债券价格的利率敏感性
有效久期计算公式
有效久期计算公式有效久期是用来衡量债券的平均回报期，即债券价格对于利率的敏感性。
它是投资者在购买债券时，根据其剩余期限和票面利率以及市场利率的变化，来判断债券的风险和回报。
有效久期计算公式如下：PV={(CF1/(1+r)^1)+(CF2/(1+r)^2)+...+(CFn/(1+r)^n)}其中，PV代表债券的现值，CF为债券在每个偿付期（通常为每年）的现金流，r代表债券的贴现率。
首先，根据债券的剩余期限和票面利率计算每个偿付期的现金流量。
以国债为例，假设其剩余期限为n年，票面利率为m%，则每年的现金流量为票面利率乘以票面价值。
接下来，根据市场利率计算债券的贴现率。
市场利率是投资者能够从其他投资中获得的回报率。
贴现率的计算方式因市场利率的计算方式而异，通常使用市场上类似风险的债券的收益率作为贴现率。
然后，根据上述公式计算债券的现值。
将每个偿付期的现金流量除以对应期数的贴现率来计算现值，再将所有现值相加，得到债券的价格。
最后，通过计算债券价格对贴现率的一阶偏导数，求得债券的有效久期。
有效久期表示债券价格对于市场利率的敏感性，它是一个加权平均值，其中每个现金流量的久期被其现值所加权。
由于计算中需要考虑多个变量，有效久期的计算较为繁琐。
因此，通常使用计算机软件或工具来进行计算。
这些软件通常会根据不同的债券类型和市场情况提供预设的计算模型，帮助投资者快速、准确地计算债券的有效久期。
有效久期是债券投资中的重要指标，它帮助投资者确定债券的回报和风险。
对于投资者来说，了解有效久期的计算公式和计算方法能够更好地评估债券的价值，从而做出更理性的投资决策。
债券价格与收益率关系
1第五章马凯尔债券价格五大定理债券价格和收益率关系的关系债券价格和到期日之间的关系2 债券价格波动性的特点1、价格的利率敏感性与债券的票面利率具有反债券价格波动性的特点（续）4、收益率上升导致价格下跌的幅度比Bond Pricing RelationshipsBond Pricing Relationships (cont.)价格价格和收益率关系Examplesc e期限越长的债券价格的利率敏感性越大ex.A B C债券期限长度和利率风险Interest Rate Risk Theorems Interest Rate Risk Theorems利息额的大小与利率风险3 基点价格值基点价格值（price value of a basic point4 债券存续期间的概念债券存续期间的概念债券存续期间的概念存续期（持有期）的计算存续期，也就是持有期，是指给定某债券现金流的情存续期计算举例债券尚有5年到期，息票利率为10%，面值为1000，价格为存续期意义存续期与债券价格久期实际上是一种弹性久期实际上是一种弹性久期实际上是一种弹性一般付息债券的存续期间一般付息债券的存续期间一般付息债券的存续期间一般付息债券的存续期间一般付息债券的存续期间一般付息债券的存续期间零息债券的存续期间零息债券的存续期间永续债券的存续期间()影响存续期间的因素影响存续期间的因素影响存续期间的因素影响存续期间的因素修正的存续期间与价格存续期间修正的存续期间与价格存续期间修正的存续期间与价格存续期间投资组合的存续期间的计算Duration of portfolio Duration of portfolion5 债券凸性的概念P假定线性关系运用存续期间计算所产生的误差债券凸性的概念债券凸性的计算债券凸性的计算债券凸性的计算债券凸性的计算债券凸性的计算。
债券组合利率敏感性的测度：久期
债券组合利率敏感性的测度：久期作者：龙华根来源：《商情》2012年第22期【摘要】通常情况下，长期债券比短期债券对利率波动更为敏感。
久期是一种定性分析债券组合对利率敏感性的方法，因此久期成为利率风险暴露程度的重要测度指标，对利率风险管理具有很重要的意义。
【关键词】久期利率敏感性债券价格变化修正久期1.久期的概念久期也称持续期，是1938年由弗雷德里克·麦考利(FrederickMacaulay)提出的。
它是以未来时间发生的现金流，按照目前的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以其距离债券到期日的年限求和，然后以这个总和除以债券目前的价格得到的数值。
2.久期的数学表达若将麦考利久期标记为D,则其中t表示时间，ωt表示与在时间t上支付的现金流（标为CFt）相联系的权重，有，式中y为债券的到期收益率。
3.久期在债券组合管理中之所以重要的原因首先，久期是资产组合有效平均期限的一个简单测度指标；其次，久期被看作资产组合免于利率风险的一个重要工具；第三，久期是债券组合利率敏感性的测度。
4.久期在债券组合利率敏感性测度中的应用当利率变化时，债券价格变化的比率与到期收益率的变化相关：，式中ΔP表示债券价格的变化，P表示债券价格，D表示麦考利久期，Δ（1+y）表示到期收益率的变化，y表示到期收益率。
即价格变化率等于（1+债券收益率）的变化率乘以债券的久期。
因此，债券价格的易变性与债券的久期成比例，久期自然也成为利率风险暴露程度的测量指标。
若将“修正久期”定义为D*=D/（1+y），则上式重新表述为即债券价格变化的百分比恰好等于修正久期与债券到期收益率的变化之乘积。
由于债券价格变化的百分比同修正久期成比例，因此修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险暴露程度。
5.久期和债券价格对利率变化的敏感性之间的关系如果久期真的是测度价格敏感性的有用尺度，那么久期和期限相同的息票债券的价格敏感性与零息债券的价格敏感性应该有相同的利率风险。
投资学第9章习题及答案
本章习题1．简述利率敏感性的六个特征。
2．简述久期的法则。
3．凸性和价格波动之间有着怎样的关系？4．简述可赎回债券与不可赎回债券的凸性之间的区别。
5．简述负债管理策略中免疫策略的局限性。
6．简述积极的债券投资组合管理中互换策略的主要类型。
7．一种收益率为10%的9年期债券，久期为7.194年。
如果市场收益率改变50个基点，则债券价格变化的百分比是多少？8．某种半年付息的债券，其利率为8%，收益率为8%，期限为15年，麦考利久期为10年。
（1）利用上述信息，计算修正久期。
（2）解释为什么修正久期是计算债券利率敏感性的较好方法。
（3）确定修正久期变动的方向，如果：a．息票率为4%，而不是8%b．到期期限为7年而不是15年。
（4）说明在给定利率变化的情况下，修正久期与凸性是怎样用来估计债券价格变动的？第九章本章习题答案1. 在市场利率中，债券价格的敏感性变化对投资者而言显然十分重要。
为了了解利率风险的决定因素，可以参见图9-1。
该图表示四种债券价格相对于到期收益变化的变化百分比，它们有不同的息票率、初始到期收益率以及到期时间。
这四种债券的情况表明，当收益增加时，债券价格下降；价格曲线是凸的，这意味着收益下降对价格的影响远远大于等规模的收益增加。
通过观察，可以得出以下两个特征：（1）债券价格与收益呈反比，即：当收益升高时，债券价格下降；当收益上升时，债券价格上升。
（2）债券的到期收益升高会导致其价格变化幅度小于等规模的收益下降。
比较债券A和B的利率敏感性，除到期时间外，其他情况均基本相同。
图9-1表明债券B比债券A期限更长，对利率更敏感。
这体现出其另一特征：（3）长期债券价格对利率变化的敏感性比短期债券更高。
这不足为奇，例如，如果利率上涨，则当前贴现率较高，债券的价值下降。
由于利率适用于更多种类的远期现金流，则较高的贴现率的影响会更大。
值得注意的是，当债券B的期限是债券A的期限的6倍的时候，它的利率敏感性低于6倍。
债券的久性
*
∆P ≈ − D * ∆r P
次复利的收益率而言， 对于一年计 m 次复利的收益率而言，修 正的持续期为： 正的持续期为：
ct t ∑ (1 + r ) t × m D * t =1 D = m r 其中， ，其中，D = 1+ m B
mT
四、久期的应用：资产负债管理——组合免疫 久期的应用：资产负债管理 组合免疫
久期=4775.858÷760.608=6.279 ÷ 修正的久 修正的久期=6.273/（ 1+10%） =5.708 （ ）
从表中可以看出，负债的现值为 美元。 从表中可以看出，负债的现值为760.61美元。 美元 现在的问题在于如何将出售的保单收入760.61 现在的问题在于如何将出售的保单收入 美元进行投资， 美元进行投资，以保证未来的每一时点投资的 资产价值至少与负债的价值相当。 资产价值至少与负债的价值相当。
债券投资敏感性分析
= 106.8709 此计算结果与中国债券信息网公布的“04 国债 03”当天的平均价格 106.871 非常一致，说明结合有效久期和有效凸性能够对债券价格变化进行准确快速的估 算。运用有效久期和凸性在评价一组债券或含权债券时直接使用有效久期和凸性 能够比完全重新计算一组债券来得方便、迅速。 本质上讲，债券久期和凸性的派生假设是收益率曲线是平缓的，收益率曲线 是以平行的方式移动，这对单一债券的价格变化测度是有效的。但是，在对于一 个具有不同到期日债券的投资组合，当收益率曲线以非平行方式移动的情况下度
.1.
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Kevin CHEN Report
2005.3.22
作者：陈琰 E-mail: @
有效久期(ED) = BV−∆y − BV+∆y 2 × BV0 × ∆y
其中： ED ：有效久期 ∆y ：债券市场利率变动
益率分别上升和下降 50 个基点来计算“04 国债 03”的久期和凸性。根据中国人 民银行文件银发[2004]116 号文件《中国人民银行关于全国银行间债券市场债券 到期收益率计算有关事项的通知》，对于债券价格的计算我们采用以下公式来计 算：
PV =
Cf d
+
Cf d
+L +1
(1+ y f ) (365/ f ) (1+ y f ) (365/ f )
一、 久期和凸性——债券利率敏感性测度的一般方法
（一）有效久期的计算方法
久期是衡量债券利率风险的重要指标，是利率每变动 100 个基点时债券价值 的百分比变动。在实际运用中我们需要对久期的不同计算方法有一个清晰的概念 才能够在债券投资中恰当的运用。久期的计算主要有麦考莱久期（Macaulay duration）、修正久期(Modified duration)和有效久期(effective duration) 三种计算方法。
债券价格的利率敏感性
久期
久期的定义与计算(第一种含义)
久期(duration)是债券现金流发生的加权平均时 间，权重是各次现金流的现值与债券市值的比 重 （麦考利久期）
公式：
D T t ct (1 i)t
t 1
B
久期
久期的计算(第一种含义)
票息率为5%、期满日为3年的国债正在平价交 易，其久期为
凸度 1.0434 38.2386 134.2596
理论价格 101.3101 96.7275 94.2721
215.41份“03国债(7)”、677.32份“06国债(3)”以及134.32份“03国债(3)”。
久期与凸性的简单应用
构建凸性增强债券投资组合
增强凸性的重要措施就是尽量用债券组合代替 单一债券，因为债券组合的现金流发生时间的 方差往往大于单个债券，在久期相同的情况下， 现金流发生时间的方差大小对凸性有决定性的 作用，方差越大，凸性越强。
i)2
T t 1
t (1
t)ct
(1
i) t
组合的凸性
n
C p X jC j j 1
凸性
考虑凸性以后债券价格波动的估计
线性一次逼近 二次逼近
B B
Dm
di
1 2
C
(di)2
价格 B*+Δ B
有效的债券价格
123
B*
i*+Δ i
i*
市场收益率
凸性
债券价格
注意： j1
j 1
采用这种简单的方式计算组合的久期必须有严格的 假定前提，那就是利率期限结构是扁平的并且其形 状与位置都保持不变
凸性
债券价格的利率敏感性
05
未来展望与研究方向
利率市场化对债券市场的影响
利率市场化将增加债券市场的竞争性，促使债券价格更加敏感于市场利率的变化。
随着利率市场化的推进，债券市场的风险和收益将更加复杂，需要投资者具备更高 的风险识别和风险管理能力。
利率市场化将推动债券市场向更加规范化和透明化的方向发展，有利于提高市场效 率和降低系统性风险。
财政政策对债券市场的影响
政府支出
政府支出的增加通常需要增加财政赤字，这会导致政府债券供应量增加人的收入和支出，进而影响经济活动和债券市场。例如，减税政策可 以刺激经济增长，但同时也可能导致政府财政赤字增加，进而影响债券价格。
国际金融市场对国内债券市场的影响
免疫策略
通过调整债券投资组合的久期和凸性，使其对利率变化具有一定的 “免疫”能力，即无论利率如何变化，投资组合都能保持一定的价 值。
杠铃策略
同时持有短期和长期债券，以寻求在利率变动时获得更好的保值效果 。
利率风险的管理策略
积极管理
通过买卖债券来调整投资组合的久期 和凸性，以应对预期的利率变化。
消极管理
利率风险的测量方法
01
久期
衡量债券价格对利率变化的敏感 性的指标，计算债券的平均到期 时间。
02
03
凸性
风险敞口
衡量债券价格与利率变化的非线 性关系的指标，反映债券价格变 化的加速度。
计算债券投资组合对利率变化的 敏感性的指标，通过计算投资组 合的久期和凸性来实现。
利率风险的防范措施
多样化投资
分散投资于不同到期时间和不同息票率的债券，降低单一债券的利 率风险敞口。
THANKS
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债券的到期时间与利率变动的关系
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收益
券
率
y*
第二节 利率敏感性及其特性
价格风险----是指由于利率变动引起债券价格的下降 而导致投资者的资本损失。
摘要：对债券市场价格与息票率、到期收益率以及到期期限 等参数关系的研究通常采用实证方法。本文采用数学分析方 法，利用计算机进行数据处理，对以上各参数之间关系进行 严格论证。通过对量化结果的讨论，提出分析各参数对债券 影响的有效方法，得出一些有意义的结果。
第二节 债券的价值
债券期限与发行价格的关系探讨 舒敏(浙江财经学院) 财会月刊2010（28）
形成的资本利得恰好弥补票面利率低于市场利率的利差部分。
第一节 债券价格变化的特征
市场利率与票面利率的大小决定债券价格与面值的 关系： 市场利率 = 票面利率，价格 = 面值 市场利率 > 票面利率，价格 < 面值 市场利率 < 票面利率，价格 > 面值
第二节 债券的价值
问题：以下关于债券价格的叙述是否正确？
第一节 债券价格波动的特征
收益率 5.0% 5.5% 6.0%
息票现值（元） 面值现值（元） 债券价额（元）
350.73
707.73
1058.46
344.73
684.00
1028.73
388.88
661.12
1000.00
第一节 债券价格波动的特征
收益率 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5%
第一节 债券价格变化的特征
市场利率、票面利率对债券价格的影响： 市场利率与票面利率相等时，债券价格与面值相等； 市场利率高于票面利率时，人们不会购买低票面利率
的债券，该债券的价格必然下降；
债券价格高于面值所形成的资本损失恰好抵消票面利率高于 市场利率的利差部分。
市场利率低于票面利率时，人们争相购买高票面利率 的债券，该债券的价格必然上升。债券价格低于面值所
第一节 债券价格变化的特征
债券价格的影响因素:
息票利率
期限
市场要求收益率 嵌入期权
Vt n1(1Ir)t (1Fr)n
第一节 债券价格变化的特征
债券价格与收益率的关系： 债券价格与收益率呈反向变动
问题：债券价格与收益率呈怎样的反向变动？
第一节 债券价格变化的特征
例1 一种债券的面值为1000元，票面利率为6%， 2009年10月15日到期，每年的4月15日和10月15日 分别支付一次。计算该债券在2002年10月15日的价 格。
债券价格的利率敏感性
路漫漫其悠远
少壮不努力，老大徒悲伤
第五章 债券价格的利率敏感性
利率变动是引起债券价格变化的最常见因素
基本问题： 利率变化是如何引起债券价格波动？ 如何测量债券价格的波动？
第五章 债券价格的利率敏感性
本章内容提要： 价格波动与票面利率、到期时间和初始收益率的关系 价格波动的衡量----利率敏感性 价格波动的测量方法： 基点价格值法（价格的相对百分比） 久期法 凸率法
200 0
价格
第一节 债券价格变化的特征
-
价
价
格
格
收
益
率
曲
线
收益率
第一节 债券价格变化的特征
价格收益率曲线的性质的验证： 记债券的价格收益率函数为P=P(r)，则有 一阶导数小于零； 二阶导数大于零。
第一节 债券价格变化的特征
价格-收益率曲线的解释： 当收益率水平很高时，债券价值会很低，价格也低； 当收益率水平很低时，债券价值会很高，价格也高； 当收益率接近于零时，债券价值接近于现金流的总和。
第1句 第2句
A 正确
正确
B 正确
不正确
C 不正确 正确
D 不正确 不正确
答案：B。不管必要收益率是多少，债券的价格将随着到期期 限的临近，不断趋于面值。
第二节 债券的价值
债券价格、到期期限以及到期收益率的数学方法分析 常清英（中国农业大学），林清泉(中国人民大学） 中国农业大学学报2003（8）
第一节 债券价格波动的特征
收益率
息票现值（元） 面值现值（元） 债券价格（元）
6.0%
388.88
661.12
1000.00
第一节 债券价格波动的特征
收益率
息票现值（元） 面值现值（元） 债券价额（元）
5.5% 6.0%
344.73 388.88
684.00 661.12
1028.73 1000.00
摘要：本文通过分析与举例来说明债券期限与债券发行价格 两者之间的关系：
当市场利率小于票面利率时，期限越长债券发行价格越高； 当市场利率大于票面利率时，期限越长债券发行价格越低；
当市场利率等于票面利率时，期限不影响债券发行价格。
第一节 债券价格变化的特征
债券价格与到期时间的关系： 当票面利率大于市场利率时，期限越长，债券发行价
（1）收益率固定，折价交易的债券将不断增值。
（2）收益率固定，溢价交易的债券将不断增值。
第1句 第2句
A 正确
正确
B 正确
不正确
C 不正确 正确
D 不正确 不正确
第二节 债券的价值
问题：以下关于债券价格的叙述是否正确？
（1）收益率固定，折价交易的债券将不断增值。
（2）收益率固定，溢价交易的债券将不债券价额（元）
350.73
707.73
1058.46
344.73
684.00
1028.73
388.88
661.12
1000.00
333.18
639.06
972.24
327.62
617.78
945.40
322.19
597.26
919.45
316.89
577.48
894.37
格越高； 当票面利率小于市场利率时，期限越长,债券发行价
格越低； 当票面利率等于市场利率时，期限不影响债券发行价
格。
第一节 债券价格变化的特征
嵌赎回权债券收益率－价格曲线
价
无期权债 券
格
嵌赎回权债 券
y*
收益 率
第一节 债券价格变化的特征
嵌回售权债券收益率－价格曲线
价 格
嵌回售权债 券
无期权债
311.73
558.39
870.12
306.68
539.97
846.65
301.76
522.21
823.97
价格-收益率曲线
收益率
5.00% 5.50% 6.00%
6.50% 7.00% 7.50% 8.00%
8.50% 9.00% 9.50%
1200第一节 债券价格变化的特征
1000
800 600 400