2020数学 必修 第一册 人教B版(新教材)第二章 章末复习课
由题意知 x1＋x2＝0，∴k＝1. (3)解 当 k>0 时，x1＝1，x2＝－1k<0，不符合题意；
当－1≤k＜0 时，x1＝－1k，x2＝1，2＜xx12＜3，
－1>2， 得 －1k<3，解得－12<k<－13；
k 当 k<－1 时，x1＝1，x2＝－1k， 由 2＜x1＜3，得 2＜－k＜3，
(1)证明 ∵关于 x 的一元二次方程 kx2－(k－1)x－1＝0，a＝k，b＝－(k－1)，c
＝－1，Δ＝b2－4ac＝[－(k－1)]2－4k×(－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，
∴关于 x 的一元二次方程 kx2－(k－1)x－1＝0 有两个实数根.
(2)解 由根与系数的关系知 x1＋x2＝k－1， k
所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
a2＋b2 所以 b a －(a＋b)>0，
即a2＋b2>a＋b. ba
要点三 均值不等式的应用
均值不等式： ab≤a＋b(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不 2
等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在均
值不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，
x2 解得－3＜k＜－2.
综上所述，关于 x 的一元二次方程 kx2－(k－1)x－1＝0 有两个“梦想根”时，k
－1，－1 的取值范围为 2 3 ∪(－3，－2).
要点二 不等关系与不等式的解法
不等关系与不等式的解法是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填
空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用.
所以
ab
的取值范围为(－6，－2)，b2的取值范围为
1，2 3
.
a
1，1 【训练 2】 (1)已知不等式 ax2＋5x＋b>0 的解集为 3 2 ，则 a＝________，b
＝________.
(2)已知 a>0，b>0，且 a≠b，比较a2＋b2与 a＋b 的大小. ba
(1)解析 由已知可得 a<0 且1，1为方程 ax2＋5x＋b＝0 的两根，由根与系数的关 32
(1)根的判别式Δ＝b2－4ac，
①Δ>0 时，方程的解集为
－b＋ b2－4ac，－b－ b2－4ac
2a
2a
；
－b ②Δ＝0 时，方程的解集为 2a ；
③Δ<0 时，方程的解集为.
(2)根与系数的关系
x1＋x2＝－ba， 设 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则有 x1x2＝ac. 3.不等式的性质及其推论 性质 1 如果 a＞b，那么 a＋c＞b＋c. 性质 2 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc. 性质 3 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc. 性质 4 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c. 推论 1 如果 a＋b＞c，那么 a＞c－b. 推论 2 如果 a＞b，c＞d，那么 a＋c＞b＋d. 推论 3 如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd. 推论 4 如果 a＞b＞0，那么 an＞bn(n∈N，n＞1). 推论 5 如果 a＞b＞0，那么 a＞ b. 4.一元二次不等式的解法 因式分解法与配方法 含参数的一元二次不等式注意讨论参数 5.利用均值不等式求最大(小)值问题 利用均值不等式求最大(小)值问题要注意“一正，二定，三相等”.常常需要对 代数式进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型.
x
x
当且仅当 4x＝a，即 x＝ a时等号成立，
x
2
此时 y 取得最小值 4 a.
又由已知 x＝3 时，y 取得最小值，
∴ a＝3，即 a＝36. 2
答案 36
要点四 恒成立问题
对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种
(1)变更主元法：
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.
1＋1＝－5，
3 2 a a＝－6，
系得， 1×1＝b，
∴ b＝－1.
32a
答案 －6 －1
(2)解
a2＋b2 ba
－(a＋b)＝a2－b＋b2－a
b
a
＝a2－b2＋b2－a2＝(a2－b2)
1－1 ba
b
a
＝(a2－b2)a－b ab
＝（a－b）2（a＋b）， ab
因为 a>0，b>0，且 a≠b，
A 成立，因为 c<b，所以 ac<ab，即 ab>ac.
B 成立，因为 b<a，b－a<0，所以 c(b－a)>0.
C 不一定成立，当 b＝0 时，cb2<ab2 不成立.
D 成立，因为 c<a，所以 a－c>0，所以 ac(a－c)<0. (2)∵x2＋6x＋10＝(x＋3)2＋1>0，∴原不等式的解集为.
【例 2】 (1)如果 a，b，c 满足 c<b<a 且 ac<0，那么下列选项中不一定成立的
是( )
A.ab>ac
B.c(b－a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a－c)<0
(2)不等式 x2＋6x＋10<0 的解集是( )
A.
B.R
C.(5，＋∞)
D.(－∞，2)
解析 (1)因为 c<a，且 ac<0，所以 c<0，a>0.
[网络构建]
章末复习课
[核心归纳]
1.等式的性质
(1)如果 a＝b，则对任意 c，都有 a＋c＝b＋c；
(2)如果 a＝b，则对任意不为零的 c，都有 ac＝bc；
(3)如果 a＝b，则对任意 c，都有 a－c＝b－c；
(4)如果 a＝b，则对任意不为零的 c，都有a＝b. cc
2.一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集及其根与系数的关系
1＋2 ab
(2a＋b)
＝4＋b＋4a≥4＋2 b·4a＝8，
ab
ab
2a＋b＝1，
a＝1， 4
当且仅当 b＝4a， ab
即 b＝1 时等号成立. 2
∴1＋2的最小值为 8. ab
(2)∵a2＋b2＝1，∴2a2＋b2＝2. 2
又∵a 是正数，b 也是正数，
∴y＝a 1＋b2＝ a2·（1＋b2）
＝ 1 · 2a2（1＋b2）≤ 1 ·2a2＋1＋b2＝3 2，
x2 x1
解 (1)假设存在实数 k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立. ∵一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 有两个实数根，
4k≠0，
∴
解得 k＜0.
Δ＝（－4k）2－4×4k（k＋1）＝－16k≥0，
x1＋x2＝1， 又 x1，x2 是一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根，∴ x1x2＝k＋1.
∵m∈[1，3]，
∴x2－x＋1< 6 x2－x＋1<6 x2－x－1<0 1－ 5<x<1＋ 5.
m
3
2
2
|1－ 5<x<1＋ 5
∴x 的取值范围为 x 2
2.
法二 y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6.
由题意知 y<0 对 m∈[1，3]恒成立. ∵x2－x＋1>0，∴y 是关于 m 的一次函数，且在[1，3]上 y 随 m 的增大而增大，
要点一 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决 某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及 其根与系数的关系的应用. 【例 1】 已知 x1，x2 是一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立？若存在，求出 k 的值；若不 存在，请说明理由. (2)求使x1＋x2－2 的值为整数的实数 k 的整数值.
4k
∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x21＋x22)－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－k＋4k9＝－32.∴k＝95.
又 k<0，∴不存在实数 k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立.
(2)∵x1＋x2－2＝x21＋x22－2＝（x1＋x2）2－4＝ 4k －4＝－ 4 ，
∴y<0 对 m∈[1，3]恒成立等价于 y 的最大值<0，
即当 m＝3 时，3(x2－x＋1)－6<0.
又 3(x2－x＋1)－6<0 x2－x－1<0 1－ 5<x<1＋ 5，
2
2
|1－ 5<x<1＋ 5
∴x 的取值范围为 x 2
2.
【训练 4】 求使不等式 x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围.
x2－7x＋12>0，
即
解得 x<2 或 x>4.
x2－5x＋6>0，
所以 x 的取值范围是{x|x<2 或 x>4}.
2
22
4
2a2＝1＋b2， a＝ 3，
当且仅当
a2＋b2＝1， 2
即
2 b＝ 2
时，y＝a
a>0，b>0，
2
1＋b2有最大值3
【训练 3】 y＝4x＋a(x>0，a>0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝________. x
解析 y＝4x＋a≥2 4x·a＝4 a(x>0，a>0)，
新教材数学人教B版选择性必修第一册课件：第二章平面解析几何章末复习与总结
P(x，5－3x)，则
d＝
|x－5＋3x－1| 12＋（－1）2
＝
2
，化简得|4x－6|＝2，即
4x－6＝±2，即 x＝1 或 x＝2，故 P(1，2)或(2，－1).
(2)∵l1∥l2，∴m2 ＝m8 ≠－n1 ， ∴mn≠＝－4，2 或mn≠＝2－. 4，
①当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，
5
，解得 n＝－18 或 n＝22.
故所求直线的方程为 2x－4y＋9＝0 或 2x－4y－11＝0.
[答案] (1)C (2)2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0 或 2x－4y＋9＝0 或 2x－ 4y－11＝0
圆的方程
[例 4] (1)圆心在 y 轴上且通过点(3，1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是( )
分别为________．
[解析] (1)圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心 C(1，1)，半径 r＝1.根据 对称性可知四边形 PACB 的面积等于 2S△APC＝2×12 ×|PA|×r＝|PA|＝ |PC|2－r2 ＝
|PC|2－1 .要使四边形 PACB 的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心 C 到直线 l：3x－4y＋11＝0 的距离 d＝|3－342＋＋4121| ＝150 ＝2，所以四边形 PACB 面积的最小值
(2)由直线 l 与圆 C 相交可知，直线 l 的斜率必定存在，且不为 0，设直线 l 的方程为 k0x－y－k0＝0，圆心(3，4)到直线 l 的距离为 d，
因为|PQ|＝2 4－d2 ＝2 2 ，所以 d＝ 2 ， 即|3k0k－20 4＋－1k0| ＝ 2 ，解得 k0＝1 或 k0＝7， 所以所求直线 l 的方程为 x－y－1＝0 或 7x－y－7＝0.
高数数学必修一《第二章 章末复习课》教学课件
考点三 一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不 等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联 系这三个“二次”的枢纽． (1)确定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判别式Δ＞0时 解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两 种情况进行讨论． (2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和 方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之 间的关系．
跟踪训练4 已知函数y＝x2＋ax＋2. (1)若对∀x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2恒成立，求实数a的取值 范围； (2)若∃x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2成立，求实数a的取值范 围．
考点五 不等式在实际问题中的应用 1．不等式的实际问题常以函数为背景，多以解决实际生活、生产中 的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值． 2．通过对不等式实际问题的考查，提升学生数学建模和数学运算素 养．
所以不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．
(2)由x2－x＋a－a2≤0，得(x－a)[x－(1－时，不等式的解集为{x|a≤x≤1－a}，
当a＝1－a，即a＝12时，不等式的解集为
1 2
，
当a>1－a，即a>12时，不等式的解集为{x|1－a≤x≤a}，
综上，当a<12时，不等式的解集为{x|a≤x≤1－a}，当a＝12时，不等式的解集为
例3 (1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解是α<x<β，其中β>α>0，求不 等式cx2＋bx＋a<0的解集；
(2)解关于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0(a∈R)．
新人教B版必修1高中数学第二章函数章末总结
么,定义域仍然是解析式中自变量的取值范围.
类型二 求函数的解析式 【例2】 (2018·河北石家庄辛集中学上期中)已知二次函数f(x)满 足 f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式;
解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为 f(0)=1, 所以 c=1,f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x,
类型三 分段函数
【例 3】
已知
a∈R,函数
f(x)=
1
1 x
,
x
0
a 1 x 1, x 0
(1)证明:函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(1)证明:在(0,+∞)上任取两个实数 x1,x2,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(1- 1 )x1
(1- 1 )= 1 - 1 = x1 x2 .因为 0<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1x2>0.所以 x1 x2 <0,即
.
解析:(3)函数 f(x2)的定义域为[-1,2],所以 0≤x2≤4, 在 f(2x-1)中令 0≤2x-1≤4,
所以 1 ≤x≤ 5 ,
2
2
所以
f(2x-1)的定义域为
1 2
,
5 2
.
答案:(3)
1 2
,
5 2
方法技巧
求函数的定义域,对于已知函数解析式求定义域问题,就是
使解析式有意义的自变量x的范围;复合函数求定义域要明确中间变量是什
f(2x-3)的定义域是
.
解析:(2)因为f(2x+3)的定义域是{x|-4≤x<5}, 所以-5≤2x+3<13 所以f(2x-3)中2x-3∈[-5,13), 所以x∈[-1,8) 所以f(2x-3)的定义域是[-1,8). 答案:(2)[-1,8)
高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用章末复习课讲义新人教B版选修4_5
第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用[自我校对]①向量 ②代数可证明一些简单不等式．【例1】 已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. [精彩点拨] 设m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)，利用柯西不等式的向量形式证明，或把式子左边补上系数1，直接利用柯西不等式求解．[规范解答] 法一：因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)．则|m ·n |2＝(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2， |m |2·|n |2＝3[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)] ＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48. ∵|m ·n |2≤|m |2·|n |2，∴(13a ＋1)＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤48， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.法二：由柯西不等式得(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤(12＋12＋12)[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)]＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.1．设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立的条件．[证明] 由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立.应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例2】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.[精彩点拨] 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a，根据不等式的特点，利用排序不等式证明．[规范解答] 由于不等式关于a ，b ，c 对称， 可设a ≥b ≥c >0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a，及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．2．在△ABC 中，h a ，h b ，h c 为边长a ，b ，c 的高， 求证：a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c . [证明] 不妨设a ＞b ＞c ，则对应的角A ＞B ＞C ，A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A ＞sin B ＞sin C . 由排序原理得a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥a sin B ＋b sin C ＋c sin A .在△ABC 中，a sin B ＝h c ，b sin C ＝h a ，c sin A ＝h b ， ∴a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c .们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．【例3】 已知实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[精彩点拨] 由x 2＋4y 2＋9z 2＝x 2＋(2y )2＋(3z )2，x ＋y ＋z ＝x ＋12·2y ＋13·3z ，联想到柯西不等式求解．[规范解答] 由柯西不等式： [x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7， 所以7a 6＝7，得a ＝36.当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.3．求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． [解] 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值．【例4】 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． [精彩点拨] 不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，利用排序不等式求解． [规范解答] 不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1,2,3，…，n )的一个排列，根据排序不等式，得F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x21·1x1＋x22·1x2＋…＋x2n·1x n＝x1＋x2＋…＋x n＝P(定值)，当且仅当x1＝x2＝…＝x n时等号成立，∴F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1的最小值为P.4．设x1，x2，…，x n取不同的正整数，则m＝x112＋x222＋…＋x nn2的最小值是( ) A．1B．2C．1＋12＋13＋…＋1nD．1＋122＋132＋…＋1n2[解析]设a1，a2，…，a n是x1，x2，…，x n的一个排列，且满足a1<a2<…<a n，故a1≥1，a2≥2，…，a n≥n.又因为1>122>132>…>1n2，所以x11＋x222＋x332＋…＋x nn2≥a1＋a222＋a332＋…＋a nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n×1n2＝1＋12＋13＋…＋1n.[答案] C在利用平均值不等式求函数最值时．一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．【例5】某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[精彩点拨] (1)设每件定价为t 元，表示总收入，根据题意列不等式求解．(2)利用销售收入≥原收入＋总投入，列出不等式，由题意x ＞25，此时不等式求解．[规范解答] (1)设每件定价为t 元， 依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －25t ×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．5．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [解析] 依题意得a －b ＞0，所以a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b (a －b )的最小值是4，选C.[答案] C思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等整体应用，把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．【例6】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.[精彩点拨] 将不等式的左边进行变形，再利用柯西不等式证明． [规范解答] 左端变形ab ＋c＋1＋bc ＋a＋1＋ca ＋b＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，∴只需证此式≥92即可．∵ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b＝12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b≥12(1＋1＋1)2＝92， ∴ab ＋c ＋ba ＋c＋ca ＋b ≥92－3＝32.6．已知a ，b ，c 为正数，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． [证明] 不妨设0≤a ≤b ≤c ，则a 2≤b 2≤c 2， 由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b .以上两式相加，得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.[答案] D2．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________． [解析] 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.[答案]53．已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy .[证明] 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 4．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解] (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.5．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.。
第二章 一元二次函数、方程和不等式复习课-(新教材人教版必修第一册)(21张PPT)
＜m}，则 m＝________.
根，
m>1， 且m>1⇒1＋m＝6a，
1·m＝a
⇒ma＝＝22.， ]
不等式恒成立问题 【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都 成立，则实数m的取值范围是________． (2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零， 求x的取值范围．
c＜a 对于C： b2≥0⇒cb2≤ab2 cb2＜ab2，C错，即C不一定成立． 对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C.]
不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判 断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对， 不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩 下的就是正确答案了.
数学（人教版） 必修第一册
第二章 一元二次函数、方 程和不等式
章末复习课
不等式的性质
【例 1】 如果 a，b，c 满足 c＜b＜a 且 ac＜0，则以下列选项中不
一定成立的是( ) A．ab＞ac C．cb2＜ab2
B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0
C [c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0. 对于A： ba＞＞c0⇒ab＞ac，A正确． 对于B： bc＜＜0a⇒b－a＜0⇒c·(b－a)＞0，B正确．
5．若不等式 ax2－2x＋2>0 对于满足 1<x<4 的一切实数 x 恒成立，求 实数 a 的取值范围．
[解] ∵1<x<4， ∴不等式 ax2－2x＋2>0 可化为 a>2xx－2 2. 令 y＝2xx－2 2，且 1<x<4， 则 y＝2xx－2 2＝－21x－122＋12≤12，
人教高中数学必修一B版《章末复习提升课》函数研讨复习说课教学课件
【解】 (1)证明：∀x1<x2<－2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x＋1 2－x2x＋2 2＝(x12＋(x21)－(xx2＋2) 2). 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增.
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第三章 函 数
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C.[－5，5]
D.[－3，7]
(3)求下列函数的值域：
①y＝2xx－＋31；
②y＝x＋4 1－x；
③y＝1x－2x，x∈－2，－12.
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第三章 函 数
【解】 (1)选 D.由题意得，13－x－x>1≠0，0，
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①若 f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由 a≤g(x)≤b 解
出；
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第三章 函 数
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②若 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在[a，b] 课件
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上的值域.
(2)1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝x1x－1 a－x2x－2 a
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高中数学 第二章 等式与不等式学案(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案
章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧ 几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a >b 且ab >0，则1a <1b ”，“a >b ，c <d ，则a －c >b －d ”，“a >b >0，c >d >0，则a d >bc ”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实数根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a(x 1<x 2) 有两相等实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2} {x |x ∈R ，x ≠－b2a}R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的{x |x 1<x <x 2}∅∅解集3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ca ，若bc＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．解析：方法一：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x 2－x －12>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2<0，x 2－x －12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－2，x <－3或x >4或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－3<x <4.解得x >4或－3<x <－2.所以原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}． 方法二：令(x ＋2)(x 2－x －12)＝0， 得x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝4. 将－3，－2,4标在数轴上，如图．由图可知原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是 (1)将f (x )最高次项系数化为正数．(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f (x )＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2 解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．解析：原不等式可变形为x 2＋2x －3x 2－x －6>0，故原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x 2－x －6>0；②⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0，x 2－x －6<0.解①得x <－3或x >3；解②得－2<x <1.综上可得，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型 含参不等式恒成立问题的求解策略 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3 对于x ∈R ，不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．思路探究：不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，可转化为函数y ＝x 2－2x ＋3－m 图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.解析：不妨设y ＝x 2－2x ＋3－m ，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使y ≥0(x ∈R )恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m )≤0，解得m ≤2.故实数m 的取值范围为(－∞，2]．归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．解析：∵1<x <4，∴不等式ax 2－2x ＋2>0可转化为a >2x －2x 2，令y ＝2x －2x 2＝－2(1x －12)2＋12≤12.∵14<1x<1， ∴当1x ＝12，即x ＝2时，函数取得最大值12，∴a >12，即实数a 的取值范围为(12，＋∞)．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6. 解析：易知2＋x 2>0， 所以y ＝3(2＋x 2)＋162＋x 2－6≥23(2＋x 2)·162＋x 2－6＝83－6，当且仅当3(2＋x 2)＝162＋x 2，即x ＝±433－2时，等号成立，此时y min ＝83－6. 2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．解析：由0<x <1，可得y ＝x 1－x 2＝x 2(1－x 2)≤x 2＋1－x 22＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，即x ＝22时，等号成立，此时y max ＝12. 3．技巧三：分子常数化典例7 设x ∈(0，＋∞)，求函数y ＝2xx 2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．解析：由题意知，y ＝2x x 2＋4＝2x ＋4x .∵x ∈(0，＋∞)，∴x ＋4x ≥2x ·4x＝4， 当且仅当x 2＝4， 即x ＝2时，等号成立， 此时，y max ＝12.归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。
第二章-培优帮-章末总结高中数学必修第一册人教B版
培优帮 章末总结
例1 ［教材改编P80练习B T3］已知 > 0, > 0, + = 1,求证：
1
+
1
+
≥
25
.
4
【解析】∵ 1 = + ≥ 2
∴ +
1
1
+ ≥
2 2
,∴ 1 ≥ 4（当且仅当 = 时取等号）.
4 +
1
1
−
=
−
,即
= + .
例8 (2022·全国高中数学联赛重庆赛区初赛)若不等式 + ≤ 5 + 对任意正
实数,都成立，则实数的最小值为____.
【解析】由柯西不等式的变形可知 5 + =
+
5+
≤
30
，当且仅当 1
5
则的最小值为
5
30
因此⑨式成立，故原不等式成立.
命题点1 利用均值不等式求最值
例2 (2023·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)若不等式 + 2 + 2 ≥ + 对任
−
意满足 + ≥ 的正实数,,均成立，则实数 的最大值为_______.
【解析】由 + ≥ ,得
1
1
2
≥ +
15
1 =
16×4
1
4
⑥,当且仅当 = =
17
.
4
下面给出例1的其他证法，证法较难，技巧性较强.
人教版数学必修一第二章-基本初等函数复习课共24张PPT(共24张PPT)
4.若loga2＜logb2＜0，则( B )
(A)0＜a＜b＜1
(B)0＜b＜a＜1
(C)1＜b＜a
(D)0＜b＜1＜a
5.方程loga(x+1)+x2＝2(0＜a＜1)的解的个
数是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无法确定
1.比较下列各组中两个值的大小，并说明 理由.
2．设函数. f (x) = lg(x + x2 +1) (1)确定函数f (x)的定义域； (2)判断函数f (x)的奇偶性； (3)证明函数f (x)在其定义域上是单调 增函数；
5.如图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx， y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(D )
(A)a＜b＜1＜c＜d (B)a＜b＜1＜d＜c (C)b＜a＜1＜c＜d (D)b＜a＜1＜d＜c
6．已知函数
f (x) = a x -1 ax +1
(a＞1பைடு நூலகம்.
（1）判断函数f (x)的奇偶性； （2）证明f (x)在(－∞，+∞)上是增函数.
1 计算
2 log5 2 + log5 3
log
5
10
+
1 2
log 5
0.36
+
1 3
log 5
8
=1
2 求函数y = log x-1(3 - x)的定义域
3.(lg 2)2 lg 250 + (lg 5)2 lg 40 =
12 换底公式
注意换底公式在对数运算中的作用：
①公式
顺用和逆用；
②由公式和运算性质推得的结论
高中数学新教材同步必修第一册 第2章 章末复习课
五、通过构造数学模型解决生活中的问题
1.不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优 化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据 题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算 素养.
例5 某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件， 若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加 8 x成，要求售价不
跟踪训练1 若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为_{_a_－__b__|－__1_≤____ _a_－__b_≤___6_}_.
解析 ∵－1≤b≤2， ∴－2≤－b≤1， 又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6.
二、利用基本不等式求最值
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命 题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际 问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上 是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高 考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养.
解 将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数， 当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可， 即xx22＋＋46xx＋＋33≥≥00，， 解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6， 故 x 的取值范围是{x|x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6}.
反思感悟 解决不等式恒成立、能成立问题的方法 (1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合. (2)分离参数法. (3)转化为最大(小)值问题.
a>0， ⇔Δ<0，
a<0， ax2 ＋ bx ＋ c<0(a≠0) 恒 成 立 ⇔ Δ<0， ax2 ＋ bx ＋ c≥0(a≠0) 恒 成 立