2019-2020年高三数学一轮复习课件：第18讲 三角函数的图像与性质
ω=±π.
因为函数 f(x)的图像过点
1 4
,0
,
所以当 ω=π
时,���4���+φ=π2+2kπ,k∈Z, 解得 φ=π4+2kπ,k∈Z;
当 ω=-π 时,���4���+φ=-π2+2kπ,k∈Z,
解得 φ=-π4+2kπ,k∈Z.
所以 f(x)=cos
π������ + π
4
,由 2kπ<πx+π4<π+2kπ,解得
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
大取 1,此时 4.5≤ω≤9,此时 ω 的最大值
为 9.
教学参考
2.[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)
ω>0,|φ|≤π ,x=-π为 f(x)的零点,x=π为 y=f(x)图像的对
2
4
4
称轴,且 f(x)在 1π8,53π6 单调,则 ω 的最大值为 (
)
A.11
B.9
教学参考
2.[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)
ω>0,|φ|≤π ,x=-π为 f(x)的零点,x=π为 y=f(x)图像的对
2
4
4
称轴,且 f(x)在 1π8,53π6 单调,则 ω 的最大值为 (
)
A.11
B.9
C.7
D.5
因为函数 f(x)在区间 1π8,53π6 单调,所以只
f(x)=4tan
xsin
π 2
-x
cos x-π3 - 3.
(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论 f(x)在区间 -π4,π4 上的单调性.
(2)令 z=2x-π3,函数 y=2sin z 的单调递增区 间是 -π2+2kπ,π2+2kπ ,k∈Z. 由-π2 +2kπ≤2x-π3 ≤π2 +2kπ,得 -1π2 +kπ≤x≤51π2 +kπ,k∈Z. 设 A= -π4,π4 ,B= x -1π2+kπ≤x≤51π2+kπ,k∈Z , 易知 A∩B= -1π2,π4 . 所以当 x∈ -π4,π4 时,f(x)在区间 -1π2,π4 上单 调递增,在区间 -π4,-1π2 上单调递减.
12
φ=1π2.
教学参考
4.[2016·江苏卷] 定义在区间[0,3π]上的函数
y=sin 2x 的图像与 y=cos x 的图像的交点个数
是
.
[答案] 7
[解析] 方法一:令 sin 2x=cos x,即 2sin xcos x=cos x,解得 cos x=0 或 sin x=12, 即 x=kπ+π2或 x=2kπ+π6或 x=2kπ+56π(k∈Z), 又 x∈[0,3π],故 x=π,3π,5π或
[答案] A
[解析]
∵f
5π 8
=2,f
11π 8
=0,∴
11π 8
-58π =���4��� (2m+1),m∈N,解得
T=2���3���π+1,m∈
N.∵f(x)的最小正周期大于 2π,∴m=0,∴
T=3π,则 ω=23.由题意得23×58π+φ=π2+2kπ,k
∈Z,解得 φ= π +2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π,∴
2k-14<x<2k+34,k∈Z,故选 D.
教学参考
5.[2017·全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=2cos x+sin x 的最大值
为
.
[答案] 5
[解析] 因为 f(x)=2cos x+sin x= 5sin(x+φ)(其中 tan φ=2),所以 f(x)max= 5.
教学参考
6.[2014·全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin
函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,
则 cos θ=
.
[答案] -255 [解析] 因为 f(x)=sin x-2cos x= 5sin(x+φ) tan������ =
-2,������∈
-
π 2
,0
, 所以当 x+φ=π2+2kπ(k∈Z),即
x=π2-φ+2kπ(k∈Z)时,y=f(x)取得最大值 5,
φcos(x+φ)的最大值为
.
[答案] 1
[解析] 函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin x,故其最大值为 1.
教学参考
7.[2013·全国卷Ⅰ] 设当 x=θ 时,
2.[2016·浙江卷] 设函数 f(x)=sin2x+bsin x+c, 则 f(x)的最小正周期( ) A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关
[答案] B [解析] 若 b=0,则 f(x)=sin2x+c=1-co2s 2������+c=-12cos 2x+12+c 的 最小正周期是 π;若 b≠0,则 f(x)=sin2x+bsin x+c 的最小正周期是 2π. 故选 B.
C.7
D.5
(2)当 φ=-π4时,f(x)=sin ωx-π4 ,则
kπ-π2
≤1π8ω-π4
且5π
36
ω-π4
≤kπ+π2
,k∈Z,
解得362������-9≤ω≤36������5+27.由于 ω≤12,故 k 最
大取 0,此时 ω≤257,此时 ω 的最大值为 5.
综上可知,ω 的最大值为 9.
教学参考
考情分析
考点
考查方向
考例
三值域角(函最数值的) 定义域、求定义域、值域、最值
2017全国卷Ⅱ13,2014 全国卷Ⅱ14,2013全国 卷Ⅰ15
三角函数的单调性 与周期性
确定单调区间、最小正周期, 根据单调区间、最小正周期求 参数值等
2017全国卷Ⅱ3, 2015全国卷Ⅰ8
判断奇偶性、确定函数图像的
2
4
4
称轴,且 f(x)在 1π8,53π6 单调,则 ω 的最大值为 (
)
A.11
B.9
C.7
D.5
ห้องสมุดไป่ตู้[答案] B
[解析] 由已知可得-π4ω+φ=kπ,k∈ Z,π4 ω+φ=mπ+π2 ,m∈Z,两式相加,得 2φ=(k+m)π+π2.因为|φ|≤π2,所以 k+m=0 或 k+m=-1,即 φ=±π4,两式相减得 ω=2(m-k)+1,即 ω 为正奇数.
要该区间位于函数 f(x)图像的两条相邻
对称轴之间即可,且53π6-1π8≤12×2���π��� ,即 ω≤12.
(1)当 φ=π时,f(x)=sin ωx+π ,则
4
4
kπ-π2 ≤1π8 ω+π4 且53π6 ω+π4 ≤kπ+π2 ,k∈Z,
解得36���2���-27≤ω≤36���5���+9.由于 ω≤12,故 k 最
1.[2017·山东卷] 函数 y= 3sin 2x+cos 2x 的最小正
周期为 ( A.π2 C.π
) B.23π D.2π
[答案] C
[解析]
因为 y=
3sin 2x+cos 2x=2
3 2
sin
2x+12cos 2x =2sin 2x+π6 ,所以其最小正
周期 T=22π=π,故选 C.
教学参考
则 cos θ=cos x=cos
π 2
-������
+
2������π
=sin φ,由
tan������
=
sin ������ cos ������
=
-2,
φ∈
sin2������ + cos2������ = 1,
-
π 2
,0
可得
sin φ=-255,所以 cos θ=-255.
教学参考
■ [2017－2016]其他省份类似高考真题
|������ |
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称 中心与对称轴之间的距离是14周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期. 3.三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx 的形式,偶函数一般可化为 y=Acos ωx+b 的形式.
教学参考
5.[2016·天津卷]
已知函数
f(x)=4tan
xsin
π 2
-x
cos x-π3 - 3.
(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论 f(x)在区间 -π4,π4 上的单调性.
解:(1)f(x)的定义域为 x x≠π2+kπ,k∈Z .
f(x)=4tan xcos xcos x-π - 3=4sin xcos x-π
3
周期为 ( )
A.4π C.π
B.2π D.π2
[答案] C
[解析]
函数 f(x)=sin
2������
+
合集下载
高三数学总复习三角函数的图象与性质PPT课件
提示：函数 y＝A sin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时是奇函 数，当 φ＝kπ＋2π(k∈Z)时是偶函数；函数 y＝A cos(ωx＋φ)， 当 φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当 φ＝kπ＋2π(k∈Z)时是奇函数．
1．函数 y＝tan 3x 的定义域为( ) A.xx≠32π＋3kπ，k∈Z B.xx≠π6＋kπ，k∈Z C.xx≠－π6＋kπ，k∈Z D.xx≠π6＋k3π，k∈Z
解析：选 D 由 3x≠π2＋kπ，得 x≠π6＋k3π，k∈Z.
2．(2014·陕西高考)函数 f(x)＝cos2x＋π4 的最小正周 期是( )
π A.2
B．π
C．2π
D．4π
解析：选 B 由余弦函数的复合函数周期公式得 T＝ 2ωπ＝22π＝π.
3．已知函数 f(x)＝sinωx＋π3 (ω>0)的最小正周期为 π， 则该函数的图象( )
＝
3 2 sin
2x－12cos
2x
＝cosπ6sin 2x－sinπ6cos 2x ＝sin2x－π6. (1)f(x)的最小正周期为 T＝2ωπ＝22π＝π， 即函数 f(x)的最小正周期为 π. (2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤56π. 由正弦函数的性质，
当 2x－π6＝π2，即 x＝π3时，f(x)取得最大值 1.
[答案] (1)A (2)B (3)C
互动探究 本例(2)中函数 f(x)的对称中心是什么？
解：令 x－π4＝kπ，k∈Z，则 x＝π4＋kπ，k∈Z. 故函数 f(x)＝sinx－π4的对称中心为π4＋kπ，0(k∈Z)．
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x) 取得最大或最小值；若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x ＝0 时，f(x)＝0. (2)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象 的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在 判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心 时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．
1．函数 y＝tan 3x 的定义域为( ) A.xx≠32π＋3kπ，k∈Z B.xx≠π6＋kπ，k∈Z C.xx≠－π6＋kπ，k∈Z D.xx≠π6＋k3π，k∈Z
解析：选 D 由 3x≠π2＋kπ，得 x≠π6＋k3π，k∈Z.
2．(2014·陕西高考)函数 f(x)＝cos2x＋π4 的最小正周 期是( )
π A.2
B．π
C．2π
D．4π
解析：选 B 由余弦函数的复合函数周期公式得 T＝ 2ωπ＝22π＝π.
3．已知函数 f(x)＝sinωx＋π3 (ω>0)的最小正周期为 π， 则该函数的图象( )
＝
3 2 sin
2x－12cos
2x
＝cosπ6sin 2x－sinπ6cos 2x ＝sin2x－π6. (1)f(x)的最小正周期为 T＝2ωπ＝22π＝π， 即函数 f(x)的最小正周期为 π. (2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤56π. 由正弦函数的性质，
当 2x－π6＝π2，即 x＝π3时，f(x)取得最大值 1.
[答案] (1)A (2)B (3)C
互动探究 本例(2)中函数 f(x)的对称中心是什么？
解：令 x－π4＝kπ，k∈Z，则 x＝π4＋kπ，k∈Z. 故函数 f(x)＝sinx－π4的对称中心为π4＋kπ，0(k∈Z)．
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x) 取得最大或最小值；若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x ＝0 时，f(x)＝0. (2)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象 的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在 判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心 时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．
2019高考数学(全国、理科)一轮复习课件：第18讲 三角函数的图像与性质
考试说明
1. 能画出函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期
性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和 最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－，内的单调性．
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
教学参考
■ [2016－2011]课标全国卷真 题再现
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
π π π [解析] B 由已知可得－ ω ＋φ＝kπ ，k∈Z， ω ＋φ＝mπ ＋ ，m∈Z，两式相加， 4 4 2 π π π 得 2φ ＝(k＋m)π ＋ 2 .因为|φ|≤ 2 ，所以 k＋m＝0 或 k＋m＝－1，即 φ＝±4 ，两式相 π 5π 减得 ω＝2(m－k)＋1，即 ω 为正奇数．因为函数 f(x)在区间18， 36 单调，所以只要该 5π π 1 2π 区间位于函数 f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可，且 36 －18≤2× ，即 ω≤12. ω π π π π π 5π π π (1)当 φ＝ 4 时， f(x)＝sinω x＋ 4 ， 则 kπ － 2 ≤18ω ＋ 4 且 36 ω ＋ 4 ≤kπ ＋ 2 ， k∈Z， 36k－27 36k＋9 解得 2 ≤ω ≤ 5 .由于ω ≤12，故 k 最大取 1，此时 4.5≤ω≤9，此时 ω 的最 大值为 9.
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
[解析] B 平移后的图像 对应的解析式为 y＝ π π 2sin 2x＋12， 令 2 x ＋ 12 π ＝kπ ＋ (k∈Z)， 得对称 2 kπ π 轴方程为 x＝ ＋ 2 6 (k∈Z)．
高三数学一轮复习精品课件1：三角函数的图像与性质
(2)把函数 y＝tanπ3－2x变为 y＝－tan2x－π3. 由 kπ－π2<2x－π3<kπ＋π2，k∈Z， 得 kπ－π6<2x<kπ＋56π，k∈Z， 即k2π－1π2<x<k2π＋51π2，k∈Z. 故函数 y＝tanπ3－2x的单调减区间为 k2π－1π2，k2π＋51π2(k∈Z)．
________．
解析：当 x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，56π，sin2x－π6∈
－12，1，
故 3sin2x－π6∈－32，3， 即此时函数 f(x)的值域是－32，3.
答案：－32，3
2．(2014·湛江调研)函数 y＝lg(sin x)＋
义域为________．
解析：要使函数有意义必须有
故 y＝2cos2x＋5sin x－4 的值域为[－9,1]．
(2)∵x∈π6，76π，∴sin x∈－12，1. 又 y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝
2sin
x－142＋78.
∴当 sin x＝14时，ymin＝78，
当 sin x＝－12或 sin x＝1 时，ymax＝2.
1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． 2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴 时易忽视“k∈Z”这一条件．
[试一试]
1．函数 y＝tanπ4－x的定义域是________．
答案：xx≠kπ＋34π
，k∈Z，x∈R
2．(2013·南京三模)函数 y＝sin x－π4≤x≤34π的值域是
第四章 三角函数
4.3三角函数的图像与性质
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。 君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。 天生我材必有用，千金散尽还复来。 烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。 岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。 与君歌一曲，请君为我倾耳听。 钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。 古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。 陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。 主人何为言少钱，径须沽取对君酌。 五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁
高三数学一轮复习3.3三角函数的图象与性质课件
2 2 ， ]上是增函数，故原点到 3 3 2 2 T 2 T 8 ,即 2 8 , ， 的距离不超过 ，即 ，得T≥ 3 3 4 3 4 3 3 又ω＞0，得0<ω≤ 3 . 因此ω的最大值为 3 . 4 4 答案： 3 4
方法三：因为f(x)在区间[
【互动探究】在本例(1)中函数不变，求函数在［－π，0］上 的单调递减区间. 【解析】方法一：x∈R时，y＝sin( -2x)的减区间为[kπ ,kπ+ 5 ]，k∈Z.令k＝0得 5 ；令k＝－1得 － x 12 12 12 12 13 7 ，故x∈［－π，0］时，y＝sin( -2x)的减 － x － 3 12 12 区间为[-π,－ 7 ]，[ － ,0]. 12 12 3
6 3 2
3 6 3 7 ， 6
所以y∈［- 3 ，2］，所以ymax+ymin= 2 3. (2)选C.因为f(x)=1-2sin2x+2cos x=1-2(1-cos2x)+2cos x= 2cos2x+2cos x-1= 2(cos x ) 2 ， 又因为x∈R，所以cos x∈［-1,1］. 所以当cos x= 1 时，f(x)有最小值，且f(x)min= 3 ；
第三节
三角函数的图象与性质
【知识梳理】 1.周期函数和最小正周期
非零常数 f(x+T)=f(x)
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
值域
R __ [-1，1] ________
R __ [-1，1] ________
{x|x∈R且x≠ + _______________ 2 k π，k∈Z} _______________ R __
2019届高三数学一轮复习：第18讲 三角函数的图像与性质
当 ω=-π 时,���4���+φ=-π2+2kπ,k∈Z,
解得 φ=-π4+2kπ,k∈Z.
所以 f(x)=cos
π������ + π
4
,由 2kπ<πx+π4<π+2kπ,解得
2k-14<x<2k+34,k∈Z,故选 D.
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
9
教学参考
5.[2017·全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=2cos x+sin x 的最大值
[答案] B
[解析] 若 b=0,则
f(x)=sin2x+c=1-cos 2������+c=-1cos 2x+1+c 的
2
2
2
最小正周期是 π;若 b≠0,则
f(x)=sin2x+bsin x+c 的最小正周期是 2π.
故选 B.
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我最小正周期;
(2)讨论 f(x)在区间 -π4,π4 上的单调性.
解:(1)f(x)的定义域为 x x≠π2+kπ,k∈Z . f(x)=4tan xcos xcos x-π3 - 3=4sin xcos x-π3
- 3=4sin x 12cos x+ 23sin x - 3=2sin xcos x+2 3sin2x- 3=sin 2x+ 3(1-cos 2x)- 3=sin 2x- 3cos 2x=2sin 2x-π3 , 所以 f(x)的最小正周期 T=2π=π.
x=π2-φ+2kπ(k∈Z)时,y=f(x)取得最大值 5,
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
高三数学一轮复习课件第18讲三角函数的图像与性质
π
平移 个单位长度,则平移后图像的对称轴为 (
12
π π
A.x= 2 - 6 (k∈Z)
π π
C.x= 2 -12 (k∈Z)
π
π
B.x= 2 + 6 (k∈Z)
π
π
D.x= 2 +12 (k∈Z)
[答案]
B
)
[解析] 平移后的图像对应的解析式为
π
π
π
y=2sin 2 x+12 ,令 2 + 12 =kπ+ 2 (k∈
π
T= .
||
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称
1
中心与对称轴之间的距离是 周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
4
3.三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx 的形式,偶函数一般可化为 y=Acos
ωx+b 的形式.
D.与 b 无关,但与 c 有关
)
[答案]
B
[解析] 若 b=0,则
f(x)=sin2x+c=
1-cos 2
2
1
1
2
2
+c=- cos 2x+ +c 的
最小正周期是 π;若 b≠0,则
f(x)=sin2x+bsin x+c 的最小正周期是 2π.
故选 B.
教学参考
3.[2017·天津卷] 设函数
A
5π
8
=2,f
11π
=0,∴
8
3π
- 8 =4 (2m+1),m∈N,解得 T=2 +1,m∈
平移 个单位长度,则平移后图像的对称轴为 (
12
π π
A.x= 2 - 6 (k∈Z)
π π
C.x= 2 -12 (k∈Z)
π
π
B.x= 2 + 6 (k∈Z)
π
π
D.x= 2 +12 (k∈Z)
[答案]
B
)
[解析] 平移后的图像对应的解析式为
π
π
π
y=2sin 2 x+12 ,令 2 + 12 =kπ+ 2 (k∈
π
T= .
||
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称
1
中心与对称轴之间的距离是 周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
4
3.三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx 的形式,偶函数一般可化为 y=Acos
ωx+b 的形式.
D.与 b 无关,但与 c 有关
)
[答案]
B
[解析] 若 b=0,则
f(x)=sin2x+c=
1-cos 2
2
1
1
2
2
+c=- cos 2x+ +c 的
最小正周期是 π;若 b≠0,则
f(x)=sin2x+bsin x+c 的最小正周期是 2π.
故选 B.
教学参考
3.[2017·天津卷] 设函数
A
5π
8
=2,f
11π
=0,∴
8
3π
- 8 =4 (2m+1),m∈N,解得 T=2 +1,m∈
高中数学一轮复习课件：三角函数的图像和性质
解：(1)f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x＝cos2x－sin2x＝ 2 π cos(2x＋4)． 列表： π π π 3 9 π 2π 2x＋4 4 2 2π 4π π 3 5 7 x 0 π π π π 8 8 8 8 f(x) 1 0 － 2 0 2 1
• 图象如下图：
【例 3】 (2009· 福建卷)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)．其中 π ω>0，|φ|<2. π 3π (1)若 cos4cosφ－sin 4 sinφ＝0，求 φ 的值； (2)在(1)的条件下， 若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之 π 间的距离等于3，求函数 f(x)的解析式；并求最小正实数 m， 使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函 数．
3π π 思路分析：(1)把 sin 变换成 sin ，然后利用两角和的余 4 4 弦公式解决；(2)正弦函数图象两相邻对称轴之间的距离是半 个周期，根据这点求出 ω，也就确定了函数 f(x)的解析式，若 要平移函数图象使其为偶函数， 则只保证 y 轴为这个函数图象 的一条对称轴即可．
π 3π 解：(1)由 cos cosφ－sin sinφ＝0 得 4 4 π π cos4cosφ－sin4sinφ＝0， π 即 cos( ＋φ)＝0. 4 π π 又|φ|<2，∴φ＝4.
2
sin2x＋cos2x 1 (2)化简可得 f(x)＝ 2 ＋2tanx＋1＝ ＋2tanx cos x cos2x ＋1＝tan2x＋1＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1， π π 因为 x∈[－ ， ]，tanx∈[－ 3，1]．显然，当 tanx＝ 3 4 π －1，即 x＝－ 时，函数有最小值 1；当 tanx＝1，即 x＝ 4 π 时，函数有最大值 5. 4
高考理科数学一轮复习课件三角函数的图象与性质
要点三
反思
在解答三角函数问题时，我需要注意 哪些问题？如何更好地运用三角函数 的性质进行求解？在解题过程中，我 是否充分利用了题目中的条件？如何 提高自己的解题速度和准确性？
THANKS
感谢观看
02
（2020全国卷II）已知函数$f(x) = sin(omega x + varphi)(omega > 0,|varphi| < frac{pi}{2})$的最小正周 期为$pi$，且$f(frac{pi}{6}) = frac{1}{2}$，求$f(x)$的解 析式及单调递增区间。 Nhomakorabea03
（2021全国卷III）已知函数$f(x) = 2sin(omega x + varphi) - 1(omega > 0,|varphi| < frac{pi}{2})$的图象过 点$(frac{pi}{12},1)$，且相邻两条对称轴之间的距离为 $frac{pi}{2}$，求$f(x)$的单调递增区间和对称中心。
02
三角函数图像绘制方法
单位圆法绘制正弦、余弦函数图像
单位圆与正弦、余弦函数 的关系
单位圆上的点坐标与正弦、余弦函数值对应 。
绘制步骤
建立平面直角坐标系，以原点为圆心画一个单位圆 ，标记特殊角的正弦、余弦值对应的点，用平滑曲 线连接各点。
图像特点
正弦函数图像为波浪形，余弦函数图像为余 弦波形，两者相位相差90度。
地理测量
三角函数可以应用于地理测量中，如测量地球表面的距离、高度和角度等参数，以及绘 制地图和进行导航等。
潮汐现象
三角函数可以描述月球和太阳对地球引力作用产生的潮汐现象，以及潮汐的高度和时间 等参数。
06
三角函数的图像与性质课件PPT
正解：因为 x∈π6，π，所以借助函数 y＝sin x 的图象可知， 此时 0≤sin x≤1.于是由 sin x＝2m－1，得 0≤2m－1≤1，解得 m 的取值范围12≤m≤1.
纠错心得：三角函数的取值范围与定义域有关，因此，在求解 有关范围问题时，一定要先看清定义域，再由定义域推得三角函数 的取值范围，最后求出正确答案．
思路点拨：要使函数有意义，则 sin x＞0 且 25－x2≥0，即 sin x＞0 且－5＜x＜5，结合图象求出在区间(－5,5)上满足 sin x＞0 的 x 的取值范围，即原函数的定义域．
解： 使函数有意义的条件是s2i5n－x＞x2≥0，0， 记 sin x＞0 的 x 取值为 集合 A,25－x2≥0 的 x 取值为集合 B，则 A＝(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z， B＝[－5,5]．用图象表示如下：
小结 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周 期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).
思考3 正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x 的周期有哪些？ 答 正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，… 都 是 正 弦 函 数 的 周 期 ， 事 实 上 ， 任 何 一 个 常 数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现 其理论依据是什么？ 答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整 数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻 画这种“周而复始”的变化规律.
思考2 设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数 f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？ 答 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ 时，函数值重复出现. 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝ f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.