等腰三角形的存在性和动点问题
等腰三角形动点问题探究
《等腰三角形》动点问题动点问题探究播州区泮水中学谭洪康教学设计：一、学习目标：1、概念：等腰三角形：有两边相等的三角形.,2、性质：（1）等腰三角形两底角相等（等边对等角）；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（三线合一）；3、掌握分析动点问题的方法，化动为静；4、掌握数形结合思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法解决动点问题.二、教学重点、难点：教学重点：1、等腰三角形的概念及性质；2、解决动点问题的思路和方法.3、规范书写，提高得分点.教学难点：在动点问题中“怎样化动为静”，“快速准确地找到解决问题的突破口”三、教学内容：中考数学专题复习--等腰三角形动点问题图形中的点、线、面的运动，构成了数学中的一个新问题----动态问题。
在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。
(一)、一个动点：图形中一个动点所形成的等腰三角形问题例1：如图，已知平行四边形ABCD 中AB=7cm,BC=4cm,∠A=30°，点P 从点A 沿AB 边向点B 运动，速度为1cm/s 。
若设运动时间为t （s ），连接PC ，当t 为何值时，ΔPBC 为等腰三角形？提示：如图，连接PC以BP 、BC 边为等腰ΔPBC 的腰 ∴PB=BC 即7-t=4即：t=3所以当t=3s 时， ΔPBC 为等腰三角形归纳：1、定图形；2、表线段；3、列方程；4、解问题注意：分情况考虑等腰三角形的底和腰如图，已知平行四边形ABCD 中，AB=7cm,BC=4cm,∠A=30°，点P 从点A 沿射线AB 运动，速度仍是1cm/s 。
设运动时间为t （s ），连接PC ，当t 为何值时，ΔPBC 为等腰三角形？1、如图已知 ABCD 中，AB=7cm ，BC=4cm ，∠A=30°CAPA(2)若点P 从点A 沿射线AB 运动，速度仍是1cm/s 。
专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)
专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【答案】13.5【解析】【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．【详解】如图，连接MA、AD∵EF垂直平分线段AC∴MA=MC∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD∵点D为DC边的中点，BC=3∴1 1.52CD BC==∵AB=AC ∴AD⊥BC∴118 2BC AD⨯=即1318 2AD⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△MCD的周长的最小值为13.5故答案为：13.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．【答案】【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，∴BD=DA=12AB=3，∵∠ABC=30°，∴BP=2PD，即12BP=PD，∵BP2-PD2=BD2，∴BP2-14BP2=32，解得：BP=∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，∴t的值为故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【解析】【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=13 2AB=，∴运动时间t=3311AC==秒，当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=212AB=，∴运动时间t=121211AC==秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______【答案】【解析】【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．【详解】解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，BD Q 平分∠BAC ，△ABC 为等边三角形，BM MC∴=∴BM +MN MC MN =+，当CN AB ⊥时，=MC MN CN +最小等边△ABC 面积为6，CN ∴故答案为：【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝30cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____________秒时，PA 与△ABC 的腰垂直．【答案】5或10【解析】【分析】根据等腰三角形性质求出∠B =∠C =30°，分PA ⊥AC 和PA ⊥AB 两种情况分类讨论，得到BP =10cm 或BP =20cm ，即可求出点P 移动的时间．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B =∠C =30°．如图①，当PA ⊥AC 时，∵∠C =30°．∴PC =2AP ，∠APC =60°，∴∠B =∠BAP =30°，∴AP =BP ，∴PC =2BP ，∴BP =13BC =13×30=10cm ，∴P 点移动了10÷2=5（秒）；如图②当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=23BC=23×30=20cm，∴P点移动了20÷2=10（秒）．故答案为：5或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．【答案】423【解析】【分析】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．【详解】过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，设AP交MN于点D，则PQ MQ =，PR RN =，∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥，当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图∵30BAC ∠=︒，∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒，∴15M N ∠=∠=︒，∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，∴MN BC ∥，2PQ PB ==，同理2PR PC ==，∵⊥AP BC ，∴AP MN ⊥．DP MN∴⊥PQ PR =DQ DR∴=∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，∴Rt PDQ 中，112QD PQ ==∴==2QR DQ =⨯=，∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+．故答案为：4+【点睛】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．【答案】2或2【解析】【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=【详解】解：如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，∵∠ABC =30°，∠ACB =90°，∴2AB AC ==∴BC =，∵D 是BC 的中点，∴1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，∵DF ⊥AB ，∴∠DGB =∠FGB =90°，∴1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，∴4BG ==，∴2332BE BG ==，∴AE AB BE =-=如图2所示，延长FD 与AB 交于点G ，同理可求出1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，∴22BE BG GE BG =+==，∴2AE AB BE =-=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？【答案】(1)PC 52(2)出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形【解析】【分析】（1）勾股定理求得AB 的长，进而根据速度求得出发2秒后BP 的长，Rt BCP △中勾股定理求解即可；（2）由于CP 恰好平分ABC 的周长，则P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，④当P 在AB 上时，若PC ＝PB 时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B →A →C →B ，且速度为2，∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6，∵∠B ＝90°，∴在Rt BCP △中，由勾股定理得PC 22226452BP BC +=+=；(2)P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD AC ⊥，则68 4.810AB BC BD AB ⨯⨯===在Rt BDP △中，22226 4.8 3.6PD PD BD =-=-=在Rt ADB 中，22228 4.8 6.4AD AB BD =-=-=8 6.4 3.610.8BA AP BA AD PD ∴+=+-=+-=即210.8t =解得 5.4t =③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，810612BA PA BA AC PC +=+-=+-=即212t =解得6t =④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，15PA AB ==8513BA AP ∴+=+=得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC的AB边上高为；(2)求BP的长（用含t的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP≌△BCD；(4)当BP：BD=1：2时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0＜t≤3时，PB=6-2t；当t＞3时，PB=2t-6；(3)见解析(4)t的值为2或6．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；（4）利用全等三角形的性质解得即可．(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，∴△ABC的AB边上高=12AB=3，故答案为：3；(2)解：∵AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为62=3（秒），当0＜t≤3时，PB=6-2t，当t＞3时，PB=2t-6；(3)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵∠PCD=90°，CP=CD，∴∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB+∠BCD=90°，∴∠ACP=∠BCD，在△ACP与△CBD中，AC BC ACP BCD CP CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CBD （SAS ）；(4)解：∵△ACP ≌△CBD ，∴AP =BD ，当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当0＜t ≤3时，2t =2(6-2t )，解得：t =2；当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当t ＞3时，2t =2(2t -6)，解得：t =6，综上所述，t 的值为2或6．【点睛】本题是三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD 的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC ∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE PAD AEQ PDA AQ AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE ∴AE =PD ；AD =QE∴DE =BP又∵AD =BD∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDF EFQ DFB EQ DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF∴BP =2DF当点P 在DB 的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD∴DF =27AD∴PB =2×27BD =47BD ∴PB BD =47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 的正度．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△ABC 边上的动点（D 与A ，B ，C 不重合）．（1）若∠A ＝90°，则△ABC 的正度为；（2）在图1，当点D 在腰AB 上（D 与A 、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD ，保留作图痕迹；若△ACD的正度是2，求∠A 的度数．（3）若∠A 是钝角，如图2，△ABC 的正度为35，△ABC 的周长为22，是否存在点D ，使△ACD 具有正度？若存在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）图见解析，∠A =45°（335．【解析】【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是22，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为35，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC∴△ABC2故答案为：2 2；（2）∵△ACD1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为3 5，∴ABBC＝35，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝5，∵CD ＝6，∴DE ＝CD −CE ＝1，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE =在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD =∴△ACD 的正度＝AC AD =②当AD ＝CD 时，如图由①可知：BE ＝5，AE ，∵AD ＝CD ，∴DE ＝CE −CD ＝5−AD ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2−DE 2＝AE 2，即：AD 2−（5−AD ）2＝11，解得：AD ＝185，∴△ACD 的正度＝185365AD AC ==．综上所述存在两个点D ，使△ABD 具有正度．△ABD 35．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF=-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒，∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒，∴AD AF =，在Rt ADB 中，30B ∠=︒，∴22AB AD AF ==；（2）AB AF AE =+，证明如下：如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，∵60BAC ∠=︒，∴AEG △是等边三角形，∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EA BGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示：在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEN △是等边三角形，∴60AEN FNE ∠=∠=︒，∵60CEF AEN ∠=∠=︒∴NEF AEC ∠=∠，在NEF 与AEC △中，60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，=，∴BN AF=-=-，∴AB AN BN AE AF∴AB AE AF=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。
等腰三角形中的动点问题讲义
等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．，这是等腰三角形的重要性质． 2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．尝试构造等腰三角形． 3. 分类讨论的类型：分类讨论的类型：①定义法则．①定义法则．如绝对值，平方，完全平方式等．如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．②关键词不明确．如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等．，边（底边与腰）等． ③位置不确定．③位置不确定．如线段端点的位置，角的位置，高等．如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．④对应关系不确定．如两部分的差，全等三角形对应关系等．如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点：分类讨论题目解题要点：①辨识类型；①辨识类型；②画出各种类型的图形并求解；②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．③根据标准进行取舍．标准包括限制条件，实际意义等．标准包括限制条件，实际意义等．二、精讲精练1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．AO EC DB2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．的长．AB ECD3. 如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD ．FDCBA4. 如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F ．求证：EC平分∠DEF ．GEB F CDA5. （1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．6. 等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．7. 已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．8. 在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为______________．9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．10. 若等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．11. 已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．12. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角为30º，请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．等腰三角形顶角的度数．30°lA B13. 如图，在Rt △ABC 中，中，∠∠ACB =90°，∠ABC =60°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，找出所有符合条件的点P ．A B C三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1. 证明略（提示：连接BC ，证明AC =BC ，AB =BC ）2. 10cm （提示：延长CE 交BA 的延长线于点F ，证明BD =2CE ）3. 证明略（提示：延长CF 到E ，使CF =EF ，连接BE ，证明，证明△AFC ≌△BEF ，再证明BE =BC ） 4. 证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明AD ⊥EC ，再证明ED =CD ，利用平行导角），利用平行导角） 5. （1）-11，13（2）4 （3）1，-36. 120°或20°7. 28. 1cm 或5cm9. 65°或115° 10. 8cm 11. 8cm 或163cm12. 作图略作图略 13. 作图略作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________． 3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ．求证：DF ∥AE ．【参考答案】1．3或-5 2．50°或130°3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠FAD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ）FCGEDBA等腰三角形性质及分类讨论（作业）14. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，BE =CF ． 求证：DE =DF ．15. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：BM =ME ．16. 如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE 平分∠ADB ，AF =FC ，连接AD ． 求证：BD =CD ．FB EADC17. 若4x 2-axy +16y 2是完全平方式，则a =_________．18. 在直线l 上任取一点A ，截取AB =8cm ，点C 为AB 中点，截取CD =5cm ，则线段AD 的长为______________．19. 若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为M DC B AEFD CB AE______________． 20. 已知一等腰三角形的三边分别是5x -3，3x +3，27，则x =__________．21. 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________． 22. 已知等腰三角形的周长为24cm ，两边的差为3cm ，则底边长为__________．23. 在已知直线l 上找一点C ，和直线外的A ，B 两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l 上找出所有符合条件的点C ．BAl【参考答案】1. 证明略（提示：延长AD 到H ，使DH =AD ，连接BH ，证明，证明△BHD ≌△CAD ，导出AB =AC ，再证明△BED ≌△CFD ） 2. 证明略（提示：连接BD ，利用“三线合一”，利用“三线合一”证明∠DBE =∠E =30°） 3. 证明略（提示：证明AD =DC ，AD =BD ） 4. ±16 5. 1cm 或9cm 6. 80°或40° 7. 6或8 8. 60°或120° 9. 10cm 或6cm10. 点C 有5个，作图略个，作图略特殊三角形（讲义）一、知识点睛1．等边三角形．等边三角形①定义：①定义： 的三角形是等边三角形．的三角形是等边三角形． ②判定：②判定： 的等腰三角形是等边三角形．的等腰三角形是等边三角形．的三角形是等边三角形．③性质：等边三角形等边三角形 、 ． 2．等腰直角三角形．等腰直角三角形①定义：①定义：有一个角是有一个角是有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． ②判定：②判定： 的三角形是等腰直角三角形．的三角形是等腰直角三角形． ③性质：等腰直角三角形等腰直角三角形 ， ． 3．直角三角形．直角三角形 性质：性质：． ．ACB30°CBD A二、精讲精练1. 如图，以BC 为边在正方形ABCD 内部作等边△PBC ，连接AP ，DP ，则∠APD =_____________．PB DC AGAB EFC M N第1题图题图 第2题图题图2. 如图，点C 为线段AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ，交AN 于点G ，连接EF ．有如下结论：①AN =BM ；②CE =CF ；BCABCA③EF ∥AB ；④∠NGF =60°．其中，正确结论有__________．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC =∠E =60°，若BE =6cm ，DE =2cm ，则BC =________．BE DCA4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =60°，∠BCD =120°．求证：BC +DC =AC ．DCBA5. 已知：在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点．的中点．（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的动点，且BE =AF ．求证：△DEF 为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF 的面积是否变化，证明你的结论；的面积是否变化，证明你的结论； （3）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE =AF ，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．D CEB AF6. 现有两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．的形状，并说明理由．MBEDCA7. 如图，在锐角△ABC 中，∠BAC =60°，BN ，CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN ，MP ，NP ，则以下结论中：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ； ④AN :AB =AM :AC ．正确的有（．正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】 一、精讲精练1．①三边都相等；②有一个角是60°；有两个角是60°；③三边都相等，三个内角都是60°． 2．①直角；②有两个角是45°；③两直角边相等，两底角都是45°． 3．30°角所对的直角边是斜边的一半．角所对的直角边是斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、精讲精练1． 150°ACNP MB2． ①②③④①②③④ 3． 8cm 4． 证明：如图，延长BC 到E ，使CE =CD ，连接DE ，BD ．∵∠BCD =120° ∴∠1=60°∴△DCE 为等边三角形为等边三角形 ∴DC =DE ，∠2=60° ∵AB =AD ，∠BAD =60° ∴△ABD 为等边三角形为等边三角形 ∴AD =BD ，∠3=60° ∴∠2=∠3∴∠ADC =∠BDE 在△ADC 和△BDE 中AD BD ADC BDE DC DE =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△BDE （SAS ） ∴AC =BE ∵BE =BC +CE=BC +DC ∴BC +DC =AC5． （1）略；）略；（2）四边形AEDF 的面积保持不变，S =12ABC S D（3）△ABC 仍为等腰直角三角形仍为等腰直角三角形 6． △EMC 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 7． C321E A B C D特殊三角形（作业）1. 如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边△ABE ，则∠BED 的度数为________．B C EADOAB C DE第1题图题图 第2题图题图2. 如图，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于点O ，连接BC ，则∠BOC =__________．3. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =DC ，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形．是等边三角形．FA B C DE4. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．D GA B CF E5. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高，F为BC 的中点．连接DE ，DF ，EF ．求证：∠FED =∠FDE ．FAB C DE6. 纳米技术（nanotechnology ）是用单个原子、分子制造物质的科学技术，研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用．已知，某分子的直径约为0.399纳米，则这个分子的直径可用科学记数法表示为（ ）米．（保留两个有效数字）留两个有效数字）A ．3.9×10-1B ．3.9×10-10C ．4.0×10-10D ．4.0×10-17. 如图1，在长方形ABCD 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC →CD →DA 运动至点A 停止．设点P 运动的时间为x ，△ABP 的面积为y ，若y 与x 的关系图象如图2所示，则m 的值是（的值是（ ） A ．2.5 B ．4.5 C ．5D ．7 图2图1y 102 m xABC DP8. 在△ABC 中，AB =6，AC =4，则中线AD 的取值范围是______．【参考答案】1．45° 2．120° 3．证明：如图，连接AC ∵∠B=∠D =60°，AB=BC,AD=DC ∴△ABC 和△ACD 是等边三角形是等边三角形 ∴∠ACE=∠CAD =60°AC=AD ∵∠EAF =60° ∴∠CAD -∠CAF=∠EAF -∠CAF ∴∠EAC=∠FAD 在△EAC 和△FAD 中FEDCBAACE D AC AD EAC FAD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△EAC ≌△FAD （ASA ） ∴AE=AF ∴△AEF 是等边三角形是等边三角形 4．证明：连接DE ∵AC=BC ，∠ACB=90°∴∠A =45° ∵CD ⊥AB∴∠ADC =90°，AD =12AB∴CD =12AB∴AD =CD∵E 为AC 中点中点∴DE =12AC=AE ，DE ⊥AC ，∠1=45°∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中123A EA ED Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△AEF ≌△DEG （ASA ）∴EG =EF5．证明：∵BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90°∵F 是BC 的中点的中点∴EF =12BC ，DF =12BC∴∠FED =∠FDE6．C 7．B8．15AD <<321E FCBAGD 第3题图题图第4题图题图FA B CD E特殊三角形随堂测试题 姓名________1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是BC 边上的一点，EC ⊥BC ，EC =BD ，连接AD ，AE ，DE ．点F 为DE 中点，连接AF ，CF ． 求证：（1）AD =AE ；（2）AF =CF ．FED CBA【参考答案】略轴对称的实际应用（讲义）一、知识点睛1．折叠问题：．折叠问题：（1）性质：折叠是________变换，_________________为对称轴，折叠前后的图形___________，对应边相等，对应角相等．，对应边相等，对应角相等． （2）思考步骤：）思考步骤：①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合．①找折痕；②转移对应边，对应角；③与背景条件结合． 2．轴对称最值问题：．轴对称最值问题：（1）特征：有定点，有动点，动点在___________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．接组成的线段和（周长）最小．（2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l 上找一点P ，使得在直线同侧的点A ，B 到点P 的距离之和AP +BP 最小．最小．lBA二、精讲精练1. 如图，把一张长方形的纸片ABCD ，沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在M ，N的位置上，EM 与BC 相交于点G ，若，若∠EFG =55°，则∠1的度数是_______________．G 1N MFE DCB Aα30°B AD第1题图题图 第2题图题图2. 有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α=________．3. 如图a 是长方形纸带，∠DEF =25°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是________．图c图b图a BCDEFA G F EDC B A G A BCDEF4. 如图所示，一个边长是1cm 的正方形，的正方形，沿一条直线折叠，阴影部分的周长是沿一条直线折叠，阴影部分的周长是_________．MNAB CDE H第4题图题图 第5题图题图5. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则，则 ∠AHB 的度数是__________．6. 如图将长方形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，若长方形ABCD 的周长为46cm ，则△AEF 的周长为__________．A BCD E F7. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最短．的周长最短．ABC PQ8. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边BA ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值．BACP9. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ．当△AMN 周长最小时，周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为的度数为___________________________．．DCABB A MCD N10. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时四边形PMNQ 的周长最小．周长最小．OA BQP三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．（1）轴对称，折痕所在直线，全等）轴对称，折痕所在直线，全等 2．（1）定直线）定直线 （2）将折线转直）将折线转直 二、精讲精练 1．110°110°2．75° 3．105°105°4．4cm5．75° 6．23cm7．如图所示，以BC 为对称轴作点P 的对称点P ʹ，连接QP ʹ交BC 于点R ，则点R 即为所求．即为所求．RP'QP CBA8．作图略，△PMN 周长的最小值为4 9．120°10．如图所示：点M ，N 即为所求即为所求Q'P'N MP QB AO轴对称的实际应用（随堂测试）1. 点D ，E 分别在等边△ABC 的边AB ，BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1，EB 1分别交边AC 于点F ，G ．若∠BDE =50°，则∠CGE =________．B 1GF EDCBA2. 如图，∠AOB =60°，点P 为∠AOB 内部任意一点，OP =5cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，请画图求解，当△PEF 的周长最小时，点O到EF 的距离是_____．PB OAAEO F B P【参考答案】1．80° 2．2.5cm轴对称的实际应用（作业）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB上A ʹ处，折痕为CD ，则∠A ʹDB =_______．A ′A DB C BE ADFGC第1题图题图 第2题图题图2. 已知：如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，EF 为折痕．若折叠后∠BCE =30°，BE =2，则矩形纸片的长AB =________，△CEF 的周长为_______________．3. 如图，一牧童在A 处放牛，其家在B 处，A ，B 到河岸的距离分别为AC ，BD ，且AC =BD ，已知A 到河岸CD 的中点的距离为500米．牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．A B CD4. 如图，∠AOB =60°，点P 在∠AOB 的角平分线上，OP =10cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是__________．．OPB AP O F EAB5. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法中正确的有_______． ①AG 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACF 边CF 上的高；⑤AD 是△ACF 的角平分线．的角平分线．6. 已知2x 3+x =2，求2x 6+3x 4+x 2-x +9的值．的值．【参考答案】1．10° 2．6；12 3．最短路程为1000米 4．5cm 5．①③④．①③④ 6．11E F C D B AG H。
《动点问题--“两定一动”中等腰三角形的存在性问题》课件
那个点.
如图：
y
B
A
C1
O
C2
C4 x
C3 C5
直角坐标系·动点：
2.如图，点A坐标为(1,1)， 点B坐标为(4,3)，
在坐标轴上取点C，使得△ABC是等腰三角形.
分析：本题与探究二、变式训练一例相比，扩大了点C的
满足范围，坐标轴上取满足条件的点分两类情况讨论，
②当C在y轴上时,设C(0,n),由A(1,1),B(4,3)
解得n=
，故C(0, )
∴AB2=9+4=13,AC2=n2-2n+2, BC2=n2-6n+25
综上所述,存在8个符合条件的点，即
∵△ABC是等腰三角形，故分三种情况讨论.
C(
±
,
)或(2,0)或(6,0)或(
,0)
③当AC=BC时，m2-4m+4=m2+16，解得，m=-3. ∴C(-3,0).
综上所述,C1(2-
,0),C2(2+
O
,0),C3(-2,0),C4(-3,0)符合条件.
A
x
二次函数·动点：
3.如图，己知二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴的一个交点为A(-1,0)，
与y轴交于点B.试问∶在抛物线的对称轴上是否存在点P.使得△PAB是
不变，解答问题.
23
综上所述，(2,0)或(6,0)或 ( 6 ,0)
或（1+ 2 3 ,0）
.
方法总结
几何法:
(1)“两圆-线”作出点;
(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解； 〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0与x 轴交点 方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A 〔x 1，y 〕，B 〔x 2，y 〕 (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式： 两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 那么由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：A 〔0，5〕和B 〔－2，3〕，那么AB ＝。
4、 常见考察形式1〕A 〔1,0〕，B 〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2〕A 〔-2,0〕，B 〔1，3〕，请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆〞：分别过线段的两个端点作线段的垂线，再以线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：〔1〕直接用面积公式计算；〔2〕割补法；〔3〕铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞〔a 〕，中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高〞〔h 〕． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
等腰三角形的存在性动点问题(5)
初中数学动点典型题分析
所谓“动点问题”是指图形中有一个或多个动点，在线段、射线或者弧线上运动的一类开放性题目，而解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活地运用相关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题的基本思路．
数学压轴题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向，加强了对几何图形运动变化的考核，从变化的角度来研究三角形、四边形、函数图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究手段和方法来探究图形性质及变化．让学生经历探索的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，把运动观点、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想有机地结合起来．
【思路分析】
（1）由AD//BC ，可得乙ACB 的正切值，在Rt△ACB 中可求得AC ，在等腰△ACD 中利用勾股定理可得底边的一半，从而求得AD 的长度．
（2）利用两角对应相等求得L.AEF 与L.DCE 相似，利用其性质可求得z 与y 的关系．
（3）对于等腰三角形要分别分三种情况逐一进行分析，分别求出z 的值．
【答案解析】解：
.一、利用“垂线段最短”解决最值问题
二、利用“三点共线”解决最值问题
三、利用“轴对称变换”解决最值问题
四、利用“旋转变换”解决最值问题
五、利用“二次函数的最值性质”解决最值问题
六、等腰三角形的存在性动点问题
【典型例题5】难度★★★。
人教版函数动点问题中等腰三角形存在性问题
例题：如图，抛物线y= ax2+bx﹣3（a≠0）的顶 点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交 于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交 于点D． （1）求抛物线的解析式；
例题：如图，抛物线y= ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点
为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D． （2）在抛物线的对称轴上是否存在 点P，使△PBC是等腰三角形？若存 在，请直接写出符合条件的P点坐标， 若不存在，请说明理由．
解题方法归纳
❖ 解题思路： ❖ 1、本题点的移动贯穿始终，对于等腰三角形的确定需要分
类讨论，如果△PBC是等腰三角形，那么存在①PB＝PC， ②BP＝BC，③CP＝CB三种情况．(分类讨论） ❖ 2、解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几 何法和代数法相结合。（数形结合 ） ❖ 解题步骤：几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并 检验．（方程思想）
课后小结
❖
谈谈本节课你的收获
巩固练习
❖ 如图，已知抛物线 y x2 2 x 1 m与x轴相交于A、 B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0， 3），顶点为点D，联结CD，抛物线的对称轴与x轴 相交于点E．
❖ （1）求m的值； （2）求∠CDE的度数； y
❖ （3）在抛物线对称轴的右侧部分
D
❖ 上是否存在一点P，使得△PDC是 C
❖ 等腰三角形？如果存在，求出符合
❖ 条件的点P的坐标；如果不存在，
A O
E
B x
❖ 请说明理由．
函数动点问题中等腰三角形存在 性问题
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析
中考数学“特殊三角形的存在性问题”题型解析二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类：一类是静态的特殊三角形的存在性问题；一类是动态的特殊三角形的存在性问题 .静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决；动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系 .本节主要来讨论下关于动态的特殊三角形的存在性问题 .类型一：等腰三角形存在性问题【例题1】如图，已知抛物线y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C . （1）求点A , B , C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）分别令y = 0 , x = 0 , 即可解决问题；（2）分A、C、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可 . 【解析】（1）令y = 0 , 得-1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，∴x^2 + 2x - 8 = 0 ,∴x = - 4（舍）或2 ，∴点A 坐标（2,0），点B 坐标（-4,0），令x = 0 , 得y = 2 ,∴点C 的坐标（0,2）.（2）如图所示，①当C 为顶点时，CM1 = CA , CM2 = CA , 作M1N⊥OC 于N , 在Rt△CM1N 中，∴点M1 坐标（-1，2+√7），点M2 坐标（-1 , 2-√7）.②点M3 为顶点时，∵直线AC 解析式为y = -x + 2 , 线段AC 的垂直平分线为y = x , ∴点M3 坐标为（-1，-1）.③当点A 为顶点的等腰三角形不存在 .综上所述M 坐标为（-1，-1）或（-1，2+√7）或（-1 , 2-√7）.类型二：直角三角形存在性问题【例题2】如图，△OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6,8），OA = OB，点P 在线段OB 上，点Q 在y 轴的正半轴上，OP = 2OQ，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA，AB 于点E , F .（1）求直线AB 的解析式；（2）是否存在点P，使△PEF 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）由点A 的坐标可确定出OA 的长，即为OB 的长，从而可确定出B 点坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）分三种情况来考虑：若∠PEF = 90°；若∠PFE = 90°，若∠EPF = 90°，过点E , F 分别作x 轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t 的值，确定出满足题意P 坐标即可 .【解题策略】此类问题主要考查特殊三角形的存在性问题：首先运用特殊三角形的性质画出相应的图形，确定动点问题的位置；其次借助特殊三角形的性质找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列出方程求解即可 .要注意分类讨论时考虑全面所有可能的情形 .。
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等腰三角形的存在性一、 等腰三角形存在性分类一、几何动点中等腰三角形存在性如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．过关练习1（本小题满分9分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC OA ∥，7460OA AB COA ===，，∠，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动什么位置时，OCP △为等腰三角形，求这时点P 的坐标； （3）当点P 运动什么位置时，使得CPD OAB =∠∠，且58BD AB =，求这时点P 的坐标．C（第23题过关练习2例2：如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB 的顶点A 、B 分别落在坐标轴上．O 为原点，点A 的坐标为（6，0），点B 的坐标为（0，8）．动点M 从点O 出发．沿OA 向终点A 以每秒1个单位的速度运动，同时动点N 从点A 出发，沿AB 向终点B 以每秒35个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M 、N 运动的时间为t 秒（t ＞0）． （1）当t=3秒时．直接写出点N 的坐标，并求出经过O 、A 、N 三点的抛物线的解析式； （2）在此运动的过程中，△MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，△MNA 是一个等腰三角形？分类二、抛物线中的等腰三角形存在性例、抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． 在x 轴上是否存在一点K ，使得BKC 是等腰三角形？若存在，请写出K 点的坐标？若不存在，请说明理由？同样是分三种情况讨论，方法和结合当中的等腰三角形存在性类似碰到的问题总结：变式1：该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使在上是否存在一点P，使得CDP是等腰三角形？请直接写出满足条件的所有点 P的坐标；变式2：点H（-4,0）在x轴上，连接HC，问在直线HC上是否存在点K，使△ACK为等腰三角形？若存在，请写出K点的坐标？若不存在，请说明理由？再来一道你不介意吧（2011•）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．课后作业1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E为BC上一点，将纸片沿AE翻折，使点E与CD 边上的点F重合．（1）求线段EF的长；（2）若线段AF上有动点P（不与A、F重合），如图（2），点P自点A沿AF方向向点F运动，过点P作PM∥EF，PM交AE于M，连接MF，设AP=x（cm），△PMF的面积为y（cm）2，求y与x的函数关系式；（3）在题（2）的条件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，请说明理由．动点问题之函数图像与二次函数中的相似动点问题与函数图像的题目技巧方法根据图形的运动分析：1.要根据图形的变化分析函数关系式是二次函数还是一次函数如面积=底*高/2,如果底和高都变化，那么面积为自变量的二次函数，如果只有其中一个变化，则是一次函数2.对于一直函数图像要分析点的运动情况，要着重分析图像转折点出，动点的位置例1．（2009年）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）例2．（2009綦江）如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6例3．（2009威海）如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B 与点D 重合，点A,B(D),E 在同一条直线上，将△ABC 沿D E →方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B,D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（ ）D C P BAO31 1 3 S x A ．O113 Sx O 3 Sx 3O1 1 3 SxB ．C ．D ．2图12 O5xAB CP D图2总结：课堂练习1．（2009年）如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b Rt GEF ∥，△从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF △与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）2．（2009年）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）3．（2009年）如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则矩形ABCD 的面积是( )A ．10 8．16 C. 20 D ．364．（2009年洛江区）如图，三个大小一样的正方形拼成六边形ABCDEF ，一动点P 从点A 出发沿着A →B →C →D →E 方向匀速运动，最后到达点E .运动过程中PEF ∆的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）5．（2009年施恩）13．一正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图4所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是:GDC EFAB ba（第1题s t O Ast OB C st ODstO1 2 3 4 12 y s O 1 234 1 2ys O s 1 2 3 4 12 y sO 12341 2 yO A B C Ds tAOs tBOsDOstCOt （第6题图）A BC D E. F. P.·（第8题图）道隧6.（2009年）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO --的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）7.如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放 在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿 图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点 出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ）． A ．2 B ．4π-C ．πD ．π1-8. 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的大致图象应为（ ）9、（11）8．如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x 与货车在隧道的长度y 之间的关系用图象描述大致是（ ）PAOB stOsOt Ost OstA B ． C ．DA BCQRM第7题图Dt OS t OS tOS tOSＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10、（11）11．如图4，在长形中截取两个一样的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆住的侧面，刚好能组合成圆住.设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是你学到了什么？考点2：动点问题中的三角形相似例1.（ 20129分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．总结：首先是分类：题中是以三个顶点为三角形与另一个三角形相似，需要沿着动点的运动轨迹分析，不同的顶点可以成为对应点，然后根据对应边成比例计算。
练习1、（市江津区）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与x轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角DCBA形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习2．如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣4与x 轴交于A （4，0）、B （﹣2，0）两点，与y 轴交于点C ，点P 是线段AB 上一动点（端点除外），过点P 作PD ∥AC ，交BC 于点D ，连接CP ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当动点P 运动到何处时，BP 2=BD •BC ； （3）当△PCD 的面积最大时，求点P 的坐标．家庭作业.（11）如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线 是A →D →C →B →A,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三 角形的面积是y.则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是( )2．（11威海市）如图，在正方形ABCD 中，AB=3㎝，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD －DC －CB 以每秒3㎝的速度运动，到达B点时运动同时停止。
设△AMB的面积为y（㎝2）。
运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x 之间函数关系的是（）3.如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
（3）求抛物线的解析式；（4）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（5）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。