§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数(2015届高三数学复习)
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
解析：角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝2kπ＋π，所以 α ＝2kπ＋π－β，k∈Z，答案为 C. 答案：C
2．弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 用符号 rad 表示． (2)角 α 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α 的弧 l 度数的绝对值是|α|＝r. (3)角度与弧度的换算
1．角的有关概念 π (1)锐角的集合是 {α|0＜α＜ } ． 2 π (2)第一象限角的集合是 {α|2kπ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z} ． 2 (3)终边在 x 轴上的角的集合是 {α|α＝kπ，k∈Z} ． π (4)终边在 y 轴上的角的集合是 {α|α＝kπ＋2，k∈Z} ．
• •
2．三角函数的符号 在第一象限三种三角函数的值全为 ，在第二象限只有 正数 的值为正数，在第三象限只有 的值为正数，在第四象限只有 的值为正数．
• 【归纳提升】 所有与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示 为β＝k·360°＋α，k∈Z；在确定α角所在象限时，有时需要对整数 k的奇、偶情况进行讨论．
针对训练 3 7 1．设 α1＝－570° ，α2＝750° ，β1＝ π，β2＝－ π. 5 3 (1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限； (2)将 β1，β2 用角度制表示出来，并在－720° ～0° 之间找出与它 们终边相同的角．
答案：D
题型三
扇形的弧长、面积公式的应用 已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l.
(1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长 l； (2)若扇形的周长为 L cm，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ π (3)若 α＝ ，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 3
高三数学一轮复习知识点专题4-1任意角和弧度制及任意角的三角函数
高三数学一轮复习知识点专题专题专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考情分析】1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 【重点知识梳理】 知识点一 角的概念 1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．知识点二 弧度制及应用 1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式知识点三 任意角的三角函数有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线【典型题分析】高频考点一 象限角的判断【例1】（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0【答案】D 【解析】当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；【变式探究】（2020·黑龙江省宁安市一中模拟）设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅【答案】B【解析】由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B 。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案 解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是 答案 解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个
负数 ，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝
π
.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的 弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
高考一轮复习：任意角、弧度制及任意角的三角函数
第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2015年高考会这样考】1．考查三角函数的定义及应用．2．考查三角函数值符号的确定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．基础梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫β| β＝π2＋k π，k ∈Z ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝k π2，k ∈Z. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案 C2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案 A3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由sin α＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．答案 C4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为()．A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－12 解析 由三角函数的定义可知，r ＝5，cos α＝－15＝－55. 答案 A5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析 根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y ＜0，sin θ＝y 16＋y 2＝－255⇒y ＝－8. 答案 －8考向一 角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角； (3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限． [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断． 解 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3， ∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z. (2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )． 依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜187，k ∈Z .∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21. (3)∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . ∴2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z .∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y 轴非正半轴上． ∵k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，当k ＝2m (m ∈Z )时，m ·360°＋45°＜α2＜m ·360°＋90°； 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，m ·360°＋225°＜α2＜m ·360°＋270°； ∴α2为第一或第三象限角．(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z . 【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A ．α＝－β B ．α＝180°＋β C ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )解析 对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k ·360°±180°(k ∈Z )． ∴α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )． 答案 D考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24 m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．[审题视点] 根据三角函数定义求m ，再求cos θ和tan θ. 解 由题意得，r ＝3＋m 2，∴m 3＋m 2＝24m ，∵m ≠0，∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153. 当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan ＝y x ＝－5－3＝153.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】 (2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45解析 取终边上一点(a,2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 答案 B考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形，可得圆心角α的值； (2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032， ∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解 设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40， S ＝12lr ＝12r (40－2r )＝r (20－r )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100.当且仅当r ＝20－r ，即r ＝10时，S max ＝100.∴当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.[审题视点] 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围． 解(1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．【训练4】 求下列函数的定义域： (1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．(2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r(r＝x2＋y2＞0)，则sin α＝yr、cos α＝xr、tan α＝yx分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝36x，求sin α、tan α的值．只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．[解答示范] ∵P(x，－2)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝x2＋2，(2分)又cos α＝36x，∴cos α＝xx2＋2＝36x，∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝2 3.(6分)当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数定义，有sin α＝－66，tan α＝－55；(9分)当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 古诗词/shici/∴sin α＝－66，tan α＝55.(12分)当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2k π＋π(k ∈Z )，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．【试一试】 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.[尝试解答] 取直线3x ＋4y ＝0上的点P 1(4，－3)，则|OP 1|＝5，则sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34，故sin α＋cos α＋45tan α＝－35＋45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＝－25；取直线3x ＋4y ＝0上的点P 2(－4,3)，则sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.故sin α＋cos α＋45tan α＝35－45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－45. 综上，sin α＋cos α＋45tan α的值为－25或－45.。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。
第四章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
题型二 弧度制及其应用
例 2 (1)已知一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，则此扇形的弧积为____3____ cm2.
由已知得 α＝π3，R＝10 cm， 所以 l＝αR＝π3×10＝130π(cm)， S 扇形＝12αR2＝12×π3×102＝530π(cm2).
√C.第三、四象限
D.第一、四象限
因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边 在第三、四象限.
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知识过关
一、单项选择题 1.给出下列四个命题，其中正确的是 A.－34π是第四象限角 B.43π是第二象限角 C.－400°是第一象限角
√D.－315°是第一象限角
思维升华
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三 角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽 略角的终边在坐标轴上的情况.
跟踪训练 3 (1)已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝
A.2kπ－45°(k∈Z)
B.k·360°＋94π(k∈Z)
√C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋54π(k∈Z)
自主诊断
与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制 不能混用，所以只有 C 正确.
自主诊断
3.(必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ
题型三 三角函数的概念
例 3 (1)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系中，角 α 以 x 轴的非负半轴为
高考数学复习考点知识专题讲解课件18---任意角、弧度制及任意角的三角函数
新高考 大一轮复习 · 数学
(3)象限角：使角的顶点与 原点 重合，角的始边与 x轴的非负半轴 重合，那 么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何一个象限．
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2．弧度制
(1)定义：把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，
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【思维升华】 (1)利用三角函数的定义，已知角 α 终边上一点 P 的坐标可求 α 的 三角函数值；已知角 α 的三角函数值，也可以求出点 P 的坐标． (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角 的范围．
.
答案：α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z
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新高考 大一轮复习 · 数学 (2)若－34π<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察 sinα，cosα，tanα 的大小关系是
________． 解析：如图，作出角 α 的正弦线 MP，余弦线 OM，正切线 AT，
观察可知 sinα<cosα<tanα. 答案：sinα<cosα<tanα
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题组三 易错排查
5．集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部分)是(
)
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解析：当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时 α 表示的范围与π4≤α≤π2表 示的范围一样；当 k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时 α 表示 的范围与 π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选 C. 答案：C
2015届高考数学一轮复习角的概念及任意角三角函数学案 理
2015届高考数学一轮复习角的概念及任意角三角函数学案理知识梳理： (阅读教材必修4第2页—第17页)(一)、角的概念的推广1、角的概念：2、正角、负角和零角：3、象限角：4、终边相同的角：所在与终边相同的角，连同在内的角可以构成一个集合5、终边落在x轴上的角的集合：；终边浇在y轴上的角的集合：。
（二）、弧度制1、角的度量：角度制：弧度制：2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度是一个负数，零角的弧度数是0。
3、角度制与弧度制之间的换算关系：==；1rad=（4、弧度制下的弧公式与扇形的面积公式：（三）任意角的三角函数：1、设任意角的终边上任意一点p（除原点外）的坐标为（x，y），它到原点的距离为r=。
（1）、比值 叫做的正弦，记作sin ，即（2）、比值 叫做的余弦，记作cos ，即（3）、比值 叫做的正切，记作tan ，即s 2、单位圆中的三角函数线如图： Sin =MP ，cos =OM ，tan =AT一、 题型探究：探究一：终边相同的角的集合的表示 例1：如图： 分别为终边落在OM 、ON ，位置上的两个角，且=，。
（1）、求终边落在圆阴影部分（含边界）时所有角的集合； （2）、求终边落在圆阴影部分（含边界），且满足条件{x|}的所有角的集合；X探究二：象限角的意义：X例 2：若是第二象限角，试确定2， 的终边所在的位置探究三：扇形的面积：例3：1弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形 的面积。
探究四：任意角的三角函数的定义：例4 【2014安徽理科】 .设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21-例5：(2014新课标I). 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直例6：若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则α∈（ B ）()A (,)24ππ-- ()B (,0)4π- ()C (0,)4π ()D (,)42ππ二、方法提升：1、 要确定所在的象限，只要把表示为=2k +，02），就可以由所在的象限判定所在的象限，则已知角的范围求未知角的范围是，通常要用不等式的性质来解决，切忌不要扩大角的范围。
高考数学总复习 第4章 三角函数与解三角形 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件 文 新人教
1 ． 设 集 合 M ＝ xx＝k2·180°＋45°，k∈Z ， N ＝
xx＝k4·180°＋45°，k∈Z
，那么(
A．M＝N
) B．M⊆N
C．N⊆M
D．M∩N＝∅
解析：选 B 法一：由于 M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z＝{…，
－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z
答案：153
[ 典 题 1] (1) 终 边 在 直 线 y ＝ 3 x 上 的 角 的 集 合 为 ________．
(2)若 sin α·tan α<0，且tcaons αα<0，则 α 是第________象限角．
[听前试做] (1)终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
(2)由 sin α·tan α<0 可知 sin α，tan α 异号，从而 α 为第二或 第三象限角；由tcaons αα<0，可知 cos α，tan α 异号，从而 α 为第三 或第四象限角．综上，α 为第三象限角．
考纲要求： 1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念 (1)角的形成 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转 到 另一个位置所成的 图形 ．
(2)角的分类
按不旋同转分方类向负零正角角角：：：按射按线顺逆没时时有针针旋方方转向向旋旋转转而而成成的的角角 按不终同边分位类置轴象角线限就角角是：：第角角几的的象终终限边边角落在在第坐几标象轴限上，这个
3．任意角的三角函数
(1)定义：设 那么 sin α＝
α
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 y ，cos α＝ x ，tan α＝ xy(x≠0) ．
高考数学(理)总复习课件： 任意角和弧度制及任意角的三角函数共44页
弧度制及任意角的三角函数
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，பைடு நூலகம் 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
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川（理）
§4.1 任意角、弧度制 及任意角的三角函数
第四章 三角函数、解三角形
基础知识·自主学习
要点梳理
1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内的 一条射线 绕着端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形 ；②分类：角按旋 转方向分为 正角 、 负角 和 零角 ． (2)所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集
题型二 三角函数的概念 【例 2】 (1)已知角 θ 的顶点与原 点重合，始边与 x 轴的正半轴重 合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ 等于 ( B ) 4 3 3 4 A．－ B．－ C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0，且 <0， tan α 则角 α 是 ( C ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
(1)∵在 (0， π)内终边在直线 π y＝ 3x 上的角是 ， 3
∴终边在直线 y＝ 3x 上的 角 2α 的终边落在__________ π 角的集合为 {α|α ＝ 3 ＋ kπ ， ________________________． k∈Z}．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 角及其表示
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1】 (1)终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合是___________ ____________． 角 2α 的终边落在__________
(1)利用终边相同的角的集 合进行表示，注意对结果
(2)根据 α 的范围求 2α 的范
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在直角坐标平面内，对于始边为 x 轴非负半轴的角， ( C ) B．终边相同的角必相等 D．不相等的角终边一定不同 下列命题中正确的是 A．第一象限中的角一定是锐角 C．相等的角终边一定相同
(2)已知角 α＝45° ，在区间[－720° ，0° ]内与角 α 有相同终边的角 β＝
时，只需把这个角写成 第一、二 角 2α 的终边落在__________ [0,2π) 范围内的一个角 α 象限或 y 轴的非负半轴上 ________________________． 与 2π 的整数倍的和， 然后 判断角 α 的象限．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在直角坐标平面内，对于始边为 x 轴非负半轴的角， ( C ) B．终边相同的角必相等 D．不相等的角终边一定不同 下列命题中正确的是 A．第一象限中的角一定是锐角 C．相等的角终边一定相同 ________________.
基础知识 题型分类
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1) 取 终 边 上 一 点 (a,2a) ， a≠0， 根据任意角的三角函 5 数定义，可得 cos θ＝± ， 5 3 2 故 cos 2θ＝2cos θ－1＝－ . 5
思想方法
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题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的概念 【例 2】 (1)已知角 θ 的顶点与原 点重合，始边与 x 轴的正半轴重 合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ 等于 ( ) 4 3 3 4 A．－ B．－ C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0，且 <0， tan α 则角 α 是 ( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
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360° ＋α，k∈Z} ． 合是 S＝ {β|β＝k·
(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的 非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是 第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于 任何一个象限．
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题型二 三角函数的概念 【例 2】 (1)已知角 θ 的顶点与原 点重合，始边与 x 轴的正半轴重 合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ 等于 ( ) 4 3 3 4 A．－ B．－ C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0，且 <0， tan α 则角 α 是 ( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
二 ________________________． ∴角 2α 的终边落在第一、 象限或 y 轴的非负半轴上．
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题型一 角及其表示
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【例 1】 (1)终边在直线 y＝ 3x 3 {α|α＝kπ (2)∵2kπ ＋ π<α<2kπ ＋ π ， 上的角的集合是___________ 2 π ＋ ，k∈Z} ． ____________ k∈Z， 3 (2)如果 α 是第三象限角， 那么 ∴4kπ ＋ 2π<2α<4kπ ＋ 3π ， 第一、二 k∈Z. 角 2α 的终边落在__________
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【例 1】 (1)终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合是___________ ____________．
3 (2)∵2kπ ＋ π<α<2kπ ＋ π ， 2 k∈Z，
(2)如果 α 是第三象限角， 那么 ∴4kπ ＋ 2π<2α<4kπ ＋ 3π ， 角 2α 的终边落在__________ k∈Z.
(2)如果 α 是第三象限角， 那么 进行合并； ________________________． 围，再确定终边位置．
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【例 1】 (1)终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合是___________ ____________． (2)如果 α 是第三象限角， 那么
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(2)由 sin αtan α<0 可知 sin α，tan α 异号，从而 α 为第二或第三象限角． cos α 由 <0 可知 cos α，tan α tan α 异号，从而 α 为第三或第四 象限角， 故 α 为第三象限角．
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【例 1】 (1)终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合是___________ ____________． (2)如果 α 是第三象限角， 那么 角 2α 的终边落在__________ ________________________．
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(2)由 sin αtan α<0 可知 sin α，tan α 异号，从而 α 为第二或第三象限角． cos α 由 tan α <0 可知 cos α，tan α 异号，从而 α 为第三或第四 象限角， 故 α 为第三象限角．
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1 2 | α |· r 2
.
r ，扇形的面积公式： (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·
S＝
.
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3．任意角的三角函数 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin α＝ y ，cos α y ＝ x ，tan α＝ x (x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表： 三角 函数 sin α cos α 定义域 第一象 第二象 第三象 第四象 限符号 限符号 限符号 限符号 ＋ ＋ ＋ ＋ － － － － ＋ － ＋ －
要点梳理
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2．弧度制 (1)定义：把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫 做 1 弧度的角，正角的弧度数是 正数 ，负角的弧 度数是 负数 ，零角的弧度数是 0 . (2)角度制和弧度制的互化：180° ＝ π rad,1° ＝
π 180
1 2lr
180 ° π
rad,1 rad＝ ＝
－675° 或－315° ________________.
解析 (2)由终边相同的角关系知 β＝k· 360° ＋45° ，k∈Z，
∴取 k＝－2，－1，得 β＝－675° 或 β＝－315° .
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题型二 三角函数的概念 【例 2】 (1)已知角 θ 的顶点与原 点重合，始边与 x 轴的正半轴重 合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ 等于 ( ) 4 3 3 4 A．－ B．－ C. D. 5 5 5 5 cos α (2)若 sin αtan α<0，且 <0， tan α 则角 α 是 ( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
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【例 1】 (1)终边在直线 y＝ 3x {α|α＝kπ 上的角的集合是___________ π ＋ ，k∈Z} ． ____________ 3 (2)如果 α 是第三象限角， 那么
(2)利用终边相同的角的集 合 S＝{β|β＝2kπ＋α， k∈Z} 判断一个角 β 所在的象限
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