11-3 格林公式及其应用
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11-3 格林公式及其应用
P Q y x
利用格林公式 , 得
D D L
Q Q L P d x Q d y D ( x x )d xd y
0
返回
【说明】根据定理2 , 若在某区域内
P Q , 则 y x 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
D 是 X-型域且 Y-型域
------格林公式
返回
一、格林公式
D D
单连通区域
复 连通区域
返回
定理1 设有界闭区域 D 由分段光滑曲线L围 成 ，
P ( x , y )、 ( x , y ) 在D上 具有连续的偏导数 Q Q P ) dxdy Pdx Qdy ( 则 L x y D 其中 L的方向指D的 边界线 的正向
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式简单应用 三、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 四、小结
返回
一、格林公式
回顾： 一元微积分学中最基本的公式—牛顿、莱布 尼兹公式：
b a
F ( x )dx F ( b) F ( a )
D L
返回
问题：能否推广到二重积分？
( ? )dxdy ( ? )dx
取定点 ( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
u ( x, y)
( x, y) ( x0 , y0 ) x
P ( x , y )d x Q( x , y )d y
y y0
格林公式及其应用
§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。
无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。
1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。
通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。
2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。
3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。
公式(1)叫做格林(green)公式。
【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。
D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。
格林公式及其应用
其中L是 D的取正向的边界曲线.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重
积分之间的联系.
3. 简单应用
(1) 计算平面面积
格林公式
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x,
得
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
A 1 xdy ydx 2L
例1 求椭圆 x a cos t, y bsint,0 t 2
解 由格林公式
(e x sin y my )dx (e x cos y m)Ody AO OA
A(a,0)x
mdxdy
1 8
ma 2
OA的方程为y 0, 0 x a
D
故
(e x sin y my )dx (e x cos y m)dy
a
0dx 0
OA
0
所以, I 1 ma2 0 1 ma2.
AO OA OA 8
8
(3) 简化二重积分
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例5 计算 e y2dxdy, 其中D是
D
y 1B
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
D
为顶点的三角形闭区域.
解 令 P 0, Q xe y2
O
1x
则 Q P e y2 格林公式
x y
e y2dxdy
规定 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
y L
D
L
D
l
O
x
L+l 称为复合闭曲线
11.3格林公式
y
x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 du Pdx Qdy
u(x, y) xy2dx
1 x2 y2 2
C ( y)
又
所以
u(x, y)
则 1 x2 y2 C 2
例6.
验证
x
dy x2
y y
d
2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
o (1,0) ( x,0) x
arctan x
注意! 2
y
例５-６求二元函数u(x,y)使du=P (x,y) dx+Q (x,y) dy
称为二元函数的全微分求积. 简单情况时可按下列方法求解
所以
全微分方程
1.定义: 若存在 u(x, y) 使, du P (x, y)dx Q(x, y)dy 则称 P (x, y) dx Q (x, y) dy 0 ①
例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
2xy dx x2 dy L
0dx dy
0
D
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
格林公式及其应用
L1 L2 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关
例1 求解方程
(5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 )dy = 0.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D上 P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
∂P = ∂Q ∂y ∂x 在G 内恒成立.
若 ∂P ≡ ∂Q
y
∂y ∂x
∫ 则 B( x1 , y1 ) Pdx + Qdy A( x0 , y0 )
• A( x0 , y0 )
o
∫ ∫ =
x1 x0
P
(
x
,
y0
)dx
+
Hale Waihona Puke y1Q(y0x1
,
y)dy
∫ ∫ 或 =
Q y1 (
y0
x0
,
y
)dy
+
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1 , y1 )
• C( x1, y0 )
∂x ∂x
原积分与路径无关
∫ ∫ 故原式=
1 x2dx +
1
(1 +
y4 )dy=
23 .
0
0
15
11-(3)格林公式及其应用(重新学习)
区域 ) 高等数学A(下）
34 - 2
2020年1月20日
一、 格林公式 2、边界曲线的正向
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,
区域D总在他的左边.
高等数学A(下）
34 - 3
2020年1月20日
一、 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有
例4. 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中 L 为 L
由点O(0, 0)到点B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y
P Q ，
Q ( x2 y4 ) 2x
y x
D1
y
L
l D1
or
x
高等数学A(下）
2π 0
r 2 cos2 r 2 sin2
r2
d
2π
34 - 15
2020年1月20日
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
C
B
Q(x, y) x2 y2
D
则Q 2 x, P x
x
y
O
Ax
( x3 xy)dx ( x2 y2 )dy L
(2x x)dxdy
格林公式及其应用
高等数学
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
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Ø通过转化为二重积分，简化曲线积分的计算
!ò u例1 计算 x2 ydx - xy2dy,其中L为正向圆周
L
y
x2 + y2 = R2
1B
ò u例2 计算 xdy, 其中L为 x2 + y2 = 1 上 L 由点A(1,0)到点B(0,1)的一段弧.
A
o
1x
ò u例3 计算
L
xdy x2
+
ydx y2
òL P(x, y)dx + Q(x, y)dy
y
ò=D (x,y) P( x, y)dx + Q( x, y)dy ( x0 , y0 )
y0
G
S
M0
M R
=D u( x, y)
o x0
x
ò ò u(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy + P(x, y)dx + Q(x, y)dy
,其中L为一条无重点
y
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线
L的方向为逆时针方向.
o
x
Ø通过转化为曲线积分，简化二重积分的计算 y
òò u例4 计算 e- y2dxdy,其中D是以O(0,0) D
1B
A
A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域.
o
1x
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
òòD
ççèæ
¶Q ¶x
-
¶P ¶y
÷÷øödxdy
=
òL
Pdx
+
Qdy
令 Q = x P =-y
2òòD dxdy = !òL xdy - ydx
1
A = 2 !òL xdy - ydx
l注 用曲线积分求面积的公式并不唯一!
¶x ¶y¶x
u( x, y) =?
Ø定理
¶P ¶2u =
¶y ¶x¶y
设区域G是一个单连通域,,若函数P(x,y)与Q(x,y)在G内具
有一阶连续偏导数,则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy在G内为某一
函数u(x,y)的全微分的充要条件是
在G内恒成立.
¶P = ¶Q ¶y ¶x
¶P = ¶Q ¶y ¶x
ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy L1
ò= P(x, y)dx + Q(x, y)dy L2
o
Ø曲线积分与路径无关的等价条件
G
L2 B
A L1
x
ò ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
L1
L2
ò ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy - P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
Ø定理
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,若函数P(x,y)及Q(x,y) 在D上具有一阶连续偏导数,则有
æ ¶Q ¶P ö
òòD
ç è
¶x
-
¶y
÷dxdy ø
=
!ò L
Pdx
+
Qdy
其中L是D的取正向的边界曲线.
l注
¶Q ¶P (1) 注意 ¶x 与 ¶y 的顺序.
L
(2) D可以是单连通区域或复连通区域.
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
du = ¶u dx + ¶u dy ¶x ¶y
òLP(x,y)dx + Q(x, y)dy
du = ¶u dx + ¶u dy ¶x ¶y
du =P(x,y)dx + Q(x, y)dy
¶Q ¶2u =
M0R
RM
M0R : y = y0 (x0 ® x) RM : X = x ( y0 ® y)
x
ò= x0 P( x, y0 )dx
y
ò+ Q( x, y)dy y0
ò ò u(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy + P(x, y)dx + Q(x, y)dy
M0S
SM
M0S : x = x0 ( y0 ® y) SM :Y = y (x0 ® x)
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
Ø平面单连通区域与复连通区域
单连通:
区域D内任一闭曲线所围的部分都属于D
闭曲线所围的部分缩为一点时不经过D的边界
不含有“洞”的区
y
y
域 例：{(x, y) y > 0}
{ } ( x, y) x2 + y2 < 1
复连通:
ox ox
区域D内有一闭曲线所围的部分不属于D
闭曲线所围的部分缩为一点时经过D的边界
含有“洞”的区域
y
y
{ } 例：( x, y) 1 < x2 + y2 < 4
{ } (x, y) 0 < x2 + y2 < 2
ox
ox
Ø平面闭曲线的正向 区域D的边界曲线为L,当观察者沿L行走 时,D内在他近处的部分总在他的左边. 区域的外部边界:逆时针方向 闭曲线的正向 区域的内部边界:顺时针方向
l
(3) L为区域D的所有边界曲线,均取正向.
例
òòD
æ ç è
¶Q ¶x
-
¶P ¶y
ö ÷dxdy ø
=
!ò L
Pdx
+
Qdy
+
!ò l
Pdx
+
Qdy
L
逆时针方向 l
顺时针方向
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充要条件是
在G内恒成立.
¶P = ¶Q ¶y ¶x
ò u例7 计算
L
xdy x2
+
ydx y2
,其中L为
y
ì x = a(t - sin t) - aπ
í îy=Fra biblioteka(1
-
cos
t
)
(a > 0)
t 从0到2π的一段弧.
-aπ o
aπ x
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
òòD
ççèæ
¶Q ¶x
-
¶P ¶y
÷÷øödxdy
=
òL
Pdx
+
Qdy
二重积分
曲线积分
格林公式沟通了二重积分与的曲线积分的联系
推广
格林公式 特 例 牛莱公式
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
(三) 格林公式的应用
1．通过相互转化，简化两类积分的计算 2．求平面图形的面积
第三讲 格林公式及其应用
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
一 格林公式
u例6 求椭圆 x = a cosq , y = bsin q 所围成的图形的面积.
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
格林公式及其应用
一 、格林公式 二 、平面曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积
Ø曲线积分与路径无关
y
y
ò= y0 Q( x0 , y)dy
x
ò+ P(x, y)dx x0
u例7 验证 xy2dx + x2 ydy在整个xoy面内是某个函数的全微分,
并求一个这样的函数.
Ø全微分方程
若存在u (x, y)使得d u( x, y) = P ( x, y)dx + Q ( x, y)d y
则称P (x, y)dx + Q (x, y)d y = 0为全微分方程.
Ø平面闭曲线的曲线积分 与起点(终点)取法无关
B
N
ò ò ò ò ò ò = + = + =
AMBNA AMB BNA BNA AMB BNAMB
M
曲线积分通常取闭曲线的正向
A
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
一 格林公式
(一) 预备知识 (二) 格林公式 (三) 格林公式的应用
Ø判别 P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 全微分方程
Ø解法 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 du = 0 知通解为 u(x, y) = C .
u例8 解微分方程 (5x4 + 3x y2 - y3 )dx + (3x2 y - 3x y2 + y2 )d y = 0.
L1
L2
ò ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy + P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0