3.静态电磁场边值问题计算方法
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电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
n 1
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
电磁场与电磁波静态场的边值问题
s c
B ds 0 H dl I
B 0 H J
这是恒定磁场的基本方程。
磁介质中的本构方程为
B H
从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋 涡场的源，电流线是闭合的。
静态场的位函数
1、静电场的位函数分布
静电场可以用一个标量函数 即
的梯度来表示它:
+
A C B
-
恒定电流的形成 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬
到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。
若一闭合路径经过电源，则：
ò E ?dl
c
eE
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即电场强度的线积分等于电源的电动势 E 若闭合路径不经过电源，则：
c
E dl 0
2、恒定电场的位函数分布
在无电源区域，恒定电场是一个位场，即有 E 0
这时同样可以引入一个标量位函数
使得
E
根据电流连续性方程 J 0 及物态方程 J E 并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有
2 J ( E) ( ) 0
恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为
J ds 0 E dl 0
s
c
J 0 E 0
导体中的本构方程为
J E
3、恒定磁场的基本方程 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在 磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体
中的传导电流为I，电流密度为 J ,则有
第 5章
静态场的边值问题
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
静态场的边值问题
求槽内电位
U ( x) U0 ,
U ( x) U m sin
2. 的解。
a
x,
( x) 0
解： 由题意， 沿z方向是没有变化的，而槽的
边界是与直角坐标系的坐标面平行的。 １、选直角坐标系：如图所示。 ２、拉氏方程：
2018/12/21
2 0 2 x y
2 2
E 0, 0) 2 A J ( 0, J 0) 三个标量方程（５－１－２）
2018/12/21
电磁场理论
2
第五章
三、静态场的求解------静态场的边值问题:
根据唯一性定理：满足三类边值问题的泊 松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。
2018/12/21
电磁场理论
4
第五章
第二节 分离变量法
一、分离变量法的一般步骤（规则边界）：
１、分离变量法：
( x, y, z; r, , z; r, , )
F ( x, y, z) f ( x) g ( y) h( z)
２、分离变量法的一般步骤： 由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
ax x
或
2018/12/21
e B2
ax x
１３
9
电磁场理论
第五章
kx 0
则
１３
x C2 f ( x) C1
1 d2 f 2 k x 2 f dx
(５-２-１１)
同理，g ( y), h( z ) 的通解亦可根据 从而得到类似 f ( x) 的通解。
k y , kz
的取值不同，
故
( x, y, z) f ( x) g ( y) h( z)
U ( x) U0 ,
U ( x) U m sin
2. 的解。
a
x,
( x) 0
解： 由题意， 沿z方向是没有变化的，而槽的
边界是与直角坐标系的坐标面平行的。 １、选直角坐标系：如图所示。 ２、拉氏方程：
2018/12/21
2 0 2 x y
2 2
E 0, 0) 2 A J ( 0, J 0) 三个标量方程（５－１－２）
2018/12/21
电磁场理论
2
第五章
三、静态场的求解------静态场的边值问题:
根据唯一性定理：满足三类边值问题的泊 松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。
2018/12/21
电磁场理论
4
第五章
第二节 分离变量法
一、分离变量法的一般步骤（规则边界）：
１、分离变量法：
( x, y, z; r, , z; r, , )
F ( x, y, z) f ( x) g ( y) h( z)
２、分离变量法的一般步骤： 由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
ax x
或
2018/12/21
e B2
ax x
１３
9
电磁场理论
第五章
kx 0
则
１３
x C2 f ( x) C1
1 d2 f 2 k x 2 f dx
(５-２-１１)
同理，g ( y), h( z ) 的通解亦可根据 从而得到类似 f ( x) 的通解。
k y , kz
的取值不同，
故
( x, y, z) f ( x) g ( y) h( z)
静态电磁场边值问题精品PPT课件
φ=0 h r2
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
qq
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
第三章静态电磁场及其边值问题
2 2
y
有题设边界条件： x 0处，1 0 0; 1 x b处，1 b 2 b . x a处， 2 a 0 2 x 1 x 3 x
o
b
a
x
2.
s 0 b a s 0b 解得：C1 , D1 0 D2 . 0a 0 b a b 1 x s 0 x ; 2 x s 0 a x 0a 0a s 0 b a s 0b d1 x d 2 x E1 x 1 x e x ex ; E2 x 2 x e x ex dx 0a dx 0a
电位满足的拉普拉斯方程
2 2 2 在直角坐标系中 2 2 2 x y z 补充例题 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计 算球外空间的电位。 C1 C2 2 r 解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 0
2
由题意可知电位及电场具有球对称性 r 在球坐标系下
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r ' ◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' / 0
满足的方程：2G r , r ' r r ' 1 无界空间中的解：G r , r ' r , r ' 0 ◇ 定义格林函数 G r, r ' 0 r, r ' 4 r r ' 格林函数的对称性：G r , r ' G r ', r 意义：电荷量为 0的点电荷的电位。
间的x b处有一面密度为 s 0的均匀电荷分布。求导 体板间的电位和电场。 解：电位函数满足的一 维拉普拉斯方程为 d 1 x d 2 x 0 0 x b ; 0 bxa 2 2 dx dx 方程的解为：1 x C1 x D1 ; 2 x C2 x D2
y
有题设边界条件： x 0处，1 0 0; 1 x b处，1 b 2 b . x a处， 2 a 0 2 x 1 x 3 x
o
b
a
x
2.
s 0 b a s 0b 解得：C1 , D1 0 D2 . 0a 0 b a b 1 x s 0 x ; 2 x s 0 a x 0a 0a s 0 b a s 0b d1 x d 2 x E1 x 1 x e x ex ; E2 x 2 x e x ex dx 0a dx 0a
电位满足的拉普拉斯方程
2 2 2 在直角坐标系中 2 2 2 x y z 补充例题 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计 算球外空间的电位。 C1 C2 2 r 解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 0
2
由题意可知电位及电场具有球对称性 r 在球坐标系下
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r ' ◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' / 0
满足的方程：2G r , r ' r r ' 1 无界空间中的解：G r , r ' r , r ' 0 ◇ 定义格林函数 G r, r ' 0 r, r ' 4 r r ' 格林函数的对称性：G r , r ' G r ', r 意义：电荷量为 0的点电荷的电位。
间的x b处有一面密度为 s 0的均匀电荷分布。求导 体板间的电位和电场。 解：电位函数满足的一 维拉普拉斯方程为 d 1 x d 2 x 0 0 x b ; 0 bxa 2 2 dx dx 方程的解为：1 x C1 x D1 ; 2 x C2 x D2
《电磁场理论》3.1 唯一性定理
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
01:52 11
例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C
V
2 ( ) dV 0
电磁场与电磁波课件第5章 静态场的边值问题
1 2 ，
然后进行 证明.同样可得出结论,其解唯一.
设φ1φ2是同一有源区域的边值问题
2 的解。 | f1 ( S )
即在区域V内，φ1和φ2满泊松方程，即
1 2 2
2
在V的边界S上，φ1和φ2满足同样的边界条件， 即
5.3.1 导体平面镜像
设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h 。 若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半 空间中的电场。 分析：上半空间任一点 P处的电位，应等于点 电荷q和无限大导体平 板上感应的负电荷产生 的的电位总和。因此， 上半空间的电位问题可 表示为 ：
2
C (常数)
0
1 2
C 0
5.3 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边
界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程 大为简化。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界 条件不变。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜 像电荷，而这种方法称为镜像法。
2 A ( A) A J
人为规定
A 0
这个规定被称为库仑规范
于是有
2 A J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
在没有电流的区域有J 0
2 A0
此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。 (2) 磁场的标量位函数 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 H 0 B 0 这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数， 即标量磁位函数
第四章 静态电磁场边值问题的解法.
第四章 静态电磁场边值问题的解法1 前面我们求解电场或磁场问题大都采用直接积分或用高斯定律、安培定律。
这些方法不是一般的方法，使用时受限制较多，如必须先知道源的分布、或要有对称性等等。
一般的方法是求解电位或磁位的泊松方程、拉普拉斯方程（微分方程）。
到硕士生学习阶段，还要学习积分方程，这也是一般方法。
2 为什么要计算电磁场，它的作用。
1）软件的价格，2）测井3）成像4）集成电路设计5）电磁兼容，上海Intel ，6）电机设计3 用微分方程求解一个电磁场问题，必须知道方程本身以及边界条件，两者构成一个定解问题（边值问题）。
一个电磁场边值问题的解是唯一的（即§4.2静态电磁场的唯一性定理，后面不再讲）4 根据边界条件形式的不同，边值问题可以分为三类：1） 第一类边值问题（狄里赫利问题）给定未知函数在边界上的函数值。
2） 第二类边值问题（诺伊曼问题）给定未知函数在边界上的法向导数值。
3） 第三类边值问题（混合问题）在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的函数值，在其它边界上给定未知函数在这部分边界上的法向导数值；或者给定边界上未知函数与其法向导数值的线性组合。
5 如果求解区域里有多种媒质，边界条件还必须包括前面学过的电场和磁场的不同媒质边界上的边界条件。
6 如果求解区域伸展到无穷远，必须包括无穷远条件。
对电位或磁位，有=∞→ϕr r lim 有限值 §4.1 静态电磁场的方程与边界条件（参考教科书90页的列表）§4.2静态电磁场的唯一性定理（略）§4.3 镜像法1 镜像法的实质：用镜像电荷（或源）代替边界，使边界上的未知函数（电位/电场/磁位/磁场）值，或其法向导数值保持不变，即边界条件不变。
也可以理解为电力线或磁力线在求解的区域保持不变。
2 所以镜像源一定在求解区域的外边。
源附近场强无限大，不可能是真实解，故镜像源一定不能在求解区域里。
3 无限大导电平面：1）点电荷。
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计算结果如下：本倒采用简单迭代法，经６６次 迭代后，电势数值解收敛于某一固定值场内所划 分的网格点的电势的计算结果如表１所示若采用
超松弛迭代法：科ｊ１ ２ Ｐ？，，＋詈（兢…＋辨ｊ！ｔ＋
肌２可乖亟霁点札 科：：，，＋Ｐ？一，一４霞，）（其中ｍ为松弛因子，最佳值
ｍ，”分别为ｚ、ｙ方向的网格数），收敛速度将更 快．
０ １ｌ ２８８ ８ ２３ ６８２ ６
４５ ｌ ３５ ６
３８ ３９４ ６
６６ ８４８ ８ ９５ １０５ ７
５６ ８６５ ０ ８０ ９０１ ７
０
０பைடு நூலகம்
０
８ ２ ０１＆ ４ ３１１ ９ ０
１７ ２０６ ４
９ ０４５ ９ ０
２７ ８９５ ３ １４ ６６５ ４ ０
４１ ３１４ ８ ２１ ７２０ ５ ０ ５８ ７７８ ５ ３０ ９０１ ７ ０
０
Ｏ
Ｏ
８．１５６ ７ １７ １２５ １
４ ２８８ ２ ０ ９ ００３ ２ ０
２７ ７９７ ７ １４ ６１４ １ ０
４１ ２３６ ４ ２ｌ ６７９ ２ ０
５８ ７７８ ５ ３０ ９０１ ７ ０
万方数据
大学物理
第２６卷
国际学术界对有限元法的理论、计算及各方面 的应用做了大量的工作，许多问题都有现成的程序， 可用的商业软件相对较多”１，如美国Ａｎ∞ｆｔ公司的 Ｍａｘｗｅｌｌ和美国ｓｗａｎｓ（）ｎ Ａｎａｌｙｓｌｓ公司推出的Ａｎ— ｓｙｓ．Ａｎｓｙｓ软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一 体的大型通用有限元软件，可用来求解不同情况下 的静态电磁场问题
上面的例子属于规则形状的第一类边值问题， 通过分离变量法已得到精确的解析解，为了与解析 解作比较，以验迁数值计算的精度，还以此为例对槽 内电势进行数值分析 ２．１有限差分法
有限差分法是将偏微分方程中的偏导函数用差 商形式来表示，将所求电磁场的区域中计算无限多 个点的函数值变为计算有限多个点上的函数（这一 过程称之为离散化），求出数值解的方法”． ２．１ １有限差分法的计算
矩形槽内电势分布三维曲面图如图２所示 槽 内等势线、电场线分布如图３所示．
２．１．２用有限差分法所得数值解与精确解析解的 比较
利用解析解妒（ｚ，ｙ）＝—告ｓｉｎ坚ｓｈ型＝
ｓｈ翌
８
。
÷等ｓｉｎ器ｓｈ器用ＭＡＴＬＡＢ编程求各网格点上电
“ｉ
势的精确解如表２所示．
对照表ｌ、表２进行误差分析：第２行第２列网
格点数值解与精确解之间的误差（４．３儿９—
ｎｌａｘｔ＝Ｏ：
ｆｏｒｉ－２：ｈｙ—ｌ ｆｏｒｊ＝２：ｈｘ一１
ｖ２（ｉ，ｊ）＝（ｖｌ（ｉ，ｊ＋１）＋ｖ１（ｉ＋１，ｊ）＋ｖ２（ｉ－１，ｊ） 十ｖ２（ｉ，ｊ＿１））／４；％拉氏差分方程式
ｔ＝ａｂｓ（ｖ２（ｉ，ｊ）一ｖ１（ｉ，ｊ））； ｉｆ（ｔ＞ｍａｘｔ）ｍａｘｔ＝ｔ；ｅｎｄ
ｅｎｄ
ｅｎｄ
ｖｌ＝ｖ２：
ｅｎｄ
ｂ‘ＮＩｌｍ面ｃａｌ Ａｎａｌ”ｉｓ ０ｆ Ｅｌ篦ｔⅫｎａｇＴ】ｅｔｋ Ｆｉｄｄ ＰｒｏＨ唧
［Ｊ］ＩＥＥＥ ｈａｒｌ龃ｃｔ Ｌ（Ⅲｍ Ｍａｇｎｅｌｌｃ＝ｓ，２００６，４２（８）：
ｌ ９６３．１ ９７３
［３］Ｋａｎａｌ，ＹａｓＬ】ｓｈｌ Ａｕｔ∞１ａｔｉｃ ｍ卷ｈ脚ｅｒａｔｉｏｎ ｆｏｒ ３Ｄ ｅｌ牧ｔｒｏ．
０ １３】９７ ９ ２７ ７０９ ｌ ４４ ９７７ ６ ６６ ７２１ ９ ９５ １０５ ７
０ １３ ８７７ １ ２９ １３５ ０ ４７ ２９２ ２ ７０ １５５ ５ １００ ０００ ０
０ １３ １９７ ９ ２７ ７０９ １ ４４ ９７７ ６ ６６ ７２ｌ ９ ９５ １０５ ７
０ １１ ２２６ ８ ２３ ５７０ ７ ３８ ２６０ ２ ５６ ７５７ ０ ８０ ９０ｌ ７
对于上面的那个例子，用有限元软件Ａｎｓｙｓ 分析槽内电势分布．计算步骤如下：１）过滤图形 界面；２）建立模型；３）定义材料性能；４）定义单 元类型；５）指定区域材料属性和划分单元类型； ６）划分网格；７）加载和指定边界，注意：指定顶
盖边界条件妒（ｚ，ｙ）
㈣
＝Ｖ。ｓｉｎ兰ｚ时，要先进 “
行离散化；８）后处理槽内电势分布结果如图４
１００＊自ｎ（ｐｉ＊（ｊ—１）／（ｈｘ一１））
ｆｏｒ ｉ＝ｌ：ｈｖ
ｖ１（ｉ，１）＝Ｏ； ｖｌ（ｉ，ｈｘ）＝０； ｅｎｄ
％左右两列的Ｄｌｒｉｃｈｌｅｔ 边界条件
ｖ２＝ｖ１；ｍａｘｔ＝１；ｔ＝Ｏ； ｋ＝０：
％初始化
ｗｈｉｌｅ（ｍａｘｔ＞ｌｅ ｋ＝ｋ＋１：
６）％由ｖ１迭代，算出ｖ２ 迭代精度Ｏ ０００ ００１ ％迭代次数
第２６卷第８期 ２００７年８月
大学物理 ｃＯＬＬＥ（迕 ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖ０１．２６ Ｎｏ ８ Ａｕｇ ２００７
静态电磁场边值问题计算方法
宋燎原１，王 平１，张海峰１，李柱银２
（１中吲什油大学信控学院，山东东营２５７（）６１；２胜利石油管理局井下作业公司，山东东营２５７０７７）
摘要：介绍常用的电磁场分析方法——解析法、有限差分法、有限元法以静态电磁场边值问题为例，分别用自己编写的
１解析法
１８６４年，Ｍａｘｗｅｌｌ在前人理沦和实验的基础上 建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自 然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是 Ｍａｘｗｅｌｌ方程组．笼统而言，所有的宏观电磁问题 都可以归结为ＭａｘｗｅＵ方程组在各种边界条件下的 求解问题解析法包括建立和求解偏微分方程或积 分方程严格求解偏微分方程的经典方法是分离变 量法，即在可分离变量的坐标系中求解ＭａｘｗｅＵ方 程组或其退化形式，最后得到解析解严格的求解 积分方程的方法主要是变换数学法
本文选用ＭＡＴＬＡＢ来编写程序，ＭＡＴＬＡＢ是 近年来十分流行的通用性很强的优秀软件，它的程 序简单明了，容易看懂”ｏ而且ＭＡＴＬＡＢ还具有一 些更方便的特殊功能，如有专门实现偏微分方程数 值求解的工具箱ＰＤＥ Ｔ００ｌｂｏｘ等，使用这些工具箱 能够直观、快速、准确、形象地描述数值计算的结果
为简单起见，取步长＾＝１，ｚ、ｙ方向的网格数 为优＝１０，ｎ＝５，共有１０×５＝５０个网孔，１１×６＝ ６６个节点，其中槽内节点（电势代求点）有９×４＝３６ 个，边界节点（电势已知点）６６—３６＝３０个．采用１／４
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第８期
宋燎原，等：静态电磁场边值问胚计算方法 表１场域内网格点电势的数值计算结果——用有限差分法
１
０
２
０
３
Ｏ
４
０
５
０
６
０
０ ４ ３１１ ９ ９ ０４５ ９ １４ ６６５ ４ ２ｌ ７２０ ５ ３０ ９０１ ７
０ ８ ２０１ ８ １７ ２０６ ４ ２７．８９５ ３ ４ｌ ３１４ ８ ５８ ７７８ ５
当然，经典电磁理论的研究也一直在进行着，它 是计算电磁学的理论基础，没有它，计算电磁学也不 可能得到蓬勃的发展．
参考文献：
［１］冯慈璋，马西奎工程电磁场导论［Ｍ］北京：高等教 育出版社，２０００：３２ ４０
［２． Ｄｌａｂ，ＥｍａｄＩ ｅｍａｄ Ｉｎｖｅｒｔｅｄ ａｎｄ Ｆｈｗａｒｄ Ｐｒｅｌ鞠ｃｈ Ｍ０ｄｅｌｓ
收藕日期：２００６—０８一ｌ ５ 作者简介：朱燎原（１９７３一），女，叶］国石油大学硕士研究生，主要从事电磁场计算厦仿真研究工作
万方数据
大学物理
第２６卷
”箍，妒吣≠１）
槽内电势的解析解为
≥。 罢ｓｉｎ箭ｓｎ器 妒（工，√）
鲁｜。
型。 ｓｈ昙
１”
１”
２数值法
电磁场数值计算是求解电磁场问题重要的方法 之一．它将电磁场原本连续的场域问题转换成离散 系统，并对其求解数值解．通过在场域离散化的模型 上求得各个点上的数值解，近似逼近连续场域的真 实解”１数值法的出现，使电磁场问题的分析研究 从经典方法进入到离散系统的数值分析方法，从而 使许多解析法很难解决的复杂的电磁场问题，有可 能通过电磁场的计算机辅助分析获得高精度的离散 解，同时可极大地促进各种电磁场数值计算方法的 发展有限差分法、有限元法是电磁场数值计算中 最常用的两种方法
所示
圈４槽内等电势线分布（有限元法）
比较图３、图４，可以看出用有限差分和有限元 这两种方法对槽内电势分布的计算结果基本 相同．
查看本例的数值解容易发现，矩形场域中的电 势分布是左右对称的，说明计算的场域范围还可以 缩小１倍，即取矩形域左边或右边的一半进行分析 和计算即可这样可以减小计算机内存，取消冗余 数据．但要注意此时已变为混合型边界条件的电磁 场求解问题．槽内１／２区域电势满足的拉普拉斯方 程及边界条件为：
０ １１ ２８８ ８ ２３ ６８２ ６ ３８ ３９４ ６ ５６ ８６５ ０ ８０ ９０ｌ ７
０
Ｏ
１３ ２７０ ８ ２７ ８４０ ６
１３ ９５３ ７ ２９ ２７３ ３
４５ １３５ ６
４７ ４５８ ４
６６ ８４８ ８
７０ ２８９ ０
９５ １０５ ７ １００ ０００ ０
０ １３ ２７０ ８ ２７ ８４０ ６
４．２８８ ２）／４．２８８ ２＝０ ５２６ ８％，第４行第９列网格
图２电势分布三维曲面图
点数值解与精确解之间的误差（２７ ８９５ ３—２７．７９７ ７）／ ２７．７９７ ７＝０．３５ｌ １％，其他点数值计算的误差也都
很小，用数值解代替精确的解析解完全满足工程需
要若进一步细分网格，得到的解与精确解之间的
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３结束语
计算电磁学之所以能取代经典电磁学而成为现 代电磁理论研究的主流，主要得益于计算机硬件和 软件的飞速发展以及计算数学的丰硕成果计算机 内存容量不断增大，计算速度不断提高，软件功能不 断强大，计算方法不断改进，再加上并行计算机的使 用，使得我们能解决的电磁学问题越来越大、越来越 复杂，相对于经典电磁学而奇，数值方法几乎不再受 限于边界的约束，能解决各种类型的复杂问题“．