
a
Ei
C Ei
b
Ei cos dx
0
R r h
dx
r dB Ei (大小) 2 dt 2 2 R L 4 h cos θ r r
Ei
关于εi 解法（二）：
假想回路Oab
回路磁通量的变化： a
Ei dB 1 d (mv) dt eR dt R F eEi
1 d R d B Ei 2R dt 2 dt
( π R B )
2
于是： B 1 B
2
电磁铁的励磁电流随时间交变（从而B变）,如图:
0 ~ T 4 , B向上（）且增大 ， 0 T 4 T 2 3T 4 t Ei 逆时针； T 4 ~ T 2 , B向上（）且减小 ， Ei 顺时针； 加速有效 T 2 ~ 3T 4 , B向下 且减小 ， Ei 顺时针； 加速无效 3T 4 ~ T , B向下 且增大 ， Ei 逆时针； 0 ~ T 4加速足够！
L
Ei dl Ei dl Ei 2πr
L
b
Ei
逆时针为正向，则 dS 与 B反向
（1）
r R (C内)
则
（2）
r dB Ei 2 dt
Ei
r R (C外)
R dB Ei 2r dt
2
0
R
r
（3） 棒ab的感生电动势
L i Ei dx 0 L
（2）环流不同。（电场线不同）
解：
r B
2
I
3
I B
0.1 5 10 sin 314t
2
εi
L
Ei dl Ei 2π r
εi 0.05 Ei cos 314t 2π r 2 3.14 0.1
0.08 cos 314t (V m )
l Ek F ( e) v B
非静电场：
- v
F a
b端积聚+q a端积聚-q
出现电势差：
一旦接通，便有电流：ab为内电路 （Ii从低电位到高电位） 电动势：
Vb Va
§10-3 感生电 动势 感生电场
§10-3 感生电动势
d d εi (B S ) dt dt
感生电场
动生电动势
B不变 ，变(切割)或夹角变 S S不变 , 夹角也不变 ， 变 B
感生电动势
变