对实数基本定理的认识

对实数基本定理的认识数学与应用数学 白海蛟最初,在引入实数时,传统的方法一个是戴德金（Dedekind ）用分划定义实数,另一个是康托（Cantor ）用有理数的基本序列之等价类来定义. 分划 定义:若把一个有序的数系S 分成A,B 两类,满足Ⅰ.A,B 均非空;Ⅱ.S 中的任意数或在A 中,或在B 中;Ⅲ.A 中任一数均小于B 中任一数; 则A,B 为数系S 的一个分划,记为A ｜B.① 戴德金实数连续性定理 实数系R 按戴氏连续性准则是连续的,即对R 的任一分划A ｜B,都存在唯一实数r ,它大于或等于下类A 的每一个实数,小于或等于上类B 的每一个实数. 基本序列 定义 数系S 中,如果有数列{}n x 满足下列性质:0ε∀>,N ∃,使得只要,n N m N >>,有nmx xε-<,则称{}n x 为S 的基本序列,或柯西列.在数系S 中,两个基本序列是等价的,如果lim()0n n n x x →∞'-=,将相互等价的基本序列作为一类,称为等价类.显然,每一个有理数,对应了一个等价类,可以说这个等价类唯一的刻画了这一有理数.类似地,可以认为每一个有理数的基本序列的等价类对应了一个实数. 当对应的不再是有理数时,它就对应了一个新数,即为无理数.实质就是让每一个有理数的基本序列有极限,当极限值不为有理数,就定义了一个无理数.显然,戴德金分划法较之康托的方法,更为直观. 关于实数系R ,我们得到了7 个等价命题: ① 戴德金实数连续性定理;② （确性定理）非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界; ③ （单调收敛定理）任何单调有界的数集必有极限;④ （区间套定理）设{[,]}n n a b 是一个区间套,则必存在唯一的实数r ,使得包含r 在所有的区间里,即1,n n n r a b ∞=⎡⎤∈⎣⎦;⑤ （有限覆盖定理）实数闭区间[a,b ]的任一个覆盖E,必存在有限的子覆盖;⑥ （紧致性定理）有界数列必有收敛子数列;⑦ （柯西收敛原理）实数系R 中,数列{}n x 有极限存在的充分必要条件是:0ε∀>,N ∃,当,n N m N >>时,有nmx xε-<.其中,①②③刻画了实数系的连续性,④⑤⑥刻画了实数闭区间的紧性,⑦刻画了实数系的完备性.以上七个命题在实数系R 是等价的.需要说明的是,实数系R 的得到,是以有理数系Q 为材料,构造出的一个新数的有序域.它满足阿基米德性,同时使确性定理成立,并以有理数系作为其一个子集,实数系R 仍构成阿基米德有序域.但上述7个命题,在复数域C ,有理数域Q 并不是全部成立的.以下证明7个命题的等价性. ⑦→③:设{}n a 为一递增且有上界M 的数列.用反证法.借助柯西收敛原理,可以证明:若无极限,则可以找到一个子列{}k n a 以+∞为其广义极限,从而与有上界相矛盾.现构造这样的{}k n a .首先,对单调数列而言,柯西条件可改述为:“*0,N N ε∀>∃∈”因为它同时保证了对一切,n N m N >>,恒有n m n N a a a a ε-≤-<.由于假定{}n a 不收敛,故有上述柯西条件的否定陈述,必存在某个00ε>,对,N n N ∀∃>,使得0n N n N a a a a ε-=-≥.依次取 1111,,N n N =∃>使110n a a ε-≥; 2122,,N n n N =∃>使210n n a a ε-≥; ……1,,k k k k N n n N -=∃>使10k k n n a a ε--≥;把这k 个不等式相加,得到10k n a a k ε-≥. 由此易知,当1M a k ε->时,可使k n a M >,矛盾.故单调有界数列必有极限.引理 任意一个数列{}n x 必存在单调子数列.现证 若{}n x 不存在递增子序列,则必存在严格递减子序列.若{}n x 中存在（不一定严格）递增子序列{}k n x ,则问题已明.若{}n x 中无递增子序列,那么10,n ∃>,使得1n n ∀>,恒有11n x x <.同样在{}n x 1()n n >中也无递增子序列.于是又21n n ∃>,使得2n n ∀<,恒有21n n n x x x <<.如此无限进行下去,便可得到一严格递减的子序列{}k n x .证毕.③→⑥:由引理知,有界数列必有有界单调子序列.又由单调收敛原理可知,该有界单调子数列必有极限,即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子数列. ⑥→⑤:用反证法.假设某一闭区间[a,b]的某个开覆盖E 无有限子覆盖.将[a,b]二等分,则至少有一个子区间,不能用E 的有限子集覆盖,将此半区间记为[]11,a b .然后将[]11,a b 再二等分.重复上述步骤,依次进行下去,便得到一区间套[],n n a b :,nn a b ,1()02n n nb a b a -=-→(当n →∞).每一个[],n n a b 皆不能用E 的有限子集覆盖.取数列{}n a ,显然[],i i i a a b ∈.用紧致性定理，可知{}n a 收敛.不妨lim n n a ε→∞=,则[],n n a b ε∈.()[],,a b αβ∃∈,使αεβ<<.当n取足够大时,n n a b αεβ<≤≤<,则(),αβ可覆盖[],n n a b ,与区间套的构造相矛盾.故闭区间[a,b]的开覆盖必有有限子覆盖. ⑤→④:用反证法.如若不然,设存在区间套[]{,}n n a b ,有[]1,n n i a b ∞==∅,记开区间))((1,1,nnn a a αβ=-,))((1,,1n n nb b αβ''=+,即)())[]((11,,1,1\,nnnnnna b a b αβαβ''=-+.此时E=(){,,(,),1,2,...}n n n n n αβαβ''= 构成了[]11,a b 的一个覆盖.由有限覆盖定理,存在N ,使得.()()[]111(,,),Nn n nnn a b αβαβ=''⊃.故 当n>N 时, [],n n a b 是空集,这是不可能的,矛盾.故有[]1,n n i a b ∞=≠∅,即存在r ,使得[]1,n n i r a b ∞=∈r 的唯一性证明由区间套定理性质本身可推得. 若存在 r ',[]1,n n i r a b ∞='∈.由lim()0n n n a b →∞-=,则0,,N n N ε∀>∃>时,有22n n n n r r r a a r r a a r εεε'''-=-+-≤-+-<+=.r r '∴=故区间套定理得证. ④→②:设M 为实数域上数集E 的上界,即x E ∀∈,有x M ≤.来证sup E R ξ∃=∈.任取一0x E ∈,将[]0,x M 二等分.若右半区间含有E 中的点,则记右半区间为[]11,a b ,否则就记左半区间为[]11,a b .然后将[]11,a b 再次二等分.用上述选记[]22,a b .如此进行下去,我们便得到一个区间套[]{,}n n a b ,,nn a b ,01()02n n n b a M x -=-→, (当n →∞).由区间套定理,可知唯一公共点 [,]n n a b ξ∈（n=1,2,3,…）可以证明就是E 的上确界.由区间套的构造可知x E ∀∈,有x ξ≤0,,N n N ε∀>∃>时,[](),,n n a b ξεξε⊂-+[],,.n n x a b x εεξε∴∃∈>-故ξ就是E 的上确界,故非空有上界的数集必有上确界.非空有下界数集必有下确界的情况可类似证明. ②↔①: ②→①:设给定R 的一个分划A ｜B,由于B 中每个数都是A 的上界,由确界定理,A 有上确界r .显然,a A a r ∀∈≤,而b B ∀∈,由于b 是A 的上界,r 是上确界.故a ≤r ≤b.实数基本定理证完. ①→②:设X 是有上界的非空实数集.记B 为X 的全体上界组成的集合.A=R\B.则A ｜B 构成R 的一个分划.事实上,不空,不漏显然.只需证明“不乱”. ,a A b B ∀∈∈,由a 不是X 的上界,知有0,x X ∈使0x a >,而0,,b B x b ∈≤故a<b .由实数基本定理,分划A ｜B 确定唯一实数r ,使,a A b B ∀∈∈,有a r b ≤≤,需证r =supX.先证r 是X 的上界.反证.若不然,则有0,x X ∈使0x r >,此时02x ra A +=∈且a>r .这是不可能的.故r 是X 的上界,而由任意,b B ∈表明了r 是X 的最小上界.下确界情况可类似证明.确界定理证完. ②→③:设{}n x 是单调上升有上界的是数列.由确界定理知r=sup {}n x 存在,且有,且n x r ≤,且0,,N x r εε∀>∃>-因此当n>N 时,,N n r x x r ε-<≤≤即n x r ε-<,这就证明了lim n n r x →∞=.故单调有界有极限.⑥→⑦:柯西收敛原理的必要性 已知{}n x 收敛,即,a R ∃∈使.()n x a n →→∞0,,N ε∀>∃只要n>N,有.2n x a ε-<故只要n>N,m>N ,有.22n m n m n m x x x a a x x a a x εεε-=-+-≤-+-<+=必要性得证.现证充分性:先证{}n x 有界性.对1,N ε=∃,当n>N,m>N,有 1.n m x x -< 取定01n N =+,只要n>N,有0 1.n n x x -<从而00000011n n n n n n n n n N x x x x x x x x =+=-+≤-+<+ 令M=max 012(,,...,,1).N n x x x x + 则()n x M n ≤∀下证n x 有极限存在,由n x 有界知,k n x a ∃→（紧致性定理推得） 因此0,,K ε∀>∃,使当k>K 时,有2k n x a ε-<另,1N ∃,当11,n N m N >>时,2n m x x ε-<.取11max(,)k N N n +=,则只要n>N ,取0k N >,则22k k n n n n x a x x x a εεε-≤-+-<+=.从而 n x a →,充分性得证.从而柯西收敛定理得证.为此,7个命题的等价性已证.其证明思路为当然,等价性的证明还有其他多种途径,但过程相似.最后,尽管戴德金分划法引入实数的方法很直观,但是适用范围太狭小,今后在构造许多函数空间时就用不上了.所以,用有理数基本序列之等价类来引入实数具有深远的意义.能力有限,不再赘述.。