曲线积分及其及路径无关问题
曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(y x ρ求弧AB 的质量m 。
⎰=Lds y x f m ),(,(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1),(L ds y x f =⎰2),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβα+⋅⎰ )(βα<特别,当1),(=y x f 时,⎰Lds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。
当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则⎰Lds y x f ),(=[]dx x g x g x f da)(1)(,2'+⋅⎰；把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩⎨⎧==)(x g y xx ，)(b x a ≤≤，⎰Lds y x f ),(=[]dy y h y y h f dc)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。
dy y x Q dx y x P W L),(),(+=⎰，(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则d y y x Q d x y x P L),(),(+⎰d y y x Q d x y x P L),(),(+-=⎰-即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰存在，且⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dt t t t Q t t t P ⎰+βαψψϕϕψϕ)()(),()()(),('' 这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。
若曲线L 的方程为),(x f y =a x =对应于L 的起点，b x =应于L 的终点，则⎰+Ld y y x Q d x y x P ),(),(=[][]{}dx x f x f x Q x f x P b a⎰+)()(,)(,'； 若曲线L 的方程为),(y g x =c y =对应于L 的起点，d y =应于L 的终点，则⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dy y y g Q y g y y g P d c⎰+),()(),('。
同样，以上并不要求b a <，d c <。
公式可推广到空间曲线C 上对坐标的曲线积分的情形， 若空间曲线L 的参数方程为)(),(),(t z t y t x ωψϕ===，则dz z y x R dy z y x Q dx z y x P C),,(),,(),,(++⎰=[][][]{}dt t t t t R t t t t Q t t t t P ⎰++βαωωψϕψωψϕϕωψϕ)()(),(),()()(),(),()()(),(),('''这里下限α为曲线C 的起点所对应的参数值，上限β为曲线C 的终点所对应的参数值。
例1 计算⎰+Lydy xydx ，其中(1)L 为抛物线x y =2上从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧。
(2)L 为从A 到点B 的直线段.解法1 (1)由x y =2知y 不是x 的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里2y x =，y 从1-变到1，于是⎰+Lydy xydx =[]d y y y y y ⎰-+⋅⋅11'22)(=dy y ⎰1044=54。
解法2 当把曲线L 分成AO 与OB 两部分时，在每一部分上y 都是x 的单值函数。
在AO 上x y -=，x 由1变到0；在OB 上，x y =，x 由0变到1。
于是⎰+Lydy xydx =⎰+OA ydy xydx +⎰+OBydy xydx=[]d x x x x x ⎰--+-01'))(()(+[]d x x x x x ⎰+1')(=dx x dx x )21()21(1023123+++-⎰⎰=54(2) 直线AB 的方程为1=x ,0=dx ,y 从1-到1,于是⎰+Lydy xydx =⎰-11ydy =0从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等. 3. 格林公式及其应用格林公式: 设平面闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰++=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(其中+L 是D 的正向边界曲线。
在公式(1)中取x Q y P =-=,，可得⎰⎰⎰+-=LDydx xdy dxdy 2，上式左端为闭区域D 的面积A 的两倍，因此计算有界闭区域的D 面积的公式为:21=A ⎰+-L ydx xdy 。
例2 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==所围图形的面积. 解 由公式(2)得21=A ⎰+-L ydx xdy =dt t t a t a t t a t a )]sin (cos 3sin cos sin 3cos [21232023-⋅-⋅⎰π=⎰π20222cos sin 23tdt t a =283a π.例3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族x a y sin =中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分⎰+++Cdy y x dx y )2()1(3的值最小。
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。
令0:,0:0→=πx y C ，即AO 直线段。
⎰⎰⎰+++-+++=++++0)2()1()2()1()2()1(333C c C Cdyy x dx y dy y x dx y dy y x dx y a a dy y dx dx dxdy y x a D434)32()01()32(3sin 02032-+=+-=+--=⎰⎰⎰⎰⎰ππππ。
用一元函数极值的方法得1=a 时达到最小值38-π。
4. 平面曲线积分与路径无关的条件从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；定义：（曲线积分与路径无关问题）设D 是xoy 平面上的一个开区域，),(y x P 以及),(y x Q 在D 内具有一阶阶连续偏导数.如果对D 内任意两点A 与B ，以及D 内从点A 到点B 的任意两条曲线1L 、2L ，恒有⎰+1L Qdy Pdx =⎰+2L Qdy Pdx ，则称曲线积分⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关。
定理：以下条件等价(1) 在区域D 内曲线积分与路径无关的充分； (2) D 内沿任一闭曲线的积分为零；(3) 设开区域D 是一个单连通域，函数),(y x P 以及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数且xQ y P ∂∂=∂∂在D 内恒成立； (4) Qdy Pdx +为全微分．例3 计算⎰-++Ly y dy y e x dx xe )()1(2222,其中L 是从点)0,0(O 经圆周4)2(22=+-y x 上半部到点)0,4(A 的弧段。
解 直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关. 这里y xe y x P 21),(+=,222),(y e x y x Q y -=, 有y xe xQ22=∂∂=y P ∂∂,且),(y x P 与),(y x Q 在全平面上有一阶连续偏导数. 因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段OA 作为积分路径.于是⎰-++Ly ydy y e x dx xe)()1(2222=⎰-++OAy y dy y e x dx xe )()1(2222=12)1(4=+⎰dx x例4 计算⎰+-=L y x ydxxdy I 22,其中L 为:（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周.解 这里22),(y x y y x P +-=,22),(y x xy x Q +=,x Py x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(,且),(y x P 与),(y x Q 在不含原点的任意一个区域内具有一阶连续偏导数.（1） 这个曲线积分与路径无关,所以022=+-=⎰L y x ydxxdy I .（2）由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件,只能直接计算.这一圆周L 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ,)20(πϑ≤≤,则 πθθθπ2)s i n (c o s 20222222=+=+-=⎰⎰d rr y x y d x x d y I L . 例5设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cy x xy d dx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】 （I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接，则=++⎰Cy x x y d ydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x x y d ydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x x y d ydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx y ϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx yϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ① 243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ②比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=-【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.5. 二元函数的全微分求法定义：若函数),(y x u 使dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=,则称函数),(y x u 是表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+的一个原函数。
曲线积分和路径的无关性
§22.2 曲线积分和路径的无关性一 引言第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关。
对同一个起点和同一个重点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。
在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面中情形来讨论这个问题。
定理1：若函数(),P x y ，(),Q x y 在区域D 上有连续的偏导数，D 是单连通区域，则下列命题等价：⑴ 对D 内任意一条闭曲线C ，有()(),,0C P x y dx Q x y dy +=⎰。
⑵ 对D 内任意一条闭曲线l ，曲线积分()(),,lP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关（只依赖曲线的端点）。
⑶存在可微函数(),U x y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy =+； ⑷P Q y x∂∂=∂∂在D 内处处成立。
定义1：当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件时，如令点()00,A x y 固定而点(),B x y 为区域内任意一点，那么()()()00,,,x y x y U x y Pdx Qdy =+⎰在D 内连续并且单值。
这个函数(),U x y 称为Pdx Qdy +的原函数。
原函数的求法：（1）()()()000,,,x y x y U x y P x y dx Q x y dy C =++⎰⎰； 或（2）()()()000,,,x yx y U x y P x y dx Q x y dy C =++⎰⎰。
例1：求原函数u（1）()()222222x xy y dx x xy y dy +-+--;（2）()()222cos sin 2cos sin x y y x dx y x x y dy -+-。
定义2：只绕奇点M 一周的闭路上的积分值叫做区域D 的循环常数，记为ω。
于是，对D 内任一闭路CC Pdx Qdy n ω+=⎰， 这里n 为沿逆时针方向绕M 的圈数。
曲线积分及其与路径无关问题
曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(y x ρ求弧AB 的质量m 。
⎰=Lds y x f m ),(,(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1),(L ds y x f =⎰2),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβα+⋅⎰ )(βα<特别,当1),(=y x f 时,⎰Lds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。
当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则⎰Lds y x f ),(=[]dx x g x g x f da)(1)(,2'+⋅⎰；把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩⎨⎧==)(x g y xx ，)(b x a ≤≤，⎰Lds y x f ),(=[]dy y h y y h f dc)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。
dy y x Q dx y x P W L),(),(+=⎰，(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰dy y x Q dx y x P L),(),(+-=⎰-即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰存在，且⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dt t t t Q t t t P ⎰+βαψψϕϕψϕ)()(),()()(),(''这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。
13第十三讲曲线积分与路径无关问题
求法：
一般取 .
例８：验证在整个 在平面内 是存在原函数,并求出一个原函数。
【解】这里 , ,
且 在整个 在平面内恒成立,因此在整个 在平面内 存在原函数.
= = .
对于常微分方程 ,由上面可知这个微分方程的通解
泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析教研室
课程名称
高等数学研究
授课对象
授课题目
第十三讲曲线积分与路径无关问题
课时数
4
教学
目的
通过教学使学生掌握两类曲线积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握格林公式及曲线积分与路径无关的条件
重
点
难
点
1．重点两类曲线积分的计算方法；
2．难点格林公式及曲线积分与路径无关的条件。
.
（ ）设 ， 在单连通区域 内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 时，总有 .
①
②
比较①、②两式的右端，得
④
③
由③得 ，将 代入④得
所以 ，从而
【评注】本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.
６.二元函数的全微分求法
定义：若函数 使 ,则称函数 是表达式 的一个原函数。
教
学
提
纲
第十三讲曲线积分与路径无关问题
1.第一型曲线积分
(1)对弧长的曲线积分的模型：
(2)积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
2.第二型曲线积分
(1)第二型曲线积分的模型,第二型曲线积分方向无关
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把线弧 L 的方程为
L
则 f (x, y)ds = d f x, g(x) 1 g '2 (x)dx ；
L
y
f
(
x)
a
化作参数方程
f (x, y)ds = d f h( y), y 1 h'2 ( y)dy (c y d )
c
2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场 F (x, y) P(x, y)i Q(x, y) j ，
L
的参数方程为
xx
y
g
(
x)
，
(a
x (t)
x
y
b) ，
(t)
，
W L P(x, y)dx Q(x, y)dy ，
(2)设 L 为有向曲线弧， L 为与 L 方向相反的有向曲线弧，则
L
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
其中 P(x, y),Q(x, y) 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点 A 沿光滑曲线 L 运动到点 B ，求力场的力所作的功W 。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
曲线积分与路径无关的条件
由点A(0, )移动到点B ( ,0), 求此力场所作的功.(其中r = x + y ) 2 2
解:
力场所作的功为 r → ky kx W = ∫ F ⋅ ds = ∫ 2 dx − 2 dy, 2 L L x + y2 x +y
则有
令
∂P k(x2 −y2) ∂Q = = 4 ∂y ∂x r
( x2 + y2 ≠ 0)
由 yϕ′( x ) = 2 xy
⇒ ϕ( x ) = x 2 + c ⇒ ϕ( x ) = x 2 .
由ϕ(0) = 0 ，知c = 0
故
∫( 0,0 )
1
( 1 ,1 )
xy 2dx + yϕ( x )dy
1
1 = ∫0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0dx + ∫0 ydy = . 2
2.求二元函数的原函数.
例32.5
• C ( x, y 0 )
+ ∫ Q( x, y )dy
y0
y
o
x x0
x
或
u ( x, y ) = ∫ Q( x0 , y )dy + ∫ P ( x, y )dx
y0
y
方法(ii) 方法
由du = Pdx + Qdy得 u ( x, y ) = P( x, y )dy + ϕ ( x),
∫
∂u ∂ 对x求导, 得Q = = ∫ P( x, y)dy + ϕ ′( x) ∂x ∂x ∂ ′( x)dx = ∫ Qdx − ∫ ∫ P( x, y )dydx 由此得ϕ ( x) = ∫ ϕ ∂x
(2) L是从点A(1,0)沿上半圆y = 1 − x 2 到点B (−1,0)的圆弧；
微积分中的曲线积分与路径无关性研究
微积分中的曲线积分与路径无关性研究曲线积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线上的积分值。
在微积分的学习中，我们经常遇到这样一个问题：曲线积分的结果是否与路径的选择相关？这个问题引发了很多讨论和研究，最终得出了路径无关性的结论。
本文将深入探讨微积分中的曲线积分与路径无关性的研究结果。
1. 曲线积分的定义曲线积分是微积分中用来计算曲线上的函数值的方法。
它是将函数沿着指定路径的弧长进行积分的过程，通常表示为∮f(x,y)ds。
其中，f(x,y)是曲线上的函数，ds表示路径的弧长元素。
曲线积分可以用来求解曲线上的质量、质心、流量等物理问题，是应用广泛的工具。
2. 路径无关性的概念路径无关性是指，如果两条曲线的起点和终点相同，且曲线上的函数在这两条曲线上有相同的连续导数，则曲线积分的结果是相同的。
也就是说，曲线积分的结果只与积分函数f(x,y)在曲线上的取值有关，而与具体的路径选择无关。
3. 曲线积分与路径无关性的证明要证明曲线积分的路径无关性，可以通过参数化曲线、做路径分割、使用定理等方法进行推导。
其中最重要的是格林公式和斯托克斯公式。
格林公式是指二维空间中的曲线积分与曲线所围成的区域的面积之间的关系。
它通过对曲线进行参数化，将曲线积分转化为两个变量的重积分。
格林公式的证明过程中，不涉及路径的选择，因此曲线积分的结果与路径无关。
斯托克斯公式是指三维空间中的曲线积分与曲线所围成的曲面的积分之间的关系。
它通过将曲线所围成的曲面分成小面元，然后对每个小面元应用格林公式得到结果。
由于小面元的选择不影响最后的结果，所以曲线积分的路径无关性得到了证明。
4. 曲线积分的应用曲线积分在物理学、工程学、计算机图形学等领域有广泛的应用。
例如，它可以用来计算电场沿着闭合路径的环路积分，从而得到电势差；在流体力学中，曲线积分可以用来计算液体沿着曲线的流量；在计算机图形学中，曲线积分可以用来计算光线在曲线路径上的衰减。
总结：微积分中的曲线积分与路径无关性是一个重要的研究课题。
高数 平面曲线积分 知识点与例题精讲
若 P Q
y
y x
则 B( x1 , y1 ) Pdx Qdy A( x0 , y0 )
A( x0 , y0 )
o
x1 x0
P
(
x,
y0
)dx
y1Q(
y0
x1
,
y)dy
或
y1Q (
y0
x0
,
y
)dy
x1 x0
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取圆弧 AB : x cos , y sin ( : 0 )
2
2
2
W
AB
k r2
(
y
d
x
xdy)
y A
L
k
2
o
Bx
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
无关 !
Q x
o
( x 0 ) (1,0)
x
( x,0 )
由定理 2 可知存在原函数
x 1
0
dx
x
y 0
dy x2 y2
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或
y 0
1
d
y y
2
arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) o (1,0) ( x,0 ) x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连
曲线积分和路径无关的条件
曲线积分和路径无关的条件曲线积分是在曲线上对向量场进行积分的过程。
路径无关的条件是指，对于同一向量场和相同的起点和终点，不同的路径所得到的曲线积分值相等。
这个条件对于许多物理问题都具有重要意义，因为它允许我们在计算复杂路径上的积分时选择更简单或更方便的路径。
一、曲线积分的定义曲线积分可以看作是沿着一条曲线对一个向量场进行积分。
具体来说，设C是一条参数化曲线，即C可以表示为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t∈[a,b]。
向量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是一个从三维空间中每个点到该点处的向量赋值函数。
则沿着C对F进行积分的结果为：∫CF·ds=∫baF(r(t))·r'(t)dt其中F(r(t))表示在r(t)处F的值，r'(t)表示r关于t的导数。
二、路径无关条件如果不同路径上所得到的曲线积分值相等，则称该向量场F在区域D内满足路径无关条件。
形式化地说，在D内如果任意两条起点和终点相同但路径不同的曲线C1和C2上，有∫C1F·ds=∫C2F·ds则称F在D内满足路径无关条件。
三、路径无关条件的判定对于一个向量场F，它是否满足路径无关条件取决于该向量场的旋度。
具体来说，如果F在D内存在一个连通区域，并且该区域内的旋度为零，则F在该区域内满足路径无关条件。
这个结论可以用斯托克斯定理来证明。
四、斯托克斯定理斯托克斯定理是曲线积分和曲面积分之间的一种联系。
它告诉我们，如果一个向量场在某个区域内旋度为零，那么该向量场在该区域内满足路径无关条件。
具体来说，设S是一个分段光滑的曲面，边界为曲线C。
如果向量场F在S上连续可微，则有：∫SF·dS=∫CF·ds其中左边是对曲面S进行的曲面积分，右边是对边界曲线C进行的曲线积分。
五、应用举例路径无关条件可以应用于许多物理问题中。
例如，在电磁学中，电场和磁场的旋度为零是电场和磁场满足路径无关条件的充分条件。
格林公式曲线积分与路径的无关性
y
M
解 曲线 ¼ AMO 由函数 y ax x , x [0, a]
O
N A(a,0) x
图 21 17
表示, ONA 为直线 y 0 , 于是
SD
1 2
Ñ x dy
y dx
1
2
x dy y dx 1
ONA
2
¼ AMO x dy y dx
1
2
¼ AMO x dy y dx
»AB P dx Q dy
与路线的选择无关, 故当
B( x, y) 在 D 内变动时, 其
积分值是 B( x, y) 的函数, 即有
u( x, y) P dx Q dy . »AB
取 x 充分小, 使 C( x x , y) D , 则函数
u( x , y)
对于 x 的偏增量(图21-20)
值定理可得
xu
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
其中 0 1. 根据 P( x , y) 在 D 上连续, 于是有
u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
x x0 x x0
同理可证
u Q( x , y). 所以证得 y
(
x
x 1.5 0.5)2
1
dx
4arctan 0.5 2arctan 2.
注1 定理 21.12 中对“单连通区域”的要求是重要 的.如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 , 虽 然算起来很简单,但却不可用.因为任何包含 的单连通区域必定含有奇点 E . 又如本节例 2,对任 何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内 的任何封闭曲线 L 上, 皆有
证明曲线积分在整个xoy面内与路径无关
证明曲线积分在整个xoy面内与路径无关
曲线积分与路径无关的充要条件是：区域d是一个单连通域，函数p(x,y)及q(x,y)在d上有一阶连续偏导数，ap/ay=aq/ax。
对于满足一些条件的曲线，起点和终点的位置固定，沿不同的路线积分，其积分值相同，即曲线积分只与起点和终点有关，与路线的选取无关。
曲线积分分为：
（1）对弧长的曲线分数（第一类曲线分数）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线分数的区别主要是分数元素的差别，对弧长的曲线分数的分数元素就是弧长元素ds。
比如：对l的曲线分数∫f(x,y)*ds 。
对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对l’的曲线积分∫p （x,y）dx+q(x,y)dy。
但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
(1)平面上的单相连区域与为丛藓科扭口藓相连区域
设d是平面xy.上的区域。
如果d内的任何封闭曲线l所围成的区域di，恒有d; c d ,则d称为单连通区域;否
则，d称作为丛藓科扭口藓相连区域。
(2)平面曲线积分与路径无关的条件
定理1 [1] 设d就是平面xy.上的单相连闭合区域，函数p(x, y)与q(x,y) 在d内具备一阶已连续略偏导数，则以下1° ~ 4°。