高考数学复习专题__集_合

高考数学复习专题集合1．集合的含义与表示（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.（3）能使用韦恩（Ve n n）图表达集合的关系及运算.一、集合的基本概念1．元素与集合的关系：a Aa A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅.4．常用数集及其记法：符号N*N 或+NZQR C注意：实数集R 不能表示为{x |x 为所有实数}或{R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义. 5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系表示 关系自然语言 符号语言 图示基本关系子集集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素A B ⊆（或 B A ⊇）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A B ⊂≠（或B A ⊃≠）相等集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为子集A B =空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠必记结论：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 1．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn 图交集由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合{|}A B x x A x B =∈∈I 且并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合|}{A B x x A x B =∈∈U 或补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合{|}U A x x U x A =∈∉且ð2．集合运算的相关结论交集 A B A ⊆I A B B ⊆I A A A =I A ∅=∅I A B B A =I I 并集 A B A ⊇UA B B ⊇UA A A =UA A ∅=UA B B A =U U补集()U U A A =痧U U =∅ðU U ∅=ð()U A A =∅I ð()U A A U =U ð3．必记结论(.)U UU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅I U I 痧?考点突破一 集合的基本概念解决集合概念问题的一般思路：（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：集合(){0|}x f x=(){0|}x f x>(){|}x y f x=(){|}y y f x=(){(,)|}yx y f x=集合的意义方程()0f x=的解集不等式()0f x>的解集函数()y f x=的定义域函数()y f x=的值域函数()y f x=图象上的点集（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.典例1 已知集合{}1,1A=-，{}1,0,1B=-，则集合{}|,C a b a A b B-∈∈＝中元素的个数为A．2B．3C．4 D．5【答案】D【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确．1．已知集合，若，则非零实数的值是_________．考点突破二集合间的基本关系集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.典例2 已知集合22{|0},{|,}2xA xB y y x x Ax-=∈≤==∈+Z，则集合B的子集的个数为A．7B．8C．15D．16【答案】B【解析】集合2{|0}2x A x x -=∈≤+Z {}1,0,1,2=-，2{|,}B y y x x A ==∈{}0,1,4=，故集合B 的子集的个数为328=.故选B .【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，也可以利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏．2．已知集合{}1,0,A a =-，{}0,B a =.若B A ⊆,则实数a 的值为__________．考点突破三 集合的基本运算有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有： （1）有限集（数集）间集合的运算求解时，可以用定义法和Venn 图法，在应用Venn 图时，注意全集内的元素要不重不漏. （2）无限集间集合的运算常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围. （3）用德·摩根公式法求解集合间的运算 对于有()()U UA B U 痧和()()U U A B I 痧的情况，可以直接应用德·摩根公式()()()U U U A B A B =U I 痧?和()()()U U U A B A B =I U 痧?进行运算.典例3 已知集合,,则()P Q =R I ð A ． B ． C ．D ．【答案】C【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到．3．设集合，集合，则 A ． B ． C ．D ．4．设集合,已知,那么的取值范围是 A ． B ． C ．D ．考点突破四 与集合有关的创新题目与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．典例4 设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V =Z U ，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A【解析】取{|0,}T x x x =<∈Z 且，{|0,}{0}V x x x =>∈Z U 且，可得T 关于乘法不封闭，V 关于乘法封闭，又取{}T =奇数，={}V 偶数，可得T ,V 关于乘法均封闭，故排除B ，C ，D ，选A ．1．已知集合{}|1A x x =>-，则下列选项正确的是 A ．0A ⊆ B ．{}0A ⊆ C ． A ∅∈D ．{}0A ∈2．已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a = A ．0 B ．-4 C ．-4或1 D ．-4或03．已知集合,则M N ð=A ．B ．C ．D ．4．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．5．已知集合,若,则实数的值为 A ．B ．C ．D ．6．已知全集，集合1{|,01}M y y x x==<<，，则下图中阴影部分所表示的集合为A ．B ．C ．D ．7．已知集合，，则满足条件的集合的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．设集合，，则下列关系正确的是 A ．B ．C ．A B ⊆R R痧D ．B A ⊆R ð9．已知集合{}4,5,6P =，{}1,2,3Q =，定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为 A ．32 B ．31C ．30D ．以上都不对 10．设集合，，则的真子集的个数为A ．3B ．4C ．7D ．8 11．设集合，其中，若，则实数_______． 12．若集合，，，则的取值范围是_______．13．已知集合{,,}{0,1,2}a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于________.14．已知集合，集合，集合，若A B C ⊆U ，则实数m的取值范围是_______.1．（优质试题浙江）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð A ．∅ B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．（优质试题新课标全国Ⅰ文科）已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I A ．{}02， B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 3．（优质试题新课标全国Ⅲ文科）已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =I A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}4．（优质试题天津文科）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =U I A ．{1,1}- B ．{0,1} C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}5．（优质试题新课标全国Ⅰ文科）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A I B =∅C ．A U B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A U B=R6．（优质试题新课标全国Ⅱ文科）设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 7．（优质试题北京文科）已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =ðA ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞UC ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞U1．【答案】 【解析】若 则此时集合B 不符合元素的互异性，故 若则符合题意；若则不符合题意.故答案为2.2．【答案】1【解析】∵B A ⊆，∴a A ∈，∴a a =，解得1a =或0a =（舍去）． 3．【答案】C【解析】由题得A ={x |x ≤3}，B ={x |x <8},所以.故选C.4．【答案】C【解析】∵集合，集合，且，∴.故选C ．1．【答案】B【解析】元素与集合的关系，用 ∈ ；集合与集合的关系，用 ⊆ ，可知 B 正确. 2．【答案】D【解析】由于只有一个元素,故判别式为零,即()222440,a a a +-=+=得0a =或4a =-.故选D ． 3．【答案】B 【解析】由已知，则M Nð，故选B ．4．【答案】A【解析】由题意，集合，所以，故选A ．5．【答案】B 【解析】或，解得或，由集合中元素的互异性知，故选B ．7．【答案】C 【解析】因为，，所以集合中一定含有元素1，所以符合条件的集合为，故选C.8．【答案】C 【解析】由题意，，∴，只有C 正确.9．【答案】C【解析】根据新定义的运算可知{}1,2,3,4,5P Q ⊕=，P Q ∴⊕的所有非空真子集的个数为52230-=，故选C ．10．【答案】C 【解析】∵ , ,, 其真子集个数为，故选C ． 11．【答案】【解析】因为A =B ,所以故答案为.13．【答案】201【解析】可分下列三种情形：（1）若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c =0，所以a =b =1,与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；（2）若只有②正确，则b =2，a =2，c =0,这与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；（3）若只有③正确，则c ≠0，a =2，b ≠2，所以c =1，b =0，所以100a +10b +c =100×2+10×0+1=201．14．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，{|12}A B x x =-U ＜＜，集合{|10}C x mx A B C =+⊆U ＞，，则 ①当0m ＜时,11112022x m m m m -∴-≥∴≥-∴-≤＜，，，＜； ②当m 0=时，成立； ③当0m ＞时,111101x m m m m -∴-≤-∴≤∴≤＞，，，＜， 综上所述，112m -≤≤．1．【答案】C【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C ．2．【答案】A 【解析】根据集合的交集中元素的特征，可以求得，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.3．【答案】C【解析】易得集合{|1}A x x =≥,所以{}1,2A B =I ，故选C.4．【答案】C 【解析】由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.故选C.【名师点睛】本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．【答案】C 【解析】因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22U A x x =-≤≤ð，故选C.【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.。