高中数学-二项式定理(一)教案

二项式定理教案（一）

一、教学目标：

1．知识技能：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理

2．过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式

3．情感、态度、价值观

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨

二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

三、教学过程

（一）提出问题：

引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式。如2222)(b ab a b a ++=+， 那么： 3)(b a +=? 4)(b a +=? 100)(b a +=? 更进一步：n b a )(+=？

（二）对2)(b a +展开式的分析

))(()(2b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为：22,,b ab a

考虑b ，每个都不取b 的情况有1种，即02c ,则2a 前的系数为02c

恰有1个取b 的情况有12c 种，则ab 前的系数为12c

恰有2个取b 的情况有22c 种，则2b 前的系数为22c

所以 222122022222)(b c ab c a c b ab a b a ++=++=+

类似地 333223213303

3223333)(b c ab c b a c a c b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=?

问题：

1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？

4a b a 3 22b a 3ab 4b

2)．各项前的系数代表着什么？

各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b 的方法种数

3)．你能分析说明各项前的系数吗？

每个都不取b 的情况有1种，即04c ,则4a 前的系数为04c

恰有1个取b 的情况有1

4c 种，则b a 3前的系数为14c

恰有2个取b 的情况有24c 种，则22b a 前的系数为24c

恰有3个取b 的情况有34c 种，则3ab 前的系数为34c

恰有4个取b 的情况有44c 种，则4b 前的系数为44c

则 44433422243144044)(b c ab c b a c b a c a c b a ++++=+

推广：得二项展开式定理：

一般地，对于*N n ∈有

......)(333222110++++=+---b a c b a c b a

c a c b a n n n n n n n n n n n n n n n r r n r n b c ab c b a c +++---11......

右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式

r r n r n b a c -：二项展开式的通项，记作1+r T

n n r n n n n c c c c c ,......,,......,,,21

0： 二项式系数

注1）．二项展开式共有1+n 项，每项前都有二项式系数

2）．各项中a 的指数从n 起依次减小1，到0为此

各项中b 的指数从0起依次增加1，到n 为此

如n n n n r r n n n n x x

c x c x c x c x +++++++=+--11221

......1)1( 四、应用（例题）

五、课堂练习

六、课后作业

七、总结与归纳

八、板书设计