高中数学《三角函数的图像和性质》教案

基础梳理
1．“五点法”描图
(1) y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(3
(0,0)， ( ,1) ，(π，0)， 2 , 1)
，(2π，0)．
2
(2) y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1)， 0) ，(π，－1)， (3
0) ，(2π，1)．
( , , 2 2 2．三角函数的图象和性质
[－1,1] [－1,1] R
(k+0)k ∈Z
,
2(
k
0)k ∈Z
,
2
单调增区间
[2k-2k+k ∈Z；
, ]
2 2
单调减区间
[2k+2k+3
k ∈Z
, ] 2 2
单调增区间
(k-k+k ∈Z
, )
2 2
) )
1
. 函数 y = cos(x + ，x ∈R (
)．
双基自测
3
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
y = - x )
2. 函数 tan(
4 的定义域为( )．
{x | x ≠ k - A ． 4
∈ Z } B ．{x | x ≠ 2k -
, k ∈ Z }
4
C ．{x | x ≠ k + 4 ∈ Z }
D ．{x | x ≠ 2k + 4 ∈ Z }
3. y = sin(x -
的图象的一个对称中心是( )． 4
A ．(－π，0)
B ． (- 3
C ． (3
4
D.
,0) 2 ( ,0) 2
4. 函数 f (x )＝cos (2x +
的最小正周期为 ．
) 6
考向一 三角函数的周期
【例 1】►求下列函数的周期：
y = - x )
(1) sin( 3 2 ；(2)
y = tan(3x - ) 6
考向二 三角函数的定义域与值域
(1) 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如 y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设 sin x ＝t ，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； ②形如 y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设 t ＝sin x ±cos x ，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)．
, k , k , k ,0)
)
) 【例 2】►(1)求函数 y ＝lg sin 2x ＋ 9－x 2的定义域．
(2)求函数 y ＝cos 2x ＋sin x (| x |≤
的最大值与最小值． 4
tan(x -
sin x
【训练 2】 (1)求函数 y ＝
sin x －cos x 的定义域；(2) y = 4 lg(2 c os
x -1)
(3)已知 f (x ) 的定义域为[0,1] ，求 f (cos x ) 的定义域.
考向三 三角函数的单调性
求形如 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把 ωx ＋φ 看作一个整体代入 y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若 ω 为负则要先把 ω 化为正数．
【例 3】►求下列函数的单调递增区间．
(1) y = - 2x ) ，(2) y = 1 - 2 x ) ，(3) y = tan(3x -
.
cos( 3 sin( )
2 4
3 3
【训练 3】 函数 f (x )＝sin (-2x +
的单调减区间为 ．
)
3
)
]
考向四 三角函数的对称性
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形， 应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
【例 4】►(1)函数 y ＝cos (2x +
图象的对称轴方程可能是( )． 3
A ．x π
B ．x ＝－ π
C ．x π
D ．x ＝ π
＝－ ＝
6 12 6 12
(2)若 0＜α π
＜ ， g (x ) = sin(2x + +) 是偶函数，则 α 的值为 ．
2 4
【训练 4】 (1)函数 y ＝2sin(3x ＋φ) (||< 2 π
的一条对称轴为 x ＝ ，则 φ＝
.
12 (2)函数 y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则 φ＝
.
难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．
【示例】► 已知函数 f (x )＝sin (x + (ω＞0)的单调递增区间为[k - 5
k + ] (k ∈Z )，单调递
) , 3 12 12
减区间为[k + , k + 7
(k ∈Z )，则 ω 的值为 ．
12 12
课内练习与训练
)
1、已知函数 f (x) = sin(3x +
)
3
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．
2、设函数f (x) =sin(2x +)(-<<0) 的图象的一条对称轴是直线x =，则= ．
8。