11.5 三重积分(2)

za
x y
2
2
a r , cos 2 z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x y )dxdydz d d
2 2
2
5 5 1 a 3 2 sin ( 5 0)d a . 10 5 cos 解二 用柱坐标

M xz y ( x , y , z )dv ,

M xy z ( x , y , z )dv

而 转动惯量 I x
( y

2
z )dv ,
2
I y ( x 2 z 2 )dv , I z ( x 2 y 2 )dv .
2 2 2 2 0 0 r
2
1
r 4 4 3 2 ( r r )dr 3 3 10 0
3
1
注
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。
例2

ez 2 2 dxdydz, : z x y , z 1, z 2 2 2 x y
4 5 a a 5 3 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10

a
例 4 求曲面 x 2 y 2 z 2 2a 2 与 z 所围 成的立体体积.
x2 y2
解 由锥面和球面围成，
采用球面坐标，
由x
2
y 2 z 2 2a 2 r 2a,
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数，则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
y
r 为常数
为常数
为常数
z
如图，球面坐标系中的体积元素为d
dr
r sin d rd d
dv r sin drdd ,
2
r sin
r
2
这个曲面面积 元可以视为
dS r sin dd

f ( x , y, z )dxdydz

o

y
d
2 f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r sindrdd .
I 2 f ( x , y , z )dv
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
3、三重积分的应用 （1）空间立体的重心与转动惯量 设空间立体占有区域 ,在点 ( x , y , z )的体密度为
( x , y, z ),则该立体的重心
“你对称，我奇偶”
对 I f ( x , y , z )dv

① 若 关于 xoy 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z , ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时 I 2 f ( x , y , z )dv
2
dS r 2 sin dd
o

y
d
dv drdS=r sin drdd ,
球面
S
x
2
x y z R
2 2 2
2 S
的表面积可以表示为

2 0 0
S dS= r sin dd d R 2 sin d 4 R 2
补充：利用对称性简化三重积分计算
就叫做点 M 的球面坐标．
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
规定
0 r
A
z

x
r

M ( x, y, z )
z
o

0 , 0 2.
球 面 圆锥面 半平面
x
y
P

l 的转动惯量.
解 取球心为坐标原点, 球的半径为 a , z 轴与轴 l 重合, 则球体所占空间闭区域
{( x , y , z ) | x y z a }. 所求转动惯量 即球体对于 z 轴的转动惯量为
2 2 2 2
I z ( x y ) dv
2 2
( r 2 sin 2 cos 2 r 2 sin 2 sin 2 ) 2 r sin drdd r sin drdd
例1 解
2 2 2 ( x y z )dv , : z
x2 y2 , z 1
2 2

将 投到xoy 面得D
x y 1
1
0 2 ,0 r 1, r z 1
(x
2
y z )dv d dr ( r z )rdz
质点对单位质点的引力 km km r km F 2 er 2 3 r r r r r
P ( x, y , z )
z
P0 ( x0 , y0 , z0 )
O
y
x
k ( x x0 )m k ( y y0 )m k ( z z0 )m , , . 3 3 3 r r r 其中r P0 P ( x x0 , y y0 , z z0 ), r r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 .
x r cos , y r sin , z z.
规定：
z
M ( x, y, z )
0 r ,
0 2,
x
o

rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P(r , )

y
z .
z
r为常数
圆柱面 半平面 平 面

为常数
z 为常数
z
rd
M ( x, y, z )
11.5 三重积分（2）
1、利用柱面坐标计算三重积分 2、利用球面坐标计算三重积分 3、三重积分的应用
1、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．

0
4 0
a cos 0
r sin dr
4 3
4 0
x y z z r,
2 2 2
D: x y a ,
2 2 2
: r z a,
2 2
0 r a,
0
0 2 ,
2 a a 0 r
I ( x y )dxdydz d rdr r 2dz
注
若 积分区域为球体、球壳或其一部分
被积函数呈 通常采用球坐标。
x y z
2 2
2
而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单
z
补充：球坐标系中的面积元
球面坐标系中的体积元素为
d
dr
r sin d rd d
r sin
dv r sin drdd ,
2
r

这个曲面面积 元可以视为
zdv d dr zrdr d r cosr sin dr
2 a H
_
_
_
所以，



a
2

0
0
0
/2
0
圆柱体部分
半球部分


4
_
a (2 H a )
2 2 2
由z 0 2 H a 2
例6 求密度为 的均匀球体 对于过球心的一条轴
1
I 2 f ( x , y , z )dv
2 ( x , y, z ) | ( x , y, z , y 0)
③ 若 关于 yoz 面对称
2
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
3 4 0 5 0

a
3 a 2 sin d 5 0 5 2 2 4 2 a a M . 5 3 5 其中 M 4 a 3 为球体的质量. 3
完
（2）空间立体对质点的引力
单位质点位于P0 ( x0 , y0 , z0 ), 质量为m的质点位于P ( x , y , z ).
解
x r cos y r sin , zz
关键在于定出 的变化范围
r , , z
, r 的范围容易定出 0 2 ,0 r 2
z 呢？
注意到
当 0 r 1时 1 z 2
当1 r 2时
2 1 2 z 2
rz2
4 3
例6 求密度为 的均匀球体 对于过球心的一条轴
l 的转动惯量.
解
Iz
r sin drdd
4 3
例6 求密度为 的均匀球体 对于过球心的一条轴
l 的转动惯量. 解 I z r 4 sin 3 drdd


2 0
d sin d r dr
1 ( x , y , z ) | ( x , y, z ) , z 0 ② 若 关于 xoz 面对称