海岸线测量

东北大学秦皇岛分校

数值分析期中考试实验报告基于三次样条插值的方法求部分海岸线长度

学院：数学与统计学院

专业：信息与计算科学

小组成员：陈杰斌（5133109）

楚文玉（5133117）

陆林芳（5133217）

教师评语：

2015年6月12日

1 绪 论

1.1实验背景

现实世界中, 海岸线是一个国家的海洋边际分界线，有效的管理好自己国家 海岸线有着非常重要的意义。因此，分析研究海岸线是非常有必要的。但是诸如海岸线，行政分界线，等高线之类的并没有规律的曲线，是以不规则曲线呈现出来的。为了保证分析与研究,在操作上,不规则曲线一般是选取样条插值函数来逼近。运用三次样条插值函数近似拟合函数 ，然后运用积分求解曲线的长度。 1.2实验报告主要框架

1. 导入图片，用鼠标读取的方式在选定的海岸线图上读出尽可能多的点；

2. 进行三次样条拟合

3. 计算曲线的长度

2 模型建立与求解

2.1坐标系的选择

导入海岸线图片，运用MATLAB 中 >> A=imread('F:\百度地图.jpg'); >> image(A) >> P=ginput

P=ginput 函数，实现自动选取坐标并运用鼠标点击获得尽可能多的实验数据 2.2三次样条插值逼近 2.2.1三次样条插值理论基础

定义：设[a,b] 上有插值节点，a ＝x1＜x2＜?＜xn ＝b ，对应函数值为y1,y2,?yn 。若函数S(x) 满足S(xj) ＝ yj （ j ＝ 1,2, ? ,n ）， S(x) 在1x ,x j j +????（ j ＝1,2,?,n-1）上都是不高于三次的多项式（为了与其对应j 从1 开始，在Matlab 中元素脚标从1 开始）。当S(x) 在 [a,b] 具有二阶连续导数。则称S(x) 为三次样条插值函数。要求S(x) 只 需 在 每 个子区间1x ,x j j +????上确定 1 个三次多项式，设为：

式(2)、(3)共给出n ＋3(n-2)＝4n-6 个条件，需要待定4(n-1) 个系数，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2 个边界条件。通常由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出。常用边界的条件有以下3 类。 第 1 类边界条件：给定端点处的一阶导数值，

第 2 类边界条件：给定端点处的二阶导数值，

特殊情况y1"＝yn"＝0，称为自然边界条件。

第 3 类边界条件是周期性条件，如果y ＝f(x)是以b-a 为周期的函数，于是S(x) 在端点处满足条件

下以第 1 边界条件为例，利用节点处二阶导数来表示三次样条插值函数，给出具体的推导过程。

注意到 S(x) 在 1x ,x j j +????（j=1,2,.,n-1）上是三次多项式，于是S"(x)在1x ,x j j +???? 上是一次多项式，如果S"(x) 在 1x ,x j j +????（j=1,2,.,n-1）两端点上的值已知，设

，

则S"(x) 的表达式 为 ：

其中hj ＝xj+1-xj

对S"(x) 进行两次积分，则得到1 个具有2个任意常数Aj ，Bj 的S(x) 表达式。对S"(x) 求两次积分得

其中hj ＝xj+1-xj （j=1,2,?,n-1），

根据插值条件S(xj)＝yj ，S(xj+1)＝y （j+1） 可得：

S(x)在区间1x ,x j j +????上的表达式不同，但由于要保证在结点处的连续性，即

'(x 0)'(x 0)j j S S -=+

在 xj 左右导数相等，所以：

方程组(11)的系数矩阵是三对角阵且是对角占优阵，故存在唯一解，可用追赶法进行求解，将求得的解代入(7)，就可以构造[a, b]上的插值函数。

四、实验原理

（1）中国海岸线长度读取文件程序：

>> A=imread('F:\百度地图.jpg');

>> image(A)

>> P=ginput

（2）三次样条法计算程序：

（3）中国海岸线长度计算程序：

五、实验结果及分析