力学量算符之间的对易关系(共享)

3.7算符的对易两力学量同时有确定值的条件不确定关系

ˆG ˆ -G ˆ G ˆF ˆG ˆ 0 ˆF an F ˆ）（F n

ˆ 对易，则这两个算符 ˆ G 和 2.逆定理：如果两个算符 F
有组成完全系的共同本征函数。
ˆ和G ˆ 对易，只是两力学量同时注意：两个算符 F
有确定值的必要条件。
3.力学量的完全集合：要完全确定体系的状态，需要有一组相互对易的力学量，这组确定体系状态的力学量，称为力学量的完全集合。三．不确定关系 1927年3月，海森伯发表了《论量子论的运动学和动力学的直觉内容》的论文，公布了他所建立的不确定
2 2 ˆ ˆ I F k G

2

2
0
得（3.7.12）
ˆ ˆ G F
2
ˆ 表示任意两个力学量关系，称为不确定度关系。
ˆx p ˆ x x i ，所以例如：（1）xp
x p x
2
2
（ 2）
E t 2
2 4
（3.7.13）
设为任意波函数，则 E, t i , t i t i i t t t
E t 2
（3）角动量的分量的不确定关系

（3.7.8）

二．两力学量同时有确定值的条件 ˆ 有一组共同的本征函数 1.定理：如果两个算符 F ˆ 和G ˆ ˆ 对易。 G 组成完全系，则算符和 F ，而且 n
n
证明：因为
，
ˆ ˆ n = nn G = ； F n n n
考虑一下积分：
ˆ ˆ iG I F

力学量算符之间的对易关系

∧ ∧ ∧ ∧
（6）
称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置），即 F G ≠ G F 。
1
若
∧
∧ ∧ ∧
⎡∧ ∧⎤ F , G⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦
∧ ∧
（7）
称算符 F 与 G 是对易的，即 F G = G F 。下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。
∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ F G G [ , ] [ , F] = − ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ⎪ [ F , G + M ] = [ F , G] + [ F , M ] ⎨ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪[ F , G M ] = G[ F , M ] + [ F , G ] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪ F G M F G M F M G [ , ] [ , ] [ , ] = + ⎩ 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系坐标算符是乘数因子，相互对易
记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎧ ∧ ∧ h h = = = − [ L , p ] 0 , [ L , p ] i p , [ L , p ] i p x x x y z x z y ⎪ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎨[ L y , p x ] = −ih p z , [ L y , p y ] = 0, [ L y , p z ] = ih p x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⎪ ∧ ∧ ⎪[ L z , p x ] = ih p y , [ Lz , p y ] = −ih p x , [ L z , p z ] = 0 ⎩

算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件

[H ˆ,L ˆ2] [ 22 r2 r(r2 r) V (r)2 L ˆ2 r2,L ˆ2] 0
[H ˆ,L ˆz][2L ˆ2 r2,L ˆz]21 r2[L ˆ2,L ˆz]0
[Lˆ2, Lˆz ] 0
共同本征函数 n lm (r,,) R n l(r)Y lm (,)
[例题]证明(原课件):
[pˆx,F(x)]i
F x
解:取任意函数,由于
[p ˆx,F (x)] i[ xF F x]
i[ F F F ] i F
x x x x
因是任意的函数,所以
[pˆx,F(x)]i
n id x ,j 1 ,2 ,
sn
i x gsna i
* n j
n id x ,j 1 ,2 ,
sn
i 1
i 1
sn
sn
aiGji g ai ji G jin * jG ˆn id x ,jin * j n id x
[ x ˆ ,p ˆ y ] [ x ˆ ,p ˆ z ] [ y ˆ ,p ˆ x ] [ y ˆ ,p ˆ z ] [ z ˆ ,p ˆ x ] [ z ˆ ,p ˆ y ] 0
2,角动量算符的对易式: Lˆ rˆ pˆ
[L ˆx,L ˆy]L ˆxL ˆyL ˆyL ˆx(yp ˆzzp ˆy)(zp ˆxxp ˆz)
H ˆ nlmEn nlm,En2e 2n s42
L ˆ 2n lm ( l 1 ) l2n lm ,L 2 l( l 1 )2
L ˆz n lmmn lm ,L zm
在nlm态下,能量,角动量平方,角动量z分量

3.7 算符对易关系

ˆ ˆ ˆ ˆ = y[ p z , z p x ] + [ z , x p z ] p y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = yz[ pz , px ]+ y[ pz , z]px + x[z, pz ]py +[z, x]pz py
ˆ ˆ ˆ ˆ = y(−iℏ) px + x(iℏ) py = iℏ[ xpy − ypx ]
证明 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
利用则
[Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ O,UE = OUE −UEO ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ = OUE −UOE +UOE −UEO
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = OU −UO E +U OE − EO ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = O,U E +U O, E
对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称与 Û 不对易。，则称Ô
如：算符例 x ˆ px = −iℏ 不对易。
∂ x ∂
由于
ˆ xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ =−iℏx ∂∂xψ
ˆ px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ =−iℏψ −iℏx ∂∂xψ
所以
ˆ ˆ xpxψ − px xψ = iℏψ
(
)
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ I (ξ ) = ξ A + iB ,ξ A + iB
(
)
) (
) )
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ = ξ A ,ξ A + ξ A , iB + iB ,ξ A + iB , iB

§3.7 算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系....ppt

用 A 对B 运算。一般说来算符之积不满足交换率：
AB BA
(18)
典型例子：
x,
px
x
px
px
x
i
(d)对易式的代数恒等式：
A,
B
B,
A
A,
B
C
A,
B
A,
C
A,
BC
B
A,
C
A,
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
(19)
AC, B
A
B,
C
A,
C
B
A,
B, C
B,
A, C
C,
2.例：自由粒子，3个自由度：
氢原子中电子，3个自由度：px , py , pz 三个量子
数
Hˆ , lˆ, lz
四n、,l测, m不准关系
1.设和的对易关系为
Fˆ Gˆ
FˆGˆ GˆFˆ ikˆ
(37)
令 Fˆ Fˆ F, Gˆ Gˆ G
(38)
则
Fˆ
2
Gˆ
2
k2
(39)
4
如果 k 不为 0 ，则 Fˆ 和 Gˆ 的均方偏差不会同时为 0，
乘积大于某一正数。例如
x,
px
i
则
2
2
2
X
px
4
(40)
证明：令函数
I
Fˆ
iGˆ
2
d
0
其中为实参数，即分区域为变量变化的整个空间
I Fˆ iGˆ
Fˆ
i
Gˆ
d
Fˆ
pr
(25)
所以，l
, l

算符对易关系第三章-精品文档

等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0

, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ，则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
1
3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ

1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件

量子力学第三章3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件不确定关系

基本对易关系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系。
2. 角动量算符的对易关系：
ˆ ,L ˆ ]L ˆ L ˆ ˆ ˆ [L x y x y Ly Lx
ˆz z ˆ y ) (z ˆz z ˆy) ˆp ˆp ˆp ˆp ˆx x ˆ z ) (z ˆx x ˆ z ) (y ˆp ˆp ˆp ˆp = (y
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系
一、算符的对易关系：
对于任意的波函数，

ˆ 对易 ˆ,G 0 F ˆ ,F ˆF ˆ ˆ G ˆ F ˆG G ˆ 不对易 ˆ,G 0 F
ˆ x 的对易关系 x, p ˆx ? ˆ 和动量算符 p 1. 坐标算符 x
e2s 1 2 1 1 2 [ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 2 r r r r sin r sin r
2
ˆ 2是关于， ˆ 是关于的微分算符，的微分算符， L 且L z
ˆ ,L ˆ ]0 。 ˆ ,L ˆ 2 ] 0 , [H 所以： [H z
ˆ ,H ˆ,G ˆ ,ˆ 即：如果一组算符（F I……）有共同本征函数，
而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。
2. 不同力学量取确定值的条件：
ˆ ,ˆ ˆ,H ˆ,G 若F I ……等可对易，由以上定理知，这些函数有
完全的共同的本征函数系{ n}，按本征函数与本征值的意义可知，当体系处于它们的本征态 n 时，力学量 F
ˆ yz ˆx + ˆ yx ˆz ˆp ˆp ˆp ˆp ˆ zz ˆx y ˆ zx ˆz z ˆp ˆp z ˆp ˆp =y

算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系

对易关系
1
3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续２）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0
但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
2．力学量同时有确定值的条件
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
定理
若算符Fˆ 和 Gˆ 具有共同的本征函数完全系，则 Fˆ 和 Gˆ 必对易。
prove: 设 n 是 Fˆ 和 Gˆ 的共同本征函数完全系，则
Fˆn nn , Gˆn nn
ห้องสมุดไป่ตู้
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
x
ihU
f x
ihf
U x
ihU
f x
ihf
U x
ih
U x
f
U
x
,
Pˆx
ih
U x
特别地，当U x x 代入上对易式，即证得 x, Pˆx ih
同理可证： y, Pˆy ih z, Pˆz ih
3
3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件测不准关系（续３）

力学量算符之间的对易关系(共享)

3.7算符的对易 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系