平行线截线段成比例与相似三角形性质

【平行线分线段成比例】平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. A B C D E F l1 l2 l3（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A E B【基础典例】 如 图 ，在 △ ABC 中 ，点 D ，E ，F 分 别 在 边 AB ，AC ，BC 上 ，且 DE ∥ BC ，EF ∥ AB ．若 AD=2BD ，则E D B A CDCCF 的 值 为（ BF）A.1 2B.1 3C.1 4D.2 3如 图 ， 若 DC ∥ FE ∥ AB ， 则 有 （）A.OD OC = OF OEB.OF OB = OE OAC.OA OD = AC OBD.CD OD = EF OE如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， AB=2 ， BC=3 ， 点 E 、 F 、 G 、 H 分 别 在 矩 形 ABCD 的 各 边 上 ， EF ∥ AC ∥ HG ， EH ∥ BD ∥ FG ， 则 四 边 形 EFGH 的 周 长 是 （ ）1A.10B.13C. 210D. 213）如 图 ， 点 F 是 ▱ ABCD 的 边 CD 上 一 点 ， 直 线 BF 交 AD 的 延 长 线 与 点 E ， 则 下 列 结 论 错 误 的 是 （A.ED DF = DA ABB.DE EF = BC FBC.BC BF = DE BED.BF BC = BE AE【提高典例】 已 知 ： E 是 菱 形 ABCD 的 边 DC 上 的 一 个 点 ， AE 交 BC 的 延 长 线 于 F ， EG ∥ AD 交 DF 于 G 点 ， 求 证 ： EG=EC ．直 角 三 角 形 ABC 中 ， ∠ ACB=90 °， BCDE 是 正 方 形 ， AE 交 BC 于 F ， FG ∥ AC 交 AB 于 G ， 求 证 ： FC=FGD C F A G B E如 图 在 四 边 形 ABCD 中 ， E 是 对 角 线 BD 上 一 点 ， EF ∥ AD ， EM ∥ BC ， 则EF EM + = AD BC2如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， E 为 AB 的 中 点 ， F 为 AD 上 一 点 ， EF 交 AC 于 G ， AF=2cm ， DF=4cm ， AG=3cm ， 则 AC 的 长 为 （ ）A ． 9cmB ． 14cmC ． 15cmD ． 18cm如 图 ， 直 线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ， 另 两 条 直 线 分 别 交 l 1 、 l 2 、 l 3 于 点 A 、 B 、 C 及 点 D 、 E 、 F ， 且 AB=3 ， DE=4 ， EF=2 ， 则 （ ） B ． BC ： DE=2 ： 3 C ． BC • DE=8 D ． BC • DE=6A ． BC ： DE=1 ： 2如 图 ， ▱ ABCD 中 ， M ， N 为 BD 的 三 等 分 点 ， 连 接 CM 并 延 长 交 AB 于 E 点 ， 连 接 EN 并 延 长 交 CD 于 F 点 ， 则 DF ： AB 等 于 （ A． 1： 3 ） B． 1： 4 C． 2： 5 D． 3： 8如 图 ， DE 是 △ ABC 的 中 位 线 ， F 是 DE 的 中 点 ， BF 的 延 长 线 交 AC 于 点 H ， 则 HE ： AH 等 于 （ A． 1： 1 B． 1： 2 C． 2： 1 D． 3： 2）3已 知 点 G 是 △ ABC 的 重 心 ， GP ∥ BC 交 AB 边 于 点 P ， BC= 33 ，则GP 等 于 （）A.3 3B.3C.3 2D.2 3 3已 知 平 行 四 边 形 ABCD ， 点 E 是 CD 的 中 点 ， 连 结 BE 并 延 长 与 AD 的 延 长 线 交 于 F ， 且 与 对 角 线 AC 交 于 M ． 求 证 ： BM • EF=BF • EM ．已知： l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ，AB m DE m  . 求证： .  BC n DF m  n已知：AB∥CD,EN∥CA,EM∥DB.求证：AN＝BM.已知：A、C、E 和 B、F、D 分别是 O 两边上的点，且 AB∥ED,BC∥FE.求证：OA·OD＝OC·OF如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AD 是 BC 边 上 的 中 线 ， E 在 AC 边 上 ， 且 AE ： EC=1 ： 2 ， BE 交 AD 于 P ， 则 AP ： PD4等于（）A． 1： 1B． 1： 2C． 2： 3D． 4： 3变式：如图，已知 AD 是△ABC 的中线，M 是边 AC 上的一动点， CM =nAM ，BM 交 AD 于 N 点。

AN AN 。

如图②，若 n  2 ，则 = = ND ND AN 如图③，若 n  3 ，则 。

= ND AN ⑵ 猜想， 与 n 存在怎样的关系？并证明你的结论。

ND AN CM  ⑶ 当n  时，恰有 ND AM⑴ 如图①，若 n  1 ，则。

变 式 ： 如 图 ， AD 是 △ ABC 的 中 线 ， E 是 AD 上 的 一 点 ， 且 AE=1 AD ， CE 交 AB 于 点 F ． 若 AF=1.2cm ， 则 AB= 3如 图 ， AD 是 △ ABC 的 边 BC 上 的 中 线 ， E 是 AC 边 上 的 点 ， BE 交 AD 于 点 G ， 且AE 3 = ，AD = 6 ， 求 AC 7AG 的 长 ．5已 知 如 图 ， 点 D 是 △ ABC 边 BC 上 一 点 ， 且 BD ： DC=2 ： 3 ， 过 点 C 任 作 一 条 直 线 与 AB 、 AD 分 别 交 于 点 F 和 E ， 求证：AE 5 AF = ED 3BF变 式 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， D 为 BC 上 的 一 点 ， E 为 AD 上 的 一 点 ， BE 的 延 长 线 交 AC 于 点 F ， 已 知BD 1 AE 1 AF = , = ,则 的值是 BC m AD n AC已 知 ： BD 为 △ ABC 边 AC 上 的 高 ， E 为 BC 上 一 点 ， CE=2BE ， ∠ CAE=30 °， 若 EF=3 ， BF=4 ， 则 AF 的 长 为变式： 如图， 在△ABC 中， D， E 为 BC 的三等分点， F 为 AC 中点， BF 分别交 AD， AE 于 M， N 两点。

求证： BM∶ MN∶NFA F6MN如 图 所 示 ， 设 M 是 △ ABC 的 重 心 ， 过 M 的 直 线 分 别 交 边 AB ， AC 于 P ， Q 两 点 ， 且AP AQ 1 1 = m, = n, 则 + = PB QC m n如 图 所 示 ， 在 △ ABC 中 ， 已 知 BD=2DC ， AM=3MD ， 过 M 作 直 线 交 AB ， AC 于 P 、 Q 两 点 ． 则AB 2 AC + = AP AQ如 图 ，在 △ ABC 中 ，E 为 AB 边 的 中 点 ，P 为 BE 上 一 点 ，过 点 P 作 PQ ∥ BC 交 AC 于 Q ，交 CE 于 M ，若 PM=2 ，MQ=3 ， 则 BC=如 图 ，点 A 1 ， A 2 ， A 3 ，… ，点 B 1 ， B 2 ， B 3 ，… ，分 别 在 射 线 OM ， ON 上 ． OA 1 =1 ， A 1 B 1 =2OA 1 ， A 1 A 2 =2OA 1 ， A 2 A 3 =3OA 1 ， A 3 A 4 =4OA 1 ， … ． A 1 B 1 ∥ A 2 B 2 ∥ A 3 B 3 ∥ A 4 B 4 ∥ … ． 则 A 2 B 2 = ， AnB n= （n 为正整数）．如 图 ，已 知 五 边 形 ABCDE 中 ， AB ∥ ED ，∠ A= ∠ B=90 °，则 可 以 将 五 边 形 ABCDE 分 成 面 积 相 等 的 两 部 分 的 直 线 有 条；满足条件的直线可以这样确定：7如 图 ，△ ABC 的 面 积 是 18cm 2 ， D 为 AB 上 一 点 ，且 AD=4 ， DB=5 ，若 △ ABE 的 面 积 与 四 边 形 DBEF 的 面 积 相 等 ，则 △ ABE 的 面 积 为 cm 2 ．如 图 ， AD ∥ EF ∥ BC ，AE 2 = ，AD = 5cm，BC = 10cm ， 则 BE 3EF=变 式 ： 某 高 中 学 校 为 高 一 新 生 设 计 的 学 生 板 凳 的 正 面 视 图 如 图 所 示 ， 其 中 BA=CD ， BC=20cm ， BC 、 EF 平 行 于 地 面 AD 且 到 地 面 AD 的 距 离 分 别 为 40cm 、 8cm ．为 使 板 凳 两 腿 底 端 A 、 D 之 间 的 距 离 为 50cm ，那 么 横 梁 EF 应 为 多 长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．如图，AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，过点 E 作 EF∥AB，交 BD 于点 F，则： 给出证明；如果不成立，请说明理由；1 1 1   成立吗？如果成立，请 AB CD EFA E B F D C如 图 ， 已 知 点 F 在 AB 上 ， 且 AF ： BF=1 ： 2 ， 点 D 是 BC 延 长 线 上 一 点 ， BC ： CD=2 ： 1 ， 连 接 FD 与 AC 交8于 点 N ， 求 FN ： ND 的 值 ．如 图 ， 梯 形 ABCD 中 ， AD ∥ BC ， AB=DC ， E 、 F 分 别 是 AB 、 AD 的 中 点 ， 直 线 EF 分 别 交 CB 、 CD 的 延 长 线 于 G 、 H ， 且 BC ： AD=7 ： 4 ， AC=28 ， 试 求 GH 的 长 ．如 图 ， 已 知 △ ABC 中 ， ∠ ABC=135 °， 过 B 作 AB 的 垂 线 交 AC 于 点 P ， 若CP 1 = ，PB = 2 ， 求 BC 的 长 ． PA 2如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合） ，在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ．以下五个结论： ①AD=BE； ②PQ∥AE； ③EQ=DP； ④∠AOB=60°；⑤ 当 C 为 AE 中 点 时 ， S △ BPQ ： S △ CDE=1 ： 3 ． ⑥ BP • EQ = BQ • PC 其 中 恒 成 立 的 结 论 有如图，直线 l 交线段 AB 于点 P，AC⊥ l ,BD⊥ l ,垂足分别为 C,D,M 是 AB 的中点，求证：MC=BD9三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． 已 知 ： 如 图 ， △ ABC 中 ， AD 是 角 平 分 线 ， 求 证 ：BD AB = DC AC思考：已知在△ABC 中，外角平分线 AD 交 BC 延长线于 D。