初三数学 锐角三角函数教案
一.教学目标：
1.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．
3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；
4.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
5.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 二、教学重难点： 1．重点:
（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住． （2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． 2．难点 :
（1）锐角三角函数的概念．
（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力．
三、知识点梳理
知识点1．
正弦：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即 ；可得a= ；c=
余弦：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角∠A 的邻边与斜边的比 叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 ，可得b= ；c=
课题 锐角三角函数
学生姓名
年级 初三
日期
正切：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ， 即 ，可得a= ；b=
特殊角的锐角三角函数
角度 函数
0° 30° 37° 45° 53° 60° 90°
sin α
cos α
tan α
锐角三角函数值的变化情况 : （1）锐角三角函数值都是正值
（2）正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α ，cos α
0°≤∠A≤90°间变化时， 0≤sin α≤1, 0≤cosA≤1
（3）正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
当角度在0°<∠A<90°间变化时， tanA>0
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
A 90
B 90∠-?=∠?
=∠+∠得由B A
知识点2．解直角三角形
)90cos(sin A A -?=)
90sin(cos A A -?=
B
A cos sin =B
A sin cos =对边
邻边
斜边 A
C
B
b
a c
方向角（或方位角）：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）。
指北或指南方向线与目标方向
线所成的小于90°的水平角，叫做方向角
仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。
坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度
的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡。坡度一般写成1:m的形式，如1:5
i=等。
四、锐角三角函数考点
考点一：锐角三角函数的定义
一．选择题（共6小题）
1．（2012?乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．B．C．D．1
2．（2017?奉贤区一模）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定3．（2016?广陵区二模）在正方形网格中，∠BAC如图所示放置，则cos∠BAC等于（）
:
i h l
=
h
l
α
A．3 B．C．D．
4．（2015?蚌埠二模）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O （0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC的值为（）
A．B．C．D．5．（2016?市中区三模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）
A．B．C．D．6．（2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
A．2 B．C．D．
二．填空题（共4小题）
7．（2014?番禺区一模）已知圆锥的底面半径为10cm，侧面积为260πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则cosθ的值为．
8．（2016?天河区一模）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，
交x轴的正半轴于点C，则tan∠BAC= ．
9．（2016?越秀区一模）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，
若BE=5，BC=6，则sinC= ．
10．（2016?新化县一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC= ．
三．解答题（共4小题）
11．（2015?萝岗区一模）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．
12．（2016?连云港）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）
13．（2011?广州）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=．
（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标．
考点二：特殊角的三角函数值
一．选择题（共7小题）
1．（2016?天水校级自主招生）计算cos30°的值为（）
A．B．C．1 D．3
2．（2016?洪泽县一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A等于（）
A．30°B．45°C．60°D．不能确定
3．（2016?雅安校级自主招生）已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A．0＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4．（2017?宝山区一模）已知∠A=30°，下列判断正确的是（）
A．sinA= B．cosA=C．tanA= D．cotA=
?一定是（）. 5．（2016?长宁区一模）若()2
-+-=，则以∠A、∠B为内角的ABC
A B
3tan32sin30
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
6．（2016?安徽四模）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°
7．（2016?罗定市一模）已知α为锐角，sin（α﹣20°）=，则α=（）
A．20°B．40°C．60°D．80°
二．填空题（共1小题）
8．（2016?株洲模拟）在将Rt△ABC中，∠A=90°，∠C：∠B=1：2，则sinB= ．
三．解答题（共3小题）
9．（2017?普陀区一模）计算：cos245°+﹣?tan30°．
10．（2016秋?大连期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，且sinA=，BC=1.5，求AC．
考点三：解直角三角形
一．选择题（共3小题）
1．（2013?越秀区校级二模）在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是（）A．3 B．C．D．
2．（2016?深圳模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，则AC=（）
A．3 B．9 C．10 D．15
3．（2006?烟台）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为（）
A．3 B．C．D．
二．解答题（共9小题）
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形．
（1）∠B=60°，b=；
（2）a=2，c=4；
（3）∠A=30°，c=25；
（4）a=8，b=8．
5．（2016?上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．
6．（2014?番禺区校级二模）如图，为了测量不能到达对岸的河宽，在河的岸边选两点A、B，测得AB=100米，分别在A点和B点看对岸一点C，测得∠A=43°，∠B=65°，求河宽（河宽可看成是点C到直线AB的距离）．
7．（2016?厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=，sin∠DBC=，求对角线AC的长．
8．（2016?梧州）如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．
请你计算出这片水田的面积．
（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）
9．（2016?包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
考点四：解直角三角形的实际应用
方位角类
1．（2016?白云区校级二模）海滨城市某校九（2）班张华（图5中的A处）与李力（图中的B处）两同学在东西方向的沿海路上，分别测得海中灯塔P的方位角为北偏东60°、北偏东30°，此时他们相距800米．
（1）∠PBC= ．
（2）求灯塔P到沿海路的距离（结果用根号表示）
2．（2014?番禺区校级模拟）马航事件牵动了全国甚至全世界人们的心，当得知MH370客机最后失踪地点是在印度洋南部某海域C处，“雪龙”号科考船立即从B处出发以60km/h的速度前往搜救．已知出发时在B测得搜救指挥基地A的方位角为北偏东80°，测得失踪地点C的方位角为南偏东25°．航行10小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°．求C到A的距离．
3．（2013?苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
4．（2016?广州校级一模）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．
（1）点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，
只保留作图痕迹）
（2）点C到公路ME的距离为2km，设AB的垂直平分线交ME于点N，点M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处没得点C位于点N的北偏西45°方向，求MN的长（结果保留根号）
俯角仰角类
1．（2016?广州）如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续飞行30m到达A′处，
（1）求A，B之间的距离；
（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．
2．（2014?哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD 为45°．
（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
3．（2014?番禺区校级模拟）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔CD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点C的仰角为45°，再往古塔方向前进至点B处，再测得古塔顶端点D的仰角为54°，AB=112m．求该古塔CD的高度（结果保留一位小数）．
坡度坡比类
1．（2015?番禺区校级模拟）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走300米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1：1，求山的高度（不计测角仪的高度，≈1.73，结果保留整数）．
3．（2014?山西）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
考点五：锐角三角函数的综合应用
1．（2016?南沙区一模）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E 在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=6，求tan∠DEB的值．
3．（2015?越秀区一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合运用：在你所作的图中，
①判断AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
②若AC=12，tanOBC=，求⊙O的半径．
4．（2015?番禺区一模）如图，ABC中，AB=AC=4，cosC=．
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）综合应用：在你所作的圆中，求证：；
（3）求△BDE的周长．
5．（2016?花都区一模）在△ABF中，C为AF上一点且AB=AC．
（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若∠BAF=2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）在（2）中，若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
6．（2014?越秀区校级一模）如图所示，直线y=﹣2x+b与反比例函数y=交于点A、B，与x轴交于点C．
（1）若A（﹣3，m）、B（1，n）．直接写出不等式﹣2x+b＞的解．
（2）求sin∠OCB的值．
（3）若CB﹣CA=5，求直线AB的解析式．
7．（2016?广东校级一模）已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE 于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=6，cosC=，求⊙O的直径．
8．（2016?黄埔区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E，连接AE．（1）若D为AC的中点，连接DE，证明：DE是⊙O的切线；
（2）若BE=3EC，求tan∠ABC．
10．（2014?番禺区校级模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高．
（1）求证：△ABC∽△ADC；
（2）若关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x+（m﹣1）=0有两个不相等的实数根，试求m 的取值范围；
（3）若（2）中方程的两根恰好是Rt△ABC两个锐角的正弦值，求Rt△ABC的斜边与斜边上的高的比．
11．（2012?成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若KG2=KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2，求FG的长．
高中数学必修4三角函数教案
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
中职数学-三角函数教案
三角函数 一、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 A B α O ⑵“正角”与“负角”“0角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 2100 -1500 6600 。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫 做零角。记法：角α或α∠ 可以简记成α。 2. “象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合。 {} Z k k S ∈?+==,360| αββ 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度， 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． * 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
（2）角α 的弧度数的绝对值公式：l r α= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360 ＝2 rad ∴180＝ rad ∴ 1 ＝ rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 3. 两个公式 1）弧长公式：α?=r l 】 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 2 1 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° ! 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 > π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 } π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° ? 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 ( 5π/3 7π/4 11π /6 2π 5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
(完整)初中锐角三角函数教案
锐角三角函数 中考主要考查点： 1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中，∠C=90° （1）边的关系： （2）角的关系： （3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233
? 知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B
高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质
π??
据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))； (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))． 以题试法 1． (1)函数y ＝ 2＋log 1 2 x ＋tan x 的定义域为________． (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间??????0，π2上的值域为( ) A.??????－32，32 B.??????－32，3 C.??????－332，332 D.???? ??－332，3 解析：(1)要使函数有意义 则????? 2＋log 1 2 x ≥0， x >0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 ，k ∈Z ?? ???? 0 锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围 1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210 °，β＝－150 °，γ＝660°。 2. “象限角” 限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S | k 360 ,k Z 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角的弧度数的绝对值公式：l（l 为弧长，r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算： 三角函数 ⑵“正角”与“负角”“0 角” 210 0 210 -150 0 660 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象 ∴ 1 ＝rad0.01745rad 180 1rad 18057.305718' 3. 两个公式 1）弧长公 式： l r 由公式：l l r比公式l nr 简 r180 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 1 2）扇形面积公式S lR 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 2 角度 0°30°45°60°90°120°135°150°180° 弧度 π/6π /4π/3π/22π/33π/45π/6π 角度 210°225°240°270°300°315°330°360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π /6 2π 5. 实数的集合之间建立一种一一对应的关系 、任意角三角函数的定义 1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y） 360 ＝2 rad ∴180 ＝rad 任意角的集合实数集R 【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标： 一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。 教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10 解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动 1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再 《锐角三角函数》教案 教学目标 1．知识与技能： （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切正弦、余弦的意义和与现实生活的联系． （2）能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等． （3）能够根据直角三角形的边角关系，用正切、正弦、余弦进行简单的计算． 2．过程与方法： 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题． 3．情感态度与价值观： 进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质． 教学重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点 理解正切、正弦、余弦的意义，并用它来表示两边的比． 教学过程 第一环节创设问题情境 活动内容：观察梯子的倾斜程度 梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？为了描述梯子的这种倾斜程度，先给大家介绍三个简单的概念：倾斜角，铅垂高，水平宽．1．图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？ 2．图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？ 对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t 与2t 大小，当12t t >、12t t <、12t t 时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍．（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）． 活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度．这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲．让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较． 第二环节 探求新知 活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？ 图1— 1 图1—2 图1— 3 表 1 §1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义 问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.) 所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C 三角函数 一、任意角 1、角得概念得推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“０角” 我们把按逆时针方向旋转所形成得角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成得角叫做负角, 2、“象限角” 角得顶点合于坐标原点,角得始边合于轴得正半轴，这样一来,角得终边落在第几象限,我们就说这个角就是第几象限得角(角得终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限) ３、终边相同得角 所有与α终边相同得角连同α在内可以构成一个集合。 二、弧度制 1、定义:长度等于半径长得弧所对得圆心角称为1弧度得角它得单位就是ｒad，读做弧度,这种用“弧度”做单位来度量角得制度叫做弧度制． 说明：(1）正角得弧度数就是正数,负角得弧度数就是负数,零角得弧度数就是0 (２)角得弧度数得绝对值公式: （l 为弧长, r为半径) 2、角度制与弧度制得换算: ∵3６0?＝2πｒaｄ∴180?=πｒaｄ ∴1?＝ 3、两个公式 1)弧长公式： 由公式：比公式简单 弧长等于弧所对得圆心角(得弧度数)得绝对值与半径得积 2）扇形面积公式其中就是扇形弧长,就是圆得半径 ４、一些特殊角得度数与弧度数得对应值应该记住： 5、应确立如下得概念：角得概念推广之后,无论用角度制还就是弧度制都能在角得集合与实数得集合之间建立一种一一对应得关系 任意角得集合实数集R 三、任意角三角函数得定义 1、设就是一个任意角,在得终边上任取（异于原点得)一点P(x,y) 则Ｐ与原点得距离 (1)把比值叫做得正弦记作： (２)把比值叫做得余弦记作： （3）把比值叫做得正切记作: 上述三个比值都不会随P点在得终边上得位置得改变而改变、当角得终边在纵轴上时,即时,终边上任意一点P得横坐标x都为0,所以tan无意义; 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2） 一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点 重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知 探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2 高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知 解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期 1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q 4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 三角函数 、任意角 1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成。 2.“象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3.终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S =| =+k360,k Z 二、弧度制 1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1弧度的角王奎新新屯疆敞它的单位是 rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0王新奎新疆屯敞 （2）角的弧度数的绝对值公式： = l（l 为弧长， r 为半径） ∵ 360 ＝ 2 rad ∴ 180 ＝rad r 2.角度制与弧度制的换算： ∴ 1 ＝ rad 0.01745rad 180 3. 两个公式 1）弧长公式： l = r 由公式： = l l =r 比公式l = n r 简单 r 180 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 S = 1lR 其中l 是扇形弧长， R 是圆的半径 2 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π /6 2π 实数的集合之间建立一种一一对应的关系 王奎新新屯疆敞 三、任意角三角函数的定义 1. 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P （x ，y ） 1rad = 57.30 = 5718' 任意角的集合 实数集 R 23.1锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第一课时正切 教学目标 ◆知识与技能 1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系。 2.会求直角三角形中某个锐角的正切值。 3.了解坡度的有关概念。 ◆过程与方法 让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 ◆情感态度 通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索，合作交流，培养学生的创新意识。 教学重点： 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。 教学难点： 锐角三角函数的概念的理解。 教学准备 多媒体课件制作 教学设计 一、导入新课 导语：因为这座桥的设计让它成为了旅游新热点，火起来的原因不是因为怪异的设计或者美不胜收的景色，而是大家都很好奇这个桥的坡度到底有多陡？陡峭堪比过山车！ 不少人给这座桥赋予了极不靠谱的数据，实际上这个坡的斜率仅为6.1%，如果按咱们口头常用单位来讲还不足4度。 大家看到这个图片后一定很吃惊，那我们要想了解这副图的背景故事，我们就要来学习这里出现的数据6.1%和4度代表了什么? （导入课题锐角三角函数） 二、推进新课 1．交流合作 【问题1】在图23－2中有两个直角三角形，直角边AC与A 1C 1 表示水平面，斜 边AB与A 1B 1 分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎么判断的？ 学生可由水平长度相等，铅直高度不同进行判断． 【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，类似的在图23－3中，坡面AB 与A 1B 1 哪个更陡？你又是如何判断呢？初三锐角三角函数知识点与典型例题
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